专题六 反常积分审敛法
这里和无穷级数绝对收敛，条件收敛的关系是一致的。反常积分绝对收敛则本身必收敛。反常积分加绝对值不收敛，但本身收敛，称为条件收敛。
考研范围内，反常积分判敛无外乎三种方法：
1.不定积分存在的函数，可以先计算再判敛。
2.绝对收敛法。
3. 比较审敛法。
反常积分的审敛法
第11章 反常积分 §11. 1 反常积分的概念 一 基本内容 一、无穷限反常积分 定义 1 设函数()f x 在[, )a +∞上有定义，且在任意区间[, ]a u 上可积，如果 lim ()d u a u f x x →+∞? 存在，则称此极限为()f x 在[, )a +∞上的反常积分，亦称为()f x 在[,) a +∞上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作 ()d a f x x +∞ ?． ie ()d lim ()d u a a u f x x f x x +∞ →+∞=? ? :， 此时并称 ()d a f x x +∞ ?收敛．如果极限不存在，则称 ()d a f x x +∞ ?发散． 同理可定义 ()d lim ()d b b u u f x x f x x -∞ →-∞=?? ， ()d ()d ()d a a f x x f x x f x x +∞ +∞ -∞ -∞ =+??? ， 几何解释如图． ()d a f x x +∞ ? 收敛 是指图中阴影区域的 面积存在． 二、瑕积分 定义 2 设函数()f x 在(, ]a b 上有定义，且在点a 的任一右邻域内无界，而在 [, ](, ]u b a b ?上有界可积，如果 lim ()d b u u a f x x +→?存在，则称此极限为无界函数()f x 在上 (, ]a b 的反常积分，记作 ()d b a f x x ?， ie ()d lim ()d b b a u u a f x x f x x +→=??:，并称 ()d b a f x x ?收 敛，否则称其发散．其中a 称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b 为瑕点时， ()d lim ()d b u a a u b f x x f x x -→=? ?． 当()f x 的瑕点(, )c a b ∈，则定义 ()d ()d ()d b c b a a c f x x f x x f x x =+? ?? lim ()d lim ()d u b a u u c u c f x x f x x -+→→=+?? ． 若, a b 都是()f x 的瑕点，则定义 ()d ()d ()d b c b a a c f x x f x x f x x =+? ?? lim ()d lim ()d c u u c u a u b f x x f x x +-→→=+??． 二 习题解答
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛；
2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.
无穷限反常积分敛散性及审敛法则(教案)
无穷限反常积分敛散性及审敛法则 一、教学目标分析 在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。让学生反常积分在一些实际问题中的应运。 二、学情/学习者特征分析 学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。 三、学习内容分析 1.本节的作用和地位 通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。 2．本节主要内容 1. 无穷限反常积分的定义与计算方法 2. 无穷限反常积分的性质 3. 无穷限反常积分的比较审敛法则 4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析 教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。 4.课时要求：2课时 四、教学理念 学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。 五、教学策略 在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。
六.教学环境 网络环境下的多媒体教室与课堂互动。 七、教学过程 一、无穷限反常积分的定义 定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 J dx x f u a u =? +∞→)(lim 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作 dx x f J a ?+∞ =)(，并称 dx x f a ?+∞ )(收敛．如果极限J dx x f u a u =? +∞→)(lim 不存在，亦称 dx x f a ?+∞ )(发散． 类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f b u u b ? ?-∞→∞-= 对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义： ,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ???+∞ ∞ -∞-+∞ +=其中a 为任一实数， 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注： dx x f a ? +∞ )(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线 )(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ． 例1 讨论无穷积分.1) 10 2? +∞ +x dx ，.1)22 ?∞+∞-+x dx ，.)302 ?+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：? +∞ 1 ) 1p x dx ， ;)(ln )22?+∞p x x dx 二、无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ?+∞ a dx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数= )(u F ? u a dx x f )(在 +∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分 ? +∞a dx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要 G u u >21,，便有 ε<= -? ? ?2 1 2 1 )()()(u u u a u a dx x f dx x f dx x f ．
反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或时， 和的敛散性可以产生各种不同的的情况。 +∞∫ ∞ +a dx x )(?∫ ∞ +a dx x f )(解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当收敛时也收敛； ∫∞ +a dx x )(?∫∞ +a dx x f )(当发散时也发散。 ∫∞ +a dx x f )(∫∞ +a dx x )(?证 当收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， ∫∞+a dx x )(?0>?ε ，，a A ≥?00,A A A ≥′?： K dx x A A ε ?<∫′ )(。 于是 ≤ ∫′ A A dx x f )(ε?<∫′ A A dx x K )(， 所以也收敛； ∫∞ +a dx x f )(当发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， ∫∞ +a dx x f )(00>?ε，，a A ≥?00,A A A ≥′?： εK dx x f A A ≥∫′ )(。 于是 ≥∫′A A dx x )(?0)(1 ε≥∫′ A A dx x f K ， 所以也发散。 ∫∞+a dx x )(?（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当发散时，∫也发散；但当收敛时，∫可能收敛， ∫∞ +a dx x f )(∞+a dx x )(?∫∞+a dx x f )(∞+a dx x )(?