2021年吉林大学物理学院854量子力学考研核心题库之证明题精编

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本书根据历年考研大纲要求并结合历年考研真题对该题型进行了整理编写，涵盖了这一考研科目该题型常考试题及重点试题并给出了参考答案，针对性强，考研复习首选资料。

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一、2021年吉林大学物理学院854量子力学考研核心题库之证明题精编

1．若算符不对易证明，

其中

并由此证明

(4)设是本征态，则的本征态为

【答案】设

又

易知证明的就是的taylor形式

自然有

(0)设

因此

2．用直接法求证

其中u是和对易的单位矢量，是泡利(Pauli)算符。

【答案】注意到泡利矩阵有如下性质：

又因为

所以有

故

3．一质量为m的粒子在对数势中运动。求证：(1)所有能量本征态中都有相同的均方速度。(2)任何两能级间的间距与质量无关。

【答案】(1)取任意能量本征态都有

再由位力定理得

故均方速度对所有的本征态都相同。

(2)因

敌

再由F-H定理得

将此式积分得

(与m无关)

从而与m无关，即任何两能级的差与质量无关。

4．证明在的束缚定态上，动量与作用力的平均值为0。

【答案】

对于束缚定态，它的波函数是可以归一化的，在是归一化的条件下，动量与作用力的平均值

对于三维束缚定态，利用公式

同样可以证明

5．是玻色子在单粒子态上的产生算符与湮没算符，满足对易关系

，令

(1)证明

(2)证明

其中与分别是与态上粒子占有数算符；(3)求与的共同本征态，以及它们的本征值。

【答案】(1)

类似的计算，可证

(2)