固体物理
王矝奉固体物理概念题解答
第2章 晶体的结合
思 考 题
1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型? [解答] 共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.
2.如何理解库仑力是原子结合的动力?
[解答] 晶体结合中, 原子间的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的过程中, 把原本分离的原子拉近的动力只能是长程力, 这个长程吸引力就是库仑力. 所以, 库仑力是原子结合的动力. 3.晶体的结合能, 晶体的内能, 原子间的相互作用势能有何区别?
[解答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量, 称为晶体的结合能. 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能. 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多. 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能. 4.原子间的排斥作用取决于什么原因?
[解答] 相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力. 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠. 5. 原子间的排斥作用和吸引作用有何关系? 起主导的范围是什么?
[解答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态. 可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为
0r ,
当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r
时, 排斥力起主导作用. 6.共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?
[解答] 设N 为一个原子的价电子数目, 对于IV A 、V A 、VI A 、VII A 族元素，价电子壳层一共有8个量子态, 最多能接纳(8- N )个电子, 形成(8- N )个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”. 共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?
[解答] 共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.
8.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.
[解答] 当一个中性原子吸收一个电子变成负离子, 这个电子能稳定的进入原子的壳层中, 这个电子与原子核的库仑吸引能的绝对值一定大于它与其它电子的排斥能. 但这个电子与原子核的库仑吸引能是一负值. 也就是说, 当中性原子吸收一个电子变成负离子后, 这个离子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量. 9.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?
[解答] 使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱. 一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.
10.为什么许多金属为密积结构?
[解答] 金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大). 原子实越紧凑, 原子实与共有电子电子云靠得就越紧密, 库仑能就越低. 所以, 许多金属的结构为密积结构. 11.何为杂化轨道?
[解答] 为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应s 2?、x
p 2?、
y
p 2?、
z
p 2?量子态, 在构成共价键时,
它们组成了4个新的量子态
).
(21
),
(21
),
(21
),
(2122221222212222122221z y x z y x z y x z y x p p p s p p p s p p p s p p p s ????ψ????ψ????ψ????ψ+--=-+-=--+=+++=，
4个电子分别占据1ψ、2ψ、3ψ、4ψ新轨道， 在四面体顶角方向(参见图1.18)形成4个共价键.
12.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引作用决定?
[解答]
如上图所示,
0r 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就越小. 0r 附近力曲线的斜率决
定了固体的弹性性质. 而0r
附近力曲线的斜率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.
13.固体呈现宏观弹性的微观本质是什么?
[解答]
固体受到外力作用时发生形变, 外力撤消后形变消失的性质称为固体的弹性. 设无外力时相邻原子间的距离为
0r , 当相邻原子间的距离r >0r 时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离r <0r 时, 排斥
力起主导作用. 当固体受挤压时, r <0r , 原子间的排斥力抗击着这一形变. 当固体受拉伸时, r >0r
, 原子间的吸引力抗击着这一形变. 因此, 固体呈现宏观弹性的微观本质是原子间存在着相互作用力, 这种作用力既包含着吸引力, 又包含着排斥力.
14.你是如何理解弹性的, 当施加一定力, 形变大的弹性强呢, 还是形变小的强?
[解答]
对于弹性形变, 相邻原子间的距离在
0r 附近变化. 令r r r ?+=0, 则有
).
1(),
1()1()(0
00
00
00r r
n
r r r r
m
r r r
r r r r n n m m m m m ????-≈-≈+=+=-------
因为
0/r r ?是相对形变, 弹性力学称为应变, 并计作S , 所以原子间的作用力
.)(0
00000S r Bn r Am r BnS r AmS r B r A r B r A f n m n m n m n m -=-++-=+-
=
再令
c r Bn
r Am n m =-0
0,
cS f =.
可见, 当施加一定力, 形变S 大的固体c 小, 形变S 小的固体c 大. 固体的弹性是固体的属性, 它与外力和形变无关. 弹性常数c 是固体的属性, 它的大小可作为固体弹性强弱的度量. 因此, 当施加一定力, 形变大的弹性弱, 形变小的强. 从这种意义上说, 金刚石的弹性最强.
15.拉伸一长棒, 任一横截面上的应力是什么方向? 压缩时, 又是什么方向?
[解答]
如上图所示, 在长棒中取一横截面, 长棒被拉伸时, 从截面的右边看, 应力向右, 但从截面的左边看, 应力向左. 压缩时, 如下图所示, 应力方向与拉伸时正相反. 可见, 应力方向依赖于所取截面的外法线矢量的方向.
16.固体中某一面积元两边的应力有何关系?
[解答]
以上题为例, 在长棒中平行于横截面取一很薄的体积元, 拉伸时体积元两边受的应力如图所示.
压缩时体积元两边受的应力如下图所示.
当体积元无限薄, 体积元将变成面积元. 从以上两图可以看出, 面积元两边的应力大小相等方向相反. 17.沿某立方晶体一晶轴取一细长棒做拉伸实验, 忽略宽度和厚度的形变, 由此能否测出弹性劲度常数
11c ?
[解答]
立方晶体c b a , ,轴是等价的, 设长棒方向为x (a , 或b , 或c )轴方向, 做拉伸实验时若忽略宽度和厚度的形变, 则只有应力
1T 应变1S 不为0, 其它应力应变分量都为0. 由(2.55)可得 1111S c T =. 设长
棒的横截面积为A , 长度为L , 拉伸力为F , 伸长量为L ?, 则有: L L S A F T / ,/11?==. 于是,
L A FL c ?/11=.
18.若把上题等价成弹簧的形变, 弹簧受的力kx F -=, k 与11c 有何关系?
[解答] 上题中长棒受的力
L
c L A
F ?11=,
长棒的伸长量L ?即是弹簧的伸长量x . 因此,
.11c L A k =
可见, 弹簧的弹性系数k 与弹性劲度常数的量纲是不同的.
19.固体中的应力与理想流体中的压强有何关系?
[解答]
固体受挤压时, 固体中的正应力
321 , ,T T T 与理想流体中的压强是等价的, 但6
54 , ,T T T 不同于理
想流体中的压强概念. 因为压强的作用力与所考虑截面垂直, 而654 , ,T T T 与所考虑截面平行. 也就是说,
理想流体中不存在与所考虑截面平行的作用力. 这是因为理想流体分子间的距离比固体原子间距大得多, 流层与流层分子间不存在切向作用力.
20.固体中的弹性波与理想流体中的传播的波有何差异? 为什么? [解答] 理想流体中只能传播纵波. 固体中不仅能传播纵波, 还能传播切变波. 这是因为理想流体分子间距离大, 分子间不存在切向作用力, 只存在纵向作用力;而固体原子间距离小, 原子间不仅存在纵向作用力, 还存在切向作用力.
第三章 晶格振动与晶体热学性质
思 考 题
1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同? [解答]
以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比
iqa e m A B -+-+=21221ββωββ (1)
其中m 原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为
??????????????????? ??+--+=2
/122
212
12122sin )(411)(qa m A ββββββω, (2) ???????????
???????? ??+-++=2
/1222121212
2sin )(411)(qa m O
ββββββω. (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为
iqa
e qa A B -+????????? ??+-+=
212
/122
2121212sin )(41)(ββββββββ, (4)
iqa
e qa A B -+????????? ??+-+-=
212
/122
2121212sin )(41)(ββββββββ. (5)
由于 )
cos -(12)()sin ()cos (212212222121qa qa qa e iqa βββββββββ-+=++=+-
=
2
/122
2121212sin )(41)(???
?????? ??+-+qa ββββββ，
则由(4)(5)两式可得, 1=A B
. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个
原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.
2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么? [解答]
(1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
3. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答]
为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .
4. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? [解答]
长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 5. 晶体中声子数目是否守恒? [解答]
频率为i ω的格波的(平均) 声子数为
11)(/-=
T k i B i e n ωω ,
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为
ωνπωωωωωωωd 2311d )()('0
3
22
/0
?
?????
?
???? ??-==D
B i D p c
T k V e D n N .
作变量代换
T k x B ω =
，
?
Θ-=
T
x p
B c D e x
x T k V N /0
23323
31
d 23'νπ .
其中D Θ是德拜温度. 高温时, x e x
+≈1
T
k V N p
D
B c 3322
343'νπΘ =,
即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.
低温时,
∞→)/(T D Θ,
3
133323102332330
23323
3)2(23)d (231d 23'T n k V x e x T k V e x x T
k V N n p B c n nx p B
c x
p
B c ∑∑??∞=∞=∞-∞
==-=
νπνπνπ ,
即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.
6. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? [解答]
频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11)(/-=
T k B e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T
k B O e
ω )大于(1/-T
k B A e ω ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
7. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? [解答]
设温度T H >T L , 由于(1/-H
B T k e ω )小于(1/-L B T k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声
子数目.
8. 高温时, 频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系? [解答]
温度很高时, 1/-≈ωω T
k B e
, 频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11)(/-=T k B
e n ωω ω T
k B ≈.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
9. 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波? [解答]
从图3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.
10. 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答]
晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量q 不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢k 与散射波矢'k 要大, 散射角θ也要大. k 与'k 大要求波长小, 散射角θ大要求q 大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射. 11. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? [解答]
长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.
12. 金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl 晶体, 结论又是什么? [解答]
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率. 13. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? [解答]
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.
由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.
14. 你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？ [解答]
实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波. 15. 对于光学横波, 0→T ω对应什么物理图象?
[解答]
格波的频率ω与β成正比. 0→T ω说明该光学横波对应的恢复力系数0→β. 0=β时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场.
16. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
[解答]
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源. 17. 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献合理吗? [解答]
参考本教科书（3.119）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式
2//2
)1(d )(max
min
-???? ??=?
T k O T k B B VO B B O O e
D e T k k C ωωωωωωω .
在甚低温下, 对于光学波, T
k B e
/ω 1>>, 上式简化为
ωωωωωωd )(/2
max min
O T k B B VO D e T k k C B O O -?
???? ??=.
以上两式中)(ωO D 是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下,
0)/(/→-T e T k B ω , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡
献是合理的.
从声子能量来说, 光学波声子的能量O ω 很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的
振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波. 18. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? [解答]
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
19. 在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗? [解答]
频率为i ω的格波的振动能为
i
i i n ωε ??
? ??
+=21,
其中i i n ω 是由i n 个声子携带的热振动能, (2/i ω )是零点振动能, 声子数
11/-=
T k i B i e n ω .
绝对零度时, i n =0. 频率为i ω的格波的振动能只剩下零点振动能. 格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量. 20. 温度很低时, 声子的自由程很大, 当0→T 时, ∞→λ, 问0→T 时, 对于无限长的晶体, 是否成为
热超导材料? [解答]
对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当0→T 时, 声子数n 0→. 因此, 0→T 时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.
21. 石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点? [解答] 由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数V α与格林爱森常数γ成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小,
它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数γ大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.
第四章 晶体的缺陷
思 考 题
1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？ [解答]
正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.
2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /?与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /?存在差异， 是何原因？ [解答]
肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式
L L Δ>a a Δ.
3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？ [解答]
由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+
K 离子的半径(1.33o
A )小得不是太多, 所以+2Ca 离子难以进
入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+
2Ca 比+
K 高一价, 为了保持电中性
(最小能量的约束), 占据+
K 离子的一个+
2Ca
将引起相邻的一个+
K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2
越多, +
K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小. 4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低? [解答]
形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低. 5.金属淬火后为什么变硬? [解答] 我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.
6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点? [解答]
在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.
7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数. [解答]
滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密
积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001). 8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗? [解答]
由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, -+
B A
离子晶体的热缺陷对导
电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+v A ν和+
i A ν
,
正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为
+
v
A E 和
+
i
A E , 负离子空位附近的离子和填隙离
子的振动频率分别为-v B ν和-
i B ν
, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别-v B E 为-i B E , 则由(4.47)矢可得
T
k E
B A A B v
A v
v
e
T
k ea /2++
+-=
νμ,
T
k E
B A A B i A i
i
e
T k ea /2+
++-=
νμ,
T
k E
B B B B v
B v
v
e
T
k ea /2--
--=
νμ,
T
k E
B B B B i B i
i
e
T
k ea /2-
---=
νμ.
由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+v
A E <
+
i
A E ,
-v
B E <
-
i
B E . 由问题1.已知,
所以有
+v
A ν<
+
i
A ν,
-v
B ν<
-
i
B ν. 另外, 由于
+A 和-B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般
-
+≠B A E E ,
-
+≠B A νν.
也就是说, 一般-
-
+
+
≠≠≠i
v i v B B A A μ
μ
μμ
. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同. 9.晶体结构对缺陷扩散有何影响? [解答]
扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期. 10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？ [解答]
填隙原子机构的自扩散系数
T
k E u B ae D /)(0222221
+-=ν,
空位机构自扩散系数
T
k E u B ae D /)(0111121
+-=ν.
自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系
数小于空位机构的自扩散系数.
11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长? [解答] 与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个
空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费
T k E u B e n N t /)(02
21211+==
ντ
的时间才被空位复合掉. 由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间
T
k E u u B e
n n N P /)(02
212222111++===νττ.
由以上两式得
2/2n N
e t
T k u B =
=τ
>>1.
这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.
12.一个空位花费多长时间才被复合掉？ [解答]
对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时, 它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为
空位, 并跳到此空位上所花费的时间
T k E u B e n N t /)(01
11111+==
ντ.
13.自扩散系数的大小与哪些因素有关? [解答]
填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成
RT
N T k e a e a D B /20/20021
21εενν--==.
可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0
N )三因素有关.
14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?
[解答]
占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度. 15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么? [解答]
正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间
21τn N
后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间
2
1ττn N t +=. 因为
τ>>21τn N ,
所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多. 16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？ [解答]
目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.
17.-
+B A 离子晶体的导电机构有几种? [解答]
离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. -+
B A
离子晶体中有4种缺陷:
+A 填隙离子, -B 填隙离子, +A 空位, -B 空位. 也就是说, -+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位
的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. -+B A 离子晶体中, +A 空位附
近都是负离子, -
B 空位附近都是正离子. 由此可知,
+A 空位的移动实际是负离子的移动, -B 空位的
移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +
A 填隙离子和-
B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而-
B 填隙离子和+
A 空位的漂移方向与外电场方向相反.
第五章 晶体中电子能带理论
思考题
1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数
)()(r r k.r k i k u e =ψ,
对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得
)(r k u =r
K
K .)(1
m i m
m e a N ∑Ω
.
对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此,
)(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略.
当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生
了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略.
在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造..
2. 布洛赫函数满足
)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,
何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答]
人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数
r
K k'h K k r ).()'()(h i h
e a +∑+=ψ,
其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入
)(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e ,
得到
n k'.R i e =n k.R i e .
其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答]
波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、
方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=??b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=??,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？ [解答]
当电子的波矢k 满足关系式
0)2(=+
?n
n K k K
时, 与布里渊区边界平行且垂直于n K 的晶面族对波矢为k 的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k 垂直于布里渊区边界的分量的模等于
2/n K .
5. 一维周期势函数的付里叶级数
nx a
i
n
n e
V x V π2)(∑=
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的? [解答]
周期势函数V (x ) 付里叶级数的通式为
x
i n
n n e V x V λ∑=)(
上式必须满足势场的周期性, 即
x
i n
n a i x i n
n a x i n
n n n n n e V x V e e V e V a x V λλλλ∑∑∑====++)()()()(.
显然
1=a i n e λ.
要满足上式,
n λ必为倒格矢
n a n πλ2=
.
可见周期势函数V (x )的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.
6. 对近自由电子, 当波矢k 落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的? [解答]
设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为321K ,K ,K , 则321K ,K ,K 都满足
321 ,0)2(K ,K ,K K K k K ==+
?n n
n ,
且波函数展式
r
K
k K r ).()(1)(m i m
m k e a N +∑=
Ω
ψ
中, 除了含有)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为
]
)( ,)( ,)( ,)0([1)().(3).(2).(1.321r K k r K k r K k r k k K K K r +++=
i i i i e a e a e a e a N Ω
ψ.
由本教科书的(5.40)式, 可得
0)()()()()()()0()(233221122=-+-+-+???
???-K K K K K K k a V a V a V a E m k , 0
)()()()()()(2)0()(3312211221=-+-+??????-+K K K K K K K k K a V a V a E m k a V ,
)()()()(2)()()0()(3322221122=-+???
???-+-+K K K K k K K K K a V a E m k a V a V ,
)()(2)()()()()0()(3222231133=???
???-+-+-+K k K K K K K K K a E m k a V a V a V .
由)( ,)( ,)( ,)0(321K K K a a a a 的系数行列式的值
)(2)
()
()
()()(2)()()
()()(2)()()()()(222231333222122312122132122=??
?
???----???
???----???
???----??
?
???-k K K K K K K K k K K K K K K K k K K K K k E m k V V V V E m k V V V V E m k V V V V E m k .
可解出电子的能量. 可见能量久期方程中的行列式是四阶的.
7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点? [解答]
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁
带. 若电子所处的边界与倒格矢n K 正交, 则禁带的宽度)
(2n K V E g
=, )(n K V 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.
8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别? [解答]
晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F , 晶格对电子的作用力为F l , 电子的加速度为
)(1
l m F F a +=
. 但F l 的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含F l , 又要保持上式左右恒等, 则只有
F a *1
m =
.
显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m 的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m *与真实质量m 的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别. 9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点? [解答]
由本教科书的(5.88)和(5.89)两式得
m m m l
F F F +
=*.
将上式分子变成能量的增量形式
m t
m t m t l d d d *
ννν?+
?=?F F F ， 从能量的转换角度看, 上式可表述为
m
E m E m E 晶格对电子作的功
外场力对电子作的功
外场力对电子作的功
)d ()(d )(d *
+
=
.
由于能带顶是能带的极大值，
2
2k E ??<0，
所以有效质量
222*k E m ??=
<0.
说明此时晶格对电子作负功, 即电子要供给晶格能量, 而且电子供给晶格的能量大于外场力对电子作的功. 而能带底是该能带的极小值，
2
2k E ?? >0，
所以电子的有效质量
2
2
2
*
k E m ??= >0.
但比m 小. 这说明晶格对电子作正功. m* n n V T m m 211* += <1. 10. 电子的有效质量* m 变为∞的物理意义是什么? [解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化 m E m E m E 晶格对电子作的功 外场力对电子作的功外场力对电子作的功 )d ()(d )(d * + = []电子对晶格作的功外场力对电子作的功)d ()(d 1 E E m -=. 从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量* m 变为∞. 此时电子 的加速度 01 *== F a m , 即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么? [解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为 ∑-= k R r k r ,R ) ,(1)(n n N W ααψ. 紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体. 在这类晶体中的电子有两大特点: (1) 电子被束缚在原子附近的几率大, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近, 即当r →R n 时, 电子波函数) ,(n R r k -αψ与孤立 原子波函数)(n at R r -α?相近. (2) 它远离原子的几率很小, 即r 偏离R n 较大时, 2 ) ,(n R r k -αψ很小. 考虑到r 偏离R n 较大时, 2 ) (n at R r -α?也很小, 所以用 )(n at R r -α?来描述) ,(n R r k -αψ是很合适的. 取 ) ,(n R r k -αψ=)(k μ)(n at R r -α?. 将上式代入万尼尔函数求和中, 再利用万尼尔函数的正交性, 可得 =)(r ,R n W α)(n at R r -α?. 也就是说, 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的. 12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值? [解答] 紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s 态电子能量(5.60)表达式 ∑?--=n i s s at s s n e J C E E R k k )( 即是例证. 其中孤立原子中电子的能量at s E 是主项, 是一负值, s s J C --和是小量, 也是负值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? [解答] 以s 态电子为例. 由图5.9可知, 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分 r R r R r r r d )()]()([)(* n at s n at N at s s V V J ----=???Ω 的大小又取决于)(r at s ?与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的 )(r at s ?与)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电 子的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽. 14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？ [解答] 将电子的波矢k 分成平行于布里渊区边界的分量//k 和垂直于布里渊区边界的分量k ┴. 则由电子的平均速度 ) (1k E k ?= ν 得到 ////1k E ??= ν, ⊥⊥??= k E 1ν. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有⊥??k E /=0, 即垂直于界面的速度分量⊥ν为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波. 15. 在磁场作用下, 电子的能态密度出现峰值, 电子系统的总能量会出现峰值吗? [解答] 由（5.111）式可求出电子系统的总能量 ?∑? =-==F F E l n E n b E E aE E E EN U 0 2 /1][d d )( ∑=?? ? ???-=l n n F b a b E a 0n 2/32/3)(32-][3 2 {} ∑=-=l n n F n b a b E ab 0 n 2 /3)(2-2 其中 m eB n b m V a c c n c c = ??? ? ? +=? ? ? ??=ωωπω ,21 ,282 /322 . 对系统的总能量求微商B U ??/, 其中有一项 ∑ =? ?? ? ? +-??? ?? +-l n F n m eB n E m e n ab 02121 . 可见, 每当 F E m eB n =? ?? ?? + 21 时, 总能量的斜率B U ??/将趋于∞, 也即出现峰值. 16. 在磁场作用下, 电子能态密度的峰值的周期是什么? 简并度Q 变小, 峰值的周期变大还是变小? [解答] 由（5.111）式可知, 在磁场作用下, 电子的能态密度 c l n c c n E m V E N ωπω ??? ?? +-=∑ =211)2(8)(0 2 /322 . 从上式不难看出, 能量E 分别等于 c c c c l ωωωω 21 2... ,25 ,23 ,21+ 时, 能态密度都出现峰值. 相邻峰值间的能量差, 即峰值的周期为c ω . 由(5.109)式可知, 简并度 y x c L L m Q πω2= . 其中y x L L 和分别是晶体在x 方向和y 方向的尺寸. 因为峰值的周期正比于c ω, 所以简并度Q 变小, 峰值的周期也变小. 17. 当有电场后, 满带中的电子能永远漂移下去吗? [解答] 当有电场后, 满带中的电子在波矢空间内将永远循环漂移下去, 即当电子漂移到布里渊区边界时, 它会立即跳到相对的布里渊区边界, 始终保持整体能态分布不变. 具体理由可参见图5.18及其上边的说明. 18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子? [解答] 设晶格是由N 个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N 个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N /2)个. 可见一个能级上包含4个电子. 19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同? [解答] 在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献. 20. 加电场后空穴向什么方向漂移? [解答] 加电场ε后空穴的加速度 h m e t ε ν= d d , 其中h m 是空穴的质量, 是正值. 也就是说, 空穴的加速度与电场ε同方向. 因此, 加电场ε后空穴将沿电场方向漂移下去. 第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数) (E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率? [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+= -T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11)(/)(+= -T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以 )(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量? [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声 子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11/-= T k i B i e n ω . 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的? [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化? [解答] 费密能级 3/2220)3(2πn m E F =, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低? [解答] 当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大? [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系. 价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式 3/120)3(πn k F = 可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点 从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0 F E , 而费密能又正比与电子浓度 3/2n : () 3 /22 2 032πn m E F =, () 3 /22 2 0310353πn m E E F ==. 所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大. 7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系? [解答] 对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式 )(0 0ε???+ =v τe E f f f 可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0 ε???v τe E f 部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态 能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁 到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式 x k S x x E S v e j F ετπ ?=?d 42 2 2 和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ?= ?d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子. 总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁. 8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗? [解答] 电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前 金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能. 9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么? [解答] 两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0 F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0 F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金 属高于0 F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为 1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差. 10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化? [解答] 如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k . 上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电 子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永 远达不到一个稳定分布. 11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高? [解答] 电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径 3/12)3(πn k F =. 可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高. 12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系? [解答] 设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度. 若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为 由于 F k k k ==', 所以 F F k q k q 222 sin = = θ . 在常温下, 由于q < F F k q k q == θ. 由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3 T 成正比, 电阻率与5 T 成正比, 2 T 之差是何原因? [解答] 按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热 3 4) (512D B V T Nk C Θπ=. 而声子的浓度 ??-= -=m B m B T k p T k c e v e D V n ωωωωω ωπωω0 /2320 /1 d 231 d )(1 , 作变量变换 T k x B ω = , 得到甚低温下 3 33232T v Ak n p B π = , 其中 ?∞ -=0 21d x e x x A . 可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比. 按照§6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3 T 成正比, 电阻率与5 T 成正比, 2 T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方 2 8 622 0/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =?????? ??????--=??ωωωωωωωω , 其中 ??∞∞ --=02 031 d 1d x x e x x e x x B 。 14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系? [解答] 霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的. 设金属的长度方向为x 轴, 电场ε沿x 方向, 磁场B 沿z 轴方向, 金属的宽度方向为y 轴方向. 在此情况下, 运动的电子将受到洛伦兹力 )(B v F ?-=e 的作用. 该作用力指向负y 方向, 使电子在运动过程中向负y 方向偏转, 致使负y 侧面的电子浓度增大, 正y 侧面的电子浓度减小. 其结果, 如下图所示, 使得导体的宽度方向产生了一个附加电场y ε , 即霍耳电场. 15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴? [解答] 由(6.109)可以看出, 电子导电材料的霍耳系数是一负值. 通过实验测定出材料的霍耳系数, 若霍耳系数是负值, 则可断定载流子是电子, 若霍耳系数是正值, 则可断定载流子是空穴. 16.磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大? 为什么? [解答] 磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下, 由于产生了附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁场对电子分布函数的影响要弱得多. 17.为什么在开路状态下, 传导电子能传输热流? [解答] 在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 说明单位时间内由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子数, 等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子数. 但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能, 高于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能. 也就是说, 尽管在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域. 18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么? [解答] 以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是 x x j σε=. 可见, 电场强度x ε一定, 电导σ大, 电流密度x j 就大. 电导σ成为金属通流能力的量度. 热导系数与热能流密度的关系是 x T k q x d d -=. 可见, 温度梯度一定, 热导系数k 大, 热能流密度x q 就大. 热导系数k 成为金属传输热能流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大. 另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数 ???? ??==* 222 2*2233m ne e T k m T n k k F B F B τπτπ. 对于立方晶系金属来说 στ=???? ? ?*2m ne F . 可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大. 1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ= § 2.3 金属性结合;§ 2.4 范德瓦耳斯结合; §2.5 元素和化合物晶体结合的规律性 1. 教学目的和要求: 通过讲解使学生理解并掌握金属性结合和范德 瓦耳斯结合；理解元素和化合物晶体结合的规律性 2．教学重点：金属性结合和范德瓦耳斯结合。 3．教学难点：范德瓦耳斯结合。 4．讲授时间：45分钟。 5．讲授方式：PPT文档。 6．作业：学生课后复习。 一．金属性结合 （1）金属性结合的概念 第I族、第II族元素及过渡 元素都是典型的金属晶体，它们 的最外层电子一般为1~2个。组 成晶体时每个原子的最外层电 子为所有原子所共有，因此在结 合成金属晶体时，失去了最外层 （价）电子的原子实“沉浸”在 由价电子组成的“电子云”中。 如图XCH002_004所示。 这种情况下，电子云和原子实之 间存在库仑作用，体积 越小电子云密度越高，库仑相互 作用的能愈低，表现为 原子聚合起来的作用。 （2）金属晶体结合力 金属晶体结合力：主要是原子实和电子云之间的静电库仑力，对晶体结构没有特殊的要求，只要求排列最紧密，这样势能最低，结合最稳定。因此大多数金属具有面心立方结构，即立方密积或六角密积，配位数均为12。 立方密积（Cu、Ag、Au、Al）（面心立方结构）（配位数12） 六角密积(Be、Mg、Zn、Cd) 体心立方结构(Li、Na、K、Rb、Cs、Mo、W)（配位数8） 良好的导电本领，结合能比前面两种晶体要低一些，过渡金属的结合能较大。 晶体的平衡是依靠库仑作用力和一定的排斥力而维持的。 排斥来自两个方面 (a) 但体积减小，电子云的密度增大，电子的动能将增加 (b) 当原子实相互接近到一定的距离时，它们的电子云发生显著的重叠，将产生强烈的排斥 作用。 金属性结合对原子的排列没有特殊的要求，这使得容易造成原子排列的不规范性，使其具有很大的范性。 二．范德瓦耳斯结合 （1）范德瓦耳斯结合的概念 元素周期表中第VIII族（惰性）元素在低温下所结合成的晶体，是典型的非极性分子晶体。为明确起见，我们只介绍这种分子晶体。 惰性元素最外层的电子为8个，具 有球对称的稳定封闭结构。但在某 一瞬时由于正、负电中心不重合 而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就 会使其它原子产生感应极矩。非极 性分子晶体就是依靠这瞬时偶极 矩的互作用而结合的，这种结合力 是很微弱的。1873年范德瓦耳斯 （Van der Waals）提出在实际气体 分子中，两个中性分子间存在着 “分子力”。当时他并没有指出这 力的物理本质，现在知道瞬时偶极 矩引起的力是分子力的一种。如图 XCH002_005所示。 （2）范德瓦耳斯结合的特征 惰性元素因具有球对称，结合时排列最紧密以使势能最低，所以Ne、Ar、Kr、Xe的晶体都是面心立方结构。它们是透明的绝缘体，熔点特低，分别为24K、84K、117K和161K。 固体物理作业 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 2.简单阐述下列概念： I.晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 II.固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞）。 III.正格子、倒格子、布喇菲格子和复式格子。 3.晶体的重要结合类型有哪些，他们的基本特征为何？ 4.为什么晶体的稳定结合需要引力外还需要排斥力？排斥力的来源是什么？ 5.何谓声子？试将声子的性质与光子作一个比较。 6.何谓夫伦克耳缺陷和肖脱基缺陷？ 7.自由电子气体的模型的基本假设是什么？ 8.绝缘体中的镜带或能隙的起因是什么？ 9.试简述重要的半导体材料的晶格结构、特征。 10.超导体的基本电磁性质是什么？ 作业解答： 1.分别用空间点阵、晶格和原胞的概念给晶体下一个定义。 解答： I. 取一个阵点做顶点，以不同方向上的平移周期a、b、c为棱长，做一个平 行六面体，这样的平行六面体叫做晶胞。由很多个晶胞结合在一起构成晶 体。 II. 在空间点阵各个点上配置一些粒子，就构成了晶格。晶格是晶体矩阵所形成的空间网状结构。在网状结构的点上配置一些结构就构成了晶体。 III. 在空间无限排列最小的结构称为原胞，原胞是构成了晶体的最小结构。2.简单阐述下列概念： 解答： I . 晶格、晶胞、晶列、晶向、晶面、晶系。 晶格：又称晶架，是指的晶体矩阵所形成的空间网状结构——说白了就是晶胞的 排列方式。把每一个晶胞抽象成一个点，连接这些点就构成了晶格。 晶胞：顾名思义，则是衡量晶体结构的最小单元。众所周知，晶体具有平移对称 性。在一个无限延伸的晶体网络中取出一个最小的结构，使其能够在空间内密铺 构成整个晶体，那么这个立体就叫做晶胞。简而言之，晶胞就是晶体平移对称的 最小单位。 晶列：沿晶格的不同方向晶体性质不同。布喇菲格子的格点可以看成分裂在一系列相 互平行的直线系上,这些直线系称为晶列。 晶向：布喇菲格子可以形成方向不同的晶列,每一个晶列定义了一个反向，称为晶向。 晶面：在晶体学中，通过晶体中原子中心的平面叫作晶面。 晶系：晶体根据其在晶体理想外形或综合宏观物理性质中呈现的特征对称元素可 划分为立方、六方、三方、四方、正交、单斜、三斜等7类，是为7个晶系。 II 固体物理学原胞（初级原胞）、结晶学原胞（惯用原胞）和魏格纳赛斥原胞（W-S 原胞。 一．本章习题 P272习题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=. 一． 说明： C 是上下底面距离，a 是六边形边长。 二． 分析： 首先看是怎样密堆的。 如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。 （同一面上有6个，上下各有3个） 上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。 中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a 。 所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。 三． 证明： 如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点 3 3 'a AB AO = = ∴ （由余弦定理 ) 330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οο ο 633.13 22384132)2()2()3 ()2(2 22 222 22 2 2' '≈===∴+=+=+ =a c c a a c a a c OA AO OO 2．若晶胞基矢c b a ρ ρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 一、分析： 我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ 2=。 倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ ++= 写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρ ρρ的关系。即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。进而求 得此面间距d 。 二、解： c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)(ρ ρρ 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ρ 《固体物理》课程教学大纲 一、课程简介： 固体物理学融汇了力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学和晶体学等多学科的知识，在现代科学技术中起着非常重要的作用，是物理学的重要组成部分，是物理专业的必修基础课。 二、教学目的 本课程主要介绍固体物理学的基础知识和基本理论，为进一步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建立初步的理论基础。在课程教学过程中，进一步培养学生的现代科学意识，提高分析问题与解决问题的综合能力及创新思维的能力。 三、教学要求 1．了解固体物理学发展的主要历程及固体物理对现代物理学与现代科学技术发展的作用。 2．了解固体物理学及凝聚态领域的当代前沿概况。 3．掌握固体物理学的基本概念与基础理论。 4．掌握固体物理学分析与处理问题的基本手段和思想方法。 5．掌握固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子）之间的相互作用、运动规律，晶体结构与物质力学、热学、光学性质的之间的关系。重点是晶体结构、晶体结合、晶格振动、金属自由电子论、能带论等。 四、课程重点与难点 课程重点：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体结构的基本特点和类型及对称性质；确定晶体结构的X射线衍射方法；晶体的结合类型与特点；晶格振动与晶体的热学性质。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属自由电子理论和电子的输运性质。 课程难点：倒点阵的性质及其与正点阵的关系；晶体X射线衍射的分析；晶格振动的色散关系与模式密度；布洛赫定理及推论；晶体中电子的准经典运动与有效质量。 五、选用教材及参考书目 1．使用教材 基泰尔，《固体物理导论》，化学工业出版社，2013年6月第8版； 2．教学参考书目 （1）方俊鑫，陆栋，《固体物理学》（上册），上海科学技术出版社，1980年12月第1版； （2）阎守胜，《固体物理基础》，北京大学出版社2003年8月第二版； （3）陆栋，蒋平，徐至中，《固体物理学》，上海科学技术出版社，2003年12月第1版； （4）胡安，章维益，《固体物理学》，高等教育出版社，2005年6月第1版； （5）黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，1988年10月第1版。 六、课程内容： 基本内容有两大部分：一是晶格理论，二是固体电子理论。晶格理论包括：晶体的基本结构；晶体中原子间的结合力和晶体的结合类型；晶格的热振动及热容理论；晶格的缺陷及其运动规律。固体电子论包括：固体中电子的能带理论；金属中自由电子理论。 教学时间分配表 第1章晶体结构 第一节原子的周期性阵列 第二节晶格的基本类型 第三节晶面指数系统 第四节简单晶体结构 第五节原子结构的直接成像 第六节非理想晶体结构 第七节晶格结构的有关数据 固体物理基础解答吴代鸣 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： １.试证理想六方密堆结构中c/a ＝1．633. 证明： 如图所示,六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构,其高度为 2.若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ===,, 晶胞体积abc c b a v =??=)( 倒格子基矢: k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=?=?==?=?==?=?= 而与 (h ｋl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d ++= ++= =ππ π ３.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择?每个原胞含有几个原子? 答: 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心,八个顶点中取一个,对面面心各取一个原子(即三个)作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。 4．试求面心立方结构的(111)和（11０)面的原子面密度。 解: (１11)面 平均每个（１11)面有22 1 3613=?+?个原子。 （１11)面面积 ()222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a =?= -? 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a = = σ (1１０)面 平均每个(110）面有22 1 2414=?+? 个原子。 (１10）面面积2 22a a a =? 所以（11０)面原子面密度22 )110(2 22a a ==σ 5.设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢: j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2===??=?===??=?=πππππππ 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b - 次近邻;2,2,,2211b b b b -- 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b ---+- 再再次近邻;3,322b b - 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线,围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得: 第一布里渊区是一个扁长方形; 第二布里渊区是2块梯形和２块三角形组成； 第三布里渊区是２对对角三角和４个小三角以及2个等腰梯形组成。 固体物理学教学难点及对策 马永轩 （东北林业大学理学院物理系，黑龙江哈尔滨150040） [摘要] 本文针对固体物理教学中的问题和难点，介绍了如何激发学生的学习兴趣，引导学生应用已掌握的知识、更高层次的物理规律和变换角度法去理解新的概念，从而顺利突破难点，取得了良好教学效果。 [关键词]固体物理；学习兴趣；倒格子；声子；布拉格反射 固体是在一定条件下广泛存在的一大类物质聚集状态。固体物理学是研究固体中原子的排列方式，组成粒子之间的相互作用与运动规律，从微观上阐明其性能及用途的基础学科。它是凝聚态物理学的基本理论部分；是多数物理分支学科、材料科学及电子科学工作者的基础；它为物理专业本科生继续深造架起重要桥梁。 由于固体物理学课程内容理论性强，涉及领域广泛，内容庞杂零散，规律和原理复杂，概念与模型较多，并且它们之间不像四大力学那样具有知识相联系的主线。这样在限定学时内，对于教学内容的取舍及顺序安排，教学方法的改进，教学难点的顺利突破显得尤为重要。为有利于培养本科生解决问题能力及创新能力，适应研究型大学人才培养的需要，固体物理学的教学改革势在必行。本人结合二十年来讲授固体物理学的心得，针对如何调动学生的学习积极性和几个难于理解的问题，谈谈所采用的对策。 1. 努力调动学生学习的积极性 固体物理学是一门古老的学科，其基本理论早在上世纪中叶就已确立。根据教学大纲要求，本科生主要是掌握基本概念和基本理论。但这些内容很容易使学生感到乏味或难以理解，从而失去了学习的兴趣，缺失学习的源动力，自然不会收到好的教学效果。所以，教师在教学过程中，应该有针对性的将固体物理（即凝聚态物理）研究的新动态及新成果介绍给学生，使学生对课程始终保持着好奇和期待，继而产生学习的兴趣。课程的效果自然也就“事半功倍”了。具体做法如： （1）上好绪论课 在绪论课上重点介绍固体物理学在人类科技史上的突出地位，特别是近年来固体物理学的拓展与融合给材料科学、电子科学等带来的飞跃式发展。如髙温超导体、准晶体、石墨烯和巨磁阻效应等等。多利用图片、动画片等将搜集和整理到的有重要贡献的物理学家的研究成果、学科发展的动态等内容展示给学生。以便拓展学生的视野，激发起学生对本门课的学习兴趣和明确努力方向。 （2）适时将相关研究成果引入课堂 教师要时时关注本学科的发展动态及研究成果，并结合教学内容适时介绍给学生，让学生强烈地感受到科学发展的脉搏和动力，譬如讲完晶体结构实例后，向学生展示高温超导体（YBaCuO2）的结构，讲完混合健后展示并简述C60分子及碳纳米管图片等。这样使学生懂得了基础知识与当前研究热点的重要关系，明确了打好基础的重要性，在使学习兴趣得到逐步增强的同时，也对培养学生创新性思维能力大有裨益。 2.倒格子（倒易点阵）概念引入问题 1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明： 如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为 2．若晶胞基矢c b a ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。 解： c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ,, 晶胞体积abc c b a v )( 倒格子基矢： k c j b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b i a k c j b ab c c b v b 2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321 而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 2 22321)()()(2) (2c l b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl ） 晶面族的面间距 2222 22)()()(1)()()(222c l b k a h c l b k a h G d 3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答： 通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。 体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立 方格子。 4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。 解： （111）面 平均每个（111）面有22 1 3613 个原子。 （111）面面积 222232 322)2 2( )2(22 1 a a a a a a 所以原子面密度2 2)111(34 2 32a a （110）面 平均每个（110）面有22 1 2414 个原子。 （110）面面积2 22a a a 所以（110）面原子面密度22 )110(2 22a a 5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a 2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。 解： 倒格子基矢： j b j a j a j ax x a a a a v b k x a i a x i a x a a a a v b 113233212 12212222)(2) (2222)(2 所以倒格子也是二维矩形格子。2b 方向短一半。 最近邻;,22b b 次近邻;2,2,,2211b b b b 再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b 再再次近邻;3,322b b 做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得： 第一布里渊区是一个扁长方形； 第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成； 第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。 6．六方密堆结构的原胞基矢为： 第 3 次 课 教学目的：掌握原胞、基矢和布拉伐格子的基本概念；掌握简立方、面心立 方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示； 理解复式晶格结构及其表示 教学内容：§1.2 晶格的周期性 重点难点：简立方、面心立方、体心立方晶格原胞特点以及基矢的表示；复 式晶格结构及其表示 §1.2 晶格的周期性 1 晶格周期性的描述 — 原胞和基矢 —— 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述 （1）原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小） 如图XCH001_011所示。 （2） 基矢：原胞的边矢量。 三维格子的重复单元是平行六面体，是重复单元的边长矢量 （3） 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作 为重复单元。 特点：单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期。代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 基矢： 表示单胞的基矢。 在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。 简单立方晶格 — 单胞是原胞 321,,a a a c b a ,, 面心立方晶格 — 单胞不是原胞 例如面心立方晶格，如图XCH001_013所示。 原胞基矢： ——原胞的体积： 单胞基矢： ——单胞的体积： 2 简单晶格 简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。 1）简单立方晶格（Simple Cube ） 原胞为简单立方晶格的立方单元。 基矢： 如图XCH001_012所示 原胞体积： —— 原胞中只包含一个原子 晶胞中，顶角的原子可视为8个立方单元所共有,故8×1/8=1。 2）面心立方晶格 （fcc ） 如图XCH001_013所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心 立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢 ， ,,a ai b aj c ak == =123()2 () 2 ()2 a a j k a a k i a a i j = +=+=+33214 1)(a a a a V =??= 3)(a c b a V =??= k a a j a a i a a ===321,,3321)(a a a a V =??= 321,,a a a 物理学简介（各专业，各方向） 物理学是研究宇宙间物质存在的基本形式、性质、运动和转化、内部结构等方面，从而认识这些结构的组成元素及其相互作用、运动和转化的基本规律的科学。 物理学的各分支学科是按物质的不同存在形式和不同运动形式划分的。人对自然界的认识来自于实践，随着实践的扩展和深入，物理学的内容也在不断扩展和深入。 随着物理学各分支学科的发展，人们发现物质的不同存在形式和不同运动形式之间存在着联系，于是各分支学科之间开始互相渗透。物理学也逐步发展成为各分支学科彼此密切联系的统一整体。 物理学家力图寻找一切物理现象的基本规律，从而统一地理解一切物理现象。这种努力虽然逐步有所进展，但现在离实现这?目标还很遥远。看来人们对客观世界的探索、研究是无穷无尽的。 物理学介绍---物理学 物理学 物理学早期称为自然哲学，是自然科学中与自然界的基本规律关系最直接的一门学科。它以研究宇宙间物质各层次的结构、相互作用和运动规律以及它们的实际应用前景为自己的任务。 从17世纪牛顿力学的建立到19世纪电磁学基本理论的奠定，物理学逐步发展成为独立的学科，当时的主要分支有力学、声学、热力学和统计物理学、电磁学和光学等经典物理。本世纪初，相对论和量子论的建立使物理学的面貌焕然一新，促使物理学各个领域向纵深展，不但经典物理学的各个分支学科在新的基础上深入发展，而且形成了许多新的分支学科，如原子物理、分子物理、核物理、粒子物理、凝聚态物理、等离子体物理等。在近代物理发展的基础上，萌发了许多技术学科，如核能与其它能源技术、半导体电子技术、激光和近代光学技术、光电子技术、材料科学等，从而有力地促进了生产技术的发展和变革。 19世纪以来，人类历史上的四次产业革命和工业革命都是以对物理学某些领域的基本规律认识的突破为前提的。当代，物理学科研究的突破导致技术变革所经历的时间正在缩短，从而在近代物理学与许多高技术学科之间形成一片相互交叠的基础性研究与应用性研究相结合的宽广领域。物理学科与技术学科各自根据自身的特点，从不同的角度对这一领域的研究，既促进了物理学的发展和应用，又加速了高技术的开发和提高。 我国的物理学专业，从来就不是纯物理专业，它是包括应用物理和技术物理在内的基础研究和应用研究相结合的专业。建国以来，我国的许多新技术学科如半导体、核技术、激光、真空技术等的大部分，都是在物理学科中萌芽、形成和发展起来的。基础性工作与应用性工作同时并存、相互结合是我国物理学科的特点. 物理学科是一门基础学科。在物理学基础研究过程中形成和发展起来的基本概念、基本理论、基本实验手段和精密测量方法，已成为其他学科诸如天文学、化学、生物学、地学、医学、农业科学等学科的组成部分，并推动了这些学科的发展。物理学还与其他学科相互渗透，产生了一系列交叉学科，如化学物理、生物物理、大气物理、海洋物理、地球物理、天体物理等。这种相互渗透过程一直在进行之中，例如量子计算问题是当前的一个研究热点，有可能对信息科学产生重要的影响。数学对物理学的发展起了重要的促进作用，反过来物理学也促进了数学和其他交叉学科的发展。 物理学也是各种技术学科和工程学科的共同基础，物理量测量的规范化和标准化已成为计量学的一个重要研究内容。依据上述认识，物理学科可包含如下几个分支∶理论物理、粒 课程编号：011908 总学分：3学分 固体物理 （Solid-State Physics） 课程性质：学科大类基础课 适用专业：应用物理学专业 学时分配：课程总学时：48学时。其中：理论课学时：46学时（含演示学时）；实验学时：0学时；上机学时：0学时；习题课学时：2学时。 先行、后续课程情况：先行课：高等数学、热力学与统计物理,；后续课：量子力学,原子物理。 教材：《固体物理学》，黄昆，韩汝琦，高等教育出版社 参考书目：《固体物理学》，陆栋，上海科学技术出版社 《固体物理基础》，阎守胜，北京大学出版社 《固体物理简明教程》，蒋平，徐至中，复旦大学出版社 一、课程的目的与任务 固体物理学是应用物理和物理类各专业的一门必修基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程，它的主要内容是研究固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能和用途，尤其以固态电子论和固体的能带理论为主要内容。 通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体结构的基本描述，固体电子论和能带理论，以及实际晶体中的缺陷、杂质、表面和界面对材料性质的影响等，掌握周期性结构的固体材料的常规性质和研究方法，了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课学习打好基础。 二、课程的基本要求 教学内容的基本要求分三级：掌握、理解、了解。 掌握：属于较高要求。对于要求掌握的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应比较透彻明了，并能熟练地用以分析和计算有关问题，对于能由基本定律导出的定理要求会推导。 理解：属于一般要求。对于要求理解的内容（包括定理、定律、原理等的内容、物理意义及适用条件）都应明了，并能用以分析和计算有关问题。对于能由 《电子工程物理基础》课后习题参考答案 第一章 微观粒子的状态 1-一维运动的粒子处在下面状态 (0,0)() (0) x Axe x x x λλψ-?≥>=? =??==? 第十九讲金属自由气体模型 一、固体物理中的主要模型（理论）： Atoms in the solid matter= ion cores (离子实)+ valence electrons（价电子） = nuclei + core electrons + valence electrons 1.最简单的模型—金属自由电子气体模型 a)认为离子实静止不动； b)通过“自由电子近似（凝胶模型--离子实系统产生的势场是均匀的）” 和“独立电子近似（忽略电子与电子之间的作用）”形成一类最简单的 “单电子近似”模型： i.Drude Model (1900) ii.Sommerfeld Model (1928) 2.次简单模型Ⅰ—晶格模型和能带理论 a)认为离子实仍然静止不动； b)离子实系统产生的势场随空间是周期变化，不再是均匀的。 3.次简单模型Ⅱ—晶格振动理论和声子模型 a)不考虑电子的运动； b)离子以简正模式运动。 4.最复杂的模型—电子与声子相互作用理论，光子与声子相互作用理论， 光子与电子（固体、半导体中的电子，）相互作用理论，…总结： 学习这种将复杂的大问题（真实的物理体系）化成可以局部求解的小问题（简化的物理体系）；通过不断对简单模型的修正，来处理复杂的体系。在学会这种思维方式的同时，保持头脑清醒，牢记各种模型的成立前提（或条件，或可忽略的物理内容），才能正确使用模型，得到合理的有价值的结论。 二、Sommerfeld量子金属自由电子气体模型 通过三个近似，将一块体积为V的金属简单地看成一堆价电子在体积为V的“空盒子”中运动的单纯由电子组成的体系。 1.自由电子近似——对金属来说是个比较好的近似。 a)忽略价电子与离子实之间的作用，认为离子实系统产生的势场对处在其 中的价电子来说是均匀的。 b)将离子实系统看成是保持体系电中性的均匀正电荷背景。 c)价电子的自由运动范围仅限于金属块的体积V内，由金属的表面势垒将 价电子限制在样品内部。 2.独立电子近似——对其它晶体（包括半导体和绝缘体）来说也是 一个比较好的近似。 a)忽略价电子与电子之间的作用，把其它电子对某一个价电子的作用看成 是平均场； b)认为某一个价电子的运动不影响其他电子的运动； 收稿日期:2004-08-18 基金项目:吉林省高等教育教学研究课题和吉林省教育科学 十五规划 课题(B415042) 第一作者简介:华 中(1961-),男,吉林省松原市人,吉林师范大学物理学院教授. 2004年11月 吉林师范大学学报(自然科学版)!.4第4期Journal of Jilin Normal U niversity (Natural Science Edition)Nov.2004 固体物理教学改革的探索与实践 华 中1,宋春玲2,刘 研3 (1.吉林师范大学物理学院,吉林四平136000;2.通化市技工学校,吉林通化134001; 3.沈阳职业技术学院机械电子学院,辽宁沈阳110043) 摘 要:为了满足培养具有创新精神、 创新能力人才的需要,固体物理教学改革势在必行.本文探讨了固体物理教学内容、教学方法和教学手段改革的措施,实践结果表明,固体物理教学改革促进了专业基础理论知识的拓宽和保证了教师教育目标的实现. 关键词:固体物理;教学改革;创新能力;学科前沿 中图分类号:G642.0 文献标识码:A 文章编号:1000-1840-(2004)04-0026-03 1 引言 上个世纪五十年代末,固体物理作为我国大学物 理专业的一门基础课被讲授,当时开设这门基础课的 目的是为了赶上那个时代科学技术发展的步伐,此举 是当时物理专业课程设置上最显著的一项改革[1].然 而,随着科学技术的发展,固体物理课程的教学在新的 历史条件下已面临前所未有的挑战,碰到了许多难以 回避的新问题、新情况.一方面,固体物理经过半个多 世纪的迅速发展,已经成为当今物理学领域中最重要 的学科之一,它与当今最活跃的凝聚态物理和新材料 科学紧密相连,在当代高新技术的发展中起着关键性 的作用,许多科学技术新领域的兴起和发展,都是以固 体物理为基础的.同时,在固体物理中发展起来的基本 概念、基本理论和实验技术,向其他相邻学科领域渗 透,从而将促进其他学科的发展[2].另一方面,传统的 固体物理教学内容对固体物理前沿的新动态、新成果、 新概念介绍的不够,且传统的教学方法单一,不利于学 生解决问题的能力及创新能力的培养.为了培养和造 就高素质的创新型人才和具有把所学固体物理知识用 于中学物理教学的人才,固体物理教学改革势在必行.2 教学内容、教学方法改革的探索与实践2.1 注重课程建设,实现教学内容的创新现代教育是培养人的综合素质的教育.培养适 应当前科技进步、社会经济发展、日益激烈的国际竞争要求的和具有创新精神、创新能力的人才,是大学教育的中心任务.固体物理作为物理专业的一门理论与应用相结合的重要专业基础课,不仅能拓宽专业基础理论知识、同时又面向科技前沿的最新成果.因此,固体物理课程的学习,对培养学生的创新精神、创新能力、自觉学习和获取信息的能力将起着重要的作用.固体物理理论性较强、体系庞大、内容丰富,比较抽象难懂.对传统的固体物理教学内容进行整合和某些前沿知识的引入,实现教学内容的创新,是固体物理教学改革的突破口.固体物理教学内容的改革,总的要求是,必须适应我国社会的发展变化对高等教育提出的要求,必须适应社会需求的多样性和科学技术发展的要求,必须充分体现以学生为本的教育思想.课程内容应当在围绕促进学生合理的知识、能力、素质结构上寻找平衡点,有利于为个人的长远发展打下良好的基础.在这个总体要求指导下,教学内容的设置,既要考虑高师物理专业学生培养目标的实现,又要满足部分学生继续深造的愿望,这 就要求在加强传统的固体物理教学内容的同时要有 适当的知识延拓.这种教学内容的改革,不仅强化了 固体物理的基础知识,扩展了学生的知识面,使学生 开阔了视野,同时也实现了因材施教,注重学生个性? 26? 固体物理典型教案 §6.7 纯金属电阻率的统计模型 一．电阻率的本质 比喻 1． 纯金属具有电阻率的本质：金属的电阻率ρ与外电场ε和电流密度j 的关系为j ρ=ε。外电场ε一定，电阻率ρ大的金属电流密度j 就小。而电流密度j 正比于电子在电场方向的飘逸速度。这就是说电阻率ρ大的金属，电子的飘逸速度就小。电子的飘逸速度小，表明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向的飘逸速度。 2． 比喻：拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。这样以来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。 二．实验规律 高温：纯金属电阻率 T ∝ρ， 甚低温：5 T ∝ρ 问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？ 三． 前人的工作 包括J.Bardeen 在内的不少人对纯金属电阻率与温度的依赖关系进行过研究，但“处理方法、 数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。”[R.J.Elliot and A.F.Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its Applications, 311(1976) ]，这些研究难以以基础课的内容让学生们接受。 问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的关系？ 四． 提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路 1． 基础一 纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。 电子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章中把晶格振动谱测定中的光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。同理，我们也可以把电子与晶格之间的相互作用, 看成是电子与声子之间的相互碰撞。 2．基础二 第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平均频率的简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量，是电子与晶格作用的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。 3. 基础三 由上一节（§6.6）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。金属的电阻率 τ ρ2* ne m =， （1） 《固体物理实验方法》课程作业 所在院系： 年级专业： 姓 名： 学 号： 完成日期：2012年6月8日 一、X 射线衍射分析 1.原子比为1：1的MgO 晶体，其X 射线衍射谱（XRD ）能否观察到以下衍射峰：（111）、（110）、 （001）和（002）。给出推导证明过程。 解：MgO 晶体是面心立方结构，及面心立方晶格结构。而面心立方结构的基元在（0,0,0），（0,1/2,1/2）, （1/2,0, 1/2）, （1/2,1/2,0）的位置具有全同的原子。其面心立方晶格的结构因子如下： 如果所有的指数123(,,)v v v 都是偶数，则s=4ρ(ρ为原子的形状因子)；如果所有的指数123(,,)v v v 都是奇数，则 仍然得到s=4ρ；但是，如果123(,,)v v v 中只有一个整数为偶数，那么上式中将有两个指数项中的指数银子是-i π的 奇数倍，从而s=0。如果在123(,,)v v v 中只有一个整数为奇数，同理可知s=0。因此，对于面心立方晶格，如果整 数123(,,)v v v 不能同时取偶数或奇数，则不能发生反射。所以（111）、（002）可观测到衍射峰。而（110）、（001）不能观测到衍射峰。 2.L10相AuCu 合金点阵为四方晶格（a=b ≠c ，α=β=γ=90°）。下表为L10相AuCu 合金X 射线衍射峰位置。计算L10 相AuCu 合金的晶格参数。 解：从表格可以看出（111）峰的位置40.489θ=?，（110）峰的位置31.935θ=? 由布拉格定律：2sin d n θλ= 则有2sin31.935 1.54056d A ??= 得21.4562246, 2.0594126d A a b T d A ??===?= ，2sin 40.489 1.54056d A ? ?= 得 1.18632d A ?= 从而得出 2.0455678c A ?= 二、成分及形貌分析 1.电子与物质发生相互作用能产生哪些物理信号？解释各种物理信号产生的机理；基于这些 物理信号能发展出一系列分析方法，请论述这些分析方法的原理和应用。 电子束通过物质时发生的散射、电离、轫致辐射和吸收等过程。β射线同物质的相互作用 作为特例也属于这个范畴。具体原理及应用如下： （1）散射 电子和物质的原子核发生弹性散射时电子的运动方向受到偏折，根据所穿过物质 固体物理部分题目答案 注：这些题目可能与课本上有出入，大家抄题时以课本为主。还有其它题目请大家自己解决。 （本题可能与5.3题有关）6.3若将银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量 1)费密能量和费密温度 2）费米球半径 3）费米速度 4） 费米球面的横截面积 5） 在室温以及低温时电子的平均自由程 解 1）费密能量2 022/3(3)2F E n m π=h 210/3(3)F k n π= 6293 313410.5100.58610/107.87 9.11101.0510A n N m m kg J s --=??=?=?=??h 0198.8210 5.5F E J eV -=?= 费密温度046.410F F B E T K k ==? 2) 费密球半径 020()2F F k E m =h 0F k =0198.8210F E J -=? 01011.210F k m -=? 3) 费密速度0F F k v m =h 61.3810F v m s =? 4) 费密球面的横截面积02022(sin )sin F F S k k πθπθ== ――θ是F k u u r 与z 轴间夹角 21/3(3)F k n π= 2223 (3)sin S n ππθ= 5) 在室温以及低温时电子的平均自由程 电导率1σρ = 20()1 F nq E m τρ= 驰豫时间02()F m E nq τρ=平均自由程0()F F l v E τ= 2F mv l nq ρ=2F k nq ρ =h 0 K 到室温之间的费密半径变化很小01011.210F F k k m -==? 平均自由程02F k l nq ρ=h 将 19293 34010162956201.6100.58610/1.05101.2101.61100.03810F T K T K q C n m J s k m cm cm ρρ----=-==?=?=??=?=?Ω?=?Ω?h 代入 8295 5.241052.4T K l m nm -==?= 6320 2.210 2.210T K l m nm -==?=? 6.2已知一维晶体的电子能带可写成)2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η式中a 为晶格常数， 试求：(i)能带宽度 )2cos cos ()(818722 ka ka ma k E +-=η (ii)电子在波矢k 时的速度 (iii)能带底和顶的有效质量 解：(i) 0=dk dE 可解得：固体物理概念答案
232425(黄昆固体物理)教案
固体物理作业
固体物理基础课后1到10题答案
固体物理教学大纲2018
固体物理基础解答吴代鸣
固体物理学教学难点及对策2
固体物理基础答案解析吴代鸣
固体物理教案第3次课
物理学简介
固体物理教学大纲
东南大学固体物理基础课后习题解答
第十八讲固体物理简介
固体物理教学改革的探索与实践
固体物理教案
固体物理实验方法课程作业及答案(仅供参考)
(完整版)固体物理答案2