(完整版)高一数学平面向量期末练习题及答案

平面向量

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）

A ．)0,0(=a ρ

)2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ

C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ

D ．)3,2(-=a ρ

)9,6(=b ρ

2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( )

A ．a b 21+

B ．a b 21- Ｃ．b a 21+ Ｄ．b a 2

1- 3、若向量a r 与b r 不共线，0a b ?≠r r ，且()a a b c a a b

?=-?r r r

r r r r ，则向量a r 与c r

的夹角为 （ ） A ．

π

2

B ．

π6

C ．

π3

D ．0

4、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，

)

()(-⊥+,则实数m 为

（ ）

A ．-2

B ．2 Ｃ．2

1

-

Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是

（ ）

A ．长方形

B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下

列

说

法

正

确

的

个

数

为

（ ）

（1）)()()(λλλ?=?=?； （2）||||||?=?； （3）?+?=?+)( （4）)()(??=??； （5）设,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，

,不共线，则)()(?-?与垂直。

A ．2 B. 3 C. 4 D. 5

7、在边长为1的等边三角形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ?+?+?

的值为 （ A ．

23 B ．2

3

- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量=（-1，1），且与+2方向相同，则?的范围是 （ ）

A ．（1，+∞）

B ．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，=（2cos α，2sin α），=（5cos β，5sin β），若?=-5，

则S △OAB = （ ） A ．3 B ．

2

3

Ｃ．35 Ｄ．235

10、若非零向量、满足||||b b a =-，则 （ ）

A. |2||2|->

B. |2||2|-<

C. |2||2|->

D. |2||2|-< 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、若向量)4,3(-=a ρ，则与a ρ

平行的单位向量为________________ ，

与a ρ

垂直的单位向量为______________________。

12、已知)3,2(=a ρ

，)4,3(-=b ρ，则)(b a ρρ-在)(b a ρρ+上的投影等于___________ 。

13、已知三点(1,2),(2,1),(2,2)A B C -， ,E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ?u u u r u u u r

＝

_____．

14．设向量a ρ与b ρ的夹角为θ，定义a ρ与b ρ

的“向量积”：

b a ?ρ是一个向量，它的模θsin ||||||??=?b a b a ρ

ρρρ.

若)3,1(),1,3(=--=b a ρρ，则=?||b a ρ

ρ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。 15．（本小题满分12分）

设向量OA =（3，1），OB =（-1，2），向量OB OC ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，

求。

16．（本小题满分12分）

已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---u u u r u u u r u u u r

．

（Ⅰ）若点,,A B C 能构成三角形，求,x y 满足的条件；

（Ⅱ）若ABC ?为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 17、（本小题满分14分）

已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos α,sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||=+（O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若BC AC ⊥，求tan α的值。

18、（本小题满分14分）

如图，O ，A ，B 三点不共线，OA OC 2=，

3=，设=，=。

（1）试用,表示向量；

（2）设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ， N ，

试证明L ，M ，N 三点共线。 19、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-， 又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2

A B n t C k t π

θθ≤≤

(1)若,AB a ⊥u u u r

且|||AB OA =u u u r u u u r

，求向量OB uuu r ；

(2)若向量AC uuu r 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC ?u u u r u u u v

20、（本小题满分14分）

已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x a x x b ==-r r ，且[0,]2

x π

∈，求：

（1）a b ?r r 及||a b +r r ；

（2）若()2||f x a b a b λ=?-+r r r r 的最小值为3

2

-，求实数λ的值。

平面向量测试题参考答案

一、选择题：（每小题5分） DBAAD BBCDA

二、填空题：（每小题5分） 11、)54,53(;

)54

,53(-- )5

3

,54(;)53,54(-- 12、5

2

6-

13、 3 14、 2

三、解答题：本大题共6小题，共80分。 15．解： 设=（x ,y ），

∵⊥，∴0=?，∴2y – x =0，①

又∵∥，=（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴OC =（14，7），则OD =OC -OA =（11，6）。

16、解：（Ⅰ） 若点,,A B C 能构成三角形，则这三点不共线，(3,1),AB =u u u r

Q

(2,1),AC x y =--u u u r

∴3(1)2y x -≠-，∴,x y 满足的条件为31y x -≠ （Ⅱ）(3,1),AB =u u u r Q (1,)BC x y =---u u u r

，

若B ∠为直角，则AB BC ⊥u u u r u u u r

， ∴3(1)0x y ---=，

又||||AB BC =u u u r u u u r ，∴22

(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，

解得03x y =??

=-?或2

3

x y =-??=?．

17、解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+，7||=+，

∴7sin )cos 2(2

2

=++αα，∴2

1cos =

α．

又),0(πα∈，∴3

π

α=

，即3

π

=

∠AOC ，

又2

π

=

∠AOB ，∴与的夹角为

6

π． ⑵)sin ,2(cos αα-=，)2sin ,(cos -=αα， 由⊥，∴0=?， 可得2

1sin cos =

+αα， ①

∴41)sin (cos 2

=

+αα，∴4

3cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2

(

ππ

α∈，

又由4

7

cos sin 21)sin (cos 2

=

-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－

2

7

，

②

由①、②得471cos -=α，47

1sin +=α，从而3

74tan +-=α．

18、解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴=x +(1-x )=2 x a ρ

+(1-x )，①

同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，OE =y a ρ

+3(1-y)b ，②

比较①，②得，?

??-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b a ρ

5354+。

（2）∵2+=

，103421OM +==，2

32)(21+=+=， 10126OM ON MN +=

-=，10

2OM OL ML +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。

19、解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=u u u r u u u r

Q

又222

|||,564(3)5OB AB n t t =∴?=-+=u u u u r u u u r Q ,得8t =± (24,8)OB ∴=u u u r 或(8,8)OB =--u u u r

(2)(sin 8,)AC k t θ=-u u u r

AC u u u r

Q 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+

232

sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k θθθθ=-+=--+Q

4,104k k ∴>∴>

>,∴当sin 4

k θ=时，sin t θ取最大值为32

k

由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ==u u u

r

(8,0)(4,8)32OA OC ∴?=?=u u u r u u u v

20、解：（1）33cos cos sin sin cos 22222

x x x x

a b x ?=-=r r

||a b +=r r

2|cos |x ===

又0cos ]2

,0[≥∴∈x x π

从而||2cos a b x +=r r

（2）2

()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλ=-=--

12)(cos 222---=λλx

由于[0,

]2

x π

∈ 故0cos 1x ≤≤

①当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与题设矛盾

②当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值2

21λ--，由

23122-=--λ及01λ≤≤得1

2

λ=

③当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由3

142

λ-=-

，得5

8

λ=

与1λ>矛盾 综上所述，1

2

λ=即为所求。