辽宁省沈阳市高三教学质量监测二数学理试题
辽宁省沈阳市届高三教学质量监测(二)数学(理)试题
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2019年沈阳市高中三年级教学质量检测（二）
数 学（理科） 2019.4
命题：东北育才双语学校 王海涛 沈阳市第20中学 李蕾蕾 沈阳市第11中学 孟媛媛
东北育才学校 候雪晨 沈阳市第120中学 董贵臣 沈阳市第4中学 韩 娜
主审：沈阳市教育科学研究院 王孝宇
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷第3至5页。满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回.
第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{
}3,2,1=A ，集合{}5,4,3,2=B ，则 A.B A ? B.A B ? C.{}3,2=?B A D.{
}5,4,1=?B A 2. 设复数2
1i z +=（i 是虚数单位），则=z A.2
2 B.21 C.1 D.2 3. 下列命题中，真命题的是
A.0,2＞x R x ∈?
B.1sin 1,＜
＜x R x -∈? C.02,00＜x R x ∈? D.2tan ,00=∈?x R x
·1· 4. 已知平行四边形ABCD 中，)4,3(),8,2(-==AB AD ,对角线AC 与BD 相交于点M ， 则AM 的坐标为
A.)6,21
(- B.)6,21
(- C.)6,21
(- D.)6,21
(
5. 若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的交点个数为
A.0
B.1
C.2
D.不确定
6. 一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的
总数为N 粒，其中)(N m m ＜粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为
A.N m
B.N m
2 C.N m
3 D.N m 4
7. 已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为x y 43
±=
则该双曲线的离心率为
A.45
B.35
C.45
或35
D.53或54
8. 若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]31.2,21.2=-=.执行如图所示的程序框图，则输 出的S 值为
A.2
B.3
C.4
D.5
9. 已知曲线)0)(cos(3)sin()(＞w wx wx x f +=的两条相邻的
对称轴之间的距离为2π
，且曲线关于点)0,(0x 成中心对称，若
???
???∈2,00πx ，则=0x
A.12π
B.6π
C.3π
D.125π
10.已知实数y x ,满足?????≤≥+≥+-2
00
62x y x y x ，若目标函数y mx z +-=
的最大值为102+-m ，最小值为22--m ，则实数m 的取值范围是
A.[]2,1-
B.[]1,2-
C.[]3,2
D.[]3,1-
11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面ABCD ，△BCD 是边长为3 的等边三角形.若2=AB ，则球O 的表面积为
·1· A.32
2π B.π12 C.π16 D.π32 12.已知函数)(x f 满足：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有)(2)2(x f x f =+；③当
[]1,1-∈x 时，2
1)(x x f -=.若函数???≤=)0(ln )0()(＞x x x e x g x ，则函数)()(x g x f y -=在区
间[]5,5-上零点的个数是
A.7
B.8
C.9
D.10
第II 卷（共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.）
13. 如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的 体积为__________.
14. 6)12(x
x -的二项展开式中的常数项为_______. 15. 已知函数))(()(b x a x x x f --=的导函数为)(x f '，且
4)0(='f ，则222b a +的最小值为_____.
16. 已知抛物线)0(22＞p px y =的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足 FC FB FA -=+，则=++CA
BC AB k k k 111_______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.
17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对应边分别是c b a ,,满222a bc c b +=+. （I ）求角A 的大小；
（II ）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1=A a ，且842,,a a a 成等比数列,求
?
????
?+14n n a a 的前n 项和n S .
△
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18.（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类公程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3民工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.
（I ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；
（II ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.
△
19.（本小题满分12分）如图，BC 为圆O 的直径，D 为圆周上异于C B 、的一点，AB 垂直于圆O 所在的平面，AC BE ⊥于点E ，AD BF ⊥于点F .
（I ）求证：⊥BF 平面ACD ；
（II ）若o
45,2=∠==CBD BC AB ,求平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角的余弦值.
△
20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程式)0(12222＞＞b a b y a x =+，离心率为3
3，且经过点)1,2
6(. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）圆O 的方程是2222b a y x +=+，过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线，若切线的斜
率都存在，分别记为21,k k ，求21k k ?的值.
△
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21.（本小题满分12分）已知函数x mx x f sin )(-=，)0(sin 2cos )(＞a x x ax x g -=.
（I ）若曲线)(x f y =上任意相异两点的直线的斜率都大于零，求实数m 的值；
（II ）若1=m ，且对任意??
????∈2,
0πx ，都有不等式)()(x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.
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请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B 铅笔在答题卡上所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须和所涂题目的题号一致。
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选将
如图，△ABC 内接圆O ,AD 平分BAC ∠交圆于点D ，过点B 作圆O 的切线交直线AD 于点E . （I ）求证：CBD EBD ∠=∠
（II ）求证：DC AE BE AB ?=?.
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23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为?
??-=+=t y t x 332（t 为参数），圆C 的极坐标方程为0cos 2=+θp . （I ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（II ）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值.
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24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数1232)(-++=x x x f .
（I ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（II ）若关于x 的不等式1)(-m x f ＜的解集非空，求实数m 的取值范围.
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