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数学模型作业

数学规划——证券投资问题的研究

姓名:左燕学号1204011100班级:12小教2班

【摘要】许多实际的优化问题的数学模型都是线性规划。线性规划的模型有以下几个特点:比例性、可加性、连续性。而线性规划的问题必然就会引入“决策变量、目标函数、约束条件”三个数学用语,用线性规划来解答经济管理类这一问题有其特殊的优越性,它可以根据一系列的限制来得到答案的最优解,因此本次研究的问题也将建立线性规划的模型来进行求解。

一、问题重现

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税,此外还有以下限制:

(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元;

(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4(信用等级数字越小,信用程度越高);(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。

表1证券信息

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益

/%

A市政29 4.3

B代办机构215 5.4

C政府14 5.0

D政府13 4.4

E市政52 4.5

问:(1)若该经理有1000万元资金,应该如何投资?

(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应该如何操作?(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?

二、问题分析

这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化,要做好决策应该是要用多

少钱购买多少不同的证券。此决策共受四个条件的限制:资金总额必购证券,信

用等级,到期年限。按照题目将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式

子表示出来得到如下模型。

三、模型假设

1、收集到的数据都具有真实性和代表性。

2、各项指标对证券投资的影响不是单一、片面的。

3、假设各类证券投资的金额为x万元

4、设总到期税后的收益为W万元

四、符号说明

A证券B证券C证券D证券E证券总到期税后

的收益

x1万元x2万元x3万元x4万元x5万元W万元五、模型建立与求解

问题(1)求解

模型建立

决策变量设用x1万元购买了A证券,用x2万元购买B证券,用x3万元购买

C证券,用x4万元购买D证券,用x5万元购买E证券

目标函数设总到期税后收益为W万元,则由给出收益率可算出

W=0.043*x1+0.054*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5

约束条件1、资金总额:所投资金额不超过1000万元,

即:x1+x2+x3+x4+x5≤10

2、必购证券政府及代办机构的证券总共至少购进400万元

即:x2+x3+x4≥4

3、信用等级:所购证券的平均信用等级都不超过1.4,

即:(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)≤1.4

4、到期年限:所购证券的平均到期年限不超过5年,

即:(9*x1+15*x2+4*x3+3*x4+2*x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)≤5

5、非负约束:x1≥0x2≥0x3≥0x4≥0x5≥0

所以为输入方便,将3、4化简可得到该问题的基本模型为:Max W=0.043*x1+0.054*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5(1) x1+x2+x3+x4+x5≤10(2)

x2+x3+x4≥4(3)

6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5≤10(4)

4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5≤10(5)

x1≥0x2≥0x3≥0x4≥0x5≥0(6)

模型求解

用LINGO软件求解

在LINGO软件中输入:

Model:

max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5; [money]x1+x2+x3+x4+x5<10;

[must]x2+x3+x4>4;

[credit]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<0;

[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<0;

end

以下是LINGO求解:

数学模型作业

(图1)

数学模型作业

(图2)

从上面的LINGO求解中得出结果,因此最优解

x1=2.182,x2=0,x3=7.364,x4=0.454,x5=0;最优值为Z=0.298;

即证券A投资2.182百万元,证券C投资7.364百万元,证券E投资0.454百万元,最大税后收益为0.298百万元。

问题(2)求解

由问题一输出结果中的影子价格(“效益”的增量可以看做“资源”的潜在价值,经济学上称为影子价格)可知资金没增加100万元,多获收益0.0298百万元。收差率为2.98%大于2.75%所以应进行投资,在上面约束条件的(2)右端约束改为小于11,用longo求解如下:

在LINGO软件中输入:

Model:

max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;

[money]x1+x2+x3+x4+x5<11;

[must]x2+x3+x4>4;

[credit]6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<0;

[time]4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<0;

end

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(图3)

数学模型作业

(图4)

由输出的结果可以看出,证券A的投资金额为2.4百万元,证券C的投资金额为8.1百万元,证券E的投资金额为0.5百万元,最大的收益为0.3282百万元。

问题(3)求解

对于这种目标函数的系数发生变化时,最优解是否会发生改变?可以采用LINGO中的range进行灵敏性分析;如图所示:

数学模型作业

(图5)

由上面LINGO输出的结果可知A的系数允许变化范围,A得税前收益可增加0.35%,所以当证券A的税前收益增加到4.5%,不应该改变投资方案。

由C的系数变化范围可知C的税前收益可减少0.112%,证券C最少可减少为4.88%,当C的税前收益减少为4.8%,应改变投资方案。

备注:本题是在已知各收益率及条件基础下建立线性规划模型,用LINGO软件求解出收益最大化时的投资方案,而且利用影子价格和敏感性分析,可根据条件对投资方案进行适当调整。

六、参考文献

[1]谢金星,薛毅.优化建模与LINGO\LINGO软件.北京:清华出版社,2005.

[2]陈叔平,谭永基.一类投资组合问题的建模与分析.数学的实践与认识,1999.

[3]赫孝良,戴永红,等.数学建模竞赛:赛题简析与论文点评.西安:西安交通大学出版社,2002.