人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》课时作业

函数模型的应用实例

1．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝

?????

c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A ，

(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A

件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是

( )．

A ．75,25

B ．75,16

C ．60,25

D ．60,16

解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品所需时间为c

4

＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c

A

＝15，得A ＝16. 答案 D

2．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y 与价格x 之间的关系图最可能是下图中的

( )．

解析 销售收入不变，∴xy ＝c (定值)，∴y ＝c

x

. 答案 C

3．(2013·杭州高一检测)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt

.已知新丸经过50天后，体

积变为49a .若一个新丸体积变为8

27

a ，则需经过的天数为

( )．

A ．125

B ．100

C ．75

D ．50

解析 由已知，得49

a ＝a ·e －50k ，∴e －k

＝

.

设经过t 1天后，一个新丸体积变为8

27a ，则

8

27

a ＝a ·e －kt 1， ∴827

＝(e －k )t 1＝，

∴t 150＝3

2

，t 1＝75. 答案 C

所以S ＝(4＋x )? ?

?

??

3－x 2

＝－12(x 2－2x －24)＝252－12(x －1)2

(0＜x ＜6)．

故当x ＝1时，S 取得最大值252

. 答案 1

25

2

5．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ? ?

???

1－N 90中，t 表

示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)

解析 当N ＝40时，则t ＝－144lg ? ????1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72. 答案 36.72

6．图中一组函数图象，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：

情境A ：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；

情境B：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；

情境C：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把它排掉这段时间浴缸里水的高度；

情境D：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润；

其中情境A，B，C，D分别对应的图象是________．

解析对于A，加热时升温快，然后再变凉，易知为①；对于B，过时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；对于C，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图象有多重折线，因此显然为④，对于D，乘客人数越多，利润越大，显然是②.

答案①③④②

7．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下(单位：万美元)：

上交0.05x2万美元的特别关税．

(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之

间的函数关系式；

(2)分别求出投资生产这两种产品的最大利润；

(3)如何决定投资可获得最大年利润．

解(1)由题意，y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200，x∈N；

y2＝(18－8)x－50－0.05x2＝10x－50－0.05x2,0≤x≤120，x∈N.

(2)∵4≤a≤8，∴10－a＞0，

故y1＝(10－a)x－30,0≤x≤200是增函数．

所以x＝200时，y1有最大值1 970－200a.

y2＝10x－50－0.05x2＝－0.05(x－100)2＋450.

x∈[0,120]，且∈N，

∴当x＝100时，y2取最大值450.

∴投资生产这两种产品的最大利润分别为(1 970－200a)万美元和450万美元．

(3)令1 970－200a＝450，解得a＝7.6，因为函数f(a)＝1 970－200a是定义域上的减

函数，所以当4≤a≤7.6时，投资甲产品；当7.6＜a≤8时，投资乙产品；当a＝7.6时，投资甲产品、乙产品均可．

能力提升

8．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋x

b ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此

时每吨的价格为40元，则有

( )．

A ．a ＝45，b ＝－30

B ．a ＝30，b ＝－45

C ．a ＝－30，b ＝45

D ．a ＝－45，b ＝－30

解析 设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则 y ＝xQ －p ＝x ? ????a ＋x b －?

????1 000＋5x ＋110x 2

＝? ??

??1b －110x 2

＋(a －5)x －1 000(x ＞0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.

∴???

－a －5

2? ??

??1b －110＝150，a ＋150b ＝40，

解得?

??

??

a ＝45，

b ＝－30.

答案 A

9．(2013·衢州高一检测)如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2

)与时间t (月)的关系y ＝a t

，有以下几种说法： ①这个指数函数的底数为2；

②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2

； ③浮萍从4 m 2

蔓延到12 m 2

需要经过1.5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等． 其中正确的命题序号是________．

解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4， ∴a 2

＝4，故a ＝2，①正确．

当t ＝5时，y ＝25

＝32＞30，②正确， 当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，

当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23.

t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；

浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误． 答案 ①②

10．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )．点(t ，

P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数

据如下表所示：

(1)

t (天)所满足的函数关系式；

(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；

(3)用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？

解 (1)由图象知，前20天满足的是递增的直线方程，且过两点(0,2)、(20,6)，容易求得直线方程为：P ＝1

5

t ＋2；

从20天到30天满足递减的直线方程，且过两点(20,6)、(30,5)，求得方程为：

P ＝－110

t ＋8，

故P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式为： P ＝?????

15t ＋2，0≤t ≤20，t ∈N ，－1

10

t ＋8，20＜t ≤30，t ∈N.

(2)由图表，易知Q 与t 满足一次函数关系， 即Q ＝－t ＋40,0≤t ≤30，t ∈N. (3)由以上两问，可知

y ＝

?????

? ??

??15t ＋2 －t ＋40 ，0≤t ≤20，t ∈N ? ??

??

－110t ＋8 －t ＋40 ，20＜t ≤30，t ∈N

＝?????

－1

5 t －15 2＋125，0≤t ≤20，t ∈N ，110 t －60 2

－40，20＜t ≤30，t ∈N ，

当0≤t ≤20，t ＝15时，y max ＝125， 当20＜t ≤30，y 随t 的增大而减小，

∴在30天中的第15天，日交易额的最大值为125万元．