立体几何三大公理 的应用

一、共线问题

例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。

二、共面问题

例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点.

求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内

例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面.

例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD

CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.

(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示)

三、共点问题

例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

1、(1)证明：∵AA 1∩BB 1＝O,

∴AA 1、BB 1确定平面BAO ，

∵A 、A 1、B 、B 1都在平面ABO 内，

∴AB ?平面ABO ；A 1B 1?平面ABO.

同理可证，BC 和B 1C 1、AC 和A 1C 1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

2证明：如图，设AB ∩A 1B 1＝P ；

AC ∩A 1C 1＝R ；

∴ 面ABC ∩面A 1B 1C 1＝PR.

∵ BC ?面ABC ；B 1C 1?面A 1B 1C 1，

且 BC ∩B 1C 1＝Q ∴ Q ∈PR,

即 P 、R 、Q 在同一直线上.

3解析：∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点

∴过A 、B 、C 有一个平面β

又βα?=?AB P AB 且,

.,,l p l P ∈=?∴则设内内又在既在点βααβ .

,,,:三点共线同理可证R Q P l R l Q ∴∈∈ 4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明 ∵a ∥b,∴过a 、b 可以确定一个平面α.

∵A ∈a,a ?α，∴A ∈α,同理B ∈a.

又∵A ∈m ，B ∈m,∴m ?α.同理可证n ?α.

∵b ∥c,∴过b,c 可以确定平面β，同理可证m ?β.

∵平面α、β都经过相交直线b 、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面.

5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l 1∩l 2＝P ，

∴ l 1,l 2确定平面α.

又 l 1∩l 3＝A,l 2∩l 3＝C, ∴ C,A ∈α.

故 l 3?α.

同理 l 4?α.

∴ l 1,l 2,l 3,l 4共面.

图②中，l 1,l 2,l 3,l 4的位置关系，同理可证l 1,l 2,l 3,l 4共面.

所以结论成立.

6、证明 如图，连结MN 、NR ，则MN ∥l 1,NR ∥l 2，且M 、N 、R 不在同一直线上(否则，

根据三线平行公理，知l 1∥l 2与条件矛盾).∴ MN 、NR 可确定平面β，连结B 1C 2，取其中点S.连RS 、ST ，则RS ∥l 2，又RN ∥l 2，∴ N 、R 、S 三点共线.即有S ∈β，又ST ∥l 1，MN ∥l 1，∴MN ∥ST ，又S ∈β，∴ ST ?β.

∴ M 、N 、R 、T 四点共面.

7解析：(1)∵ MB AM ＝QD

AQ ＝k ∴ MQ ∥BD ，且MB AM AM +＝1

+k k ∴ BD

MQ ＝AB AM ＝1+k k ∴ MQ ＝

1+k k BD 又 NB CN ＝PD

CP ＝k ∴ PN ∥BD ，且

NB CN CN +＝1+k k ∴ BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1

+k k BD ∴ MQ ∥NP ，MQ ，NP 共面，从而M 、N 、P 、Q 四点共面. (2)∵ MA BM ＝k

1，NC BN ＝k 1 ∴ MA BM ＝NC BN ＝k 1,MA BM BM +＝1

1+k ∴ MN ∥AC ，又NP ∥BD.

∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角.

∵ MNPQ 是正方形，∴ ∠MNP ＝90°

∴ AC 与BD 所成的角为90°，

又AC ＝a ，BD ＝b ，AC MN ＝BA BM ＝1

1+k ∴ MN ＝1

1+k a 又 MQ ＝

11+k b,且MQ ＝MN ， 1+k k b ＝11+k a ，即k ＝b

a . 说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

已知：平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c . 求证：a 、b 、c 相交于同一点，或a ∥b ∥c .

证明：∵α∩β＝a ，β∩γ＝b

∴a 、b ?β

∴a 、b 相交或a ∥b .

(1)a 、b 相交时，不妨设a ∩b ＝P ，即P ∈a ，P ∈b

而a 、b ?β，a ?α

∴P ∈β，P ∈α，故P 为α和β的公共点

又∵α∩γ＝c

由公理2知P ∈c

∴a 、b 、c 都经过点P ，即a 、b 、c 三线共点.

(2)当a ∥b 时

∵α∩γ＝c 且a ?α，a ?γ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c两两平行.

由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有： 2、两个平面的位置关系有： 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4（平行公理）、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理： 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 2、两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理： 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ

立体几何综合应用

立体几何综合应用（教案） 一. 复习目标 1. 初步掌握“立几”中“探索性” “发散性”等命题的解法. 2．能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系.能对图形进行分解、组合和变形. 进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 二. 课前预习 1. 棱长为1的正方体容器ABCD－A1B1C1D1 , 在A1B、A1B1、 B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔. 若此容器可以 任意放置, 则装水最多的容积是 ( ) （小孔面积对容积的影响忽略不计） A. B. C. D. 2．如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A、B、C是展开图上的三点, 则正方体盒子中∠ABC的值为 ( ) A.180° B. 120° C.60° D. 45° 3．图中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD的点A作截面AB1C1D1而截得的, 且BB1＝DD1已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30° 的二面角, 则这个多面体的体积 ( ) A. B. C. D. 4．在四棱锥P－ABCD中, O为CD上的动点, 四边形ABCD满足条件时, V P－AOB恒为定值 ( 写上你认为正确的一个条件即可 ) 三. 典型例题 例1. 如图, 四棱锥S－ABC中,AB∥CD,CD⊥平面SAD, 且CD＝SA＝AD＝SD＝AB＝1. (1) 当H为SD中点时, 求证: AH∥平面SBC, 平面SBC⊥平面SCD; (2) 求点D到平面SBC的距离; (3) 求面SBC和面SAD所成的的二面角的大小. 备课说明：（1）本题的四棱锥是非常规放置的，要注意分辨图形.（2）可以用常规方法解决点面距离及二面角大小, 也可以用面积或体

立体几何公理、定理推论汇总

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l α βαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言： ////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）

第53讲 立体几何的综合应用

第53讲 立体几何的综合应用 1．(2016·新课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G . (1)证明：G 是AB 的中点； (2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD . 因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点． (2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影． 理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影． 连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心． 由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上， 故CD ＝23 CG . 由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13 PC . 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6， 可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2， 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43 . 2．(2017·新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，AB ＝BC ＝12AD, ∠BAD ＝∠ABC ＝90°. (1)证明：直线BC ∥平面P AD ； (2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积． (1)在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ?平面P AD ，

高中立体几何常用结论、定理

立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．

长方体模型在立体几何中的应用

长方体模型在立体几何中的应用 江苏省太仓高级中学 陆红力 立体几何中学生最易掌握的简单几何体是长方体和正方体，其简单的几何性质和直观的几何构造已为广大高中生所熟悉,在长方体中适当添加辅助线，不仅可以构建各种线线关系、线面关系、面面关系，还可以割出像三棱锥、四棱锥、直三棱柱、长方体等，所以在遇到某些点、线、面及空间角和距离的问题时,若能联想并巧妙合理地构造出相关的长方体并加以解决,则能使很多复杂的问题变得更易理解,从而起到事半功倍的效果。 一 构造长方体 判断位置关系 例1 在空间，下列命题正确的是 （1）如果直线a ,b 分别与直线l 平行，那么a //b . （2）如果直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a //β. （3）如果直线a 与平面β内的两条直线b ，c 都垂直，那么a ⊥β. （4）如果平面β内的一条直线a ⊥平面γ，那么β⊥γ. 说明：如图1，以长方形为模型，使得,,AD a BC b ==平面AC 为β，就可否定（2）；再使1,,,AB a AD b BC c ===就可否定（3）；所以正确为（1）、（4），因为（1）为平行线公理，（4）为面面垂直判定定理。 例2 已知 m ,l 是直线，α，β是平面，给出下列命题： （1） 若l 垂直α内的两条相交直线，则l α⊥. （2） 若//l α，则l 平行于α内的所有直线. （3） 若,,m l αβ??且,l m ⊥则αβ⊥. （4） 若,l β?且,l α⊥则αβ⊥. （5） 若,,m l αβ??且//αβ，则//m l . 其中正确的是 ，（请将正确命题的序号填上） 说明：如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，选1l AB =，平面1DC β=，但1AB 不平行1DD ，易否定（2）；选平面1AC α=，平面1,,,AC AB m AD l β===，否定（3）；选平面AC α=，平面1111,,,AC AB m B C l β===，否定（5） ；因为（1）（4）分别为线面垂直、面面垂直判定定理，所以选（1）（4）.

立体几何的综合应用.

立体几何的综合应用 一、 知识梳理： 线面平行的证法，线线角、线面角、二面角、点到平面的距离等的求法，用类比、转化、 归、构造等方法解题。 二、 训练反馈 1如图，以长方体 ABCD-A i B i CD 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 （注：只写出其中一个， A — ABC 等 2、在平面几何中有: 并在图中画出相应的四面体） Rt △ ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为 P — ABC 中，PA PB PC 两两互相垂直，且 2 一结论，在三棱锥 2 2 2 —ABC 的高为 h ,则结论为 _1/a +1/b +1/c = 1/ h 3、如图一，在△ ABC 中，AB 丄AC ADL BC, D 是垂足，则 AB 2 题：三棱锥 A — BCD （图二）中，ADL 平面 ABC AC L 平面 BCD S ABC S BCO S BCD ， 上述命题是 （A ） A.真命题 B.假命题 C ?增加“ ABL AC 的条件才是真命题 D.增加“三棱锥A — BCD 是正三棱锥” 丄 b 2 PA=a PB=b, PC=C 此三棱锥 P h ，则丄 a 丄。类比这 h 2 BD BC （射影定理）。类似有命 O 为垂足，且 0在厶BCD 内，贝U 的条件才是真命题 图 4、下列四个正方体图形中， AB// MNP 的图形的序号疋 D P 分别为其所在棱的中点，能得出 图一 A 、 B 为正方体的两个顶点， ①③（写出所有符合要求的图形序号） ① ② ③ ④ 5、如图，在正方体 ABCD-A i B i GD 中，EF 是异面直线 AC 与 A i D 的公垂线,

立体几何公理推论

立体几何 平面的基本性质及推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行线有且只有一个平面。 空间中直线与直线的位置关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线的传递性）。 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 空间中直线与平面之间的位置关系 (1)直线在平面内—有无数个公共点； (2)直线与平面相交—有且只有一个公共点； (3)直线与平面平行—没有公共点。 平面与平面之间的位置关系 (1)两个平面平行—没有公共点； (2)两个平面相交—有一条公共直线。 直线与平面平行的判定 定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 平面与平面平行的判定 定理一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 推论一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个面的两条相交直线，则这两个面平行。直线与平面平行的性质 定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。平面与平面平行的性质 定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 直线与平面垂直的判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 平面与平面垂直的判定 定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 直线与平面垂直的性质 定理垂直同一个平面的两条直线平行。

立体几何三大公理-的应用

一、共线问题 例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内； (2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR ∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l 1，l 2，l 3，l 4两两相交，且不共点. 求证：直线l 1，l 2，l 3，l 4在同一平面内 例6. 已知：A 1、B 1、C 1和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线l 1和l 2上的任意三点，M 、N 、R 、T 分别是A 1A 2、B 1A 2、B 1B 2、C 1C 2的中点.求证：M 、N 、R 、T 四点共面. 例7. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PD CP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面. (2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示) 三、共点问题 例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.

立体几何应用题

知识点详解 1. 正方体V:体积a:棱长 棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 一面的面积=六个面的面积÷6 S面积= S表÷6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 2. 长方体V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 长=体积÷宽÷高a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高b=V÷a÷h 高=体积÷长÷宽h=V÷a÷b 3. 圆柱体v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高高=侧面积÷底面周长底面周长=侧面积÷高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径高=体积÷高 4. 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 底面积=体积×3÷高高=体积×3÷底面积 例题详解 1.一个圆柱的底面半径是3厘米，高是2厘米，这个圆柱的表面积是多少平方厘米?体积是多少立方厘米? 2.将一张长12.56厘米，宽9.42厘米的长方形纸卷成一个圆柱体，圆柱体的体积是多少立方厘米？

3.把一根长是2米，底面直径是4分米的圆柱形木料锯成4段后，表面积增加了多少平方分米？ . 4.一个圆锥体的底面半径是6厘米，高是1分米，体积是多少立方厘米？ 5.一个圆柱的侧面展开得到一个长方形，长方形的长是9.42厘米，宽是3厘米，如果将它削成一个最大的圆锥体，应削去多少立方厘米？ 6.一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和体积都相等，圆柱的高8厘米，圆锥的高是多少厘米？ 7.一个长方体，棱长总和是200厘米，相交于一点的三条棱的长度和是多少厘米?

浅析立体几何在设计学中的应用

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/5b15039730.html, 浅析立体几何在设计学中的应用 作者：张莞清 来源：《数码设计》2018年第13期 摘要：设计学是一门理、工、文相结合，融机电工程、艺术学、人机工效学和计算机辅助设计于一体的科技与艺术相融合的新型交叉学科。而我们知道，要想学好设计学，必须要进行专业的设计培训。设计培训所融合的知识，其中有很大一部分就是立体结构的应用，而设计学中有很多都应用到了立体几何。本文就从立体几何在设计学的重要性，对立体几何在工业产品设计和建筑设计中的应用作出阐述。 关键词：立体几何;设计学 中图分类号：C633 文献标识码：A 文章编号：1672 - 9129（ 2018 ）13 - 0148 - 01 1 立体几何在设计学中的重要性 1.1立体几何为设计学奠定一定基础。设计学是离不开立体几何的，立体几何也是锻炼人的想象力的，我们作为这个世界的一个构件就必须服从这个社会的自然规律，我们学好了立体几何就可以解决一些设计学中的问题。设计学的门类比较多，所涉及的范围也比较广，但它们有一个特性，就是都有立体几何的元素存在。这就是它们共同的特点，这对于学习设计学来说也是一种方法，找到它们的一个特性，从而去研究它们，这样就能很好地去学习设计学。 1.2立体几何有助于培养空间思维。立体几何给人的第一印象就是其较强的空间感。对于学习设计学的人来说，具备较强的空间感对整个结构的设计十分有利。在空间结构这一方面，我们会发现，凡是建筑结构的形体都成三维空间性状，在荷载作用下具有三维受力的特性、呈立体工作状态。类似的情况还有很多，当在学习了适当的立体结构后，设计师的空间感会更强，在实际操作中他们就会迸发更多的想法与灵感。 2 立体几何在工业产品设计中的应用 2.1工业产品生产的要求。随着工业革命的发展，许多国家成了工业大国，也因为工业的发展带来了很大的经济作用。正是因为工业的发展，产品的增多，所以对于工业产品的需求量也增大了，而且对于产品也变得越来越多元化。我们在一些工厂中会看到有画设计图的，他们有的是根据工业产品的模样画出它从不同方向看到的图像，并把它们用相对应的比例画出来。而有的工作则是需要设计师自己去想象，去发挥自己的空间想象力，然后构造出工业产品的图

高中立体几何公理及推论及定理总汇表

高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直

三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2

微专题——立体几何中的应用题

微专题——立体几何中应用题 1.（2006江苏）（本小题满分14分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图 所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 2.（2011江苏）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P 3.（2016江苏）

4.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π 立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元． （1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2） 求该容器的建造费用最小时的r ． 5.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r 米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a 元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为θ（弧度），总费用为y （元）. （1）写出θ的取值范围； （2）将y 表示成θ的函数关系式； （3）当θ为何值时，总费用y 最小? 6

高中立体几何公理定理汇编

高中数学立体几何模块公理定理汇编 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． ?．（作用：证明直线在平面内） ∈，Bα ∈?lα ∈，B l A l ∈，且Aα 公理2过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（作用：确定平面） 推论①直线与直线外一点确定一个平面． ②两条相交直线确定一个平面． ③两条平行直线确定一个平面． 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ∈，且Pβ ∈．（作用：证明三点/多点共线） Pα ＝l，且P l ∈?αβ 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行．（平行线的传递性） 空间等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 线面平行判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 面面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 推论一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行． 线面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行． 面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行． 线面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面平行． 三垂线定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直． 逆定理如果平面内一条直线与平面的一条斜线垂直，则它和这条直线的射影垂直． 射影定理从平面外一点出发的所有斜线段中，若斜线段长度相等则射影相等，斜线段较长则射影较长，斜线段较短则射影较短． 面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 线面垂直性质定理1如果一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线． 线面垂直性质定理2垂直于同一个平面的两条直线平行． 面面垂直性质定理1两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 面面垂直性质定理2两个平面垂直，过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在该平面内．

立体几何三大公理应用超级全面

立体几何三大公理的应用 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一 条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平 面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平 面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 1.如图，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，P是B′D′的中 点，对角线A′C∩平面AB′D′=Q.求证：A，Q，P三 点共线．

2.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求 证： (1)E，F，D1，C四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 3.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1 交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．

4.如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求 证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点． 5.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点． (1)求证：E,F,B,D四点共面； (2)若AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P,Q,R 三点共线．

6.在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF= Q，如图． (1)若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线． (2)证明DE、BF、CC1三线共点． 7.如图，空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别在AB、 BC上，且CF FB =AE EB =1 3 ．

立体几何三大公理的应用

立体几何三大公理-的应用

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一、共线问题 例1.若^ AB C所在的平面和△ A i B i Ci所在平面相交，并且直线AA、BB、CC i相交于一点0,求证： (1) AB和A i B i、BC和B 1 C、AC和A i C i分别在同一平面内； (2 )如果AB和A i B i、BC和B i C 1、AC和A 1C分别相交，那么交点在同一直线上(如图). 例2. 点P、QR分别在三棱锥A -BCD的三条侧棱上,且PCT BC = X,QRQ CD=Z, P RT BD =Y.求证:X、Y、Z三点共线. 例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面a交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线。 a、b、C都相交,交点为A B、C、D、E、 F, B 二、共面问题 例4.直线m、n分别和平行直线

例7 .在空间四边形 ABCD 中, M> N 、P Q 分别是四边上的点，且满足 刎 = MB C N=AQ = CP = k. NB QD PD (1)求证：M N 、P 、Q 共面. 当对角线A C = a, B D=b ,且MNP Q 是正方形时,求AC 、ED 所成的角及 k 的值(用 表示) 共点问题 例8.三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行 例6. M 、N 、 已知A 、 R 、T 分别是A B 1、 1A 2C 和A 2、B 2、C 2分别是两条异面直线1 1和I 2上的任意三点， B A 2、B 1B 2、C C 2的中点.求证：M 、N 、RT 四点共面 . ⑵ a, b 例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内 已知:如图，直线I 1, I 2 ,l 3, l 4两两相交，且不共点.

立体几何公理定理推论汇总

立体几何公理定理推论 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ? ??? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（4） 符号语言：//(/,///),a b b b O a a ββαααβ??=? ? ???? 图形语言： 面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5） 符号语言： ,,//oo oo ααββ? ??? ⊥⊥ 图形语言： 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6） 符号语言：////a a b b αγβγαβ? ?=???=? 图形语言： 面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7） 符号语言：////a a βααβ? ???? 图形语言：

几何画板在立体几何教学的应用

《几何画板》在立体几何解题教学中的应用 数学教学中的数学活动，是为了帮助学生探索未知的事实和规律，它是为了说明思想概念，阐述道理方法，指导学生操作练习。许多数学问题情景，在传统的黑板和纸笔提供的教学环境中，教师只能讲一讲， 学生只能想一想。用多媒体辅助教学，就可以变抽象为具体就可以演示、操作了。《几何画板》作为一种适合中学教师使用的教学软件，是21世纪的动态几何。用《几何画板》绘制各种立体图形非常直观，可以解决学生从平面图形向立体图形，从二维空间向三维空间过渡的难题，因为它确实能把一个“活”的立体图形展现在学生面前。 在立体几何中，有些问题用直接法来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手，这时用构造法并利用几何体的特点和性质来帮助解题，可起到事半功倍的效果，引入多媒体技术后，利用《几何画板》辅助教学，可以丰富教学模式，实现过程教学，提高了生学习数学的兴趣。 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维。但有些问题按照这种思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以便找到一条绕过障碍的新途径。构造性思想及其方法就是这样的一种手段。构造法在立体几何中主要表现在辅助线、体的添加，这就是常说的分形与补形,并根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把复杂问题转化为简单问题。由于实际的三维图形,总是用二维图形来表示,这就造成了学生识图、画图、用图的困难。这就需要培养学生用运动的观点观察点、线、面的位置关系，使空间图形成为学生头脑中活的思维对象。《几何画板》为数学教学提供了一个很好的动态视觉的环境，能对图象进行各种变换、平移、旋转和动画等处理功能。从数学课堂教学的角度上看，其最大的优点是实现了动态教学，尤其对空间想象能力薄弱的中学生而言，在立体几何的教学中CAI 的优势得到了很好的体现和发挥。下面就此谈谈我在利用《几何画板》辅助立体几何解题教学时的一些体会,以求教于同行。 一、构造三棱锥 三棱锥是一个特殊的锥体，它的每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，每一个面都可以作为三棱锥的底面.利用它不但可以灵活地计算三棱锥的体积,而且还可以求点到平面的距离或异面直线间的距离. 例1：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线Ａ1Ｄ与AC 间的距离. (1) A 1 C 1 1 C

典型立体几何模型的应用

典型立体几何模型的应用 广东 张胜潮 内容摘要：立体几何在高考中是重点考查的题目，考查空间想象能力、看图、画图、理解图的能力。典型的立体几何模型是我们常见的模型，如果能引入到解题中，可以将一些复杂问题简单化，另外本文介绍了一些典型立体几何模型的一些性质。 关键词：立体几何，典型，应用，立体几何模型。 学习立体几何要有准确的空间想象能力，有看图、画图、理解图能力，同时具有必要的逻辑推理能力，运算能力.在复习立体几何的时候，往往一些典型的空间模型可以起到从特殊到一般的作用，故我们可以利用典型的空间模型复习立体几何。 典型的空间模型就是典型的空间环境，利用典型的空间模型可以很顺利地解决高考中大型的立体几何题. 立体几何的概念、法则、定理都是在一定的“几何环境”中形成的，我们把它叫做几何环境，典型的空间模型就是典型的几何环境，许多同学对典型的几何环境理解地不深，他们把它当做佷一般的一道题解，所以在高考出现了很多很多与典型空间模型相关的甚至很难的大型立体几何题的时候，他们也感觉到上不去手. 下面的例题在高考中学生做得并不顺利，其原因就是典型的空间模型认识不足，利用典型的空间模型、熟悉几何环境意识不够.以下分几部分进行阐述 一、长方体模型 1.长方体1111ABC D A B C D -中1B D 是长方体的对角线，它有几个结论： ①体对角线长是：1B D = ②体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则 2 2 2 cos cos cos 1αβγ++= a 1 B 1 A 1 C A

③考虑四面体11B C A D -是对棱长分别相等的四面体， 即111111,,A B D C BC D A D B A C === . 例1 某四面体异面对棱的棱长分别相等，分别是,,a b c ，求四面体的体积. 分析：做起来很简单，只要把这个四面体嵌入到棱长分别为,,x y z 的长方体中， 如图，由2222 22 222,,.a x y b y z c z x ?=+?=+??=+?把222,,x y z 看作三个元，解这个三元方程组得： 222 2222 2222 2,2 ,2.2a c b x a b c y b c a z ?+-= ?? +-?= ?? ?+-= ?? 这样,,x y z 都可以用这个四面体的对棱长来表达. 所以1463xyz V xyz xyz =-? == . 四面体中异面对棱长分别为,,a b c 的四面体的体积的算法——嵌入法.这种方法叫做嵌入法，“嵌入”的意思就是把不容易找到体积的空间图形放到能够嵌住的一个大的长方体，而那个大的长方体的体积是比较好求的.这就是长方体模型的一个利用. 例 2 如图，三棱锥 P A B -中， A P B B P C ∠= ∠ =∠=90 ，M 在△ABC 内， 60,4M P A M P B ∠=∠= ，求M P C ∠的度数. 分析：在三棱锥内部嵌入一个长方体，长方体的三个面与 三棱锥的三个面是吻合的，这样PM 是这个长方体的对角线. 根据22 2 c o s c o s c o s 1M P B M P C M P A ∠+∠+∠=，可 得2 1c o s 4 M P C ∠= ，从而60MPC ∠= .如果在图中随便连 x 1B 1 A 1 C A P C P C

2017立体几何公理、定理推论汇总(修订)

立体几何公理、定理推论汇总 、公理及其推论 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：AI,BI,A , B l 作用：① 用来验证直线在平面内；②用来说明平面是无限延展的。 公理21如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P P| P| I且P I 作用：①用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：A, B,C不共线A, B,C确定一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a 有且只有一个平面，使A a, a 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P 有且只有一个平面，使a ，b 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：a//b 有且只有一个平面，使a ，b 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 |平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 a // b 符号语言： a // c 图形语言: c // b 作用：用来证明线线平行。 公理4平行于冋一条直线的两条直线平行（平行公理）。(1) a a // b c//b b 符号语言： a // c图形语言： c 、平行关系

线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2） a 符号语言：b a // a // b 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ?（ 4） （3） 符号语言: a// a//b 图形语言: 图形语言: (a ,b ),ap|b O 符号语言: a// // b 〃 图形语言: 面面平行的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 (5) 符号语言: oo // oo 图形语言: 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 // n a a // b b 图形语言: 面面平行的性质1如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。 符号语言: // a a// 图形语言: 符号语言: (6) (7)