数值分析习题集及答案
数值分析习题集
（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
长沙理工大学
第一章绪论
1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.
2.设x的相对误差为2％,求的相对误差.
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
出它们是几位有效数字:
4.利用公式求下列各近似值的误差限:
其中均为第3题所给的数.
5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?
6.设按递推公式
( n=1,2,…)
计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差?
7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈.
8.当N充分大时,怎样求?
9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而
相对误差却减小.
11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程
稳定吗?
12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式
计算,求对数时误差有多大?
14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足
第二章插值法
1.根据定义的范德蒙行列式,令
证明是n次多项式,它的根是,且
.
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3.
4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数
字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.
5.设,k=0,1,2,3,求.
6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
i)
ii)
7.设且,求证
8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函
数表的步长应取多少?
9.若,求及.
10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).
11.证明.
12.证明
13.证明
14.若有个不同实根,证明
15.证明阶均差有下列性质:
i)若,则;
ii)若,则.
16.,求及.
17.证明两点三次埃尔米特插值余项是
并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.
20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.
21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误
差.
22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.
23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.
i)
ii)
25.若,是三次样条函数,证明
i);
ii)若,式中为插值节点,且,则.
26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式).
第三章函数逼近与计算
1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.
(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
差做比较.
2.求证:
(a)当时,. (b)当时,.
3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.
5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?
6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.
7.求在上的最佳一次逼近多项式.
8.如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?
9.设,在上求三次最佳逼近多项式.
10.令,求.
11.试证是在上带权的正交多项式.
12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.
13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使
14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.
15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.
16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.
17.求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
18.、,定义
问它们是否构成内积?
19.用许瓦兹不等式估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.
20.选择,使下列积分取得最小值:.
21.设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.
22.在上,求在上的最佳平方逼近.
23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
.
24.将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差
图形,再计算均方误差.
25.把在上展成切比雪夫级数.
29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.
30.编出改进FFT算法的程序框图.
31.现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列的离散频谱
第四章数值积分与数值微分
1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所
具有的代数精度:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
(1); (2);
(3); (4).
3.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.
4.用辛普森公式求积分并计算误差.
5.推导下列三种矩形求积公式:
(1);
(2);
(3).
6.证明梯形公式和辛普森公式当时收敛到积分.
7.用复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍
入误差)?
8.用龙贝格方法计算积分,要求误差不超过.
9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里是椭圆的半长轴,是地球中心与轨道
中心(椭圆中心)的距离,记为近地点距离,为远地点距离,公里为地球半径,则.我国第一颗人造卫星近地点距离公里,远地点距离公里,试求卫星轨道的周长.
10.证明等式试依据的值,用外推算法求的近似值.
11.用下列方法计算积分并比较结果.
(1)龙贝格方法;
(2)三点及五点高斯公式;
(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
第五章常微分方程数值解法
1. 就初值问题分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
取步长h=计算，并与准确解相比较。
3. 用改进的尤拉方法解
取步长h=计算，并与准确解相比较。
4. 用梯形方法解初值问题
证明其近似解为
并证明当时，它原初值问题的准确解。
5. 利用尤拉方法计算积分
在点的近似值。
6. 取h=，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
1）
2）
7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
1）
2）
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
取计算并与准确解相比较。
10. 证明解的下列差分公式
是二阶的，并求出截断误差的首项。
11. 导出具有下列形式的三阶方法：
12. 将下列方程化为一阶方程组：
1）
2）
3）
13. 取h=，用差分方法解边值问题
14. 对方程可建立差分公式
试用这一公式求解初值问题
验证计算解恒等于准确解
15. 取h=用差分方法解边值问题
第六章方程求根
1. 用二分法求方程的正根，要求误差<。
2. 用比例求根法求在区间[0,1]内的一个根，直到近似根满足精度时终止计算。
3. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。1），迭代公式；
2），迭代公式；
3），迭代公式。
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
4. 比较求的根到三位小数所需的计算量；
1）在区间[0,1]内用二分法；
2) 用迭代法，取初值。
5. 给定函数，设对一切存在且，证明对于范围内的任意定数λ，迭代过程均收敛于的根。
6. 已知在区间[a,b]内只有一根，而当a ， 试问如何将化为适于迭代的形式？ 将化为适于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。 7. 用下列方法求在附近的根。根的准确值＝1.…，要求计算结果准确到四位有效数字。1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取； 3）用抛物线法，取。 8. 用二分法和牛顿法求的最小正根。 9. 研究求的牛顿公式 证明对一切且序列是递减的。 10. 对于的牛顿公式，证明 收敛到，这里为的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： 1) 2) 12. 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。 14. 应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求 15. 证明迭代公式 是计算的三阶方法。假定初值充分靠近根，求 第七章解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： (a)用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A约化为 证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 。 7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ， 其中 证明（1）A的对角元素 （2）A2是对称正定矩阵； （3） （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5） （6）从（2），（3），（5）推出，如果，则对所有k 8. 设为指标为k的初等下三角阵，即 （除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） 求证当时，也是一个指标为k的初等下三角阵，其中为初等排列阵。 9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求的计算公式。 11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则也是正定阵； （b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵： 13. 用追赶法解三对角方程组，其中 14. 用改进的平方根法解方程组 15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 . 17. 如果方阵A 有，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导的计算公式，对 1）； 2） . 18. 设 ， 计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证 (a) ， (b) 。 20. 设且非奇异，又设为上一向量范数，定义 。 试证明是上的一种向量范数。 21. 设为对称正定阵，定义 ， 试证明为上向量的一种范数。 22. 设，求证 。 23. 证明：当且尽当x和y线性相关且时，才有 。 24. 分别描述中（画图） 。 25. 令是（或）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。 26. 设为上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数，使对一切满足 27. 设，求证与特征值相等，即求证。 28. 设A为非奇异矩阵，求证 。 29. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计 30. 矩阵第一行乘以一数，成为 。 证明当时，有最小值。 31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为，其中，求证 (a) (b) 32. 设 计算A的条件数。 33. 证明：如果A是正交阵，则。 34. 设且为上矩阵的算子范数，证明 。 第八章解方程组的迭代法 1. 设方程组 (a)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; (b)用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止． 2. 设, 证明:即使级数也收敛． 3. 证明对于任意选择的A, 序列 收敛于零． ４. 设方程组 迭代公式为 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是 5. 设方程组 (a) (b) 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证的充要条件是对任何向量x，都有 7. 设，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组 (a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径； (b)求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； (c)考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子） 精确解要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。 10. 用SOR方法解方程组（取＝） 要求当时迭代终止。 11. 设有方程组，其中A为对称正定阵，迭代公式 试证明当时上述迭代法收敛（其中）。 12. 用高斯－塞德尔方法解，用记的第i个分量，且 。 (a)证明； (b)如果，其中是方程组的精确解，求证： 其中。 (c)设A是对称的，二次型 证明。 (d)由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向 量是收敛的，则A是正定阵。 13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组 其中。 (a)找出下列迭代方法收敛的充要条件 (b)找出下列迭代方法收敛的充要条件 比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵 对于是正定的，而雅可比迭代只对是收敛的。 15. 设，试说明A为可约矩阵。 16. 给定迭代过程，，其中，试证明：如果C的特征值，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。 17. 画出SOR迭代法的框图。 18. 设A为不可约弱对角优势阵且，求证：解的SOR方法收敛。 19. 设，其中A为非奇异阵。 (a) 求证为对称正定阵； (b) 求证。 第九章矩阵的特征值与特征向量计算 1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量： (a) , (b) , 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T分块形式为 , 其中为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用记矩阵T的特征值集合，证明 3. 利用反幂法求矩阵 的最接近于6的特征值及对应的特征向量。 4. 求矩阵 与特征值4对应的特征向量。 5. 用雅可比方法计算 的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。 6. (a)设A是对称矩阵，λ和是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使 证明的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。 (b)对于矩阵 , λ=9是其特征值，是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使，并计算。 7. 利用初等反射阵将 正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设，且不全为零，为使的平面旋转阵，试推导计算第行，第j行元素公式及第i列，第 j列元素的计算公式。 9. 设是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是的一个特征向量。 (a)证明矩阵A对应的特征向量是； (b)对于给出的y应如何计算x？ 10. 用带位移的QR方法计算 (a) , (b) 全部特征值。 11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵， 。 数值分析习题简答 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论习题参考答案 1．ε（lnx）≈。 2．。 3．有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字，有2位有效数字。 4．。 5．。 6．。 7．，。 8． 9．。 10．，，故t增加时S的绝对误差增加，相对误差减小。 11．，计算过程不稳定。 12．，如果令，则，，，，，的结果最好。 13．，开平方时用六位函数表计算所得的误差为，分别代入等价公式中计算可得，。 14．方程组的真解为，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得，结果十分可靠。 15． 第二章插值法习题参考答案1. ； . 2. . 3. 线性插值：取，则 ； 二次插值：取 ，则 ＝－ . 4. ，其中. 所以总误差界 . 5. 当时，取得最大值 . 6. i) 对在处进行n次拉格朗日插值，则有 由于，故有. ii) 构造函数在处进行n次拉格朗日插值，有 . 插值余项为， 由于故有 令即得. 7. 以a, b两点为插值节点作的一次插值多项式 ， 据余项定理，， 由于故 8. 截断误差 其中则时取得最大值 . 由题意， 所以， 9. 则可得 ，，则可得 10. 数学归纳法证 当时，为m－1次多项式； 假设是m-k 次多项式，设为，则 为m-(k+1)次多项式，得证。 11. 右左 12. 13. . 14. 由于是的n个互异的零点，所以 对求导得 ，则， 记则 由以上两式得 15. i) . ii) 证明同上。 16. 17. 即均为的二重零点。因而有形式： 作辅助函数 则 由罗尔定理，存在使得 类似再用三次罗尔定理，存在使得 又 可得 即 18. 采用牛顿插值，作均差表： 又由得 所以 19. 记则 因为，所以在上一致连续。 当时，，此时有 由定义知当时，在上一致收敛于。 20. 在每个小区间上表示为 计算各值的C程序如下： #include"" #include"" float f(float x) { return(1/(1+x*x)); } float I(float x,float a,float b) { return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b)); } void main() { int i; float x[11],xc,xx; x[0]=-5; printf("x[0]=%f\n",x[0]); for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1; printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } for(i=0;i<10;i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]); printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1])); } for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx); printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx)); } } 21. 在每个小区间上为 22. 则在每个小区间上表示为 23. 则三次样条插值函数表达式为 i) 由，得 ， 关于的方程组为 24. i) 因为所以 右＝ ＝左。 ii) 由于为三次函数，故为常数，又，则 ，所以 。 第三章函数逼近与计算习题参考答案 1.(a) 区间变换公式为，代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为; (b) ，相应的麦克劳林级数分别为，部分和误差则为，，大于伯恩斯坦多项式的误差。 2.，故，当时，。 3.，对任意不超过6次的多项式，在时，若有，则在上至少有7个零点，这与不 超过6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多项式。 4.设所求为，，由47页定理4可知在上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分 别为的最大值和最小值处，故由可以解得即为所求。 5.原函数与零的偏差极大值点分别为，故，解方程可得出唯一解。 6.，故，得，，故所求最佳一次逼近多项式为，又因为两个偏差点必在区间端点， 故误差限为。 7.，故由可以解得，，则有，故所求最佳一次逼近多项式为。 8.切比雪夫多项式在上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数 倍，，解得唯一解。 9.作变换代入得，则在上的三次最佳逼近多项式为，作逆变换代入，则在上的 三次最佳逼近多项式为。 10.，，，，其中。 11.，故正交。 12.用的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为。 13.，则有，其中。由拉格朗日插值的余项表达公式可得出，令，则待证不等式 成立，得证。 14.由泰勒级数项数节约，在上有，即其中误差限为。 15.，取为的近似，误差限为，再对幂级数的项数进行节约就可以得到原函数的 3次逼近多项式，其误差限为，即为所求 16.当为上的奇函数时，设为原函数的最佳逼近多项式，则，对有，所以也是最 佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，，即是奇函数。同理可证，当为上的偶函数时，最佳逼近多项式也是偶函数。 17.，为使均方误差最小，则有，解得。 18.(a)，，c为常数，，，但当时，,不满足定义，所以不构成内积。（b），，，且当且 仅当时，满足定义，所以构成内积。 19.，，其中，则，由此可知用积分中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 20.，时最小。在时，值为，时，值为1，时，值为，时最小。 21.要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，误差为，要使最小，由拉格朗日乘子 法可解得，误差为，前者误差小。 22.上均为偶函数，也为偶函数，则最小，由拉格朗日乘子法可解得。 23.，和差化积得证。 24.由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知，，将原函数在此积分区间 上按勒让德多项式三次展开就可以求得，，代入可得，均方误差为。 25.，其中。 26.，，解方程得，均方误差。 27.经验公式为，最小二乘法解得，运动方程为。 28.经验公式为，最小二乘法解得，浓度与时间的函数关系为。 29. 30. 31.，，，，，，，，，。 第四章数值积分与数值微分习题参考答案1. 1) 公式可对均准确成立，即 解得，具有3次代数精度。 2) ，具有3次代数精度。 3) 或 具有2次代数精度。 4) ，具有3次代数精度。 2. 1) ＝ ＝ ＝ 2) 3) 4) 3. 柯特斯公式为 . 其中. 验证对于，均成立，但时不成立。 4. ＝ ， 所以。 5. 1) 此差值型求积公式的余项为 由于在上恒为正，故在上存在一点，使 所以有。 2) 3) 6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为 其中， 所以当时，，即两公式均收敛到积分，且分别为二阶和四阶收敛。 7. 设将积分区间分成n等分则应有 其中， 解得。 8. 首先算出，然后逐次应用3个加速公式 计算结果如下表 所以，积分。 9. ， ， 所以 ＝4×× ＝48728 （可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式 有 由于，用外推算法，令，则 ，， ， 即的近似值为。 11. 1) 计算结果如下表 即积分I＝。 2) ，令 三点高斯公式 五点高斯公式 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 数值分析 2?当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解： X 0 =1,x j = — 1,x 2 = 2, f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4; l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2) (x o -X/X o _x2) 2 (x -x0)(x -x2) 1 l i(x) 0 2(x-1)(x-2) (x i ~x0)(x i ~x2) 6 (x—x0)(x—x,) 1 l2(x) 0 1(x-1)(x 1) (X2 -X°)(X2 - X i) 3 则二次拉格朗日插值多项式为 2 L 2(X)= ' y k 1 k ( x) kz0 = -3l°(x) 4l2(x) 1 4 =(x_1)(x—2) 4 (x-1)(x 1) 2 3 5 2 3 7 x x - 6 2 3 6?设Xj, j =0,1,||(,n 为互异节点，求证： n (1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n); j=0 n (2 )7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n); j ￡ 证明 (1)令f(x)=x k n 若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。 j=0 f (n 十)(?) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X) n1(X) (n +1)! .f(n1)( ^0 R n(X)=O n 二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n); j ：o n ⑵、(X j -x)k l j(x) j卫 n n =為(' C?x j(—x)k_L)l j(x) j =0 i =0 n n i k i i =為C k( -x) (、X j l j(x)) i =0 j=0 又70 _i _n 由上题结论可知 n .原式二''C k(-x)k_L x' i=0 =(X -X)k =0 -得证。 7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证: max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x). 解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为 L i(x^ f(x o) x x f (xj X o —人x -X o X —X o x-b x-a ==f(a) f(b)- a - b x -a 又T f (a) = f (b)二0 L i(x) = 0 1 插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1 f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 例1、 已知函数表 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1） 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111()46S x x =+ 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0,1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近 多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n = 的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1 ? 。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，( )f x =()121,2,3k x k k =+=，()12 220,1,2,3k x k k + =+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x = 所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解： 设 则由A LU =的对应元素相等，有 1114u = ，1215u =，1316u =， 2111211433l u l =?=，3111311 22 l u l =?=， 2112222211460l u u u +=?=-，2113232311 545l u u u +=?=-， 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算） 解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算） 解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=， 已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算） 第一章 题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项： （1） （1） 3 ()432f x x x =-+ （2） （2） 4 3 ()2f x x x =- 解 （1）(4) ()0f x =， 由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=； （2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证 由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ： （1） （1） 用待定系数法； （2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解 （1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++， 代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-? 例1、已知函数表 求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。 解： （1）由题可知 插值基函数分别为 故所求二次拉格朗日插值多项式为 （2）一阶均差、二阶均差分别为 均差表为 故所求Newton 二次插值多项式为 例2、 设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的 最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、 设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平 方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有 所以，法方程为 解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为 例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解： （1）用4n =的复合梯形公式 由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有 （2）用4n =的复合辛普森公式 由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有 例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解：先消元 再回代，得到33x =，22x =，11x =数值分析课后题答案
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