(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识
1 判断题：
1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ）
1.2 A ×B = B ×A （ ）
1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f
。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( )
1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ）
1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ）
1.7 在整数集Z 上，定义“ο”：a οb=ab(a,b ∈Z)，则“ο”是Z 的一个二元运算。（ ）
1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( )
2
填空题：
2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中
有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.
2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.
2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.
2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：
_____________________________________________。
2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。
2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价
类。则[][]?=b a ______________。
2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么
=j i A A I ______________。
2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ?2|a-b ，那么
A 的所有不同的等价类是______________ 。
2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M
的所有不同的等价类的个数是______________。
2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ?秩(A)=秩
(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。
2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ?秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。
2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B M,定义A~B 秩(A)=秩(B),则由”~”
确定的等价类有_____________________个。
3 证明题：
3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：
)()(~b a b a φφ=?．证明：“~”是A 的一个等价关系．
3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =?．证明：“~”是C 的一个等价关系．
3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =?．证明：“~”是
)(F M n 的一个等价关系．
3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任
意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．
3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：?b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证
明：“~”是G 的一个等价关系．
第二章 群论
1 判断题：
§2.1 群的定义.
1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：
(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的； (B)a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；
(C) 存在G ，使得aG ，都有ea=a 成立； (D)aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。
则G 关于这个乘法运算构成一个群。 ( )
1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：
A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；
B ）?a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；
C ）存在e r ∈G ，使得?a ∈G ，都有ae r =a 成立；
D ）?a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。
则G 关于这个乘法运算构成一个群。（ ）
1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算
是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。 ( )
1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运
算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。( )
1.5 实数集R 关于数的乘法成群。（ ）
1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|。( )
1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。
1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ο”，a οb=a+b+ab(),(,,οQ Q b a 则∈?)
构成一个群。（ ）
§2.2 变换群、置换群、循环群
1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（ ）
1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )
1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。（ ）
1.12 素数阶群都是交换群。（ ）
1.13 p （p 为质数）阶群G 是循环群．（ ）
1.14 素数阶的群G 一定是循环群.( )
1.15 3次对称群3S 是循环群。（ ）
1.16 任意群都同构于一个变换群．（ ）
1.17 有限群都同构于一个置换群。( )
1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构。（ ）
1.19 在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( )
1.20 在4次对称群S 4中，（12）（324）的阶为6。（ ）
1.21 在5S 中，(12)(345)的阶是3。 ( )
1.22 任意有限群都与一个交换群同构。（ ）
1.23 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（ ）
1.24 6阶群是交换群。（ ）。
1.25 4阶群一定是交换群。（ ）
1.26 4阶群一定是循环群。（ ）
1.27 循环群一定是交换群。（ ）
1.28 设G 是群，a, b ∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（ ）
1.29 14阶交换群一定是循环群。（ ）
1.30 如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ）
1.31 有理数加群Q 是循环群。（ ）
1.32 若一个循环群G 的生成元的个数为2，则G 为无限循环群。 （ ）
§2.3 子群、不变子群。
1.33 若H 是群G 的一个非空子集，且?a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子
群。（ ）
1.34 若H 是群G 的一个非空有限子集，且?a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一
个子群。（ ）
1.35 循环群的子群也是循环群。（ ）
1.36 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（ ）
1.37 一个阶是11的群只有两个子群。 （ ）
1.38 有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。（ ）
1.39 设G 是一个n 阶群，m|n ，则G 中一定有m 阶子群存在。 （ ）
1.40 若G 是60阶群,则G 有14阶子群。( )
1.41 设G 是60 阶群，则G 有40阶子群。 （ ）
1.42 阶为100的群一定含25阶元。（ ）
1.43 阶为100的群一定含25阶子群。（ ）
1.44 阶为81的群G 中，一定含有3阶元。 （ ）
1.45 设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H =??≤-1。 （ ）
1.46 设H 是群G 的一个非空子集，则
H H H G H ???≤-1。 （ ） 1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ）
1.48 群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）
1.49 指数为2的子群不是不变子群。（ ）
1.50 若N ?H,H ?G ，则N ?G 。( )
1.51 若N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,则N 是G 的不变子群。( )
1.52 设H ≤G ，K ≤G ，则HK ≤G 。（ ）
1.53 若N §2.4 商群、群的同态定理。 1.54 群之间的同态关系是等价关系。（ ） 1.55 循环群的商群是循环群。（ ） 1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。（ ） 1.57 设G 是有限群，H ≤G ， 则| |||||H G H G =。（ ） 1.58 若?是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则?（N ）是G 的不变子群，且N G ?)(N G ? 。 ( ) 1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ?G ，则 f(H) ?- G 。 （ ） 1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤- G 。 （ ） 1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。 1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,则()是G 不变子群, 且?。( ) 1.63 设G 和G 都是群，G ??G , G N ?, N=1-?(N )，则N ?G,且- -?N G N G //。（ ） 2 填空题： 2.1 在群G 中，a ，b ∈G ，a 2 = e ，a －1ba = b 2，则|b| =_________________。 2.2 在交换群G 中，a ，b∈G，|a| = 8，|b| = 3，则|a －2 b | =_________________。 2.3 设a 是群G 的元,a 的阶为6，则a 4的阶为___________________。 2.4 设a 是群G 中的一个8阶元,则a 的阶为________。 2.5 设G 是交换群，a 、b ∈G, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_____________。 2.6 群AG 中有_____个1阶元。 2.7 在S 5中，4阶元的个数为_____________。 2.8 在S 4中，3阶元的个数为_____________。 2.9 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =_______________。 2.10 设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n =___. 2.11 若a,b 是交换群G 中的5阶元和72阶元, 则ab 的阶为____________。 2.12 在整数加群Z 中，<4>∩<6> =_________________。 2.13 10阶交换群G 的所有子群的个数是_________________。 2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_________。一个有限非可换群至少含有 ____________个元素. 2.15 任意群G 一定同构于G 的一个_____________。 2.16 n 次对称群Sn 的阶是_______。 2.17 9-置换??? ? ??728169345987654321分解为互不相交的循环之积是_______。 2.18 n 阶有限群G 一定_____________置换群。 2.19 每一个有限群都与一个__________群同构。 2.20 已知 1234531254σ??= ???为5S 上的元素，则1σ-＝__________。 2.21 给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π _________________。 2.22 在4次对称群S 4中，(134)2(312)-1=______. 2.23 在4次对称群S 4中，（24）（231）＝_____________ ，（4321）－1＝_____________， （132）的阶为_____________。 2.24 在6次对称群S 中,(1235)(36)=____________。 2.25 (2431)1-=__________。 2.26 设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________. 2.27 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为______。 2.28 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于_____________。 2.29 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。 2.30 若群G 是一个6阶循环群,则G 与（模6剩余类同构）____________________同构。 2.31 设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是_____________。 2.32 整数加群(Z,+)的两个生成元是___+1和-1________。 2.33 整数加群Z 有__________个生成元. 2.34 整数加群(Z, +)的生成元是____________。 2.35 无限循环群G=(a)的生成元为_a 的逆___________。 2.36 无限循环群G 中能作为G 的生成元的元素共有 _____________ 个。 2.37 若G=(a)是一个无限循环的乘法群,则G 的另一个生成元是______a 的逆元____。 2.38 剩余类加群Z 共有__4_____个元可作为它的生成元。 2.39 16阶循环群G 中能作为G 的生成元的元素的个数为___8______。 2.40 模10<1379>剩余类加群(Z,+)中能作为Z 的生成元的元素有__________。 2.41 设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是_____________。 2.42 设G 是一个m p 阶群，其中p 是一个素数，m 是一个正整数，则G 的真子群的 一切可能的阶数是_____________。 2.43 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有____________个. 2.44 剩余类加群Z 12有_________个生成元. 2.45 设H 是群G 的非空子集,则H 是G 的子群的充要条件是________________。 2.46 设G ＝（a ）是6阶循环群，则G 的子群有________________。 2.47 设群G 是24阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a 2的阶为________________，子 群H=< a 3>的在G 中的指数是________________ 。 2.48 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。 2.49 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则?=Hb Ha ________________。 2.50 在3次对称群S 3中，H ＝{(1)，(12)}是S 3的一个子群，则H (23)＝______． 2.51 在3次对称群S 3中，H = {（1），（23）}，则S 3对H 的右陪集分解式是____________。 2.52 3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集_________________。 2.53 G=(a)是21阶群，H ＝)(3a ．则[G:H]=________________。 2.54 凯莱定理说：任一个子群都同一个________________ 同构。 2.55 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。 2.56 设G 是群，N 是G 的非空子集，则N △G 的充要条件是_________________。 2.57 6阶循环群有_________个子群. 2.58 设G 是由a 生成的30阶循环群，H = ，则G/H =_________________。 2.59 设G ＝(a)是10阶群，H ＝(a 3),则H G ＝________。 2.60 设?：A →A ，A S ?，则 ))((1S -???________。 2.61 16阶循环群G 中能作为G 的生成元的元素的个数为____________。 2.62 设?：A ?A ，A a ∈，则 ))((1a ??-＝________。 2.63 模10的剩余类加群10Z 的生成元为________________。 2.64 设a 是群G 中的一个6阶元，则15a 的阶为________________。 2.65 一个6 阶的非交换群G 中的非单位元的阶一定是________________ 。 2.66 剩余类加群),(12+Z 中能作为它的生成元的元素有________________。 2.67 设G 是群，a, b ∈G, |a|=12, 则|ba 10b -1| =_________________。 2.68 设G 是一个20阶的交换群，a ∈G, |a|=2, 则 G/ ≌_________________。 2.69 在整数加群Z 中，Z H ≤,1≠H ，则?H _________________。 2.70 在整数加群Z 中，>-=<4H 则[G ：H] =_________________。 =_________________。 2.72 在4次对称群S 4中，S=｛(123)｝,则 2.74 21阶群G 中，7阶子群的个数为_________________。 2.75 设N G ?，商群N G 中的单位元是_________________。 2.76 在Z 24中，Z H ≤24,H=<[a]>, H Z 24?Z 8,则[a]= _________________。 2.77 在整数加群Z 中，H=Z ≤,3Z H Z ?则a =______________。 2.78 设G 1，G 2分别为m ，n 阶循环群，则G 1～G 2的充要条件是_______________。 2.79 Z 4到Z 2的所有同态映射是_________________。 2.80 在整数加群Z 中， <12> + <18> + <10> =_________________。 2.81 在同构的意义下，6阶群有_________________种。 2.82 设G 是模4的剩余类加群，那么Aut(G)= _________________。 2.83 设G 是正有理数作成的乘法群，a G ∈,a=q p n 2（p, q 为奇数, n 为整数），令?：a ,n α?是G 到（Z ，+）的同态映射，则Ker ?=_________________。 2.84 设G, H 是两个阶互素的有限群，则G 到H 的同态映射f 为_________________。 2.85 在环R=4Z=｛4k|k ∈Z ｝中，（8）=________________。 2.86 在整数加群Z 中，S=｛22,32｝则 2.87 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为_________。 2.88 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等 于________________ 。 2.89 7、一个非正方形的长方形S 的对称群是{ }。 13、平面上的正方形的对称群是________ 。 72. 设a, b 是群G 的两个元素，满足aba=ba 2b ，a 3=1，b 7=1，则b=________ 。 3 证明题： 3.1 令}{阶正交矩阵为n A A G =．证明，G 对于矩阵的普通乘法作在一个群． 3.2 设G 是整数集，规定运算：G b a b a b a ∈?++=⊕,, 4．证明：G 对运算⊕作 成一个群． 3.3 方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群. 3.4 设 证明： 关于矩阵 的乘法构成群. 3.5 全体可逆的 阶方阵的集合 ()关于矩阵的乘法构成一个非交 换群. 这个群的单位元是单位矩阵,每个元素(即可逆矩阵) 的逆元是 的逆矩阵 . 3.6 设R 为实数集，,,0a b R a ?∈≠，令 (,):,,a b f R R x ax b x R →+?∈a ，将R 的所有这样的变换构成一个集合{}(,),,0a b G f a b R a =?∈≠，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。 3.7 证明：若群G 的每个元素都满足方程e x =2 ，则G 是一个Abel 群（交换群）． 3.8 设G 是一个群，证明：G 是交换群的充分必要条件是，对任意G b a ∈,，都有222)(b a ab =． 3.9 证明：在群G 中，1-a 与a 有相同的阶． 3.10 证明：在群G 中，a 与1 -bab 有相同的阶． 3.11 证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e. 3.12 设 为群. . 证明: 与b 有相同的阶. 3.13 证明：在群G 中，ab 与ba 有相同的阶． 3.14 设 为群. . 证明: , , 有相同的阶. 3.15 设 为 到 的同构映射, . 证明: 与 有相同的阶. 3.16 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: . 3.17 设，的阶为，证明的阶是，其中。 3.18 证明: 循环群是交换群. 3.19 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数. 3.20 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素. 3.21 设 为素数. 证明: 中每一个非零元都是生成元. 3.22 设G 是一个群，G a ∈．若a 的阶是正整数n ．证明：对m n e a Z m m |,?=∈． 3.23 设G 是一个交换群，m 是固定的正整数．令 }|{e a G a H m =∈=．证明：H 是G 的一个子群． 3.24 假定和是一个群G 的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是， ，证明： 的阶是。 3.25 设21,H H 是群G 的子群．证明：21H H I 也是G 的一个子群． 3.26 设G 是一个群，令}, |{G x xa ax G a C ∈?=∈=．证明：C 是G 的一个子群． 3.27 设G 是一个群，S 是G 的一个非空子集．令 },|{)(S x xa ax G a S C ∈?=∈=．证明：C （S ）是G 的一个子群． 3.28 若群G 的阶是素数p ，则G 是一个循环群，试证之． 3.29 证明：循环群的子群也是循环群． 3.30 若群G 与群G 同态，且G 是循环群，证明：G 也是循环群． 3.31 证明：阶为m p 的群（p 是素数）一定包含有一个阶为p 的子群． 3.32 设H ，K 是群G 的不变子群，证明：HK 也是G 的不变子群。 3.33 设H ，K 是群G 的不变子群，且}{e K H =I ．证明：K k H h ∈?∈?,，都有 kh hk =． 3.34 设H ，K 是群G 的不变子群，证明：K H I 也是G 的不变子群。 3.35 设H 是群G 的子群，N 是G 的不变子群。证明：HN 是G 的子群． 3.36 设G 是一个n 阶有限群．证明：G 的每一个元素都满足方程e x n =． 3.37 设G 是一个群，}, |{G x xa ax G a C ∈?=∈=是G 的中心，证明：C 是G 的一个不变子群． 3.38 设C 是群G 的中心，即}, |{G x xa ax G a C ∈?=∈=．且商群C G 是循环群．证明：G 交换群． 3.39 若G 是循环群，H 是G 的一个子群．证明：H G 也是循环群． 3.40 设G 是一个群，令 G x x x ∈→-,:1?．证明：?是G 到G 的同构映射的充分必要条件是：G 是一个交换群． 3.41 设H 是群G 的子群,令N G (H)={x|x G, xH=Hx},证明N G (H)是G 的子群． 3.42 设G 是群，令 C={x|x G, y G, xy=yx},证明C 是G 的正规子群。 3.43 设G=(a)是一无限循环群，证明G 的生成元只有两个。 3.44 设G 是交换群，证明G 中一切有限阶元素组成的集合T 是G 的一个子群，且 T G 除单位元之外不含有限阶元素。 3.45 取定群G 的元u,在G 中定义新的“o ” ：aob=au 1- b.?a.b ∈G.证明（Ｇ，o ） 是群． 3.46 证明循环群的子群也是循环群。 3.47 设p 是一个素数，证明2p 阶群G 中一定有一个p 阶子群N 。 3.48 若G 是一个群,e 是G 的单位元,G 中任何元都是方程e x =2 的解，证明G 是一个 交换群。 3.49 若G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,证明也是一个循环群. 3.50 证明阶是素数的群一定是循环群。 3.51 设G 是一个43阶的有限群,证明G 的子群只有单位元群及G 本身。 3.52 证明：群G 为交换群)(:1G x x x f ∈?-α为G 到G 的一个同构映射。 3.53 设G 是一个1000阶的交换群，a 是G 的一个100阶元，证明 10Z a G ?><。 3.54 设G 是群，f ：G →G ，a αa 2,(G a ∈)证明f 是群G 的自同态?G 是交换群。 3.55 设G=｛（a, b ）|a, b ∈|R,0≠a ｝，在G 上定义“ο”：(a, b)),(),(b ad ac d c +=ο 证明（G ，ο）构成一个群。 3.56 设G 是有限交换群，f ：G →G,f(g)=g k (?g ∈G)证明f ∈Aut(G)?(k,|G|)=1。 3.57 设G 是100阶的有限交换群，f: G →G, f(g)=g 49 (?g ∈G),证明f ∈Aut(G)。 3.58 设A ≤G,B ≤G 如果存在a, b ∈G,使得Aa=Bb,则A=B 。 3.59 设G 是交换群，m 是固定的整数，令H=｛a|a ∈G, a m =e ｝，证明H ≤G 。 3.60 设H ≤G,令C G (H)=｛g|g ∈G,?h ∈H,gh=hg ｝，证明C G (H)≤G 。 3.61 设G 是非空有限集合，“ο”是G 的一个二元运算，“ο”适合结合律及左、右消去 律，证明：(G,ο)构成一个群，当G 是无限集时呢？ 3.62 设G 是2000阶的交换群，H ≤G,|H|=200，证明：H G 是一个循环群。 3.63 证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群G 的生成元只有 两个，则G 是否一定同构于Z ？ 3.64 设G 是一个循环群，|G|≠3,4,G 的生成元的个数为2，证明G ?Z 。 3.65 设G 是有限群，H ≤G, a ∈G,证明存在最小正整数m,使a m ∈H,且m|a 。 3.66 设G 是奇阶群，则对任意g ∈G, 存在唯一元x ∈G, 使g=x 2 。 3.67 证明：整数加群Z 与偶数加群2Z 同构。 3.68 设H ≤G, g 是G 的一个固定元素，gHg -1=｛ghg -1|h ∈H ｝（1）证明: gHg -1≤G 。（2） 证明: H 1-?gHg 。 3.69 设G={} ? ?????∈???? ??=∈+Q b a a b b a H Q b a b a ,|2,,|2，G 对复数的加法构成群，H 对矩阵的加法也构成群，证明：G ?H 。 3.70 设H 是群G 的非空子集, 且H 中元的阶都有限，证明：H ≤G H H ??2。 3.71 设N ∈G, |g|=12, 证明: g 2∈N 。 3.72 设G 是群，a, b ∈G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, ∩=｛e ｝.证明：|ab|=[m, n] ([m, n]是m, n 的最小公倍数)。 3.73 设σ是一个n 次置换，集合X=｛1, 2, 3, …, n｝，在X 中，规定关系“~”为 k~l Z r ∈??, 使σr (k)=l.证明：“~”是X 上的一个等价关系。 3.74 设K=｛(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)｝证明：K ≤S 4。 3.75 设G 是群，H ≤G, 规定关系“~”a ~ b G b a H ab ∈?∈?-,,1 证明：~是G 的一个等价关系，且a 所在的等价类[a]=Ha 。 3.76 证明：15阶群至多含有一个5阶子群。 3.77 设H ≤G, 若H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明H 3.78 设N 3.79 设N 3.80 设H ，N 3.81 设H ≤G, 证明：H 3.82 设k|m, 证明:[]k m Z k Z ?。 3.83 群G 的非平凡子群N 称为G 的极小子群，如果不存在子群B 使得{}N B e <<, 证 明：整数加群Z 没有极小子群。 3.84 如果)(G C G 是循环群，证明：G 是交换群（其中C(G)是群G 的中心）。 3.85 证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。 3.86 证明：在一个有单位元的环R 中，全体可逆元组成的集合对R 的乘法构成一个群。 3.87 设H ，K ,G ≤则对任意a, b ∈G,则Ha ?Kb=Φ或Ha ?Kb 是H ?K 的一个右陪集，该结果能否推广？ 3.88 设 是群. 证明: 如果对任意的 , 有 , 则 是交换群. 3.89 证明: 在群 中, 如果 , 则 . 3.90 设 为加群. 证明: 任给 , , 有. 3.91证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集。 3.92设群的子群在中的指数为2. 证明:, . 3.93设为群, 是的子群. 证明: 中每个元素属于且属于的一个左陪集. 3.94设是群, 是的子群, . 则是的 子群. 3.95设是群, 是的非空子集. 证明: 中与中每个元素都可交换的元素全体是的子群. 3.96设. 证明: 是的子群. 3.97设是交换群. 是一个固定的正整数. 令, .证明: 与都是的子群. 3.98证明: 3.99设是群, 证明: 的中心是的正规子群. 3.100设是群, , , 证明: . 3.101设是群, 和分别是的子群和正规子群. 证明: (1) 是的正规子群; (2) 是的子群. 3.102设为的中心. 证明: 如果是循环群, 则是交换群. 3.103设为群, 对任意的, 称为的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做的换位子群, 记作. 证明: (1) 是的正规子群; (2) 商群是交换群; (3) 若, 且为交换群, 则是的子群.注: 是由所有换位子的可能乘积所组成的集合. 3.104设与为群, 为到的同态映射. . 证明: 当且仅当对任意的, 有. 3.105设与为群, 为到的同态映射. , . 证明: 3.106设为到的同态映射, . 为的子群. 证明: . 3.107设与分别为阶与阶循环群. 证明: 当且仅当. 3.108设都是群的正规子群. 证明: 3.109设群在集合上的作用是传递的. 证明：如果是的正规子群，则在的作用下的每个轨道有同样多的元素. 设群 作用在集合 上，. 证明： 如果存在 , 使得 , 则 . 3.110 设 为大于1的正整数. 令证明: 关于 剩余类的乘法构成一个交换群. 3.111 设群G 与群G 同态，N 是G 的一个不变子群，N 是N 的逆象，证明N G N G ?。 3.112 证明：设G 是群，如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。 3.113 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 3.114 设a 、b 是群G 的元素，a 的阶为2，b 的阶为3，且ab=ba ，证明ab 的阶是6. 3.115 3G S =，{(1),(12)}H =。那么H 是3S 的一个子群。 3.116 一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是： ,;a b H ab H ∈?∈ 3.117 设 是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则 是 的子群. 3.118 群 的任何两个子群的交集也是 的子群. 3.119 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 3.120 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子. 3.121 设 与 为群, 是 与 的同构映射, 则 (1) 如果 为 的单位元, 则 为 的单位元; (2) 任给 , 为 的逆元, 即 3.122 如果 是交换群, 则 的每个子群 都是 的正规子群. 3.123 设 , , 则 . 3.124 群 的任何两个正规子群的交还是 的正规子群. 3.125 设 与 是群, 是 到 的同态映射. (1) 如果 是 的单位元, 则 是 的单位元; (2) 对于任意的 , 是 在 中的逆元. 即 3.126 设 与 是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则 是 的正规子群. 3.127设是循环群，G与同态，证明是循环群。 3.128设G是群，a∈G ，令C G（a）= {x|x∈G ，xa = ax}，证明：C G（a）≤G 3.129设G ~ G，H≤G，H = {x | x ∈G ，f（x）∈H}。证明：H/Kerf ≌H. 3.130 设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2 b （a ，b ∈G ），证 明 （G ，o ）构成一个群. 3.131 设G 是群，H ≤G 。令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，?h ∈H ，hx = xh }.证明：（1）N G （H ）≤G （2）C G （H ）△N G （H ） 3.132 设G 与G 是两个群，f ：G ~ G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f(x) ∈H }，证明：H ≤G 且H/K ≌H . 3.133 设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =，又设a 的阶m a =，b 的阶 n b =，并且1),(=n m ，证明：ab 的阶mn ab =。 3.134 设R 为实数集，0,,≠∈?a R b a ，令R x b ax x R R f b a ∈?+→,,:),(α， 将R 的所有这样的变换构成一个集合 {}0,,),(≠∈?=a R b a f G b a ，试证明：对于变换普通的乘法，G 作成一个群。 3.135 设G=)(Q M n ={有理数域上所有n 阶可逆矩阵}，H = {A|A ∈G,|A|=1}证明：H 是G 的不变子群． 3.136 整环Z 中的单位有____________。 3.137 环Z 6的全部零因子是____________。 3.138 若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么R I 是一个域当且 仅当I 是————————。 3.139 整数环Z 的理想有_________个. 3.140 整数环Z 的商域是________. 3.141 除环的理想共有____________个。 3.142 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________. 3.143 在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 3.144 剩余类环Z 7的可逆元有__________个. 3.145 设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 3.146 剩余类环Z n 是域?n 是_________. 3.147 设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 3.148 在整数环Z 中，23+=__________________； 3.149 剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 3.150 24Z 中的所有可逆元是：__________________________. 3.151 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 3.152除环的理想共有____________个. 3.153 剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 3.154 在2, i+3, π2, e-3中，____________是有理数域Q 上的代数元. 3.155 2+ 3在Q 上的极小多项式是____________. 3.156 一个有单位元的无零因子__________ 称为整环。 3.157 设有限域F 的阶为81，则的特征=p __________。 3.158 一个无零因子环的特征指的是__________。 3.159 含2p （p 为素数）个元的域F 的特征是__________。 3.160 设Z8是模8的剩余类环，则Z8中的零因子是______． 3.161 剩余类环Z15的可逆元有______个. 3.162 设Z ［x ］是整系数多项式环，则Z ［x ］的主理想(x2)＝______． 3.163 设Q 是有理数域，则Q ??? ??+-112i i =______. 3.164 32+在有理数域Q 上的极小多项式是______． 3.165 若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为____。 3.166 若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I R 是一个域当且 仅当I 是____________。 3.167 若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果______。 3.168 模12的剩余类环Z 12的可逆元是______。 3.169 实数域R 上的n 阶矩阵环M n （R ）的理想是____________。 3.170 设R=3Z={3k|k ∈Z}，I=(3), 那么R/I =______。 3.171 若在多项式环Z[x]中，a ∈Z, 如果 (a, x) 是Z[x]的一个主理想，那么a=____。 3.172 设{}=∈+=])2[(,,|2]2[Q Aut Q b a b a Q 则____________. 3.173 商环)1(][i i Z +的特征是__________。 3.174 商环),5(] [x x Z -的特征是________________________。 3.175 在整数环Z 中，包含（12）的极大理想是____________。 3.176 在整数环Z 中，包含（30）的素理想是____________. 3.177 在模30的剩余类环Z 30中，包含（[15]）的极大理想是____________. 3.178 在整数环Z 中，I=(3), J=(5),则I J 的生成元是___________。 3.179 Z 6的所有商环是____________. 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得 多所高校近世代数题库 一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） 近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 [精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,, 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 １、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 ２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说 Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ） Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 １、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。 ５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。 ８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。 ９、一个除环得中心就就是一个--－－---。 三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 ３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。 Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群 Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法 近 世代数 一、单项选择题 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A ?=（ ） A C 2A C 3A C 4A 、 对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH = B 、 以上都对 答案：D 5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a→10a ??a ∈A 则 f 是从A 到B 的（ ） A 、单射 B 、满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（ ） A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A 7A C 8A C 9A C 答案：B 10、偶数环的单位元个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个 答案：A 11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同； B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换； C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（ ） A B C D 13 在Z A C 14那么群 ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ） A 、0和x -； B 、1和0； C 、k 和k x 2-； D 、k -和)2(k x +-。 答案：D 15、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ） A 、11--a bc ； B 、11--a c ； C 、11--bc a ； D 、ca b 1-。 答案：A 近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。 《近世代数》复习试题 一 填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ， 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群. 近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 §1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。 近世代数一、单项选择题 A?=（） 1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A、{1，2，3，4} B、{2，3，6，7} C、 2 A C 3 A、 C 4 A、 B、 5、设 是从A到B的（） A、单射 B、满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 答案：D 6、有限群中的每一个元素的阶都（） A、有限 B、无限 C 、为零 D 、为1 答案：A 7、整环（域）的特征为（） A 、素数B 、无限 C 、有限 D 、或素数或无限 答案：D 8、若S 是半群,则() A C 9A 、C 、10A 、C 、11 A B 、A 1 C 、n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 答案：B 12、指出下列那些运算是二元运算（） A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ； B 、在有理数集Q 上，ab b a = ； C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ； D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 答案：D 13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（） A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（） A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群； B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群； C 、1G 的子群的象是2G 的子群； D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。 答案：D 18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（） A 、若a 是零元，则b 是零元；B 、若a 是单位元，则b 是单位元； C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子； D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。 答案：C 19、下列正确的命题是（） A 、欧氏环一定是唯一分解环； B 、主理想环必是欧氏环； C 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。 答：n m 5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。 答：,,H b a ∈?有H ab ∈-1 6、n 次对称群n S 的阶是（）。 近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群. 3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程 近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3 2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。 三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。 近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、 就是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为 《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =- 近世代数模拟试题 单项选择题（每题5分，共25分） 1、在整数加群（Z+）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n , n 是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g,乘法是gg= g。G对这个乘法来说作成一个群 B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群 D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群 3.如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是（）. A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（). A. Z 没有生成元. B. 1 是其生成元. C. －1 是其生成元. D. Z 是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R 是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. D. 环R 是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律, 并且单位元, 逆元存在. 二. 计算题（每题10 分，共30 分） 1.设G是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 3 的群，试求中G中下列各个元素c ,cd ， 1 的阶. 2. 试求出三次对称群 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) 的所有子群. 3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗若是, 请给予证明. 证明题（第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45 分）. 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程 近世代数期末练习题 一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为 ，（123）的逆元为 ，（123） 所生成的子群在3S 中的指数为 ，该子群是否3S 的不变子群？ 。 2、环Z 6的全部零因子是 ，全部可逆元是 。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。 三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。 六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。 近世代数模拟试题 一、单项选择题 (每题 5 分，共 25 分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。 A 0 B 1C－1D1/n， n 是整数 2、下列说法不正确的是（）。 A G 只包含一个元 g，乘法是 gg＝ g。G 对这个乘法来说作成一个群 B G 是全体整数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 C G 是全体有理数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 D G 是全体自然数的集合， G 对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的是（）。 A群 G 是指一个集合 B环 R 是指一个集合 C群 G 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 D环 R 是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在 4、如果集合M 的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。 A 反身性B对称性C传递性 D 封闭性 5、下列哪个不是S3的共轭类( )。 A（1） B（123），（ 132），（ 23） C（123），（ 132） D（12），（ 13），（ 23） 二、计算题 (每题 10 分，共 30 分) 1.求 S＝{ （ 12），（ 13）} 在三次对称群 S3的正规化子和中心化子。 2.设 G＝{1 ，－ 1，i，－ i} ，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。 x, y 3.设 R 是由一切形如（x，y是有理数）方阵作成的环，求 出其右零因子。 三、证明题 (每小题 15 分，共 45 分) 1、设 R 是由一切形如x,0（x，y 是有理数）方阵作成的环，证 y,0 明0,0 是其零因子。0,0 2、设 Z 是整数集，规定 a·b＝a＋b－3。证明： Z 对此代数运算 作成一个群，并指出其单位元。 世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？ 四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里 有意义，作F的子集 显然是R的一个商域证毕。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）=_________________。 2.73 在S 5中，σ=(235)(13)(24),则σ=_________________。=________________。近世代数期末考试试卷及答案Word版
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