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直线与方程学案

12.直线与方程

要点归纳: 1. 直线斜率的概念:

(1).倾斜角: ,叫做直线的倾斜角,范围为 。

(2).斜率:①当直线的倾斜角不是900

时,则称 为该直线的斜率,即k= ;当直线的倾斜角等于900时,直线的斜率 。

(3)直线的方向向量:设F 1(x 1,y 1)、F 2(x 2,y 2)是直线上不同的两点,则向量21F F =( x 2- x 1,y 2- y 1)称为直线的方向向量。向量

21121

F F x x -=(1,1

212

x x y y --)=(1,k)也是该直线的方向向量,k 是直线的斜率。 (4)求直线斜率的方法:

①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90o,则斜率k= .

②公式法:已知直线过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则斜率k= . ③方向向量法:若=(m ,n)为直线的方向向量,则直线的斜率为k=

说明:每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。

2.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

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说明:使用直线方程时,要注意限制条件。直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于x 轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 3. 两条直线的位置关系:

(1)当直线方程为111:b x k y l +=、222:b x k y l +=时,若1l ∥2l ,则 ;若1l 、2l 重合,则 ;若1l ⊥2l ,则 。特别地,当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为 。当12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相 。

(2)当两直线方程为0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 、时,若1l ∥2l ,则 ;若1l 、2l 重合,则 ;若1l ⊥2l ,则 。 说明:利用斜率来判断两条直线的位置关系时,必须是在两直线斜率都存在的前提下才行,否则就会得出错误结论,而利用两条直线的一般式方程的系数来判断就不易出错。 4. 几种距离:

(1)两点间的距离:平面上的两点()111,P x y ,()222,P x y 间的距离:12PP = . 特别地,原点O (0,0)与任一点P (x,y )的距离:OP = .

(2)点到直线的距离:点P ()00,y x 到直线0=++C By Ax 的距离为:d = .

(3)两条平行线间的距离:两平行线0:0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 、间的距离为:d = . 5. 两直线的交点:

两直线的交点的个数取决于由两直线组成的方程组的解的个数。 典例解析

题型1:直线的倾斜角与斜率 ※相关链接※

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例1.图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ) A .k 1<k 2<k 3 B .k 3<k 1<k 2 C .k 3<k 2<k 1

D .k 1<k 3<k 2

变式1.直线的斜率为k ,倾斜角为α,若

34

4

π

π

α<<

,则k 的范围是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C 、[-1,1] D. (-∞,-1]∪[1,+∞) 例2.已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。

变式2. 若θ为三角形中最大内角,则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是( )

A.??? ?????? ??32,22,

ππ B.??? ?????? ??32223ππππ,, C.??? ?????? ??πππ,,330 D.??

?

?????? ??πππ,,3220 例3.已知两点A (-1,2)、B (m ,3)

(1)求直线AB 的斜率k ;

(2)已知实数m 13??∈-

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-????

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,求直线AB 的倾斜角α的取值范围.

变式3.若三点)3,2(A ,)2,3(-B ,),2

1(m C 共线,求m 的值.

题型2:直线方程及其应用 例4.求满足下列条件的直线的方程

(1)直线l 经过点(3,-1),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形. (2)过点)3,2(P ,且在两坐标轴上的截距互为相反数.

(3)直线l 过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5. (4)直线AB 过两点A (-1,2)、B (m ,3).

例5. 直线l 过点P(2,1),且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B 、O 为坐标原点. (1)当△AOB 的面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l 的方程.

例6.直线l 被两条直线l 1:4x +y +3=0和l 2:3x -5y -5=0截得的线段中点为P (-1,2).求直线l 的方程.

题型3:两直线的位置关系

例7.已知两条直线1l :x +m 2y +6=0, 2l :(m -2)x +3my +2m =0,当m 为何值时, 1l 与2l

(1) 相交;(2)平行;(3)重合?

例8.求满足下列条件的直线的方程

(1)过点(-1,3)且平行于直线x -2y +3=0的直线方程. (2)过点(-1,3)且垂直于直线x -2y +3=0的直线方程.

变式4

(1).已知过点A(-2,m )和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行,则m 的值为 . (2)若三条直线2380,x y ++=10x y --=和1

02

x ky k +++

=相交于一点,则k 的值等于 . (3)已知直线l 经过点P (3,1),且被两平行直线1l :x +y +1=0和2l :x +y +6=0截得的线段之长为5。直线l 的方程为 .

题型4:有关距离的问题 例9:已知点P (2,-1)。

(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程;

(2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?

(3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。