分数的拆分问题【讲义]

分数的基本性质

例1、分数3

8

的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

分析： 38 =3+9

8+（ ）

，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数

15

4

的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3

4 ，求分子和分母都加上的这个数是几？

分析：方法一 试一试：将3

4

的分子、分母同时扩大相同的倍数

34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与4

7 的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 16

12

交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = d

c 时，a

×c=b ×d 。

解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 3

4

(4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数

41

11的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83

，求分子和分母都加上的这个数是几？

原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30

例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于3

2

1

，求原分数。 方法：【利用分母与分子差不变】

例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成1

2 ，那么原来的分数是多少？

方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

看分子减2倍 可以不可以变成1/2

方法二、通分

拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成1

2

，那么原来的

分数是多少？

将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2

方程法：

一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成3

8 ，那么原来的分数是多少？

方法一、等值放大

两数分母相差7

方法二、通子

一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成3

5 ，那么原来的分数是多少？

将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4

例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是1

5 ，

求原来的分数是多少？

利用和变

拓展：

分数

6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 13

4 ，求某数是多少？ 利用和不变

例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是

4

3

，如果分子加上124，分母加上340，那么约

分后是2

1

。求原分数是多少？

用方程组

分数的拆分问题

一、分数拆分的初步知识 拆分主要有以下几个步骤：

叫做扩分。

注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即：

④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。 例1 填空：

事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子、分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。

解：18分解质因数后共有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的解。如：

可以看出，由于每次所选用的两个约数不同，所得的解也不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如：选用1和2，3和6，9和18；或选用2和3；6和9时，解就相同。

二、把一个分数拆成几个分数的和

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。

……答案不只一种。

三、把一个分数拆成两个分数的差

能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。

以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然

当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。

例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。

通过上面算式，可以得出这样的结论：

由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。

四、拆分方法在分数加法运算中的应用

例6计算：

解：由公式（2）

解：由公式（3）

例9计算：

解：由等差数列求和公式

由此，本题中的各个分数可以拆分为：

因此，本题解法如下：

例11计算

解：根据公式（4）

解：先把同分母的分数相加，看看有什么规律。

上面三个算式表明，分母是2、3、4的如上面这样的算式，它们的和分别是2、3、4。由此可以推出，分母为K的如上面的算式，所有的分数的和等于K。所以，原式=2+3+4=9 例13计算

解：可以利用例12所得出的结论以及等差数列求和公式进行计算。

原式=1+2+3+……+1991

=（1+1991）×1991÷2=1983036

习题五

1.在下列各式的括号内填上适当的整数（1—3题）。

4.把下面各分数写成两个分数差的形式。

5.先观察，找出规律。

然后在（）内填上适当的整数

（要求分母都不同，且尽可能小）

分数拆分1

同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。 一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。 怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 叫做扩分。 注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： ④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。 二、把一个分数拆成几个分数的和 以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。 ……答案不只一种。 三、把一个分数拆成两个分数的差 能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。 以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然 当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。 例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。 通过上面算式，可以得出这样的结论： 由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。 四、拆分方法在分数加法运算中的应用

六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)

第十三讲 分数裂项与分拆 1. “裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 ①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2) n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+

③对于分子不是1的情况我们有：?? ? ??+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ??=- ?++?? ()()()()() 21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()() 31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ??=-??+++++?? ()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ??=-??++++++++?? ()()() 221111212122121n n n n n ??=+- ?-+-+?? 2. 裂差型裂项的三大关键特征： ①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 ②分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” ③分母上几个因数间的差是一个定值。 3.复杂整数裂项型运算 复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。 整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。 需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。 此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。 4. “裂和”型运算

六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k

(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)

六年级奥数训练第五周——分数裂项

第五周分数裂项 专题简析： 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地， 形如1 a×(a+1)的分数可以拆成 1 a － 1 a+1 ；形如 1 a×（a+n） 的分数可以拆成 1 n ×（ 1 a － 1 a+n ）， 形如a+b a×b 的分数可以拆成 1 a + 1 b 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

计算：11×2 +12×3 +13×4 +…..+ 199×100 原式=（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （199 －1100 ） =1－12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 199 －1100 =1－1100 =99100 练习1 计算下面各题： 1. 14×5 +15×6 +16×7 +…..+ 139×40 2. 110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +114×15 3. 12 +16 +112 +120 + 130 +142 4. 1－16 +142 +156 +172

计算：12×4 +14×6 +16×8 +…..+ 148×50 原式=（22×4 +24×6 +26×8 +…..+ 248×50 ）×12 =【（12 －14 ）+（14 －16 ）+（16 －18 ）…..+ （148 －150 ）】×12 =【12 －150 】×12 =625 练习2 计算下面各题： 1. 13×5 +15×7 +17×9 +…..+ 197×99 2. 11×4 +14×7 +17×10 +…..+ 197×100 3. 11×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4. 14 +128 +170 +1130 +1208

分数拆分

六年级奥数解析（六）分数的分拆 《奥赛天天练》第6讲《分数的分拆》。 分数的分拆就是把一个分数拆成几个分数的和或差的形式，一般都是分拆成几个分数单位和或差。 把一个单位分数分拆成几个单位分数的和或差，有一定的规律和方法，相关常识请查阅： 【原创】五年级奥数解析（六十四）单位分数 最常用的分拆规律有(可以通过计算加以验证)： (1)1n n 1?（＋）＝1n －1n 1 ＋ (2) n n ?a （＋a ）＝1n －1n ＋a 通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1 【题目】： 计算：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110 。 【解析】： 仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：

1 6＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋…＋ 1 72 ＋ 1 90 ＋ 1 110 ＝ 1 23 ? ＋ 1 34 ? ＋ 1 45 ? ＋…＋ 1 89 ? ＋ 1 910 ? ＋ 1 1011 ? ＝1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 5 ＋…＋ 1 8 － 1 9 ＋ 1 9 － 1 10 ＋ 1 10 － 1 11 ＝1 2 － 1 11 ＝9 22 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习2 【题目】： 计算： 2 1113 ? ＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 。 【解析】： 仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便： 2 1113?＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 ＝1 11 ― 1 13 ＋ 1 13 ― 1 15 ＋ 1 15 ― 1 17 ＋ 1 17 ― 1 19 ＋ 1 19 ＝1 11 《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题1【题目】： 计算：

分数裂项练习题1

分数裂项练习题1 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 3. 2222 109985443 ++++=???? L 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L

分数裂项练习题1详解 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 【解析】原式 111111115 122356166?????? =-+-++-=-= ? ? ? ?????? L 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 【解析】原式 111111111 ()()......() 101111125960106012 =-+-++-=-= 3. 2222 109985443 ++++=???? L 【解析】原式 11111111 2 910894534 ?? =?-+-++-+- ? ?? L 11 2 310 ?? =?- ? ?? 7 15 = 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 【解析】原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 =++++=?-==???? L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 【解析】 111111111150 (1 13355799101233599101101 ++++=?-+-++-= ???? L…） 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 【解析】原式 111111 251 23352325 ?? =??-+-++- ? ?? L 11 251 225 ?? =??- ? ?? 2524 225 =?12 = 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L 【解析】原式 25111111 16122334500501501502??=?+++++ ? ????? ?? L 2511111111 1 1622334501502 ?? =?-+-+-++- ? ?? L 25150150121 15 165023232 =?==

分数拆分(裂项法)

2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；

分数拆分经典解法

课 题： 分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、引入： 12 7化成小数等于多少？ 分析：4 131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4 1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。 二、新课教授： 例1：在等式y x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法： 911812)(1×62)(1×161+=++= 10 11513)(2×63)(2×161+=++=

812413)(1×63)(1×161+=++= 8 12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9 11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 总结:y x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 3.将n 1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？ 请同学们说出结果。 例2：已知两个不同的单位分数之和是 12 1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？ 1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12） 1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6） 1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20 13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）

分数裂项法解分数计算

分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

分数拆分-小升初

分数拆分 一、考点扫描 1、任意两个数的积做分母，其差做分子的分数可拆成较大的单位分数减较小的单位分数，即 b a b a a b 11-=?-（a

7、 50481861641421?+?+?+? 8、111111234542567290110 9、 987187617651??+??+?? 10、111111212312341234100 四、巩固提高 1、（）—（）11211= 2、（）（）11211+= 3、（）（）112110+= 4、41121 5、1111112612203042 6、 1009711071741411?++?+?+? 7、 6301162091276?+?+? 8、20120182181621614214122+?+?+?+? 9、151413114131211312111??+??+?? 10、11111363693691236912300 五、拔高题 1、)10010011()4411()3311()2211(?-???-??-??- 2、 )1111()911()711()511()311()1011()811()611()411()211(-?-?-?-?-?+?+?+?+?+ 3、)8631()7531()6431()5331()4231(?-??-??-??-??-

分数裂项计算

分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 知识点拨 教学目标

六年级数学-分数的拆分

什么叫分数的拆分？ 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。 例如： 27 1541181+=； 30 1451181+=； 22 1991181+=； 3 12161-=； 4 131121-=；等等。 下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。 当一个分数为 )1(1n ＋n ?的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：1 11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ? 例如： 5141541201-=?=；7161761421-=?= 分数拆分的具体应用 例·计算：42 13012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。 例如： 9 171972632-=?=； 8 131835245-=?=； 7 141743283-=?= 用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，d n n d n n d +-=+?11)(

具体应用： 计算：20 182181621614214122?+?+?+? 12 120 120118118116116114114112120 182181621614214122=+-+-+-+-=?+?+?+ ? d n n d n n d +-=+?11)( 这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形： 例如： )8 131(5124551241-?=?= 因为8-3=5 所以提取一个5 1，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6 141(2124221241-?=?=，这得看计算时的需要了。 练习：计算21 171171311391951511?+?+?+?+? 21 521 2041)21 11(41)211171171131131919151511(41)21 174171341394954514(4121 171171311391951511=?=-?=-+-+-+-+-?=?+?+?+?+??=?+?+?+?+?

分数地裂项与巧算

六 年级 数学 科 导学案 发现规律、利用公式的过程。 2学会观察、改造、运用公式等过程。 3需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算。 教学重点：列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提， 教学难点：学会找规律 ，发现数字规律。 知识点： 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分 1.概念 单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。 分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆 2．解题方法与技巧。 （1）把单位分数拆分成单位分数相加的和 方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和 再拆分：拆分成约数作分子的分数。 后约分：约分成最简分数 方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。 把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。 （3）把假分数分拆成单位分数相加的和 方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。 例题一 在错误!未找到引用源。的括号里填入适当的自然数，使等式成立。 分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。 分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩

以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。 解析一：8的约数有1、2、4、8。 ①错误!未找到引用源。 ②错误!未找到引用源。 ③错误!未找到引用源。 ④错误!未找到引用源。 ⑤错误!未找到引用源。 ⑥错误!未找到引用源。 以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。 如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。，共有四组解。 解法二：错误!未找到引用源。(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？) 练习一 将下列各分数写成两个单位分数： 1.错误!未找到引用源。 2. 错误!未找到引用源。 3. 错误!未找到引用源。 4.错误!未找到引用源。 5. 错误!未找到引用源。 6. 错误!未找到引用源。

分数乘法与分数裂项法

分数乘法与分数裂项法

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分数乘法与分数裂项法 【专题解析】 我们知道,分数乘法的运算是这样的：分数乘分数,应该分子乘分子，分母乘分母(当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律:这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分,从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题,仔细观察运算符号和数字特点,合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质,当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 例1．计算:(1）4544×37 （2)200４×2003 67 分析与解：观察这两道题的数字特点，第(1)题中的4544与1只相差1个分数单位，如果把4544写成（１-45 44）的差与3７相乘,再运用乘法分配律可以使计算简便。同样,第（2)题中可以把整数2004写成（2０03＋１）的和与2003 67相乘,再运用乘法分配律计算比较简便。 【举一反三】 计算:（１） 4443×37 (２）5756×37 (3）57 56×5６ 例2.计算:（1）7２174×2417 (2）7３151×8 1 分析与解：（1）72174把改写成(7２ ＋174)，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。（2)7315 1把改写成(72 ＋1516),再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 【举一反三】 计算:(1)2074×107 (２)16136×3213 (3)13357×81 （4）64171×9 1 【小试牛刀】 计算:（1)2928×３7 (２）29 13×２８

分数拆项与裂项

分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数

分数乘法与分数裂项法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10

【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】

分数巧算一(拆分)

分数巧算一（裂项求和） 一、归纳公式： 二、例题： 1．=+++++++++11019017215614213012011216121 2． =?++?+?+?35311151111171731 3．=+++++++++++++++ 10032114321132112111 4． =??++??+??+??10099981543143213211 5． =+-+-+-+-110219019721756154213301120912765 6．=++++++++110199018721756164215301420131212611 7． =+++++++++11010990897271565542413029201912116521 8． =+++++++++++++120110519117816615514513612812111511016131 9． =-+-+-+-90 717255564142293019201112561 10．+?3122+?4232 +?5 342=?+10098992

三、练习 1．=++++++++110111909172735657424330312021121367 2． =?++?+?+?353211181851521 3．=++++++1101139011172195617421530132011 4． =+-+-+-+-55214519361728152113151110916735 5． =+++++++++3301270121611681126190160136118161 6． =??++??+??+??103101991975175315311 7．=++++++++ 4589367128552141152910196113511 8． =+++++++++++++++999631129631963163131 9． ()()()()() ()()100219921100432132143212132112+++?++++++++?+++++?+++? 10．+?6222+?8432 +?10642=?+200196992

20180420五年级奥数分数的速算与巧算

五年级奥数 分数的速算与巧算（一） 一、知识要点 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 5、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 （三）、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+