数一20年考研试题-多元积分学
2003年考研数学（一）真题
1.（本题满分10分）
过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;
(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 2.（本题满分10分）
已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe
x L
y x L
y
sin sin sin sin -=-??--;
(2)
.22sin sin π≥--?dx ye dy xe
x L
y
3.（本题满分12分）
设函数f(x)连续且恒大于零，
?????+++=
Ω)
(2
2
)
(222
)()()(t D t d y x
f dv
z y x
f t F σ
，?
??-+=
t t D dx
x f d y x f t G 1
2
)
(22
)()()(σ
，
其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(2
22t y x y x t D ≤+=
(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2
)(t G t F π
>
2005年考研数学（一）真题评注
1. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的
整个边界的外侧，则
??∑
=++zdxdy ydzdx xdydz 3)2
21(2R -
π. 2. 解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分11分）
设}0,0,2),{(2
2
≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最
大整数. 计算二重积分??++D
dxdy y x xy .]1[2
2 3.（本题满分12分）
设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分
?
++L
y x xydy
dx y 4
222)(?的值恒为同一常数.
（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(4
2
=++?
C
y
x x y d y
dx y ?；
（II ）求函数)(y ?的表达式.
2008年考研数学（一）真题评注
1. 设曲面∑
是z =
的上侧，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑
++=?? .
2. （本题满分10分） 计算曲线积分
()2
sin 221L
xdx x
ydy +-?，其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点
(),0π的一段.
1994年考研数学（一）真题评注
1. 设区域D 为2
2
2
x y R -≤，则22
22()D
x y dxdy a b +=?? 。
2. 计算曲面积分2222
S
xdydz z dxdy x y z +++??，其中S 是由曲面222
x y R +=及两平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面的外侧。
3. 已知点A 与B 的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）。线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积。
1995年考研数学（一）真题评注
1. 计算曲面积分
zds ??
，其中∑
是由锥面z =在柱体22
2x y x +≤内的部分。 2. 设函数Q(x,y)在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)L
xydx Q x y dy +?
与路径
无关，并且对任意t 恒有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=
+?
?
求Q(x,y)
1996年考研数学（一）真题评注
1. 计算曲面积分
(2)S
x z dydz zdxdy ++??，其中S 是有向曲面2
2(01)z x
y z =+≤≤，其法
向量与z 轴正向的夹角为锐角。
1997年考研数学（一）真题评注
1. 计算2
2
()I x y dv Ω
=+???，其中Ω为平面曲线220y z
x ?=?=?绕z 轴旋转一周形成的曲面与平
面8z =所围成的区域。
2. 计算曲面积分()()()C
z y dx x z dy x y dz -+-+-?，其中C 是曲线221
2x y x y z ?+=?-+=?从z 轴
正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的。
1998年考研数学（一）真题评注
1. 设L 为椭圆22143x y +=，其周长记为a,则22
(234)L
xy x y ds ++=?? 。 1999年考研数学（一）真题评注
1. 求(sin ())(sin )x x L
I e y b x y dx e y ax dy =-++-?
，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A(2a,0)
沿曲线y =
O （0,0）的弧。
2. 设S 为椭球面222122
x y z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求
(,,)S
z
ds x y z ρ??。 2000年考研数学（一）真题评注
1. 设2
2
2
2
:(0)S x y z a z ++=≥，S 1的S 在第一卦限中的部分，则有（）
A 1
4S
S xds xds =???? B 1
4S
S yds xds =????
C
1
4S
S zds xds =???? D 1
4S
S xyzds xyzds =????
2. 计算曲线积分224L xdy ydx
I x y -=
+??，其中L 是以点()1,0为中心，R 为半径的圆周()1R >取
逆时针方向.
3. 设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面S,都有
2()0x
S
xf x dydz xydzdx e
zdxdy --=??ò
其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x →+
=，求()f x 。
2001年考研数学（一）真题评注
1. 计算2
22222()(2)(3)L
I y
z dx z x dy x y dx =
-+-+-??，其中L 是平面2x y z ++=与柱
面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向。
2006年考研数学（一）真题评注
1. 设∑
是锥面1)z z =
≤≤的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑
++-=?? 。
2. 设f(x,y)连续函数，则
4
1
(cos ,sin )d f r r rdr π
θθθ?
?等于
A
20
(,)x f x y dy B
20
(,)f x y dy
C
20
(,)y
f x y dx D
20
(,)f x y dx
3.设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211D
xy
I dxdy x y +=
++??。 4.设在上半平面{(,)|0}D x y y =>内，函数(,)f x y 有连续偏导数，且对任意的0t >都有
2(,)(,)f tx ty t f x y =。
证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有
(,)(,)0L
yf x y dx xf x y dy -=??
2009年考研数学（一）真题评注
1. 如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，
cos k
k D I y xdxdy =??,则14
max{}
k k I
≤≤=
A 1I
B 2I
C 3I
D 4I
2010年考研数学（一）真题评注
2007年考研数学（一）真题评注
用MATLAB算多元函数积分
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的，因此只要能正确的得出各累次积分的积分限，便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域，当其形状较复杂时，要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难，此时，可以借助MATLAB 的三维绘图命令，先在屏幕上绘出Ω的三维立体图，然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转，并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影： view(0,0),向XOZ 平面投影； view(90,0),向YOZ 平面投影； view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法，一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???，其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形，画圆锥曲面的命令可以是： syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前，为保持先画的图形不会被清除，需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内： [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分： 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分： clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分，其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分，因此可完全类似的使用int 命令进行计算，并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简： factor （ans ） ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
2多元函数积分学.docx
2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一） 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四） 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区 域；&型简单区域）一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法 儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 儿何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法 曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）； 全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克 斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质： （1）=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( （2）[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( （3）、D d x d y D =?? （4）21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( （6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? （2） D ：)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤， ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 （3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 （1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则
多元函数积分学
多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式）
③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）
多元函数积分学(上)
重积分测验题 一、选择题（每小题4分） 1、设??????+=+=+= D D D dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I )(,)(,)ln(322 1，其中D 是由直线 1,2 1 ,0,0=+= +==y x y x y x 所围成的区域，则321,,I I I 的大小顺序为_________. A 、123I I I << B 、321I I I << C 、231I I I << D 、213I I I << 2、设?? =1 21 sin y dx x dy I ，则I 等于___________. A 、 )1cos 1(2 1 - B 、1cos 1- C 、1sin 1+ D 、积不出来 3、设 ,),(),(10 10 ? ???-=x D dy y x f dx dxdy y x f 则改变其积分次序后应为_________. A 、 ?? -1 10 ),(dx y x f dy x B 、? ?-x dx y x f dy 101 ),( C 、 ?? 1 1 ),(dx y x f dy D 、? ?-y dx y x f dy 10 1 ),( 4、设0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x 则___. A 、??????ΩΩ=2 1 4xdv xdv B 、??????ΩΩ=2 1 4ydv ydv C 、 ??????ΩΩ=2 1 4zdv zdv D 、??????ΩΩ=2 1 4xyzdv xyzdv 5、 Ω是由曲面1,0,,22===+=z y x y y x z 在第一卦限所围成的区域，),,(z y x f 在Ω 上连续，则 ???Ω dv z y x f ),,(=__________. A 、 ?? ? +-1 11 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy B 、?? ? +-1 12 20 2 2 2 ),,(y x x x dz z y x f dy dx C 、 ?? ? +-1 12 2 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy D 、???+1 10 2 2 ),,(y x y dz z y x f dx dy 二、填空题（每小题4分） 1、由二重积分的几何意义得到 =??≤+1 43 22y x d σ 2、二重积分 ?? D xydxdy 的值为__________,其中.10,0:2 ≤≤≤≤x x y D
多元函数的积分学;微分方程
多元函数积分学；微分方程 试题 1. 求22()D x y dxdy +??，D y ≤所在第一象限区域. 2. 设(,)f x y 为有界闭区域{}222(,)D x y x y a =+≤上的连续函数，求 2 01lim (,)a D f x y dxdy a π→??. 3.求I=)D y d σ??，D ：由224x y +≤和22(1)1x y ++≥围成. 4.求I=1 1 0x dx --?? . 5.交换2 12(,)x dx f x y dy -?的积分次序.
6. 交换积分次序：11142210 4 (,)+(,)y y dy f x y dx dy f x y dx ???. 7.求2 2max(,) x y D e dxdy ??，其中：{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤. 8.设区域2 2 2 :D x y R +≤，求22 22()D x y dxdy a b +??. 9.设区域{}22:(,)1,0D x y x y x +≤≥，求I=22 11D xy dxdy x y +++?? . 10.设(,)f x y 为连续函数，222 ()(,)x y t F t f x y dxdy +≤=?? ，求()F t '.
11. 求 D σ,其中D 是由直 线0)y a a =-+>和直线y x =-所围成的区域. 12.设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x >，试证：21 ()()() b b a a f x dx dx b a f x ≥-?? . 13.设()f x 在[,]a b 上连续， 试证：1 1() ()=()()()b y b n n a a a dy y x f x dx b t f t dt n N n -+--∈???. 14. 求D σ,其中D 为22+1x y =的上半圆与222x y y +=的下半圆所 围成的区域.
多元函数积分学——线积分(简略)
高等数学
高数竞赛辅导
内容：线、面积分 一、曲线积分 一、
1. 背景
(1)
z = f ( x, y)
z O
∫ f ( x, y) d s
L
( f ( x, y) ≥ 0 )
y L
x
1) 以f (x,y)为线密度的曲线构件的质量； 2) 以L为准线，f (x,y)为高，母线平行于z 轴的柱面段的面积:
S柱面面积 = ∫ f ( x , y )ds .
L
目 回 上 下 停
r ( 2) ∫ P d x + Q d y : 变力F = ( P , Q )沿L所作的功.
L
2. 计算法
(1) ∫ f ( x , y , z ) d s的计算
L
方法： 1°性质
① 轴(或面)对称性
2°对称性的利用
(被积函数有相应 的奇偶性) ② 轮换对称性
3°直接法(化为定积分)
下限 < 上限！
目 回 上 下 停
( 2) ∫ P d x + Q d y 的计算， L为平面有向曲线
L
方法： 1°性质
2°直接法(化为定积分)
下限 ? L的起点 (下限 不一定小于上限！) (上 ) (终 ) 无奇点 恒等变形 ① L 封闭 有奇点 挖洞 3°格林公式 补线法(所围闭区域 ② L 不封闭： 不含奇点)
目 回 上 下 停
4°积分与路径无关
要求：熟悉四个等价命题. ① 特殊路径法 ② 原函数法
5°两类曲线的关系
目
回
上
下
停
第六章多元函数积分学(中)
分析：由于Ω由平面22x y z ++=，0,0,0x y z ===围成，不难看出Ω所有边界曲面的方程中含有变量z 的方程恰好有两个，故可将Ω向xoy 平面投影，得一平面区域D ；Ω的边界曲面的全部方程中只含变量,x y 的方程及两个含变量z 的方程消去z 得到的一个关于变量x 、y 的方程便是平面区域D 的边界曲线的方程；Ω的边界曲面的全部方程中含变量z 的方程0z =，11 122 z x y =- -为先积的定积分的积分限． 解：将Ω向xoy 平面投影，得一平面区域D ， D 由0,0x y ==，2x y +=围成，见图 11 1220 x y D I xdxdydz dxdy xdz --Ω ==?????? 22001111 (1)(1)2222 x D x x y dxdy dx x x y dy -=- -=--???? 2 220 11 1() 24 3 x x y xy y dx -= --=? ． （2）“先二后一” 即将三重积分化为： ()()()(,,)(,,)(,,)(,,)d c D z b a D x n m D y dz f x y z dxdy f x y z dv dx f x y z dydz dy f x y z dxdz Ω ?????=?????? ?????? ?????? 评注：当积分域是旋转体时，一般采用“先二后一”计算． 命题1：如果积分区域是绕轴旋转而成的旋转体时 ① 将Ω向z 轴投影得投影区间[,]c d ； ② (,)z c d ?∈，过点(0,0,)z 作z 轴的垂直平面，该平面截Ω得平面区域()D z 则 () (,,)(,,)d c D z I f x y z dv dz f x y z dxdy Ω = =???? ?? 其余两个命题类似．
第九章 多元函数积分学总结
第九章多元函数积分学 （三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用） 1、三重积分的引入： 三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦） 问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。 2、三重积分的计算： （1）作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。 （2）计算 三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球 面坐标系转换），接下来我们一一归纳之…… 投影区域较简单 两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。 σ是x一型区域： 若xy
()z y x f ,,仅是 z 的表达式或是常数()()dxdy z g dz dv z g D d c =???
Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用） 在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积
若立体V是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主x+）。此时用球面坐标系下的计算。 体，（或被积函数中含有2y 最后积θ，而且在大多数情况下，ρ 因子哦。
3、 第一类曲线积分概念的引入： 第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线Γ表示成参数方程，并且找出参数的区间 []βα,即可化成t 的一元函数定积分。 总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为 ()?Γ ds y x f , （1）若()()., , :βα≤≤?? ?==Γt t y y t x x 则()()()()()().,,,22??'+'=Γβα dt t y t x t y t x f ds y x f （2）若(),,: b x a x y ≤≤=Γ?则()()()()??'+=Γ b a dx x x x f ds y x f .1,,2?? （3）若(),,:d y c y x ≤≤=Γψ则()()()()? ?'+=Γ d c dy y y y f ds y x f .1,,2ψψ （4）若(),,:βθαθ≤≤=Γr r 即()().,sin ,cos βθαθθθθ≤≤==r y r x 则 ()()()()()()?? '+=Γ β α θθθθθθθ.sin ,cos ,22d r r r r f ds y x f (5)另外也可以表示为r 的函数，但是这种方法不常用 以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放 4、第一类曲面积分的引入： 第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量 ()()().1,,,,,2 2???? '+'+==xy d z z y x z y x f Q dS z y x f y x S σσ 若曲面()()xy z x z x y y S σ∈=,,,:，则 ()()()?? ???? ? ????+??? ????+=zx d z y x y z z x y x f dS z y x f S σσ.1,,,,,2 2 若曲面()(),,,,:yz z y z y x x S σ∈=则 ()()()?? ???? ? ????+???? ????+=yz d z x y x z y z y x f dS z y x f S σσ.1,,,,,2 2 这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些 两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的 5.点函数积分的基本性质 设 ()()P g P f ,在有界闭区域Ω上都可积，有
2多元函数积分学
2.多元函数积分学 〖考试内容〗(数学一) 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件已知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 〖考试要求〗(数学一) 1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4．掌握计算两类曲线积分的方法。 5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7．了解散度与旋度的概念，并会计算。 8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 〖考试要求〗(数学二) 1．了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 〖考试要求〗(数学三) 1．了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。2．了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 〖考试要求〗(数学四) 同数学三
2. 多元函数积分学 〖知识点概述〗 2．1 二重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域） 极坐标法（r型简单区域； 型简单区域） 一般变换法 几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2．2 三重积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域 投影法（先定积分后二重积分） 截面法（先二重积分后定积分） 柱坐标法; 球坐标法; 一般变换法 几何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2．3 曲线积分 第一类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 几何应用：弧长 物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念：定义、基本性质 计算方法：参数化法 曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空 间情形）; 全微分的原函数; 场论基本概念与计算 格林公式（平面曲线积分）; 斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量 第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
多元函数积分的计算方法技巧
第10章 多元函数积分的计算方法与技巧 一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分 假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤??12()()表示, 其中?1()x , ?2()x 在[,]a b 上连续 这个先对 y , 后对x 的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,)() ()σ??????=12 如果积分区域D 可以用下述不等式 c y d y x y ≤≤≤≤,()()φφ12 表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续, f x y (,)在D 上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ??????=????? ? ??=1212 (2)
显然,(2)式是先对x ,后对 y 的二次积分. 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 ) 在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ?与))(,(2x x ?,这里的)(1x ?、)(2x ?就是将x ,看作常数而对 y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,] a b ,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b . 例1计算xyd D ?? σ, 其中D 是由抛物线 y x 2=及直线y x =-2所围成 的区域.
D y y x y :,-≤≤≤≤+1222 xyd dy xydx x y dy D y y y y σ?????==???? ??-+-+12 2 212 2 2 212 [] =+-=-?12245 8 2512y y y dy () 2.利用极坐标计算二重积分 1、rdrd θ就是极坐标中的面积元素. x r →cos θ y r →sin θdxdy rdrd →θ f x y dxdy D (,)??f r r rdrd D (cos ,sin )θθθ?? 2、极坐标系中的二重积分, 可以化归为二次积分来计算. αθβ?θ?θ≤≤≤≤12()()r 其中函数?θ1(), ?θ2()在[,]αβ上连续. f r r rdrd d f r r rdr D (cos ,sin )(cos ,sin )() ()θθθθθθα β ?θ?θ????=12 注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.
多元函数积分的计算方法技巧
第10章多元函数积分的计算方法与技巧 一、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分 假定积分区域D可用不等式a x b x y x ≤≤≤≤ ?? 12 ()()表示, 其中? 1 ()x, ? 2 ()x在[,] a b上连续. 这个先对y, 后对x的二次积分也常记作 f x y d dx f x y dy D a b x x (,)(,) () () σ ? ? ???? = 1 2 如果积分区域D可以用下述不等式 c y d y x y ≤≤≤≤ ,()() φφ 12 表示,且函数φ1()y,φ2()y在[,] c d上连续,f x y (,)在D上连续,则 f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c d c d y y (,)(,)(,) () () () () σ φ φ φ φ ??? ??? = ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 2 (2)
显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分. 积分限的确定 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 ) 在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ?与))(,(2x x ?,这里的)(1x ?、)(2x ?就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b . 例1计算xyd D ?? σ , 其中D 是由抛物线y x 2=及直线y x =-2 所围成的区域.
多元函数积分学练习题
第 7 章 多元函数积分学 练习题
一、选择题与填空题
1.
11.交换二次积分次序，则
12.设 D ? ?x, y ? 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ，试利用二重积分的性质估计 I ?
?
? dx? f ( x, y)dy ? ? dx?
0 0
1
x2
2
2? x
?
1
0
f ( x, y)dy ? __________ __ .
?? xy?x ? y?d? 的
D
??
D
f ( x, y)d? ? lim ? f (?i ,?i )?? i 中 ? 是
? ?0
i ?1
n
值: （ B.小区域最大面积； D.小区域最大直径. （ B.区域 D 及变量 x，y 无关； D.函数 f 无关，区域 D 有关. （ ） ） ）
.
13.设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x ? y ? 1 所围成，比较大小：
姓名
A.最大小区间长； C.小区域直径；
装
2.二重积分
?? f ( x, y)dxdy 的值与
D
?? ? x ? y ? d? ______________ ?? ? x ? y ? d? .
D D
2
3
A.函数 f 及变量 x，y 有关； C.函数 f 及区域 D 有关； 3.设 f ( x) ? g ( x) ? ?
14.比较大小：其中 D 是以 (0,0),(1, ?1),(1,1) 为顶点的三角形，
学号
?4, 0 ? x ? 1 ，D 为全平面，则 ?? f ( x) g ( y ? x)dxdy ? ?0, 其余 D
?? ( x
D
2
? y 2 )d? ______________ ?? x 2 ? y 2 d? .
D
15.设 D 是由 x ? 0, y ? ? , y ? x 所围成的区域， 则 16.设 D： x ? y ? a ,(a ? 0) ,又有
2 2 2
__ . ?? cos(x ? y)dxdy ? __________
D
A.16； B.8； C.4； D. ?? . 4.设 D1 是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|≤1 上的连续函 数，则二重积分
?? ( x
D
2
? y )dxdy ? 8? ，则 a =
2
.
?? f ( x
D
2
, y 2 ) dxdy ?
B.4；
?? f ( x
D1
2
, y 2 ) dxdy .
（
）
订
A.2； 5.设 I1 ? C.8；
1 D. . 2
D
二、解答与证明题
1.根据重积分的性质，比较积分 ?? ln(x ? y)d? 与 ?? ln(x ? y) 2 d? 的大小，其中积分区域 D 是：
D
2 ?? ln( x ? y)d? ，I2 ? ?? ( x ? y) d? ， I3 ? ?? ( x ? y)d? ，其中 D 是由直线 x=0， D D
D
班级
y=0， x ? y ?
1 及 x ? y ? 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 2
B. I1＜I2＜I3
D
（1）以 (1, 0) ， (1, 1) ， ( 2, 0) 为顶点的三角形区域； （2）矩形区域： 3 ? x ? 5, 0 ? y ? 1 . 2.设 D ? {(x, y) x ? y ? 10} ，估计积分 I ? ??
（
）
1
2
A.I3＜I2＜I1 ；
C. I1＜I3＜I2；
D. I3＜I1＜I2. （ D. 8? . （ D. ） ）
D 100 ? cos
x ? cos 2 y
d? 的值.
2 2 6.设 D ? {( x, y ) 1 ? x ? y ? 9 } ， 则
?? dxdy ?
C. 3? ；
1
3.化二重积分 ?? f ( x, y )d? 为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域 D 为：由
D
线
A. ? ； 7. 顶点坐标为（0,0） ， （0,1） ， （1,1）的三角形面积可以表示为 B. 2? ； A.
y ? x, y 2 ? 4x 所围成的闭区域.
4.改变下列二次积分的积分次序. （1） ?1 dx?2? x
2 2 x? x2
x
系别
?
x
0
dy ? dx
0
y
B.
? dx?
0
1
x
1
dy
C.
? dx? dy
0 x
1
? dy ?
0
1
0
y
dx .
8.当函数 f(x，y)在闭区域 D 上______________时，则其在 D 上的二重积分必定存在. 9.二重积分
?? f ( x, y)d? 的几何意义是
D
（2） ? dx ? 2 f ( x, y )dy ? ? dx ? f ( x, y)dy ；
0 0 4
4
6
6? x
0
f ( x, y )dy .
5.计算二重积分 I ? . 6.计算二重积分 I ? 7.计算二重积分 I ?
?? x dxdy ，其中 D : x ? y ? 1.
2 D
10.交换二次积分次序，则
? dy?
0
1
2? y y
f ( x, y)dx ? __________ ___.
?? x
D
2
1 ? y 2 dxdy ，其中 D : 0 ? y ? 1 ? x2 ,0 ? x ? 1 .
?? |1 ? x ? y | dxdy ，其中 D : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1.
D
1/2