【最新】高中数学第二章随机变量及其分布24正态分布例题与探究新人教A版选修2 3

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2.4 正态分布

典题精讲

【例1】下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ. （1）φ

μ,σ

(x)=

2

221x e

-

π（-∞＜x ＜+∞）;

（2）φ

μ,σ

(x)=

8

)1(2

221

--

x e

π

（-∞＜x ＜+∞）;

（3）φ

μ,σ

(x)=

2

)1(222+-x e π

（-∞＜x ＜+∞）.

思路分析:掌握正态曲线的表达式的特征是学习本节的前提，本题只要对照φμ,σ(x)=

2

22)(21σμσ

π--

x e

，就可以确定均值μ和标准差σ.

解:（1）μ=0,σ=1.（2）μ=1,σ=2.（3）μ=-1,σ=

2

1. 绿色通道：通过正态总体的函数表示式判断其均值μ和标准差σ是因为在总体密度曲线的表达式中参数μ，σ分别可用样本均值和样本标准差去估计.当μ=0，σ=1时，总体称为标准正态总体，相应的曲线称为标准正态曲线. 黑色陷阱：在记忆正态曲线的表达式φ

μ,σ

(x)=

22)(21σμσ

π--

x e

时，应该注意指数的特征，

切不可误记为2

2

22)(2)(σ

μσμ---x x 或等形式. 变式训练 若某一正态分布的期望和方差分别为2和4，则这一正态曲线的表达式为

___________. 答案:φ

μ,σ

(x)=

8

)2(2

221--

x e

π

（-∞＜x ＜+∞）

【例2】下图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是

( )

A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B.日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙

2

C.日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好

思路解析:只要理解正态曲线中两个参数μ,σ的意义，就不难判断四个命题的真假.从图象中可以看出甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，所以它们的日走时误差的均值相等，A 是正确的；再根据图象的“瘦高”与“矮胖”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲、乙、丙三种品牌的手表日走时误差的均值相当，但甲品牌偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，因此C 、D 是正确的，答案应选B. 答案:B

绿色通道：通过函数的图象研究函数的性质是学习数学的基本方法之一.

黑色陷阱：对于正态分布密度曲线，易将两个参数μ,σ混淆，如本题常会误认为B 正确.

变式训练 下图是正态分布N(0,σ2

)的曲线，则阴影部分所表示的区域

( )

A.范围无界，面积为1

B.范围有界，面积与σ有关

C.范围有界，面积为1

D.范围无界，面积与σ有关 答案:A

【例3】正态分布密度函数的表示式是 f(x)=

2

)1(222+-x e π

（-∞＜x ＜+∞).

（1）求f （x ）的最大值；

（2）利用指数函数性质说明其单调区间及曲线的对称轴.

解:（1）因为e>1，所以要使f(x)最大，则-2(x+1)2

最大，即x=-1时，f(x)有最大值

π

22.

（2）由于指数函数y=e x

是增函数，故 当x∈（-∞,-1）时，函数为增函数； 当x∈［-1,+∞）时，函数为减函数. 其对称轴为直线x=-1.

黑色陷阱：本题容易忽视e 的值对单调性和最值的影响.

变式训练 由正态分布N(1,8)对应曲线可知，当x____________=时，函数f(x)有最大值__________.

思路解析:画出N(1,8)的图象,由图象可直观得出答案. 答案:1

π

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问题探究

问题：正态分布在实际生活中有什么重要意义（或有哪些应用）？你能举例说明吗？ 导思：理解正态分布在实际生活中的应用有助于更好地学习这一部分内容，同时可感受到数理统计在我们生活、生产、军事等领域的作用.

探究：在实际生产与生活中，大量的随机现象都服从或近似服从正态分布.如生产上的产品的质量、使用寿命、农作物的亩产量等，测量上如测量的误差、群体的身高、群体的智商，

军事上如射击命中点与靶心距离的偏差、炮弹的落点等等都可认为是服从正态分布的随机变量.正态分布在概率与统计中占有重要地位，这也是我们要学习正态分布的原因.

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