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排列与排列数公式

排列与排列数公式
排列与排列数公式

1.2排列与组合

1.2.1排列

第1课时排列与排列数公式

1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.(重点)

2.理解排列数公式,能利用排列数进行计算和化简.(难点)

[基础·初探]

教材整理1排列的概念

阅读教材P14~P16第二个思考下面第一自然段,完成下列问题.

1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.()

(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题.()

(3)有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案属于排列问题.()

(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问

题.()

(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个点属于排列问题.()

【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺序相同.

(2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法,每种选法与“顺序”有关,属于排列问题.

(3)×因为分组之后,各组与顺序无关,故不属于排列问题.

(4)√因为任取的两个数进行指数运算,底数不同、指数不同结果不同.结果与顺序有关,故属于排列问题.

(5)√因为纵、横坐标不同,表示不同的点,故属于排列问题.

【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√

教材整理2排列数与排列数公式

阅读教材P16第二个思考下面第二自然段~P18例2,完成下列问题.

1.A24=________,A33=________.

【解析】A24=4×3=12;A33=3×2×1=6.

【答案】12 6

2.A34

5!

=________.

【解析】A34

5!

4×3×2

5×4×3×2×1

1

5.

【答案】1 5

3.由1,2,3这三个数字组成的三位数分别是________.

【导学号:29472010】【解析】用树形图表示为

由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321,共6个.

【答案】123,132,213,231,312,321

4.如果A m n=17×16×…×5×4,则n=________,m=________.

【解析】易知n=17.又4=n-m+1=17-m+1=18-m,所以m=14.

【答案】1714

[小组合作型]

排列的概念

判断下列问题是否为排列问题.

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);

(2)选2个小组分别去植树和种菜;

(3)选2个小组去种菜;

(4)选10人组成一个学习小组;

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;

(6)某班40名学生在假期相互通信.

【精彩点拨】判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时,是否与顺序有关.若与顺序有关,就是排列问题,否则就不是排列问题.

人教A版高中数学选修2-3同步练习-第一章排列与排列数公式

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素:①相加可得多少 个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1中的a ,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程?④作为双曲线x 2 a 2-y 2 b 2=1中的a ,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程? 上面四个问题属于排列问题的是( ) A .①②③④ B .②④ C .②③ D .①④ 解析:因为加法满足交换律,所以①不是排列问题;除法不满足 交换律,如53≠35 ,所以②是排列问题. 若方程x 2a 2+y 2 b 2=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则必有a >b ,a ,b 的大小一定;在双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1中不管a >b 还是a

是排列问题. 答案:B 2.甲、乙、丙三人排成一排去照相,甲不站在排头的所有排列种数为() A.6 B.4 C.8 D.10 解析:先排甲,有2种方法,排乙,丙共有A22种方法, 所以由分步乘法原理,不同的排列为2A22=4(种). 答案:B 3.已知A2n+1-A2n=10,则n的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 解析:因为A2n -A2n=10,则(n+1)n-n(n-1)=10, +1 整理得2n=10,所以n=5. 答案:B 4.若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,则选派方案有() A.180种B.360种 C.15种D.30种 解析:由排列定义知选派方案有A46=6×5×4×3=360(种). 答案:B 5.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有() A.24个B.30个C.40个D.60个 解析:将符合条件的偶数分为两类:一类是2作个位数,共有A24个,另一类是4作个位数,也有A24个.因此符合条件的偶数共有A24+A24=24(个).

人教版高中数学选修2-3课时训练排列与排列数公式

课堂练习(三) 排列与排列数公式 (建议用时:60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1.下列问题属于排列问题的是( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地; ②从10个人中选2人去扫地; ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队; ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b 中的底数与真数. A .①④ B .①② C .④ D .①③④ A [根据排列的概念知①④是排列问题.] 2.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( ) A .6个 B .10个 C .12个 D .16个 C [符合题意的商有A 2 4=4×3=12.] 3.已知A 2 n =132,则n 等于( ) A .11 B .12 C .13 D .14 B [∵A 2 n =n (n -1),∴由n (n -1)=132可知n =12.] 4.计算A 67-A 5 6 A 45 =( ) A .12 B .24 C .30 D .36 D [A 67=7×6A 45,A 56=6A 4 5,所以A 67-A 5 6A 45=36A 4 5 A 45 =36.] 5.给出下列4个等式: ①n !=(n +1)!n +1;②A m n =n A m -1n -1;③A m n =n ! (n -m )!; ④A m -1 n -1=(n -1)! (m -n )!. 其中正确的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 C [由排列数公式逐一验证,①②③成立,④不成立.故选C.]

二、填空题 6.集合P ={x |x =A m 4,m ∈N *},则集合P 中共有______个元素. 3 [因为m ∈N *,且m ≤4,所以P 中的元素为A 14=4,A 24=12,A 34=A 44=24,即集合P 中有3个元素.] 7.如果A m n =15×14×13×12×11×10,那么n =________,m =________. 15 6 [15×14×13×12×11×10=A 615,故n =15,m =6.] 8.现有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法.(用数字作答) 1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.所以不同的种法共有A 48=8×7×6×5=1 680(种).] 三、解答题 9.从a ,b ,c ,d ,e 五个元素中每次取出三个元素,可组成多少个以b 为首的不同排列,试列出所有不同的排法. [解] 画出树形图如下: 可知共12个,它们分别是bac ,bad ,bae ,bca ,bcd ,bce ,bda ,bdc ,bde ,bea ,bec ,bed . 10.解方程:A 42x +1=140A 3x . [解] 根据排列数的定义,x 应满足????? 2x +1≥4,x ≥3,x ∈N *, 解得x ≥3,x ∈N * . 根据排列数公式,原方程化为(2x +1)·2x ·(2x -1)·(2x -2)=140x ·(x -1)·(x - 2). 因为x ≥3,于是得(2x +1)(2x -1)=35(x -2), 即4x 2-35x +69=0, 解得x =3或x =234(舍去).

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关,组合与顺序无关.如231与213是两个排列,2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合. (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法. (2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.这里要注意区分两个原理,要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理. 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来. (二)排列和排列数 (1)排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从排列的意义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序必须完全相同,这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法. (2)排列数公式:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m=n时,为全排列Pnn=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n! (三)组合和组合数 (1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 从组合的定义知,如果两个组合中的元素完全相同,不管元素的顺序如何,都是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

排列&组合计算公式及经典例题汇总

排列组合公式/排列组合计算公式 排列A------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A(n,m)表示. A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=A(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Anm(n为下标,m为上标)) Anm=n×(n-1)....(n-m+1);Anm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Ann(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;An1(n为下标1为上标)=n

排列数、组合数公式与二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=!! )(m n n -.(n ,m ∈N*,且m n ≤). 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=!!!)(m n m n -?(n ∈N*,m N ∈,且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?! . 6、二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】: 1.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。

排列与排列数公式

1.2排列与组合 1.2.1排列 第1课时排列与排列数公式 1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.(重点) 2.理解排列数公式,能利用排列数进行计算和化简.(难点) [基础·初探] 教材整理1排列的概念 阅读教材P14~P16第二个思考下面第一自然段,完成下列问题. 1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列.() (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛,共有多少种选法属于排列问题.() (3)有十二名学生参加植树活动,要求三人一组,共有多少种分组方案属于排列问题.() (4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算,可以得到多少个幂属于排列问

题.() (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标,可以得到多少个点属于排列问题.() 【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同,而且元素的排列顺序相同. (2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法,每种选法与“顺序”有关,属于排列问题. (3)×因为分组之后,各组与顺序无关,故不属于排列问题. (4)√因为任取的两个数进行指数运算,底数不同、指数不同结果不同.结果与顺序有关,故属于排列问题. (5)√因为纵、横坐标不同,表示不同的点,故属于排列问题. 【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ 教材整理2排列数与排列数公式 阅读教材P16第二个思考下面第二自然段~P18例2,完成下列问题. 1.A24=________,A33=________. 【解析】A24=4×3=12;A33=3×2×1=6. 【答案】12 6 2.A34 5! =________. 【解析】A34 5! = 4×3×2 5×4×3×2×1 = 1 5.

高考数学公式:排列组合公式

高考数学公式:排列组合公式1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m).

排列(Pnm(n为下标,m为上标)) 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:

排列组合和排列组合计算公式

排列组合和排列组合计算公式 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P--_-和顺序有关 组合C一不牵涉到顺序的问题. 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列” 把5本书分给3个人,有几种分法 ”组合” 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n, m)表示. . p (n, m)=n(n-1) (n2) ..... (n-m+1)= n!/(n-m)!规定0!=1). 2.组合及计算公式. 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成-一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号

c(n,m)表示. c (n, m)=p (n, m)/m!=n!/((n- m)!*m!} c(n,m)=c(n, n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n, r)/r=n!/r (n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1, n2.... nk 这n个元 素的全排列数为n!/ (n1 !*n2!*. .. *nk!).k类元素,每类 的个数无限从中取出m个元素的组合数为c (m+k-1, m). 排列(Pnm(n为下标, m为上标)) Pnm=nX (n-1) .... (n-m+1) ; Pnm=n! / (n-m) ! (注: !是 阶乘符号) ; Pnn (两个n分别为上标和下标) =n! ; 0! =1;Pn1 (n 为下标1为上标) =n组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm; Cnm=n! /m! (n-m) ! ; Cnn (两个n分别为上 标和下标) =1 ; Cn1 (n 为下标1为上标) =n; Cnm=Cnn-m 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘,如 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n* (n-1)*(n-2).. (n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为

排列组合计算公式

. 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m .

排列组合排列组计算公式

排列组合排列组计算公式

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:

排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

排列组合公式大全排列组合公式大全排列组合公式大全

排列组合公式 (1)掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 (2)理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式,并能用它们解决一些简单的问题。 重点:两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点:不重不漏。 知识要点及典型例题分析: 1.加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念,推导排列数及组合数公式,分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据;完成一件事共有多少种不同方法,这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1.书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书。 (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目的书两本,有多少种不同的取法。 解:(1)由于从书架上任取一本书,就可以完成这件事,故应分类,由于有3种书,则分为3类然后依据加法原理,得到的取法种数是:3+5+6=14种。 (2)由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本,需要分成3个步骤完成,据乘法原理,得到不同的取法种数是:3×5×6=90(种)。 (3)由于从书架上任取不同科目的书两本,可以有3类情况(数语各1本,数英各1本,语英各1本)而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是:3×5+3×6+5×

6=63(种)。 例2.已知两个集合A={1,2,3},B={a,b,c,d,e},从A到B建立映射,问可建立多少个不同的映射? 分析:首先应明确本题中的“这件事是指映射,何谓映射?即对A中的每一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素,则必须将这3个元素都在B中找到家,这件事才完成。因此,应分3个步骤,当这三个步骤全进行完,一个映射就被建立了,据乘法原理,共可建立不同的映射数目为:5×5×5=125(种)。 2.排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式,一是连乘积的形式,这种形式主要用于计算;二是阶乘的形式,这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3.求证:Anm+mAnm-1=An+1m 证明:左边= ∴等式成立。 评述:这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质:n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。 例4.解方程. 解:原方程可化为: 解得x=3。 评述:解由排列数与组合数形式给出的方程时,在脱掉排列数与组合数的符

排列组合计算公式

排列组合计算公式 2008-07-08 13:30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数? A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积) Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”? A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算. 例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种? 解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴ 符合题意的不同排法共有9种. 点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? 分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析. (1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次). (2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. (3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积. (4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. 例4证明. 证明左式 右式.

人教版高中数学《排列与排列数公式》全国一等奖教学设计

《排列与排列数公式》(第1课时)教学设计 一.教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课,排列是一类特殊而重要的计数问题,教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务,通过具体实例概括而得出排列的概念,应用分步计数原理得出排列数公式,对于排列,有两个想法贯穿始终,一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法,就像乘法作为加法的简便运算一样;二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位,理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提,对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用,同时,排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律,本节课只是对排列和排列数公式的初步认识,在后面知识的学习过程中,逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式,教学难点是排列的概念,排列的概念有一定的抽象性,本节课结合教科书的编排,采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程,通过引导学生分析三个典型事例,从中归纳出共同特征,再进一步概括出本质特征,得出排列的定义,再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解,并多次强调一个排列的特点,n个不同的元素,取出m个元素,元素的顺序,奠定学生对排列定义的理解基础,为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数,为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫,排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点,让学生直观感受学习排列的必要。 二.教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念,并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题;能利用分步计数原理推导排列数公式,能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断,能够分析原因,能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中,通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力,以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力,体会排列知识在实际生活中的应用,增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析,得出一般的规律,通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三.学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验,对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱,排列概念的得到,要独立将颜色、数字、人抽象为元素,对着色的方案抽象出顺序有一定的困难,需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四.教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥。

小学数学排列组合计算公式

小学数学排列组合计算公式 如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁 的问题,查字典数学网为大家提供了排列组合计算公式,希望同学们多多积累,不断进步! 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. 排列 把5本书分给3个人,有几种分法组合 1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列(Pnm(n为下标,m为上标)) Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符 号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 2019-07-08 13:30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三

排列及计算公式

1.排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1.加法原理 2.加法原理的集合形式 3.分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方法,互不相同(即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1.乘法原理 2.合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲 1.首先明确任务的意义 例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。 分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差,∴2b=a+c, 可知b由a,c决定,

排列组合公式排列组合计算公式

排列组合公式排列组合 计算公式 文件编码(008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256)

排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数 A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则 应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)= 9*8*7,(从9倒数3个的乘积) Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟” A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小

组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法 解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算. 例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种 解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴ 符合题意的不同排法共有9种. 点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果. (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信②每两人互握了一次手,共握了多少次手 (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法 (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积 (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法 分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与

排列组合公式排列组合计算公式.

排列组合公式/排列组合计算公式 2008-07-08 13:30 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r 举例: Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数? A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。 上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积) Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”? A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。 上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每

名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法? 解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法. (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法. 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算. 例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种? 解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出: ∴ 符合题意的不同排法共有9种. 点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型. 例3判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法? (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积? (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法? 分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析. (1)①是排列问题,共用了封信;②是组合问题,共需握手(次). (2)①是排列问题,共有(种)不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. (3)①是排列问题,共有种不同的商;②是组合问题,共有种不同的积. (4)①是排列问题,共有种不同的选法;②是组合问题,共有种不同的选法. 例4证明. 证明左式

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