高等数学1试卷(附答案)
一、填空题(共6小题，每小题３分,共１8分)
1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是
π
。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x
=
-
。
3． 函数2
sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2
44
1()3
x x o x -+。
4．
1
1
dx =?
。
5． 函数x x y cos 2+=在区间??
?
???20π，上的最大值为
6
π
+。
6． 222222lim 12n n
n n n n n n →∞??
+++
?+++?
?
＝
4
π。
二、选择题（共7小题,每小题3分,共21分）
１. 设21cos sin ,0
()1,0x x x f x x x x ?
+
?+≥?
，则0x =是()f x 的 D 。 A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 Ｃ.振荡间断点 D ．连续点
2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 Ｂ 。
A ．是等价无穷小与x x f )(
B ．同阶但非等价无穷小与x x f )( C.高阶的无穷小是比x x f )( D ．低阶的无穷小是比x x f )(
3.
1
+∞=?
C 。
A ．不存在 Ｂ.0 C ．2π D ．π
4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=，0
lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。
Ａ.(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 Ｃ.(0)f 不是()f x 的极值 D.(0)f 是()f x 的最小值
5.曲线2x
y d t π-=?的全长为 D 。
A ．1
B ．2 C.3 Ｄ．４
6． 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线32
y ax bx =+的拐点？
Ａ 。 A.32a =-
,92b = B. 32a =，92b =- Ｃ.32a =-
，92b =- D. 32a =，92
b = 7. 曲线2x
y x -=?的凸区间为 D 。
A.2(,)ln 2-∞- B ．2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2
-∞
三、计算题(共７小题，其中第1~５题每小题６分,
第６～7题每小题８分,共４6分）
1. 2
1lim cos x x x →∞?? ??
? 解：()2
1
cos lim ,
1
t t t x
t →==原式令
)0
0(
cos ln lim
2
型t
t t e →= (3
分）
t
t t t e cos 2sin lim
?-→=
12
e
-
=
(6分)
2. 222,arctan )1ln()(dx y
d t
t y t x x y y 求确定所由参数方程设函数??
?-=+==。 解:
)]
1[ln()
arctan (2t d t t d dx dy +-=2
21211
1t t t ++-
=2t =, (3分) 22dx y d dx dx dy d ??? ??=dt dx dt t d 1)2(?=212121t t +?=t
t 412+=． (6分)
3. 2
(1)
x
x xe dx e +?． 解:
=
原式1
(
)1
x
x d e -+? （2分)
=111x x x dx e e -+++? ＝11()11
x x x x x de e e e -+-++?
=
ln 11
x x x x e C e e -++++ (6分）
4.
求
40
?
解：
(0)t t =≥，则2
2x t dx tdt ==， (2
分）
2
4222
0000
2
2
1
222(1)
111
2[ln1]2ln3
2
t t
tdt dt t dt
t t t
t
t t
===-+
+++
=-++=
????
（6分)
5. 设曲线()n
f x x
=在（1, 1) 处的切线与x轴的交点为(,0)
n
x，求n
n
n
x)
(
lim
∞
→
。
解:1
1
(1)n
x
f nx n
-
=
'==，所以()
f x在点(１,１)处的切线方程为:
(1)1
y n x
=-+…….．(*)
(2)
分
由题意知切线(＊)与x轴的交点为(,0)
n
x,
即
n
x
x
n
n
n
1
1
1
)1
(
0-
=
?
+
-
=
(5)
分
从而可得:
n
n
n
n
n n
x)
1
1(
lim
)
(
lim-
=
∞
→
∞
→
＝1
-
e．(6)
分
6. 设连续函数)
(x
f满足x
x
f
x
f2
sin
)
(
)
(=
-
+,求积分2
2
2
()sin
I f x x dx
π
π
-
=?．解:方程两端同乘2
sin x并从
2
π
-积分到
2
π
,得：
22
22
22
2
22
44
4
()sin()sin
sin2sin2(*)
f x xdx f x xdx
xdx xdx I
ππ
ππ
ππ
π
--
-
+-
===
??
??)3(分
2
2
2
()sin
f x xdx t x
π
π
-
-=-
?又令
22
22
22
()sin()()()sin
f t t dt f t tdt
ππ
ππ
-
-
--=
??(5分)
由(*)得：2
2
2
41
()sin 22I f x xdx I ππ-==??
13122422π=????316
π=． (8)分
7． 设
()f x 连续，1
()()F x f t x dt =
?
，且0()
lim x f x A x
→=(A 为常数),
求
()
dF x x 。
解：由A x
x f x =→)
(lim
0 知：(0)0f =。
u t x =令,?
?
?→→x u t 0:1
0:则，x du dt xdt du =?= ?
??=x x
du u f dt tx f x F 0
1
)()()(于是)0()(1
≠=
?
x du u f x x
可见：?????=≠=?0,
00
,)(1)(0x x du u f x x F x
(4)分
时当0≠x ，2
2
)()()(1
)(1)(x du
u f x xf x f x
du u f x x F x
x ??
-=+
-
='; )6(分
时当0=x ，0()(0)(0)lim x F x F F x
?→?-'=?
20
01()0lim ()lim
()()1lim ,22
x x x x x f u du x
x
f u du
x f x A x ??→??→?→-?=?=??==??
?
所
以:
02()(),0(),02
x xf x f u du
x x F x A
x ?-?≠?'=?
?=???．
)8(分
四、应用题(共1小题，每小题9分，共9分）