第四章流体动力学基础(李玉柱)

第四章

4-1 社固定平行平板间液体的断面流速分布为

0,221max

≥???

? ??-=y B y B u u 总流的动能修正系数为何值？

解 将下面两式

u u max

2B

2

B max A dy B udA A V B y

B 8711227

1===????????--

3

max 3max

3

7

3

222

2

Bu dy U

dA

u B B

B

B

y A =??

????=

---??

代入到动能修正系数的算式

dA u Av

??

=3

3

1

α

得()()[]

04513

8

710

7.u B Bu A max 3

max ==

4-2 如图示一股流自狭长的缝中水平射出，其厚度

m 03.00=δ，平均流速s m V 80= ，假设此射流受中立作

用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求（1）在倾斜角 045=θ 处的平均流速V ；（2）该处的水股

厚度δ 。

解 ⑴在θ＝45°处，水平分速为V 0，故射流平均流

速为m/s 11.31m/s cos458

cos45=?=?=o

v v

⑵由连续性条件，在

°θ45=处的单宽流量与喷口

处相等，

即δv v δo = 故

m δv v δo o 0.3331

.118=?==

4-3 的速度 s m V 202=，管径m d 1.01=,管嘴出口直径

0.05m 2=d ,压力表断面至出口断面高差H=5m,两断面

间的水头损失为() 2g 0.521V 。试求此时压力表的读数。 解 由总流连续性条件

222222214

4

V d V d π

π

=

，得

5m/s 20m/s 0.10.052

=????? ??=???

? ??=2

2

1

2

1V d

d V 根据总流伯诺里方程

w 2

222221111h g

V αz g ρp g V αz g ρp +++=++22 取1

==21

αα，已知

H z z 21==g

h w 25

.02

1υ=，

02=p ，得

V o

O mH 8.9055.08.9220520.52222???

?

????-?+=-+=g V g V H g ρp 21221 2.48at

O mH 77.242==

即压力表读数为2048个大气压。

4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。一直A-A 断面的直径m d A 6.0= ，流速s m V A 6=，B-B 断面的直接

m d B 9.0= ，由A 到B 水头损失()g V h A

w 215.02

=。求（1）当z=5m 时A-A 断面处的真空度（2）当A-A 断面处的允许真空度为5m 水柱高度时，A-A 断面的最高位置max z

解：⑴ 由水流连续性知

2.66m/s 6m/s 9.06.02

=????? ??=???

? ??=A

2

B

A

B

V d d V

取水面为基准面,0=+

ρ

g p Z B

B ，且取0.1≈B α，得断面B-B 的总能头

363.08.92667.2022=???

?

???+=++=M g V αg ρp Z H 2B B B B 0B

断面A-A 与B-B

w B 2

A A A h H g

V αg ρp Z +==++02

其中，由A 到B 水头损失

0.267m/s 9.8

260.152

=??==2g V 0.15h 2a w

当z=5m 时（取0.1≈A α）

，有

6.20m m 9.82650.2760.3632g 2-=???

?

???--+=--+=2A A w 0B A V αz h H g ρp

故A-A 断面的真空度为m g p h A

vA

20.6=-

=ρ

⑵将5m -=g ρp A

和z=z max 代入式（a ），得A-A

断面的最高位置

3.80

m 8.926276.0363.0220max =??

?

????-+=--+=g ρp g V αh H z A 2A A w B

4-5 水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。若直径mm d 1001= 该处绝对压强at p abs 5.01=,而直径

mm d 1502=求作用水头H (水头损失可以忽略不计)

解： 基准面0-0，断面1-1、2-2、3-3如图示。在1-1与2-2断面之间用伯诺里方程（取

） g

V g p g V g p z abs abs 222

222111+

=+=ρρ

已知m g p

m g p z z abs abs 10,5,

2121===ρ

ρ 由水流连续性，得

222

22

12125.2＝100150V V V d d V ?

??? ??=???

? ??= 代入到伯诺里方程，

()

g

V g

V 210225.2522

2

2

+=+

或52g

V 4.06322

= 解出流速水头

m 23.12g

V 2

2= 列出断面3-3、2-2之间的伯诺里方程

2g

V 22

222++=+ρg p z H g p abs a 将0z 和p 22==a abs p 代入得出作用水头

m 23.12g

V 22==H

4-6一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流入大气中，如图。直管直径A

d =100mm ，管嘴出口直径

B d =500mm ，若不计水头损失，求直管中A 点的相对

压强A

p 。

解： 断面1-1位于水面上，断面A 和断面B 分别通过A 、B 点。列出断面1-1与B 之间的伯诺里方程

g

V αg ρp z g V αg ρp z 2

B B B B 2111122+

++=++

利用已知条件

,0,09)324(111====++=-V p p m m Z Z B B

且取0.11≈≈B αα，得断面B 的流速水头

m z z g

V B 2

B 921=-= 由连续性，算出断面A 的流速和水头

m g V V g g V V V V d

d V B B A B B B

2

A

B

A 169

21614212,4100502

2

2

2

==???

? ??==????? ??=???

? ??=写断面1-1与A 之间的伯诺里方程

g V z g p g V g p z A A A A 222

21111αραρ+

+=++

将下列数据代入该式

0,0,53211===+=-a A v p m z z

且取0.11≈≈A αα，得

O 1.11H p ,m 44.4m 16952g 2A 1=????

?

?-=--=2A A A V z z g ρp 4-7离心式通风机用集流器C 从大气中吸入空气，如图示。在直径d=200mm 的圆截面管道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的的水面升高H=150mm ，求每秒钟所吸取的空气量Q 。空气的密度a

ρ=1.29kg/3

m 。

解： 设圆截面管道的断面平均流速 为V ，压强为p.由于距离集流器C 较远处大气流速 为

零以，若不计损失，假定集流器中空气密度与外部大气的密度相同，管道断面与远处大气之间的不可压气体的能量方程可写成

g

V g p g p 22αρρααα

+= 玻璃管液面压强为p ，若ρ为水的密度，有静压强关系

gH p p ρα=-

故从能量方程中可解得

47.470m/s m/s 1015029

.11000

8.922)(2

3=???

?==

-=

H g

p p V α

αα

ρρ

ρ由此得

/s 1.50m /s m 4

2.0740.474

332

2

=??

==

ππV d Q

4-8水平管路的过水流量Q=2.5L/s ，如图示。管路收缩段由直径1

d =50mm 收缩成2

d =25mm 。相对压强

1p =0.1at ，两段面间水头损失可忽略不计。问收缩断面

上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h ？ 解：在1与2两断面之间应用伯诺里方程

g

V g p z g V g p z 222

222221111αραρ+

++=++

取0.11

≈≈B αα

，已0.1at

=，p ＝z z 121知可解出

1.273m/s m/s 4

/)1050(105.24/2

33211=???==--ππd Q

V

2.093m/s 1.273m/s 4255012

1

212=?=????? ??=???

? ??=V V d d V 2

故

0.241m m 9.82093.59.82273.1101.02221

2-=???

? ???-

?+?=++=2

22

211

g V g V g ρ

p

g ρp 依据吸水管的静压强关g ρh =p -p 2α系，得出高度）.24(m 0)241.0(02=--=-

=

g ρ

p g ρ

p h

α

4-9图示矩形断面渠道，宽度B=2.7m 。河床某处有一高度0.3m 的铅直升坎，升坎上、下游段均为平底。若升坎前的水深为1.8m

头损失w

h 试求渠道所通过的流量Q 。

解： 取断面1-1和2-2如图。依据连续性方程

2211A V A V =，得

21)12.03.08.1(0.1BV BV --=

或

2138.18

.1V V = 写出两断面之间的能量方程

g

V g V g p z g V g p z 25

.0222

222222111++++=++ρρ

若基准面o-o 取在图示升坎前来流的水面上，有

m g p

z g p z 12.0,02211-=+=+

ρ

ρ 代入到能量方程，得

0.12

g

V g V 25.112.022

221+-= 联立求解（a ）、（b ）两方程，得 1.606m/s

=V , m/s ＝1.231 V 21

故渠道能过的流量

/s m 1.231＝5.98×2.7×＝1.8V Q＝A 31 1

4-10 图示抽水机功率为KW P 7.14=，效率为

%75=η，将密度30900m kg =ρ的油从油库送

入密闭油箱。已知管道直径mm d 150= ，油的流量s m Q 314.0= ，抽水机进口B 处真空表指示为-3m 水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为m h 3.2=油柱高，问此时油箱内A 点的压强为多少？

解： 选取面A 位于油液面上，断面B 位于抽水机进

口。写出两面之间有能量输入的能量方程

A w

B A A A m B B B h g V g p z H g V g p z -++++=+++222

20ρρ

其中，为单位重量油体通过抽水机后增加的能理。由水泵轴功率计算公式 ηρm

QH g P =

得

油柱8.929m 14

.09008.9107.1475.03=????==Q g P H m

ρη

由连续性，得 7.922m/s m/s 4

/15.014

.04

/2

2=?=

=

ππd Q V B

油柱3.202m 油柱m 8

.92922.7222

=?=g V B 由能量方程可解出

油柱 m 1.498油柱＝ m )3.205(929.802.30.93

-0 )2(2(2

200??

????++-???? ??++=++-+++=-A wB A A m B B B A h g

V z H g V g p z g p ρρ

油箱A 压强

Pa 10×13.21=900Pa ×9.8×1.498=p 3A

4-11 如图所示虹吸管由河道A 向渠道B 引水，已知管径 mm d 100=，虹吸管断面中心点2高出河道水位

m z 2= ，点1至点2的水头损失为()

g V h w 210221=-，点

2至点3水头损失()g V h w 22232=- ，V 表示管道的断面平均流速，若点2的真空度限制在m h v 7=以内，试问（1）虹吸管的最大流量有无限制？如有，应为多大？（2）出水口到河道水面高差h 有无限制？如有，应为多大？

解：⑴ 取面1位于河道A 的自同面上，断面2过点2.写出两断面间能量方程

g

V g V g p z z 21022

20221+++=ρ 将2m =z =z -z 2 1代入，得

g

V g ρ

p 21122

2--= 当m 7时，

722-≥≤-

g ρ

p m g ρ

p h υ。因此有

7(m)1122

-≥--ρ

g p

求解后，得

2.985m/s 8.92115

=??≤

V

/s 0.0234m /s m 0.14

π

2.9854

3322=??

≤=d V

Q π

即应当将最大流量限制在23.4 L/s 以内

⑵ 断面3位于虹吸管的出口。写出面1与3之间的能量方程

h z z g

V g V z z =-+++=312

231,2)210(2

解得

5.98m 9.8

22.98132132

=??≤=g v h

故应限制h 不应大于5.89m

4-12 图示分流叉管，断面1-1处得过流断面积

2

323-1213323222111212-2)2(;3-32-21.533-32-21-119660,08.03-372,05.02-2;98,375,1.0p V V m h m h kPa p m z m A m z m A kPa p s m V m z m A w w 处的压强断面和处的流速和）断面试求（和的水头损失分别为和至，；断面压强处；断面处断面压强流速高程===========-解： 取1-1和2-2断面，有

212

222211122-+++=++h g

V g p z g V g p z ρρ

代入各项数据，得

32728.92398001098752

2223+++=?+?+g

V g p ρ

由此解出

10.459m m 3729.823980010987522

3222=???

? ??--?+?+=+g V g p ρ(1)取1-1和3-3断面，有

3133322-+++=++w 2

2111h g

V g ρp z g V g ρp z

代入各项数据，得

52980010196608.92398001098752

3323++?+=?+?+g

V

解之得 33221 1 A +V A =V A 由V ＝3m/s。

V 3，有 3×0.08+0.1＝0.05×32V

解得 m/s 1.2=V 2

⑴ 将其代入到式（a ），得

10.39m m 22.1459.10222=???

?

??-=g g p

故

Pa 10×1.018=10.39Pa ×＝9800P 52

4-13定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。 答 总水头线0H 和测管水头线p H 如图示。 4-14 试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头

损失等于两断面的测管水头差。

证 在均匀流中断央1-1和2-2之间取任意流束，用z ’、

p ’、V ’ 表示流束断面的高程、压强和流速，h ’w 表示两断面之间流束的能量损失。写出该流束的能量方程

w 222

22211h g

V αg ρp z g V αg ρp z 1'

+''+'+'=''+'+'221

设z 、p 表示总流断面的高程、压强。依据均匀流任一断面上测管水头等值，有

g ρ

p z g ρp z g ρp z g ρp z 221112

21 ,+

='+'+='+'

依据均匀流的任意两面都满足

g V αg V α222

21122''=''

得 w h g ρ

p z g ρp z 11'++=+2

2

或

212122-?=-=????

??+-???? ?

?+='p p p 11H H H g ρp z g ρp z w h 4-15当海拔高程z 的变幅较大时，大气可近似成理想

气体，状态方程为()RT z p a a ρ=，其中R 为气体常数。试推求()()z p z a a 和ρ 随z 变化的函数关系。

解：设p ao 、T 0分别表示z=0处的大气压强和温度，分

别表示高程z 处的大气压强和温度。将状态方程该写成(z)/RT(z)(z)=p ραα，利用温度随z 变化的线性关系-βz T(z)=T 0，得

z)(z)/RT(T (z)=p ρβαα-0

大气的压强足静压强分布规律，可依据式

（2-11）写出

(z)dz (z)=-gp dp αα

将式（a ）代入，得

-βz)dz (z)/RT(T (z)=-gp dp 0αα

或改写成

dz z T R g

p dp )

(0βαα--=

利用边界条件α

0α

(z=0)=p p 积分上式，得

)T βz ln(1-βR g =p p ln 0

α0α 故(z)p α

随z 变化的函数关系为

g/βR

0ααT βz 1p (z)p ?

??? ?

?-=0

将该式代入式（a ），令0α0αα0

/RT (0)=ρ=ρρ

表示

z=0处

大气密度，得函数(z)ρα

，即

g/βR

g/βR

0ααT z T βz 1z T R p (z)???

?

??-=???

? ??--=

00001)(βρβρα

4-16 锅炉排烟风道如图所示。已知烟气密度为

3/8.0m kg s =ρ，空气密度为32.1m kg a =ρ，烟囱高

m H 30=，烟囱出口烟气的流速为s m 10（1）若自锅

炉至烟囱出口的压强损失为Pa p w 200=，求风机的全压。（2）若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟，压强损失应减小到多大？

解 （1）烟气密度与空气密度的差别较大，应考虑大气对烟气的浮力作用。取锅炉进风口断面1-1，烟囱出口断面2-2.依据式（4-42），取0.121≈≈αα，有

()H g p V p p V p a s w s

q s ρρρρ-+++=++

22221121

21其中，风机全压q p 是输入的能量。断面1-1和2-2的相对压强均为当地大气压强，即02

1

==p p 。忽略断

面1-1的动压 2/21

V s ρ ，可解出风机全压

()()Pa Pa H g p V p s a w s

q 4.122302.18.08.9200108.02121

222=??

?

???-?++??=--+=

ρρρ（2）当不安装风机时 0=q P ，有

()()()Pa

Pa V H g p H g p V s

s a w s a w s

6.77108.021308.02.18.921

由此得21

022

222=??

??????-?-?=--=--+=

ρρρρρρ这表

明，压强损失应减小到77.6Pa 以下

4-17 管道泄水针阀全开，位置如图所示。已知管道直径mm d 3501=，出口直径mm d 1502=，流速

s m V 302=，测得针阀拉杆受力F=490N ，若不计能

量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。 解 管道流量

s

m s m V d Q 3322

2

2530.03015.04

4

=?=

=

π

π

管道内断面平均流速为

s m s m V d

d V 510.5303501502

22

1

2

1=???? ??=???

? ??=

根据能量方程g

V g V g p 222

2211=+ρ ，得 ()()

Pa Pa V V p 5222

1221

1035.451.53010002

121?=-??=-=ρ设螺栓作用力为R 。出口段水体的动量方程为

()

()()N

?-=N ??

????+???--??=+--=-=+-325211

1212211

1038.2849035.041035.451.53053.010004

4

ππ

ρρπ

F

d p V V Q R V V Q R F d p R 为负表示作用力向左，即拉力。

4-18嵌入支座内的一段输水管，其直径由

m d m d 1变化到,5.121==，如图示。当支座前的压强 at p 41=（相对压强），流量为s m Q 38.1=时，试确

定渐变段支座所受的轴向力R （不计水头损失）。 解 取图示1-1和2-2断面，由能量方程

g

V g p g V g p 222

22211+=+ρρ 其中，流速

()()

Pa

Pa V V p p s

m s m d

Q

V s m s m d

Q

V 52

24

2221122

22

22

21

110899.3292.2019.121000108.942解得

292.21

8

.144,019.15

.18

.144?=??

?

??

?-?+??=-+==??=

=

=??=

=

ρππππ设 1R 为管道渐变段对水流的作用力，方向向右为正，则断面1-1和2-2之间的水体动量方程为

()

()()

()()

N ?-=?++-=-?+??

?+????-=-++-=-=+-55

252412222

211

1121222

211

10852.3100127.0062.3927.6019.1292.2100014

10899.35.14

108.944

4

解得

4

4π

π

ρπ

π

ρπ

π

V V Q d p d p R V V Q R d p d p 01

()N ?=-=511085.3R R

0>R 表示支座所受轴向力的方向向右。

4-19斜冲击射流的水平面俯视图如图所示，水自喷嘴射向一与其交角成060的光滑平板上（不计摩擦阻力）。若喷嘴出口直径25mm =d ，喷射流量L Q 4.33=，试求射流沿平板向两侧的分流流量21和Q Q 以及射流对

平板的作用力F 。假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水平方向。

解喷嘴出口断面0-0的平均流速

s m s m d

Q

V 042.68025

.04

104.3342

32

=???=

=

-ππ

由能量方程和水头损失不计的条件知，单面1-1和2-2-处的流速s m V V V 042.6821=== 由连续性有21Q Q Q +=

为了方便求解，建立图示坐标系，x 轴沿平板法向，y 轴沿平板切向。控制体取为喷嘴出口0-0断面、断面1-1和2-2之间的水体。因不计摩擦力，平板作用力的y 向分量为零，故依据方程（4-48b ）可写出总流的y 向动量方程

()[]060cos 0

2211=

--QV V Q V Q ρρ

其中，流出动量 ()2211V Q V Q ρρ-中因为 2V

沿y 反

向，前面加负号。联解（a ）和（b ）两式，得

s

L Q Q Q s

L Q Q Q V V V V Q /35.805.254.33/05.254.3343432160cos 60cos 12021201=-=-==?==+=++=在x 向上，控制体的流入动量为060sin QV

ρ，流出动量为

零。设平板对射流的作用力为'

F ，假定作用力矢量当沿x 正向时取正。依据方程（4-48a ），写出总流的x 向动量方程

N

=N ????=-==-1.1968-60sin 042.681033.4-100060sin ''60sin 003-0

0QV F F QV ρρ由此得

负值表示该作用力沿x 轴反向。射流对平板的作用力

N =-=1.1968'F F

它的作用方向沿x 正向。

4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置（如图示），截去射流流量的一部分 1

Q ，并引起剩余部分2

Q 偏转一

角度θ。已知射流流量s L Q /36=，射流流速s m V /30=，

且s L Q

/121

=，试求射流对平板的作用力R 以及射流偏转

角θ（不计摩擦力和重力）

解 建立图示坐标系。控制体取为断面0-0、断面1-1 和2-2 之间的水体。作用力矢量当沿坐标轴正向时取正值。依据方程（4-48），写出总流的x 向、y 向动量方程为

()()

sin cos 1

12

222=-=-V Q V Q R QV

V Q θ

ρθρ

其中，R 表示平板对射流的作用力。因为忽略摩擦，故平板对射流作用力的y 向分量为零。由水流连续性，有

()s L s L Q Q Q /24/122612=-=-=

由能量方程有s m V V V /3021

=== 由式

（b ）中可解出射流偏转角0

121122111302412sin sin sin =???? ??==???

? ??=---Q Q V Q V Q ρρθ

流体动力学基础复习思考题

第四章 流体动力学基础 复习思考题 1. 在 流动中，伯努利方程不成立。D (A) 恒定 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 2. 在总流伯努利方程中，速度 v 是 速度。B (A) 某点 (B) 断面平均 (C) 断面形心处 (D) 断面上最大 3. 文透里管用于测量 。D (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 4. 毕托管用于测量 。A (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 5. 密度 ρ = 800kg/m 3 的油在管中流动，若压强水头为2m 油柱，则压强为 N/m 2。C (A) 1.96×104 (B) 2×103 (C) 1.57×104 (D) 1.6×103 6. 应用总流能量方程时，两断面之间 。D (A) 必须是缓变流 (B) 必须是急变流 (C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流 7. 应用总流动量方程求流体对物体合力时，进、出口的压强应使用 。B (A) 绝对压强 (B) 相对压强 (C) 大气压强 (D) 真空值 8. 伯努利方程中 g v p z 22 αγ++表示 。B (A) 单位质量流体具有的机械能 (B) 单位重量流体具有的机械能 (C) 单位体积流体具有的机械能 (D) 通过过流断面的总机械能 9. 粘性流体恒定总流的总水头线沿程变化规律是 。A (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 10. 粘性流体恒定总流的测压管水头线沿程变化规律是 。D (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 11. 动能修正系数α = 。C (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 12. 动量修正系数α0 = 。B (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 13. 描述不可压缩粘性流体运动的微分方程是 。D (A) 欧拉方程 (B) 边界层方程 (C) 斯托克斯方程 (D) 纳维—斯托克斯方程 14. 恒定水流运动方向应该是： 。D (A) 从高处向低处流 (B) 从压强大处向压强小处流 (C) 从流速大的地方向流速低的地方流 (D) 从单位重量流体机械能高的地方向低的地方流 15. 欧拉运动微分方程式 。D (A) 适用于不可压缩流体，不适用于可压缩流体 (B) 适用于恒定流，不适用于非恒定流 (C) 适用于无旋流，不适用于有旋流 (D) 适用于上述所提及的各种情况下的流动。 16. 两艘平行行驶的船只，为什么不能靠得太近？ 17. 理想流体运动微分方程的伯努利积分和欧拉积分有何区别？ 18. 粘性流体运动微分方程和理想流体微分方程主要差别是什么？ 19. N-S 方程适用范围是什么？各项的物理意义是什么？

李玉柱流体力学课后题答案-第四章

第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7 max /2/2u B y u B -??= ??? ，0y ≥ 总流的动能修正系数为何值? 解：1 7 2max max 012728 2B A A B y v ud u dy u B A B ??- ?=== ????? 因为31.0A A u d A v α???≈+ ??? ? u u v ?=-所以 1 7 22 33821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+ =+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。 解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=? 45sin 8 =11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以00 0.038 0.02111.31 V V δδ?= = =m 。 4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。试求此时压力表的读数。

解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：

工程流体力学答案(陈卓如)第四章

［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-=12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2222121122++=++ （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??????-+-=g p p z z g v ρ21212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρρρ-= 12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2222121122++=++ （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2）

其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积： 4211d A π=，4222d A π= （3） 方程（1）可改写为： ()g p p g v z z g v ρ2121212222-++-= （4） 根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5） 将（5）代入（4），得：g v h g v 222122+= （6） 再由（2）和（3）式可得：44 2222 11d v d v ππ= 所以：222112d d v v = （7） 将（7）式代入（6）得：g v h g d d v 2221424121 += 整理得：2 12142412v v gh d d += 14212122d v gh v d += （8） 将m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2m 8.9=g 代入（8）式，得： ()mm 236m 236.03.036 8.96364 2==?+?=d ［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。（此题陈书2y 的标注有误） ［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为： 112gh v =

第4章流体动力学基础

第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S 方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 ● 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。 任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 ● 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。 ● 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应 力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 ● 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n 的作用面上的应力矢量表示为 ),,,(t z y x p n ，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体 受拉。应力矢量的分量形式为),,(nz ny nx p p p ，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知 xy p 等的含义。 ● 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 ??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p ][P 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 ● 有了应力张量[P ]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][P ?=n p n ，如法向为n 的 作用面上应力的y 方向的分量为 z zy y yy x xy ny n p n p n p p ++= ● 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 ● 应力张量主对角线上三个元素之和 zz yy xx p p p ++ 是坐标变换中的不变量，即其值不随 坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 )(3 1 zz yy xx p p p p ++-= 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p 并非任意方位作用面上真正的压应力nn p -. ● 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：

工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 （1）问属于几维流动（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， 2,xy y x v x (2) 33 1 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)

5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 31621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程： w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2)

第4章 流体动力学基础

第4章 流体动力学基础 4.1 重度γoil =8.82kN/m 3的重油，沿直径d =150mm 输油管路流动，现测得其重量流量Q G =490kN/h ，问它的体积流量Q V 及平均流速v 各为若干？ 解：体积流量33 490kN/h 55.56m /h 8.82kN/m G v Q Q γ = = =, 平均流速2 2155.561 0.873m/s 36000.15/43600 4 v Q v d ππ= ? =?= 4.2 如图所示，水流过长直圆管的A 、B 两断面，A 处的压头比B 处大45m ，试问：(1)水的流动方向？(2)水头损失f h ？设流动不可压，一维定常流，H =50m 。（压头为p /γ） 解：（1）假定流体从A 到B ，伯努利方程22 1 122 1222f p u p u z z h g g γγ++=+++ 流动不可压缩，一维定常流，则1 2 12f p p z z h γ γ + =+ + 水头损失1 2 125m<0f p p h z z γ γ =-+- =-，则表明流体的流动是从B 到A （2）水头损失f h =5m 4.3 水银压差计连接在水平放置的汾丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h =80mm,已知D =10厘米，d =5厘米，汾丘里流量计的流量系数μ=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？ 题4.2图 题4.3图 解：由文丘流量计流量公式2 111 2 1 2(1)1d g h Q Au A γαγ?==--得 2 3 2212 2 11 22(1)(1)0.0201m /s 14 1d d g h D g h Q A γγπαγαγ??=-=-=-- 其中2 212()4d A D A d α= ==，22211113.613.61 g g γρργρρ====

李玉柱流体力学课后题答案第四章

第四章 流体动力学基础 u B / 2 y 1/ 7 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为 ， y 0 u max B / 2 总流的动能修正系数为何值 ? B 1 1 B y 7 7 解： A ud A 2 2 2 u max dy u max v B 0 B 8 A 2 因为 1.0 3 u d u u 所以 A A A v v 1 3 u v 3 8 B 7 B y 2 1.0 A d A 1.0 2 1 dy 1.05 v B B 7 B A 2 2 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度 0.03m ，平均流速 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲， 但其水平分速保持不变。 试求 (1) V 在倾斜角 45 处的平均流速 V ；(2)该处的水股厚度 。 解：（1）由题意可知：在 45 度水流处，其水平分速度仍为 8m/s,由勾股定理 可得： V= 8 =11.31m/s sin 45 （ 2）水股厚度由流量守恒可得： 0V 0 D 0VD ，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以 V 0.03 8 V 0.021m 。 11.31 4-3 如图所示管路， 出口接一收缩管嘴， 水流射人大气的速度 V 2=20m/s ，管 径 d 1＝0.1m ，管嘴出口直径 d 2＝ 0.05m ，压力表断面至出口断面高差 H ＝ 5m ，两断面间的水头损失为 0.5(V 12 / 2g ) 。试求此时压力表的读数。

第四章流体动力学

第四章 流体动力学 2、为何提出“平均流速”的概念？ 3、举例说明连续性方程的应用。 本次课内容引出 §4-1流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。 如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。 在x 轴方向 x x ma F =∑ 可得 x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =??? ? ? ??+-??? ????-+2121 因为 dt du a dt u d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点

所以流体微元沿x 方向的运动方程为 dt du dxdydz dxdydz x p Xdxdydz x ρρ=??- 整理后得 dt du x p X x = ??- ρ1 同理，y 轴方向 dt du y p Y y =??-ρ1 z 轴方向 dt du z p Z z =??- ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则 0===dt du dt du dt du z y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。 一、 粘性流体的运动微分方程 与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。 如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。 作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力， 切向应力。 每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：

流体力学习题及答案-第四章

第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为： ()p f v v t v ?-=??+??ρ 1ρρρρ 其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。 （2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流 线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为： C gz p =++ρ 2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3 =，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度3 /7355m N =γ。 答：（1）求A 点处空气的速度： 设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到： () Q v d D =-1224 1 π， 因此：() 2 214d D Q v -= π。 （2）求真空度v p 选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

g v p p 202 11 +=+γγ 因此真空度为： ()() 222222221101 842121d D Q d D Q v p p p v -?=??????-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3 /226.1m kg =ρ，那么计算得到： () Pa p v 32 22221095.901.004.01 14.315.0226.18?=-???=。 （3）求喷油量： 设喷油嘴处汽油的速度为2v ，并设空气的密度为1ρ，重度为1γ，汽油的重度为2γ。选一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且： 在A 点：2 101A 2 1v p p p ρ- ==，?2A ==v v ，m cm h z 5.050A ===； 在B 点：0B p p =，0B =v ，0B =z ； 代入到伯努利方程中，可以得到： 002211202 2 2102++=++ ??? ??-γργp h g v v p ； 整理得到： gh v v 22 12 122-= γγ； 因此汽油喷出速度为： gh v v 22 12 12-= γγ； 其中空气重度3 11/1281.9226.1m N g =?==ργ；() 2 214d D Q v -=π，并注意到喷油嘴的 直径是6mm ，而不是原来的10mm ，则计算得到： () s m v /817.381 .9366.245.081.92006.004.014.315.016735581.9226.12 222 2=-=??--????=

流体力学第四章习题答案

第四章习题答案 选择题（单选题） 4.1等直径水管，A-A 为过流断面，B-B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的流动参数有以下关系：（c ） （a ）1p =2p ；（b ）3p =4p ；（c ）1z + 1p g ρ=2z +2p g ρ；（d ）3z +3p g ρ=4z +4p g ρ。 4.2伯努利方程中z +p g ρ+2 2v g α表示：（a ） （a ）单位重量流体具有的机械能；（b ）单位质量流体具有的机械能；（c ）单位体积流体具有的机械能；（d ）通过过流断面流体的总机械能。 4.3水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心点的压强，有以下关系：（c ） p p 2 （a ）1p >2p ；（b ）1p =2p ；（c ）1p <2p ；（d ）不定。 4.4黏性流体总水头线沿程的变化是：（a ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.5黏性流体测压管水头线的沿程变化是：（d ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.6平面流动具有流函数的条件是：（d ）

无黏性流体；（b ）无旋流动；（c ）具有速度势；（d ）满足连续性。 4.7一变直径的管段AB ，直径A d =0.2m ，B d =0.4m ，高差h ?=1.5m ，今测得A p =302 /m kN ，B p =402/m kN ， B 处断面平均流速B v =1.5s m /.。试判断水在管中的流动方向。 解： 以过A 的水平面为基准面，则A 、B 点单位重量断面平均总机械能为： 4 2 323010 1.0 1.50.40 4.89210009.80729.8070.2A A A A A p v H z g g αρ???? =++=++?= ?????（m ） 232 4010 1.0 1.51.5 5.69210009.80729.807 B B B B B p v H z g g αρ??=++=++=??（m ） ∴水流从B 点向A 点流动。 答：水流从B 点向A 点流动。 4.8利用皮托管原理，测量水管中的点速度v 。如读值h ?=60mm ，求该点流速。

第四章 流体动力学

3－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D ＝100mm 和d ＝30mm ，如通过的流量为0.02m 3/s ，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。 已已知知：：D=100mm ，d=30mm ，Q=0.02m 3/s ，p m2=0。 解析：由连续性方程，得 m /s 55.21.014.302 .0442 21=??== D Q u π

m /s 31.2803 .014.32 22=?== d u π 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 221m12121u u p ρρ=+ 22221222122m1 N/m 8.397476)55.231.28(10002 1)(212121=-??=-=-=u u u u p ρρρ 3－23 水管直径50mm ，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m 2，阀门打开后读数降至5.5kN/m 2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。 已已知知：：d=50mm ，p 0=21kN/m 2，p=5.5kN/m 2。 解析：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 02 1u p p ρ+= 则 m /s 568.510 10)5.521(2) (23 3 0=?-?=-=ρ p p u 流量为 /s m 011.0568.505.014.34 1 41322=???== u d Q π 3－24 用水银压差计测量水管中的点速度u ，如读数Δh ＝60mm ，求该点流速。 已已知知：：Δh=60mm 。 解析：根据题意，由流体静力学方程，得 h g h p p ?ρρ?γγ)()(0-=-=-汞汞 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 02 1u p p ρ+= 则 m /s 85.310 06.01081.9)16.13(2)(2) (23 30=???-?=-= -= ρ ?ρρρ h g p p u 汞 3－25 流量为0.06m 3/s 的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d 1＝250mm ，截面②处管径d 2＝150mm ，①、②两截面高差为2m ，①截面压力p 1＝120kN/m 2，压头损失不计。试求： (1)如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数； (2)如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。 已已知知：：Q=0.06m 3/s ，d 1=250mm ，d 2=150mm ，H=2m ，p 1=120kN/m 2。 解析：(1) 由连续性方程，得 m /s 223.125.014.306 .0442 211=??== d Q u π

工程流体力学(孔珑版)第四章-题解

工程流体力学(孔珑版)第四章-题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222+++-=πΓπΓ 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设，()222,y x y y x v x +-=πΓ，()2 22,y x x y x v y +=πΓ 代入流线的微分方程 ()() t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d = 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x += +- πΓπΓx y y x d d -=y y x x d d -=??-=y y x x d d C y x +-=222 1 21'22C y x =+ 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v +-=32 3 1 （1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 ()()()k y x v j y x v i y x v v z y x ,,,++= (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， ()2,xy y x v x = (2) ()331 ,y y x v y -= (3) ()xy y x v z =, (4)

()()()() 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x =+?-+=??+??-??+??=??+??+??+??== (5) () 5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y =+-?-+=??? ??-??+??? ??-??-??? ??-??+??? ??-??= ??+??+??+??= = (6) ()()()()3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z =+?-?+=?? +??-??+??=??+??+??+??== (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144=??== xy a x 332 2313155= ?==y a y 31621323233=??==xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。