2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.2 空间几何体的表
面积与体积教师用书文新人教版
1.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与底面面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
【知识拓展】
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=3a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2+b2+c2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √)
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ×)
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( ×)
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √)
(5)长方体既有外接球又有内切球.( ×)
(6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( ×)
1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )
A.1 cm B.2 cm
C.3 cm D.3
2
cm
答案 B
解析S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,
∴r2=4,∴r=2 cm.
2.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A .3π
B .4π
C .2π+4
D .3π+4
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱,底面半径为1,高为2,则表面积为
S =2×1
2π×12+12
×2π×1×2+2×2
=π+2π+4=3π+4.
3.(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( ) A .12π B.323π C .8π D .4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线23即为球的直径,所以球的表面积为4πR 2
=(2R )2
π=12π,故选A.
4.《九章算术》商功章有题:一圆柱形谷仓,高1丈3尺313寸,容纳米2 000斛(1丈=10
尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( ) A .1丈3尺 B .5丈4尺 C .9丈2尺 D .48丈6尺
答案 B
解析 设圆柱底面半径为r 尺,高为h 尺,依题意,圆柱体积为V =πr 2
h =2 000×1.62≈3×r 2
×13.33,所以r 2
≈81,即r ≈9,所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺=5丈4尺,即圆柱底面圆周长约为5丈4尺,故选B.
5.如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为1,P 为侧棱B 1B 上的一点,则四棱锥P -ACC 1A 1的体积为______.
答案 23
解析 设点P 到平面ABC ,平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1,h 2,则棱柱的高为h =h 1+h 2,又记S =S △ABC =111A B C S ,则三棱柱的体积为V =Sh =1.而从三棱柱中去掉四棱锥P -ACC 1A 1的剩余体
积为V ′=V P -ABC +111P A B C V -=13Sh 1+13Sh 2=13S (h 1+h 2)=13,从而11P ACC A V -=V -V ′=1-13=2
3
.
题型一 求空间几何体的表面积
例1 (1)(2017·淮北月考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
A .21+ 3
B .18+ 3
C .21
D .18
(2)一个六棱锥的体积为23,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________. 答案 (1)A (2)12
解析 (1)由几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图所示,因此该几何体的表面积为 6×(4-12)+2×34
×(2)2
=21+ 3.故选A.
(2)设正六棱锥的高为h ,侧面的斜高为h ′. 由题意,得13×6×1
2×2×3×h =23,
∴h =1,
∴斜高h ′=12
+ 3 2
=2, ∴S 侧=6×1
2
×2×2=12.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位
置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为
________.
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S =S 长方体表-2S 半圆柱底-S 圆柱
轴截面
+S 半圆柱侧=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12
-2×1+12
×2π×1=26.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.13+2
3π B.13+23π C.13+2
6π D .1+
26
π 答案 C
解析 由三视图知,半球的半径R =
2
2
,四棱锥为正四棱锥,它的底面边长为1,高为1,∴V =13×1×1×1+12×43π×? ????223=1
3+26π,故选C.
命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2016·江苏改编)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1,下部的形状是正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍.若AB =6 m ,PO 1=2 m ,则仓库的容积为________m 3
.
答案 312
解析 由PO 1=2 m ,知O 1O =4PO 1=8 m .因为A 1B 1=AB =6 m ,所以正四棱锥P -A 1B 1C 1D 1的体积
V 锥=1
3·A 1B 21·PO 1=13
×62×2=24(m 3
);
正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积
V 柱=AB 2·O 1O =62×8=288(m 3).
所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3
). 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的
正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
(2)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 的中点,则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )
A .3 B.32 C .1 D.3
2
答案 (1)
3
3
(2)C 解析 (1)由题意可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h =1,则体积V =13Sh =13×(12×23×1)×1=33
.
(2)在正△ABC 中,D 为BC 的中点,则有AD =
3
2
AB =3,
11DB C S ?=1
2×2×3= 3.
又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC , 平面BB 1C 1C ∩平面ABC =BC ,
AD ⊥BC ,AD ?平面ABC ,
∴AD ⊥平面BB 1C 1C ,
即AD 为三棱锥A -B 1DC 1底面上的高.
∴11A B DC V -三棱锥=1311DB C S ?·AD =1
3×3×3=1.
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB =3,AC =4,AB ⊥AC ,
AA 1=12,则球O 的半径为( )
A.3172
B .210 C.132 D .310
答案 C
解析 如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,
则垂足为BC 的中点M . 又AM =12BC =5
2
,
OM =12AA 1=6,所以球O 的半径R =OA =
52 2+62
=132
. 引申探究
1.已知棱长为4的正方体,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?
解 由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R ,内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4,故其体对角线长为43, 从而V 外接球=43πR 3=43
π×(23)3
=323π,
V 内切球=43πr 3=43π×23=
32π
3
. 2.已知棱长为a 的正四面体,则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少?
解 正四面体的表面积为S 1=4·
34·a 2=3a 2
,其内切球半径r 为正四面体高的14
,即r =14·63a =612a ,因此内切球表面积为S 2=4πr 2
=πa 2
6,则S 1S 2=3a 2
πa 26=63π
. 3.已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥,则其外接球的半径是多少? 解 依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为3
2×2=6,高为
32 2- 12
×6 2
=3,
因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)若球面上四点P ,A ,B ,C 构成的三条线段PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA =a ,PB =b ,
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1.如图正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点, P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点, (1)求证:D 、B 、F 、E 四点共面; (2)若A 1C 与面DBFE 交于点R ,求证:P 、Q 、R 三点共线 2.已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β. 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系. ①求EF 和点G 的坐标; ②求异面直线EF 与AD 所成的角; ③求点C 到截面AEFG 的距离. 4. 如图,三棱锥P —ABC 中, PC ⊥平面ABC ,PC=AC=2,AB=BC ,D 是PB 上一点,且CD 平面PAB . (I) 求证:AB ⊥平面PCB ; (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小; (III )求二面角C-PA-B 的余弦值. 5. 如图,直二面角D —AB —E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,AE=EB ,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ; (2)求二面角B —AC —E 的余弦值. 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2,点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A
(Ⅰ)若P 为AC 的中点,M 为BB 1的中点,求证BP//平面AMC 1; (Ⅱ)若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο,试求BM 的长. 7. 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,PA =AB =1,BC =2. (1)求证:平面PDC ⊥平面PAD ; (2)若E 是PD 的中点,求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值; 8. 已知:在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB = a ,AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1; (Ⅱ)求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值. 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,且60DAB ∠=,1AD AA =F 为 棱1BB 的中点,M 为线段1AC 的中点. (Ⅰ)求证:直线MF //平面ABCD ; (Ⅱ)求证:直线MF ⊥平面11ACC A ; (Ⅲ)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体,P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点,满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E