5第五讲 映射与函数

第5讲 映射与函数讲义

◎高考要求

☆ 映射、一一映射的概念，能根据定义判断所给对应是否为映射，会求映射中所有指定的象或原象.

☆ 函数的概念与函数的三要素，掌握函数的三种表示方法.

☆ 运用排列组合知识计算映射的个数.

☆ 分段函数与复合函数的概念.

◎考向指南

映射是高中数学中的一个重要概念，应予以足够的重视，高考对其的考查以选择题型为主，主要涉及概念；对函数的概念、函数的记号、分段函数的考查一直是高考考查的重点；会求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数为背景，结合不等式、方程、数列等知识，考查学生处理综合问题的能力；除了会考选择和填空外，也有可能把定义一种新的运算作为考查的目的.

◎考基要点

1、什么是映射？

设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 都有惟一确定的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合B A 、以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作

B A f →:. ※提示：（1）映射包括集合B A 、以及从A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可. （2）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必须有惟一的象，但B 中的每一个元素却不一定都有原象，如果有，也不一定只有一个.

（3）判断对应是否为映射，首先看A 中元素在B 中有没有象，其次看是否惟一，若A 中有一个元素在B 中没有象，或者，A 中有一个元素在B 中有两个或者两个以上的象，则此对应不是映射.

相关概念：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象.

2、什么是函数？ 设B A 、是两个非空数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 都有惟一确定数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射，记作

A x x f y ∈=),(.

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域.

※提示：（1）函数的三要素：定义域、对应法则和值域.

（2）函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图像法.

（3）常用函数 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数（为常数c c y ,=）

（4）函数是特殊的映射，特殊在B A 、都是非空数集，若A 或B 为空集?，则确定A 到B 对应不为函数.

3、研究函数常常用到区间的概念

设b a ,是两个实数，而且b a <.我们规定：

（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为],[b a ；

（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为),(b a ；

（3）满足不等式b x a b x a ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为

],(),,[b a b a .

这里的实数b a 和都叫做相应区间的端点.

4、求映射的个数，一般情况，可以用如下两法加以解决

（1）用排列组合知识

（2）用穷举法或列表的方法

※提示：对于没有任何限制条件下求映射的个数的问题，可直接用乘法原理加以解决，若有限制条件，且“数目”不大，可用“穷举法”.

5、判断两个函数为同一个函数的方法

构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同，所以，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同的函数.

※提示：判断两个函数是否为同一函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域是否相同.

6、分段函数和复合函数

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要函数.

若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即)(u f y =，)(x g u =，),(),,(n m u b a x ∈∈，那么y 关于x 的函数),()],([b a x x g f y ∈=叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是)(x g 的值域.

※提示：对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是几个函数，它是一个整体，对于分段函数，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式.

7、用函数的思想解决“求范围”的问题 高中数学离不开参数，有参数就离不开求参数的范围.

◎点击高考

1、下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是 ( )

A 、*N ==

B A ,对应法则3:-=→x y x f .

B 、{}0,1R,==B A ，对应法则??

?<≥=→)

0(0)0(1:x x y x f C 、R ==B A ,对应法则x y x f ±=→:

D 、{}0|R R,>∈==x x B A ，对应法则)1(log :22x y x f +=→ 2、下列四个命题：

（1）函数是定义域到值域的映射；

（2）x x x f -+-=23)(是函数；

（3）函数)N (2∈=x x y 的图像是一条直线；

（4）函数?????<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图像是抛物线.

其中正确的个数是 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

3、设{}c b a M ,,=，{}2,0,2-=N .

（1）求从M 到N 的映射的个数；

（2）从M 到N 的映射满足)()()(c f b f a f ≥>，试确定这样的映射f 的个数.

4、已知{}4,3,2,1=A ，{}b a B ,=，设映射B A f →:,B 中的元素都是A 中元素的象，则

这样的映射有 个.

5、下列各组函数中表示同一函数的是 （ ）

A 、2)()()(x x g x x f ==与

B 、33)()(x x g x x f ==与

C 、?????<->==)0()0()()(22x x x x x g x x x f 与

D 、)1(1)(1

1)(2≠+=--=t t t g x x x f 与 6、已知函数???<-≥=-=)

0(1

)0()(,12)(2

x x x x g x x f ，求)]([)]([x f g x g f 和的解析式.

7、设),(y x 在映射下的象是)2

,2(

y x y x -+，则)2,5(-在f 的原象是 （ ） A 、)4,10(- B 、)7,3(-- C 、)4,6(-- D 、)27,23(-- 8、已知{}c b a A ,,=，{}1,0,1-=B ，B A f →:使得0)()()(=++c f b f a f ，则映射的个数是 （ ）

A 、4

B 、6

C 、7

D 、8

9、已知??

???<+=->=)0(1)0()0(0)(2x x x e

x x f ，则)]}([{πf f f 的值为 . 10、集合{}4,3=A ，{}7,6,5=B ，那么可以建立从A 到B 的映射的个数是 . 从B 到A 的映射个数是 .

11、（2010，安徽）若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()

()11,22f f ==，则()()34f f -=

A 、－1

B 、1

C 、－2

D 、2

12、（2004，北京）函数???∈-∈=)(,)(,)(M x x P x x x f ，其中M P 、为实数集R 的两个非空子

集，又规定{}P x x f y y P f ∈==),(|)(，{}M x x f y y M f ∈==),(|)(，给出下列四个判断：

①若?=?=)()(,M f P f M P 则；

②若?≠?≠)()(,M f P f M P 则；

③若R )()(,R ==M f P f M P 则；

④若R )()(,R ≠≠M f P f M P 则.

其中正确的判断有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、 4个

13、（2004，重庆）设11)(22+-x x x f ，则)2

1()2(f f = （ ） A 、1 B 、1- C 、53 D 、5

3- 14、已知集合R ,R ==B A ，B A f →:是从集合A 到集合B 的一个映射，若12:-→x x f ，则B 中的元素3的原象为 （ ）

A 、1-

B 、1

C 、2

D 、3

15、由等式43223144322314)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++定义映射43214321),,,(:b b b b a a a a f +++→，则)1,2,3,4(f = （ ）

A 、10

B 、7

C 、1-

D 、0

16、定义集合B A 、的一种运算：},|{*21,21B x A x x x x x B A ∈∈+==其中，若}3,2,1{=A ，}2,1{=B ，则B A *中的所有元素数字之和为 （ ）

A 、9

B 、14

C 、18

D 、21

参考答案

1、B

2、A

3、（1）27 （2）4

4、14

5、D

6、???<-≥-=0

,30,12)]([2x x x x g f

???

????<-≥-=21

,121,)12()]([2x x x x f g 7、B 8、C 9、12+e 10、9；8 11、A

12、B 13、B 14、C 15、D 16、B

第2讲函数与映射的概念复习.docx

第2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A (2)函数的定义域、值域 在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域 重难点：1?关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域. 问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域. 1.求值域的几种常用方法 (1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决. (2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求. 2 2 2JC + 1 (3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域 兀'―2兀+ 2 山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)? 0得

高中数学函数的零点和最值

函数的零点 1、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x 轴有交点?函数y=f(x)有零点 注意：零点是一个实数,不是点。 练习：函数23)(2 +-=x x x f 的零点是（ ） Ａ．()0,1 Ｂ．()0,2 Ｃ．()0,1，()0,2 Ｄ.１，２ 方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。 方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。 方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。 ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x 3-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x 2-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3x Ⅱ结合函数的图像判断函数f(x)=x 3-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数 例，当a>0时，方程ax 2+bx+c=0的根与函数y=ax 2+bx+c 的图象之间的关系如下表： 练习：如果函数f(x)= ax 2-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。 3、零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。 例1：观察二次函数f (x)=x 2- 2x - 3的图象: ① 在区间[-2，1]上有零点_______； f (-2)=_____，f (1)=_____， f (-2) · f(1)___0（< 或 > 或 =） ② 在区间[2，4]上有零点_______； f (2) · f(4)___0（< 或 > 或 =） 例1图 例2图 例2：观察函数 y = f (x)的图象: ①在区间[a ，b]上___(有/无)零点； f (a) · f(b)___0（< 或 > 或 =） ②在区间[b ，c]上___(有/无)零点； f (b) · f(c)___0（< 或 > 或 =） 练习：①判断函数f(x)=x2-2x-1在区间（2，3）上是否存在零点? 4、函数最值： 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；（2）存在x0∈I ，使得f(x0) = M ，那么，称M 是函数y=f(x)的最大值． 方法：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b). 练习：①函数 f （x ）= )1(11 x x --的最大值是______ ②函数f （x ）=ax （a ＞0，a ≠1）在［1，2］中的最大值比最小值 大2a ，则a 的值为______ ③设a 为实数，函数f （x ）=x2+|x －a|+1，x ∈R. （1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值. ④已知二次函数f （x ）＝（lga ）x2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值.

{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：映射与函数[仅供参考]

20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：

5、映射与函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是 （ ） A ．A =R ， B ={x |x ＞0且x ∈R}，x ∈A ，f ：x →|x | B ．A =N ，B =N ＋ ，x ∈A ，f ：x →|x －1| C ．A ={x |x ＞0且x ∈R}，B =R ，x ∈A ，f ：x →x 2 D ．A =Q ，B =Q ，f ：x → x 1 2．已知映射f :A B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是 A 中的元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在 B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中的元素的个数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变成c %(a ,b >0,a ≠b )，则x 与y 的函数关系式是 （ ） A ．y = b c a c --x B ．y =c b a c --x C ．y =c b c a --x D ．y =a c c b --x 5．函数y=3 23 2+-x x 的值域是 （ ） A ．(－∞，－1 )∪(－1，＋∞) B ．(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，0 )∪(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 6．下列各组中，函数f (x )和g(x )的图象相同的是 （ ） A ．f (x )=x ，g(x )=(x )2 B ．f (x )=1，g(x )=x 0 C ．f (x )=|x |，g(x )=2 x D ．f (x )=|x |，g(x )=? ??-∞∈-+∞∈)0,(,) ,0(,x x x x 7．函数y =1122---x x 的定义域为 （ ） A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≤－1或x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{－1，1}

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）

高中奥林匹克数学竞赛 映射与函数1

第二讲 映射与函数 [知识要点] 1．映射有关概念 2．函数定义，定义域、值域 [能力训练] 1． 合B A ,的并集{}321,,a a a B A =?，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数为（ ）（1993年全国高中数学联赛试题） （A ） 8 （B ） 9 （C ）26 （D ）27 [解法一]：若{}321,,a a a A =，则满足题意的B 有：{}{}{}{}{}{}{}; ,,;,;,;,;;;;321323121321a a a a a a a a a a a a B φ=即这时的配对个数有：8)(3323130333=+++C C C C C ；仿此，若{}21,a a A =（或{}{}3231,,,a a a a ），满足题意的B 的个数，即配对个数有：12)(2 2120223 =++C C C C ；于是，全部配对个数有：2716128=+++。 [解法二]：B A =且P B A =?的情形只有1个配对：P B P A ==,，而B A ≠的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D ）。 [评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。 2． 设A ={4321,,,a a a a }，},,,,{54321b b b b b B = （1）写出一个f ：A →B ，使得f 为单射，并求所有A 到B 的单射的个数。 （2）写出一个f ：A →B ，使得f 不是单射，并求所有这些映射的个数。 （3）A 到B 的映射能否是满射？ 解：（1）作映射f ：A →B ，使得4,3,2,1 ,)(==i b a f i i 则此映射即为A 到B 的一个单射，这种单射的个数为1204 5=P 。 （2）作映射f ：A →B ，可以先求A 到B 的映射的个数：分四步确定4321,,,a a a a 的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为4 5个，因此满足条件的映射的个数为4 5－4 5P =505。 （3） 不能。由于A 中的每一个元素恰与B 中的一个元素对应，|A |=4，|B |=5， 所以B 中至少有一个元素在A 中找不到与它对应的元素，因此A 到B 的满射不存在。 说明：一般地，若A 到B 有一个单射，则|A |≤|B |，若A 到B 有一个满射， 则|A |≥|B |,若A 到B 有一个一一映射,则|A |=|B | 思考：在上述问题中,如何求从A 到B 的子集上的一一映射的个数? B 中的4个元素的子集共有45 C 个，从A 到B 的每4个元素的子集上的一一映射各有44P 个，所求的映射的 个数是4 5C 4 4P =120个。 3． 若函数)(log 23a ax x y -+=的值域为R ，则实数a 的取值范围是________________。（94年第5届“希 望杯”全国数学邀请赛）

函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2， 从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围 问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

高中数学函数的零点教学设计

第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1

答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当01,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0, 得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是 f(x),g(x)的零点,则( A )

函数与映射概念的理解

玩转函数第一招 第1招：函数与映射概念的理解【知识点理解】 ①映射.映射f : A→B 的概念。 对于两个集合A，B 如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任．何．一．个．元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括A、B 及f）叫做从集合 A 到集合B的映射. 记作：f：A→B. 对于映射这个概念，应明确以下几点： ①映射中的两个集合A 和B 可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往是不相同的. ③映射要求对集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合 A 中元素的任意性和在集合 B 中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B 中的某些元素在集合A 中没有原象，也就是由象组成的集合 C B. ⑤映射允许集合A 中不同的元素在集合B 中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”. 一一映射：设 A ，B 是两个集合，f ：A → B 是从集合 A 到集合 B 的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A 中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且 B 中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从．A．到．B．上．的一一映射. 一一映射既是一对一又是 B 无余的映射. 在理解映射概念时要注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取 元任意性，成象唯一性。 【精准训练】

（1）设f :M→N是集合M到N的映射，下列说法正确的是 A、M中每一个元素在N中必有象 B、N中每一个元素在M中必有原象 C、N中每一个元素在M中的原象是唯一的 D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）； （2）、若从集合A 到集合B 的映射 f满足 B 中的任何一个元素在 A中都有原象，则称映射 f 为从集合 A 到集合 B 的满射，现集合 A 中有 3 个元素，集合 B 中有 2 个元素，则从集合 A 到集合 B 的满射 f 的个数是： A 、 5 B 、6 C、 8 D、 9 （答：B ）（3）点（a,b）在映射f的作用下的象是（a-b,a+b），则在f作用下点（3,1）的原象为点 _______ （答：（2，－1））； （4）a、b为实数，集合M{b ,1}, N ={a,0}, f : x→ x表示把集合M中的元素x映射到集合N中a 仍为x，则a +b= A、1 B、0 C、－1 D、±1 （5）若A = {1,2,3,4}，B ={a,b,c}，a,b,c R，则A到B的映射有个，B到A的 映射有个，A到B的函数有个（答：81,64,81）； （6）设集合M={-1,0,1},N={1,2,3,4,5}，映射f :M→ N满足条件“对任意的x M，x+ f（x）是奇数”，这样的映射f有_____ 个（答：12）； （7）设f :x→ x2是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则A B一定是_______ （答： 或{1}）. 8）、已知集合A = {1, 2,3} ，B={-1,0,1}，则满足条件f（3）=f（1）+f（2）的映射f : A→ B的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 （9）、从集合A={1,2,3}到B={3,4}的映射f : A→ B中满足条件f（3）= 3个数是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D）6 （10）、已知集合A={1,2,3}，在A→ A的映射中满足条件f（3）=3，f（2）=1个数是（） （11）、．A={1，2，3，4，5，}，B={6，7，8，}从集合A到B的映射中满足f（1）≤f （2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（） A、27 B、9 C、21 D、12 解：（1）当一个不等号也没有时，（即与B中的一个元素对应），则f有C13个

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

高中数学-函数与映射的概念练习

高中数学-函数与映射的概念练习 1．(重庆)函数f (x )＝log 2(x 2 ＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1) C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2．(湖北)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3 的定义域为( ) A ．(2, 3) B ．(2, 4] C ．(2,3)∪(3,4] D ．(－1,3)∪(3,6] 3．给定集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是映射的是( ) A ．f ：x →y ＝2x B ．f ：x →y ＝x 2 C ．f ：x →y ＝52x D ．f ：x →y ＝2x 4．(2012年大纲)函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( ) A ．y ＝x 2－1(x ≥0) B．y ＝x 2－1(x ≥1) C ．y ＝x 2＋1(x ≥0) D．y ＝x 2＋1(x ≥1) 5．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2018]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1 的定义域是( ) A ．[0,2017] B ．[0,1)∪(1,2017] C ．(1,2018] D ．[－1,1)∪(1,2017] 6．设f ：x →x 2是集合M 到集合N 的映射．若N ＝{1,2}，则M 不可能是( ) A ．{－1} B ．{－2，2} C ．{1，2，2} D ．{－2，－1,1，2} 7．已知映射f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设点A (1,3)，B (2,2)，点M 是线段AB 上一动点，f ：M →M ′.当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 结束时，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为( ) A.π12 B.π6 C. π4 D. π3 8．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)． (1)若?x 1∈[－1,2]，?x 2∈[－1,2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是________； (2)若?x 1∈[－1,2]，?x 2∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 9．(1)求函数f (x )＝ lg x 2－2x 9－x 2的定义域； (2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．

第一节映射与极限

第一章 教学内容与基本要求： 1、理解函数的概念。了解函数奇偶性、周期性、单调性和有界性。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 2、理解极限的概念（对极限ε─N ，ε─δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求），了解极限的性质。 3、掌握极限四则运算法则。 4、了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 5、了解无穷小、无穷大的概念，会讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。 6、理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间上连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理）。 第一节 映射与函数 ㈠．本课的基本要求 理解函数的概念。了解函数的基本性态。理解复合函数的概念、了解反函数概念。熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。会建立简单实际问题中的函数关系式。 ㈡．本课的重点、难点 重点是复合函数的概念，难点是函数的基本性态。 ㈢．教学内容 引言──微积分的主要内容和思想方法 微积分是现代数学的第一个伟大成就，不仅对于数学本身的发展具有十分巨大的影响，而且作为强有力的工具，在几乎所有的科学（自然科学、社会科学和人文科学）领域里得到了广泛的应用。 微积分诞生于17世纪下半叶，但其思想的萌芽可追溯到2500多年关的古希腊人，我国古代也有一些精妙的思想和做法。在对由直线围成的图形面积计算的同时，人们一直试图计算由曲线围成的图形的面积，计算圆的周长、圆的面积等这样一些著名问题一直吸引着许许多多的智者。在两千多年不屈不挠的努力过程中，人们对许多具体问题建立了一些富有创见的解法。经过反复认识和不断积累，人类对运动、变化、弯曲、连续等客观世界模式终于有了比较清晰的认识。随着生产的发展和科学的进步，到17世纪时，求运动物体的速度和位移、求曲线的切线和曲线的长度、求由曲线所围的平面图形的面积和由曲面所围的空间立体的体积、求物体之间的引力等问题成为当时迫切需要解决的一些主要科学问题。伟大的物理学家Newton 和哲学家Leibniz 由于本身科学工作的需要（例如Newton 计算瞬时速度和万有引力，Leibniz 计算曲线的切线等），在前人思想方法和计算方法的基础上，分别独立地建立了用于解决一类广泛问题的普遍方法和计算法则──微积分，极大地影响了数学以及整个科学的发展。微积分的建立是人类头脑最伟大的创造之一。 现今，微积分已成为现代科学技术必备的一块“敲门砖”，是大学数学基础教育最基本的组成部分之一。微积分的学习，不应该仅仅局限于学会一些计算方法，其间的思想方法将更有益于我们去认识客观世界。 一．介绍函数、极限、连续在本课程的地位 集合与映射我们在中学已经学过，以后也不用，这里就不再介绍。 二．邻域 邻域是一个经常用到的概念。以点0x 为中心的任何开区间称为点0x 的邻域，记为)(0x U 。

高三数学 2010年高考数学试题汇编：第二章 函数 第一节 映射与函数

第二章 函数 一 映射与函数 【考点阐述】映射.函数 【考试要求】（1）了解映射的概念，理解函数的概念． 【考题分类】 （一）选择题（共6题） 1.（安徽卷理6文6）设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是 A 、 B 、 C 、 D 、 【答案】D 【解析】当0a >时，b 、c 同号，（C ）（D ）两图中0c <，故0,02b b a <- >，选项（D ） 符合 【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a >或0a <两种情况分类考虑.另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置 等. 2.（广东卷文2）函数，()lg(1)f x x =-的定义域是 A ．(2，+∞) B ．(1,+∞) C ．[1，+∞) D ．[2，+∞) 解：01>-x ，得1>x ，选B. 3.（湖北卷文3）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 1 4 C.-4 D-14 【答案】B

【解析】根据分段函数可得311()log 2 99f ==-，则 211(())(2)294f f f -=-== ， 所以B 正确. 4.（湖北卷文5）函数 0.5log (43) y x = -的定义域为 A.( 3 4,1) B(3 4,∞) C （1，+∞） D. ( 3 4,1)∪（1，+∞） 【答案】A 5.（陕西卷理5）已知函数f(x)= 2 32,1,,1,x x x ax x +??=2 2 2,(,1)(2,)2,(1,2)x x x x x x ?++∈-∞-?+∞??--∈-?? =2217(),(,1)(2,)2419(),(1,2)24x x x x ? ++∈-∞-?+∞??? ?--∈-??，所以当(,1)(2,)x ∈-∞-?+∞时，()f x 的值 域为(2,)+∞；当(1,2)x ∈-时，()f x 的值域为9 [,0) 4-，故选D 。 【命题意图】本题考查分段函数值域的求法，考查分类讨论的数学思想。 （二）填空题（共2题）

3.映射函数的定义

映射函数的定义 1．设是集合A 到集合B 的映射，且集合B 中的每一个元素都有原象，若，则等于（ ） A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{-2,0} 2．下列各对应中,构成映射的是 （ ） 3．设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射在映射下，B 中的元素为（4，2）对应的A 中元素为 （ ） A ．（4，2） B ．（1，3） C ． （3,1） D ．（6,2） 4．设集合和集合都是自然数集合，映射,把集合中的元素映射到集合中的元素 ,则在映射下，象20的原象是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5．设A={|02x x ≤≤}, B={y | 0≤y ≤3 }, 下列各图中不能表示从集合A 到B 的映射是( ) A ． B ． C ． D ． :||f x x →{2,0,2}A =-A B ) ,(),(:y x y x y x f -+→

6．下列图像表示函数图像的是（） y x y x y x y x A B C D 7．下列图像中，是函数图像的是（） A. (1) (2) B.(2) (3) C.(2)(4) D.(1) (3) 8．下列各图像中，不可能 ．．．是函数 ()x f y=的图像的有几个（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9．集合A 中含有2个元素，集合A到集合A可构成个不同的映射. 10．已知集合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ｂ＝｛－１，－２｝，设映射ｆ：Ａ→Ｂ， 如果集合Ｂ中的元素都是Ａ中元素在ｆ下的象，那么这样的映射有 _________________________个． o x y ① o y x ② o y x ③ o y x ④ 试卷第2页，总2页

高中数学专题练习-函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

函数与映射的概念主要知识梳理

函数与映射的概念知识梳理第 1 页 共 1 页 函数与映射的概念主要知识梳理 ●函数的基本概念： 1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是函数 2、函数的三要素： 定义域A 、值域(?B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法 ●分段函数与复合函数 分段函数：? ??∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念 1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ， 在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性 ②作用：判断一个对应是否是映射 2、映射的三要素： 原象集A 、象集(?B)、对应法则f 作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可） 3、函数是特殊的映射； ●反函数 1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ?=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ?=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈） 2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射） 3、求反函数的一般步骤： （1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ?=； （3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）. 4、互为反函数的两个函数具有如下性质： （1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域； （2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称； （3）?=b a f )(a b f =-)(1 ●常见的思想方法 1、主要思想: ①数形结合:-------树形图 ②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类； ③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类. 2、易错易混点 ①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值. ③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系. 3、主要题型: ①判断映射与函数； ②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个； ③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)

函数与映射

制作人：ＬＨＨ 函数与映射 1.函数的概念 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个（任意性）元素x ，在集合B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的一个函数（三性缺一不可） 函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应 这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A 中不能有剩余元素 5).B 中可以有剩余元素 判断两个函数相同：只看定义域和对应法则 2.映射的概念 一般地，设A 、B 是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。 思考：映射与函数区别与联系？ 函数——建立在两个非空数集上的特殊对应 映射——建立在两个非空集合上的特殊对应 1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射． 2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数． 3）映射与函数都是特殊的对应 思考：映射有“三性”： ①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. 3.用映射定义函数 (1).函数的定义：如果A 、B 都是非空数集，那末A 到B 的映射f :A → B 就叫做A → B 的函数。记作：y=f (x ). （2）定义域：原象集合A 叫做函数y =f (x)的定义域。 （3）值域：象的集合C 叫做函数y =f (x)的值域。 定义：给定一个集合A 到集合B 的映射，且a ∈A ， b ∈B 。如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。 给定映射f ：A →B 。则集合A 中任何一个元素在集合B 中都有唯一的象，而集合B 中的元素在集合A 中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。 问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：（1）对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象， 我们把这样的映射称为单射。 （2）集合B 中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。 )(B C

第一节 映射与函数

第一节 映射与函数 一、选择题 1. 在R 上，下列函数为有界函数的是 ( ) A . e x ; B . 1 + sin x ; C . ln x ; D . tan x . 2. 设f (x )的定义域是[0, 4], 则f (x 2)的定义域是 ( ) A . [0, 16]; B . [0, 2]; C . [-2, 2] ; D . [-16, 16]. 3. 下列函数中为奇函数的是 ( ) A . y = cos 3x ; B . y = x 2 + sin x ; C . y = ln(x 2 + x 4); D . y =11+-x x e e . 4. 设f (x + 2) = x 2 - 2x + 3, 则f [f (2)] = ( ) A . 3; B . 0; C . 1; D . 2. 二、填空题 1. 设f (x ) =x x -1, g (x ) = 1-x , 则f (g(x )) = . 2. 函数y = 2 ln -x x 的定义域是 . 3. 设y = f (x )在区间[0，1]上有定义，则)4 1 ()41(-++x f x f 的定义域是 . 4. y =的反函数是x x 3 23+ . 三、解答题 1. 求函数y =x -1+ arcos 2 1 +x 的定义域. 2. 设???≤<-≤=,21,2, 1,)(2x x x x x f 求f (x - 1). 3. 设?(x )、f (x )、g (x )是单调增加函数, 证明: 若?(x ) < f (x ) < g (x ), 则?(?(x )) < f ( f (x )) < g (g (x )).