文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 事故树概率分析

事故树概率分析

顶上事件发生概率的计算

有了各基本事件的发生概率,就可计算顶上事件的发生概率。

1 利用最小割集计算顶上事件的发生概率。

(1)在事故树的定性分析中,给出了最小割集的求法,以及用最小割集表示的事故树等效图。等效图的标准结构形式是顶上事件T 与最小割集Ei的连接为或门,每个最小割集Ei与其基本事件Xi的连接为与门。如下图:

事故树概率分析

如果各最小割集中没有重复的基本事件,则顶上事件g的概率可按下式计算:

k

g = ∏·∏q i

r=1 x i∈k r

式中i —基本事件的序数;r —最小割集的序数;k —最

小割集的个数

x i∈k r—第i个基本事件属于第r个最小割集;

∏—求概率积;∏—求概率和。此事故树4个最小割集彼此没有重复事件,故可用上式计算顶上事件发生的概率:

k

g = ∏·∏q i = 1-(1-q1q2)(1-q3q4)(1-q5q6)(1-q7q8)

r=1 x i∈kr

式中,q1……q8,分别为各基本事件X1……X8的发生概率。

由此,我们得出结论,在事故树各最小割集没有重复事件的情况下,顶上事件的发生概率等于各最小割集的概率和,即:

g = 1-(1-qk1)(1-qk2)(1-qk3)(1-qk4)

式中,qk1……qk4,分别为各最小割集的发生概率。

(2)如果事故树各最小割集有重复事件,则应这样计算。

例某事故树有3个最小割集:K1={X1,X3},K2={X2,X3},K3={X3,X4},则该事故树的结构函数式为:T = K1 + K2 + K3,则概率 g=1-(1-qk1)(1-qk2)(1-qk3)=qk1+qk2+qk3 -(qk1qk2+qk1qk3+qk2qk3)+ qk1qk2qk3

对于qk1qk2,它是K1、K2交集的概率,即X1·X3·X2·X3,根据布尔代数幂等律,

X1·X3·X2·X3 = X1·X2·X3,

故qk1qk2 = qk1qk2qk3,同理qk2qk3 = qk2qk3qk3,qk1qk3= qk1qk3qk4,

qk1qk2qk3= qk1qk2qk3qk4

因此,遇到有最小割集彼此有重复事件时,就必须消去每个概率

积的重复因子,按下式计算:

k k

g = ∑∏q i - ∑∏q i + … + (-1)k-1∏q i

r=1 x i∈k r 1≤r< s≤k x1∈k r uk s r=1 x i∈k r

例设某事故的最小割集为{X1,X2},{X1,X3},{X2,X4,X5},其发

生概率分别为:q1=0.01,

q2 = 0.02,q3 = 0.03,q4 = 0.04,q5 = 0.05,求顶上事件的发

生概率。

解 K1 = {X1,X2},K2 = {X1,X3},K3 = {X2,X4, X5}

g = 1-(1-qk1)(1-qk2)(1-qk3)=qk1+qk2+qk3 -

(qk1qk2+qk1qk3+qk2qk3)+ qk1qk2qk3

=(q1q2+ q1q3+ q2q4q5)-(q1q2q3+q1q2q4q5+q1q2q3q4q5)+ q1q2q3q4q5

= q1q2 + q1q3 + q2q4q5 - q1q2q3 - q1q2q4q5 = 0.0005336

事故树概率重要度分析

结构重要度是从事故树的结构上分析各基本事件的重要程度。如

果进一步考虑各基本事件发生概率的变化会给顶上事件发生概率以

多大影响,就要分析基本事件的概率重要度。我们利用顶上事件发生

概率g函数是一个多重线性函数这一性质,只要对自变量q i求一次偏导,就可得到该基本事件的概率重要系数,即:

Ig(i)= δg/δq i

当我们利用上式求出各基本事件的概率重要系数后,就可以了解,诸多基本事件,减少哪个基本事件的发生概率可以有效地降低顶上事件的发生概率。

例设某事故树最小割集为{X1,X3},{X1,X5},{X3,X4},{X2,X4,X5},各基本事件发生概率分别为,q1=0.01, q2=0.02, q3=0.03, q4=0.04, q5=0.05。求各基本事件达到概率重要系数。

解:顶上事件发生概率g函数为:

g=(q1q3+q1q5+q3q4+q2q4q5)-(q1q3q4+q1q3q5+q1q2q3q4q5+q1q3q4q5+q1q2q4q5+q2q3q4q5)

+ (q1q3q4q5+q1q2q3q4q5+q1q2q3q4q5+q1q2q3q4q5)- q1q2q3q4q5

= q1q3 + q1q5 + q3q4 + q2q4q5 - q1q3q4 - q1q3q5 - q1q2q4q5 - q2q3q4q5 + q1q2q3q4q5

这样,我们就可以计算出各基本事件的的概率:

Ig(1)= δg/δq1 = q3 + q5 + 0+ 0 - q3q4 - q3q5 - q2q4q5 – 0 + q2q3q4q5 = 0.773

Ig(2)= δg/δq2= 0+ 0 + q4q5- 0- 0- q1q4q5 - q3q4q5 + q1q3q4q5 = 0.0019

Ig(3)= δg/δq3= q1+ 0+ q4 + 0 - q1q4 - q1q5 - 0- q2q4q5 + q1q2q4q5 = 0.049

Ig(4)= δg/δq4 = 0+ 0+ q3+ q2q5 - q1q3 - 0- q1q2q5 - q2q3q5 + q1q2q3q5=0.031

Ig(5)= δg/δq5 = 0+ q1+ 0 + q2q4 - 0- q1q3 - q1q2q4 - q2q3q4 + q1q2q3q4=0.010

这就是说,缩小基本事件X1的发生概率,能使顶上事件的发生概率下降速度较快,它比以同样数值缩小其它任何基本事件的发生概率都有效.其次是X3、X4、X5,最不敏感的是X2。

从概率重要系数的求取,可以看到这样的事实,一个基本事件的概率重要度大小,并不取决于它本身的概率值大小,而取决于它所在最小割集中其他基本事件的概率积的大小。