经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
几个经典不等式的关系
一 几个经典不等式 （1）均值不等式
设12,,0n a a a >L 是实数
其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式
设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则
当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式
设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，，
，是12n b b b L ，,，的任一排列，则
当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式
对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二 相关证明
（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而
根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 即得
同理，根据“乱序和≥反序和”，可得 综合即证
（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n
a a a n
+++≤
L
证明：构造两个数列：
其中
c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．．
总是两数组的反序和．．．．．．．．．
.于是由“乱序和≥反序和”，总有 于是 即 即证
（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”：
12n a a a n +++≤
L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，
12n a a a n +++≤L 222121212n n n
a a a a a a a a a n n n +++++++++?????≤
???????
L L L .
由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.
（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”
1212111+n
n
a a a n n
a a a +++≤
++L L
证明：
1212111+n
n
a a a n n
a a a +++≤
++L L
1212121211
1111+1n n n n a a a a a a a a a a a a n n n ??++?+?++? ?+++?? ??≥= ?
??? ???L L L . 不妨设12n a a a ≥≥≥L ，则11
111
n n a a a -≥≥≥L ，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.
（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式
证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≤≤≤L 由切比晓夫不等式，有
11221212n n n n a b a b a b a a a b b b n n n +++++++++????
≤ ???????
L L L . 由均值不等式，有
1212n n a a a n b b b n +++≤
+++≤
L L 所以
两边平方，即得()()()2222
22211221212n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++L L L .即证. （6）补充“调和—几何平均不等式”的证明
证明：
12n a a a n +++≤L 中的i a 换成1i a ，
12
111
n a a a n
+++
≤
L .
两边取倒数，即得
12111+n
n
a a a ≤++L
(完整版)均值不等式及其证明
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
切比雪夫不等式例题
关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4） 所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率 的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X
\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。
利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明
利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100
1 2 = ≥ DX . 二、 切比雪夫Chebyshev不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进 一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该 上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫 不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多 是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。 这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分， 我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。
重要不等式汇总(例题答案)
其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？
以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a >L 是实数 其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则 当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，， ，是12n b b b L ，,，的任一排列，则 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 即得 同理，根据“乱序和≥反序和”，可得 综合即证 （2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n a a a n +++≤ L 证明：构造两个数列： 其中 c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．． 总是两数组的反序和．．．．．．．．． .于是由“乱序和≥反序和”，总有 于是 即 即证 （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 12n a a a n +++≤ L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，
不等式的若干证明方法
2016届本科毕业论文(设计) 题目：不等式的若干证明方法 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学12-1班 学生姓名：高春 指导教师：马昌秀 答辩日期：2016年5 月3日 新疆师范大学教务处
目录 1.引言 (1) 2.证明不等式的常用方法 (2) 2.1比较法 (2) 2.1.1 作差法 (2) 2.1.2作商法 (2) 2.2 分析法 (3) 2.3 综合法 (3) 2.4 反证法 (4) 2.5 放缩法 (5) 2.6 数学归纳法 (5) 2.7换元法 (6) 2.7.1增量换元法.. (6) 2.7.2三角换元法 (6) 2.7.3 比值换元法 (7) 2.8 标准化法 (7) 2.9 公式法 (8) 2.10 分解法 (8) 2.11 构造法 (9) 2.11.1 构造对偶式模型 (9) 2.11.2 构造函数模型 (9) 2.12 借助几何法 (10) 3.利用函数证明不等式 (10) 3.1 极值法 (10) 4.利用著名不等式 (11) 4.1 均值不等式 (11) 4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12) 4.3 拉格朗日中值定理 (12) 4.4 赫尔德不等式 (13) 4.5 詹森不等式 (13) 4.6 闵可夫斯基不等式 (14) 4.7 伯努利不等式 (15)
4.8 切比雪夫不等式 (15) 4.9 琴生不等式 (16) 4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16) 4.11 排序不等式定理 (16) 5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18) 谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。
均值不等式的证明
平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多 竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析 综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式 一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为 几何平均值记为 算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。 即， 当且仅当时，等号成立。 上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多 重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。 供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对 ，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于
， 关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得 （） 所以 （） （） 即（）两边乘以，得 从而，有 证法二（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于 从而，有 证法三（利用排序不等式）
设两个实数组，，，和，，，满足 ；， 则（同序乘积之和） （乱序乘积之和） （反序乘积之和） 其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设，，，则对 ，有等号成立的充分必要条件是。 琴生不等式（Jensen） 设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有 或 其中，， 习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有 （） 2.设，，，求证 （）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得
经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式
经典不等式及其证明 第1页 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得
切比雪夫不等式的一个推广形式
切比雪夫不等式的一个推广形式 斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以 相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度 . (图7) 分析:该题实际上是求二次函数的顶点和 (图6) 函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式 y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7, 2 分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理 和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程 (8-a)2+(x+6)2=102 化简得:x+12x+a-16a=0 当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快. 【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确 到0.1米 ) 2 2 然后把x=7Π2代入解析式,即可求得. 总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教
师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力. 专题研究 切比雪夫不等式的一个推广形式 上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥 切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它 44 在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的 一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式: 推广的切比雪夫不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn, n i=1 n n n 则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1 n ≤i∑aibiti.=1 注:若所有的t1i=n ,上述不等式即为切 比雪夫不等式. 为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;
马尔科夫及切比雪夫不等式的证明
马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件 * 丁永臻1 黄志敏2(1.中国石油大学(华东)数学学院 山东东营 257061; 2.东营市技术学院基础部 山东东营 257097)摘要 用现代概率论方法证明马尔可夫和切比雪夫不等式,并给出其等号成立的充要条件. 关键词 马尔可夫不等式,切比雪夫不等式,概率,随机变量 中图分类号 O 211 本文用现代概率论方法,证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式,特别是给出两个不等式等号成立的充要条件,这在流行的概率统计教科书中是没有的.结果的证明主要依赖下面的引理. 引理 设Y 是样本空间)上的随机变量,P (Y ≥0)=1,则E (Y )=0当且仅当P (Y =0)=0.证明 记I A 为集合A 的示性函数. 若P (Y =0)=1,则P (Y 40)=0,P (Y <0)=0,于是,E (Y )=E (Y I {Y 40}+Y I {Y =0}+Y I {Y <0 })=0+0+0=0.反之,若P (Y ≥0)=1,E (Y )=0,则必有P (Y =0)=1.否则,P (Y 40)40,由概率的连续性及{Y 40}=9∞ n =1{Y 41n },得P (Y 40)=l i m n :∞P (Y 41n ),因而存在n 0∈\,P (Y 41n 0)40,E (Y )≥E (1n 0I {Y 41n 0})=1n 0P (Y 41n 0 )40,与假设E (Y )=0矛盾.定理1 (马尔可夫(M a r k o v )不等式)设Y 是样本空间)上的非负随机变量且有有限期望,则;(40,P (Y ≥()≤E (Y )( .其中等号成立当且仅当P (Y ∈{0,(})=1.证明 注意到I {Y ≥(}≤Y ( ,两边取期望,由E (I A )=P (A ),即得不等式成立.记Y =Y ( -I {Y ≥(},则Y ≥0,P (Y ≥0)=1.结论中等号成立等价于E (Y )=0,由引理,E (Y )=0等价于P (Y =0)=1,等价于P (Y =(I {Y ≥( })=1,等价于P (Y ∈{0,(})=1.证毕.定理2 (切比雪夫(C h e b y s h e v )不等式)设Y 是样本空间)上的随机变量,有有限期望*和方差+2,则;(40,P (|Y -*|≥()≤+2( 2.其中等号成立当且仅当存在p ∈[0,1],使P (Y =*-()=(1-p )/2,P (Y =*)=p ,P (Y =*+()=(1-p )/2. 证明 记Y =(Y -*)2,则Y ≥0,E (Y )=+2有限. 应用马尔可夫不等式有,P (|Y -*|≥()=P (Y ≥(2)≤E (Y )(2=+2(2.不等式得证.等号成立的充分性易于验证.下证必要性.如果P (|Y -*|≥()=+2(2,则有P (Y ≥(2)=+2( 2,由马尔可夫不等式等号成立的条件得P (Y ∈{0,(2})=1,即P (Y ∈{*-(,*,*+ (})=1.记P (Y =*)=p ,则P (Y ∈{*-(,*+( })=1-p ,再注意到E (Y )=*,则必有P (Y =*-()=P (Y =*+()=(1-p )/2. 证毕.注 显然,要使马尔可夫与切比雪夫不等式中的等号对所有的(40都成立,其充要条件是Y 为单点分布,即P (Y =*)=1.5 2V o l .9,N o .4J u l .,2006 高等数学研究S T U D I E S I NC O L L E G E MA T H E MA T I C S *收稿日期:2004-06-28
切比雪夫不等式证明
切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB(1000,1/2).因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250) 2 答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1 1000)1(= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100 1 2 = ≥ DX . 二、 切比雪夫(Chebyshev)不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4
切比雪夫不等式及其应用
切比雪夫不等式及其应用 王林（2013080201031） 指导教师：吕恕 摘要：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它是证明切比雪夫大数定律的重要工具和理论基础。从切比雪夫不等式的证明切入，然后利用切比雪夫不等式证明了切比雪夫大数定律，最后给出了切比雪夫不等式的一些应用，讨论了切比雪夫不等式的概率边界问题。 关键词：切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 实际应用 0.引言 切比雪夫不等式是概率论中的一个重要内容，它不但用于理论证明，而且用于随机变量取值概率的估计，且其推广形式有许多方面的应用。 1.切比雪夫不等式 设随机变量X 存在数学期望E(X)和方差D （X)，则对任意实数ε有：P{X-E(X)}≥ε}≤2)(εX D 证明：（1）设X 为离散型随机变量，其分布列为P(X=i X ）=i P （i=1,2,3...)则 P{|X-E(X)|ε≥}=∑∑∞=≥-= -≤12 22)|(|)())((1i i i X E X i X D P X E X P i εεε （2）设X 为连续性随机变量，其概率密度为P （X),由于E(X),D(X)均存在，则有D(X)=?+∞ ∞--dx X P X E X )())((2 ? ?-∞-+∞ +-+-≥εε)()(22)())(()())((X E X E dx X P X E X dx X P X E X ??-∞-+∞++≥ε εεε)()(22)()(X E X E dx X P dx X P =))(())((2 2εεεε+≥+-≤X E X X E X P )|)((|2εε≥-=X E X P 2) ()|)(|(εεX D X E X P ≤≥-∴ (1) 切比雪夫不等式还有另一种形式， 2) (1)|)((|εεX D X E X P -≥<- (2) 由切比雪夫不等式得，D(X)越小，则表明X 的取值越集中在E(X)附近；反之D(X)越大，说明X 的取值越分散。说明，方差刻画了随机变量取值的离散程度。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（切比雪夫理论；切比雪夫不等式）的内容是，令x为随机变量，取区间（0，∞）中的值，而F（x）是其分布函数。如果存在Xα（α> 0）的数学期望M（Xα）并且a> 0，则不等式成立。在19世纪，俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev）研究统计定律时，他证明并表达了具有标准偏差的不等式。这个不等式具有普遍意义，被称为切比雪夫定理。它的一般含义是： 在任何数据集中，其平均值的m个标准偏差内的比例（或部分）始终至少为1-1 / m2，其中m为大于1的任何正数。对于m = 2，m = 3和m = 5 ，可获得以下结果： ●所有数据中至少有3/4（或75％）在平均值的2个标准差之内。 ●在所有数据中，至少有8/9（或88.9％）在平均值的3个标准差 之内。 ●在所有数据中，至少24/25（或96％）在平均值的5个标准差之 内。 “概率接近1，则随机变量序列{Xn}在a中被称为概率收敛。因为它是概率，所以不排除发生小概率事件”。因此，概率收敛表示关于不确定现象的收敛，写为
。 切比雪夫定理 令X1，X2，...，Xn，...是独立的随机变量序列，并且数学期望E（Xi）和方差D（Xi）都存在（i = 1，2，…），并且D（Xi）
切比雪夫不等式证明(精选多篇)
经典合同 切比雪夫不等式证明 姓名：XXX 日期：XX年X月X日
切比雪夫不等式证明 切比雪夫不等式证明 一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面h的次数服从二项分布. 解:设x表示1000次试验中出现正面h的次数,则x是一个随机变量,且 ~xb(1000,1/2).因此 500 2 1 1000=×==npex, 250) 2 答题完毕，祝你开心! 1 1( 2 1 1000)1(=××==pnpdx, 第 2 页共 19 页
而所求的概率为 }500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp }100{<=exxp 975.0 100 1 2 dx 二、 切比雪夫(chebyshev)不等式 对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε>0, 恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2 切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε} 越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。 同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变量x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过k倍标准差的数据占的比例至多是1/k^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」 第 3 页共 19 页
部分作业解答或提示参考 第一章 习题一14 证 (2) 由切比雪夫不等式
部分作业解答或提示参考 第一章 习题一1.4 证 （2） 由切比雪夫不等式及0||=ξE 1||1)/1|(|1)/1|(|=-≥≥-=<ξξξnE n P n P 故1)/1|(|lim )/1||()0(1=<=<==∞→∞ =n P n P P n n ξξξ 。 （4）由切比雪夫不等式n E n P /||)|(|ξξ≤≥及∞<||ξE ，得 0)|(|lim )}|{|( )|(|1=≥=≥=+∞=∞→∞=n P n P P n n ξξξ 。 习题二2.3 证 对平稳序列}{t X ，任给整数1≥k ，),,,(21n X X X 与),,,(11-++n k k k X X X 有相同的n 阶自协方差矩阵。 故由平稳序列}{t X 的n 阶自协方差矩阵退化知，对任给整数1≥k ，存在非零实向量b T n b b b ),,,(21 =使得 0)](var[1 1∑-+=+-=-k n k i i k i X b μ。 不妨假设0≠n b ，则有对任给整数1≥k ，k n X +可由11,,,-++k n k k X X X 线性表出。 （1） 对1+=n m ，n X 可由121,,,-n X X X 线性表出，1+n X 可由n X X X ,,,22 线性 表出，故1+n X 可由121,,,-n X X X 线性表出。 （2） 假设对所有k n m n +≤<，m X 可由121,,,-n X X X 线性表出。则对 1++=k n m ，由于1++k n X 可由k n k k X X X +++,,,21 线性表出，由假设，1++k n X 也可由121,,,-n X X X 线性表出。 根据（1），（2），对任何n m >，m X 可由121,,,-n X X X 线性表出，即存在常数110,,,-n a a a ，使得 .., 110s a X a a X n i i n i m ∑-=-+=。
不等式证明方法总结
不等式证明的若干方法及简单应用 尚永棡 河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2007级1班 摘 要：本文总结了证明不等式的若干方法及不等式的简单应用，并精选典型的例题来说明了不等式的各个证明方法，以使得论文更加完整. 关键词：不等式；拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西不等式. §1 引言 不等式在数学的整个学习、研究过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的许多方面，在数学中有着不可替代的作用.而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外专家及学者的长期不懈努力，不等式证明已经取得了丰硕的成果，著名数学家D.S.Mitrinovic 在他的名著《Analytic Inequalities 》的序言中曾引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”，由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很现实的意义. 因此，本文对不等式的一些重要证明方法进行了系统的总结，并精选典型的例题来说明其证明方法，以便使大家对其证明有更好的理解.同时密切联系实际，应用不等式解决实际中的简单问题，以此来更进一步说明不等式的重要性. §2 证明方法 1、利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理：设()f x 满足： （1）在闭区间[],a b 上连续； （2）在开区间(),a b 内可导，则有一点(),a b ξ∈使得 ).()()(ξf a b a f b f '=--
例1 证明不等式 ()11ln(1)ln x>01x x x x <+-< +. (1) 证明：令()ln f t t =，则在[,1]x x +上应用拉格朗日中值定理得到 ()ξ 1 ln )1ln(= -+x x , (2) 这里x ＜ξ＜x +1. 清楚地， 1111x x ξ <<+. (3) 则由(2)和(3)我们证得不等式(1)成立. 2、利用函数单调性证明不等式 例2 （证明几何不等式）:设), ,,2,1(,0,0n i x p i i =>>11 =∑ =n i i p ,则有： ∑ ∏ ==≤ n i i i n i p i x p x i 1 1 . 式中等号当且仅当n x x x === 21时成立.试证明之. 证明: 记 ∏ == n i p i n i x A 1 , ∑ == n i i i n x p B 1 . 考虑函数 x n i n i i n A x p A x f ??? ? ??=∑ =1 )(, 则有 ??? ? ??=∑ =n i n i i n A x p A f 1 )1(=∑=n i i i x p 1=n B , n n i n i i n A A x p A f =??? ? ??=∑ =0 1 )0(n n i i A p =∑ =1 . 要证明几何不等式，就是要证明)1()0(f f ≤.如果能够证明函数()f x 在区间[0,1] 上是单调递增函数，当然就有)1()0(f f ≤.我们注意函数()f x 的一阶导数和二阶导
均值不等式及其证明
1 平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 1 12(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵 活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k k G += ， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 11111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1 11 1211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-== = 211 1 ...() ) k k k a a a a A k +++++ +-= ≥ 即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 11 1211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于