平面几何的几个重要的定理--梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理
一、梅涅劳斯定理：
1=??=??B
A
A C C
B
C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线
、、分别是、、证：设
注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的
线段成比例的条件；
。
的交点，证明：与是的中点，是上，在点
的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB
AR
QA CQ ，则
、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??KE
BK
KC KF BE
BK
FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC
KF
EK AE DA CD F E D ACK EP
CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK
EBC BH B EBC =====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠???＝
依分比定理有：＝
即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形
即：则：的平分线中，作在证：
1
11
111111111D B D A :
C B C A B
D AD :BC AC D C B A D
C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习
注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；
共线；
、、证明点引的垂线的垂足，
、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2?
三点共线；
、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上；
线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝
，则：又得：
，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB
AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B
R AR QA CQ 1R AB PQ '''
'
'
'
'
'
'''''''''
'>
<-<->=??=???PC BP PC BP 三点共线；
、、求证：，
，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且
上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB
AR
QA CQ =???? C B
A
1
A 1
B 1
C 且将上面三条式子相乘，
证：易得：111111180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB
cos AP BC AC PAC cos AP PCA
cos CP AB CB ,
PCB
cos CP PBC cos BP CA BA ?
=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=
直线上；
在同一条、、的交点与，与，与，则、、上的切点分别为、
、的内切圆在三边】设不等腰【练习Z Y X AB DE CA FD BC EF F E D AB CA BC ABC 2
三点共线；
、、，试证：的交点是与线，直的交点是与，直线的交点为和
，直线相交于，，】已知直线【练习222211*********C B A B C A AC A C B BC C B A AB O CC BB AA 3
由梅涅劳斯定理可
将上面的三条式子
和对所得的三角形分别
、、证：设的证明
练习2
2
11111
21222AC BC BB OB OA AA A (OAC ),A ,C C B A 3=??
1
11
11111111
111111
1
11111111
111111111111D B D A :
C B C A B
D AD :BC AC 1
C B
D B D A C A BD BC AC AD 1LD D B K B BK BD LD 1BK
K
B C B LC LC BC 1LC C A K A AK AC LC 1AK K
A D A LD LD AD BL
B AL A L D A AD D A //AD 1==???=??=??=??=??即：得：将上面四条式子相乘可可得：和别用于，则把梅涅劳斯定理分相交与点与若，结论显然成立；
证：若的证明
练习??共线、、，证明：、、的交点依次为和，和，和，
和，记直线、、，在另一条上取点、、】在一条直线上取点【练习N M L N M L BC EF AF CD AF CD ED AB D F B A C E 4三点共线
、、可得的边上，由定理都不在、、又得：将上面三条式子相乘可＝
＝同理可得：＝
代人上式可得：又可得：所截，由定理被直线证：的证明
练习Z Y X 2ABC Z Y X 1
ZB
AZ
YA CY XC BX BD
EA
ZB AZ AF DC YA CY CE
FB
XC BX AF AE 1
FB
AF
EA CE XC BX 1XFE ABC 2?? =??==??
平面几何的几个重要定理
――――塞瓦定理 塞瓦定理：
1:
=???RB
AR
QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设；
相交于一点点、、重合，故必与上，所以都在线段和因为＝
于是：，
由塞瓦定理有：，
于交，且直线相交于与，设再证充分性：若＝以上三式相乘，得：同理：，则：
相交于点、、证：先证必要性：设’’‘’‘’
‘
M CR BQ AP R R AB R R RB AR B R AR B
R AR QA CQ PC BP R AB CM M BQ AP RB AR QA CQ PC BP RB AR
QA CQ PC BP S S RB AR S S QA CQ S S S S S S PC BP M CR BQ AP BCM
ACM
ABM
BCM
ACM ABM
CMP BMP ACP ABP 111
=??=????=
==
==??????????交于一点；：证明：三角形的中线例1
共线
点得：将上面五条式子相乘可，则有点涅劳斯定理于五组三元，应用梅，对、、的交点分别为和，和，和证：记直线的证明
练习N ,M ,L ,1VN
UN
UM WM WL VL 1UF
VF
WD UD VB WB 1UE VE WC UC VA WA 1WB VB
UC WC VN UN 1YM WM VF UF WA VA 1UD WD WL VL VE UE )F ,D ,B (),E ,C ,A (),N ,C ,B (),F ,M ,A (),E ,D ,L (UVW W V U CD AB AB EF CD EF 4∴=??=??=??=??=??=???M
Q
R
A
C
P
B
A
交于一点；成立，即
而显然有：我们只须证明
，
，，的中线证明：记ABC A
B CB
C A BA B C AC A B CB C A BA B C AC A
B CB
C A BA B C AC CC BB AA ABC ?∴=??====???1,,111
111111111111
1111111
分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2
AB
CP P BM AN N M BC AC L L AB C ABC ⊥∠?，证明：的交点是和，设和足分别是的垂线，垂和作边，从于的平分线交于中，角：在锐角例2
C
B
A
1
A 1
B 1
C C
B
A
1
A 1
B 1
C
AB
CP P AN BM CK BL
BC
AC AL BL
BC
AC AL BL
BC
NB BK BKC BNL AC
AL
AK AM AKC AML NB
BK
AK AM CN
MC AK
BK
NB CN MC AM AN BM CK P AN BM CK AB
CK ⊥∴∴=?=?=?
???=
????=?==??⊥点三线共点，且为、、理可知：依三角形的角平分线定即要证即要证明：又即要证：
三线共点，依塞瓦定理
、、要证点，三线共点，且为、、下证证：作1
1
1
1
K L
N
M
C
B
A
FDA
EDA F E AB AC CP BP AD P BC D ABC AD ∠∠?＝，则和交于、分别与、上任一点，是边上，若在的高，且是设例.3AN
AM FDA EDA N M DF DE AD A =∠=∠可以转化为证明，。欲证、交于的延长线分别、的垂线，与作证：过
FDA
EDA AN
AM BF BD AF CE CD AE FB
AF
EA CE DC BD P CF BE AD BF
BD AF AN CE CD AE AM BF AF BD AN CE AE CD AM BDF ANF CDE AME BC MN BC
AD ∠=∠∴=∴?=
?∴=???=?===∴??????⊥1
,,,//，根据塞瓦定理可得：共点于、、于是，可得，故
三线共点；
、、，证明：，且、、外有三点】已知【练习CR BN AM BCM ACN ABR CBM CAN BAR R N M ABC γβα=∠=
∠=∠=∠=∠=∠?,,
3BA B CBB AC A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C B A AB CA BC ABC 11
1111111111111sin sin sin sin sin sin .4∠∠?
∠∠?∠∠=???证明：，
、、上取点、、的边在
例BA
B CBB A
C A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC C
A
BA B CBB A B CB B
C AC A BAA C A BA A B CB C ACC B C AC CB
C B
B C CC A
ACC C C AC BCC ACC 11
11111111111111111111111111
1111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ∠∠?
∠∠?∠∠=??∠∠?
∠∠=∠∠?
∠∠=∠∠?
∠∠=∠∠=
∠∠=??从而同理：即：应用正弦定理，可得：
和证：如图对
于一点；也相交、、直线分线对称于这些直线的一点，证明，关于角平相交于
、、，使、、上取点、、的边】在【练习2221111114CC BB AA CC BB AA C B A AB CA BC ABC ?
一点；
三角形的角平分线交于的角平分线分别是证：记答案：
练习∴=??∴
===?1,,,,,111
1111111111111A
B CB
C A BA B C AC c a A B CB b c C A BA a b B C AC CC BB AA ABC 于一点；
锐角三角形的三条高交同理可得：则：则：
＝，那么＝设的角平分线分别是证：记锐角答案：
练习∴=??∴-+=
-+=-+=
-+=-+=
-+=
=?-==---?12,22,222)(,,
,,21111112
22122212
22122212
22122212
2
12
2
11111A
B CB
C A BA B C AC a
c a b C A a b a c BA c b c a B C c a c b AC b
a b c A B b
c b a x CB x a BB x b c x b AB x CB CC BB AA ABC
)sin(sin )
sin(sin )sin(sin )sin(sin )
sin(sin )sin(sin 1)sin(1
)sin(sin sin ,,3ααγγγγββγγββγβ+∠?+∠?+∠?+∠?+∠?+∠?=?
+∠???
+∠??=
∠∠==∠∠∠???A BA C BC AN
CN C AC B AB CM BM C AC B AB AM
C CM AC AM A BM AB CAM AC BAM AB S S CM BM C
B A AB
C R AB CR N AC BN M BC AM ACM ABM ＝
同理：＝
即：、、三个内角分别记为的
交于与，交于与交于与证：设的答案：
练习‘‘‘‘‘‘‘
‘‘‘
‘三点共线。
、、根据塞瓦定理可知：＝：将以上三式子相乘可得＝‘
‘‘‘‘
‘‘‘‘‘
‘
CR BN AM BR
AR
AN CN CM BM B CB A CA BR
AR 1
)sin(sin )
sin(sin ??+∠?+∠?ββαα
平面几何的几个重要定理－－托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条
对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：
；
内接于圆，则有：
设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ?=?+?
；
内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BD
AC BC AD CD AB ABCD ?≥?+?
三线共点、、从而
，则、、关于角平分线对称于、、又的结论有：
的边上，根据例位于、、证：的答案：
练习22222
22221
11111111
111222222211211122222
222222222222211sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ,
,sin sin sin sin sin sin 44CC BB AA A
B CB
C A BA B C AC CB A
B BA
C A AC B C CBB BA B BAA AC A ACC CB C BA B CBB AC A BAA CB C ACC CB C ACC CB C ACC CC BB AA CC BB AA BA B CBB AC A BAA CB C ACC A B CB C A BA B C AC ABC C B A ∴=??=??=∠∠?∠∠?∠∠=∠∠?∠∠?∠∠∴∠=∠∠=∠∠∠?
∠∠?∠∠=??? 四点共圆时成立；
、、、上时成立，即当且仅当在且等号当且仅当相似和且又相似
和则：，，使内取点证：在四边形D C B A BD E BD
AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD
ED AC BC AED ABC EAD
BAC AD
AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ?≥?+?∴+?=?+?∴?=??=∴??∴∠=∠=?=??=∴??∠=∠∠=∠)( E
D
C
B A
一、直接应用托勒密定理
例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点
(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，
∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．
二、完善图形借助托勒密定理
例2证明“勾股定理”：
在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD 是圆内接四边形．
由托勒密定理，有
AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①
又∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②
把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．
例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
证明：连结CD，依托勒密定理，
有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．
∵∠1=∠2，∴BD=CD．
故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．
求证：ax＋by≤1．
证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，
使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．
∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．
四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，
连结BD、DC、DA．
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BAC．
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．
依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①
而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②
∴∠BAC=2∠ABC．
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，
分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．
如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．
在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，
有AC·BD＋BC·AD=AB·CD
易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，
1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。
则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
2． 已知正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。
求证： 。（第21届全苏数学竞赛）
PM
AB PL AC PK BC PN PL PK AB AC BC P BC ABC +
=?求证：，和、作垂线与、分别向边上一点外接圆的弧由.3
PM AB PL AC PK BC PM CP PM AB PL BP PL AC PK AP PK BC PM
CP PL BP PL BP PK AP PA PB
PL PK LAP Rt KBP Rt LAP KBP PM CP PM
AB PL BP PL AC PK AP PK BC CP
AB BP AC AP BC ABPC PC PB PA +=??+??=??∴?=??=??=∴
??∠=∠??+??=???+?=?可得：
由同理可得：相似
和可知由即：利用托勒密定理有：
，对于四边形、、证：连接
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
平面几何60条著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
平面几何基本定理
. 一．平面几何 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边 的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则 有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 222 22a c b m a -+= 4． 垂线定理：2 2 2 2 BD BC AD AC CD AB -=-?⊥ 高 线 长 ： C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---= 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线 段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定 理） 角平分线长：2 cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中 p 为周长一半） 6． 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===， （其中R 为三角形外接圆半径） 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222 -+= 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 ·DC +AC 2 ·BD －AD 2 ·BC ＝BC ·DC ·BD 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一 半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定 理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙ O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作 一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2 －r 2 |．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两 组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过 点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近 两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距 离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点 18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、 △BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝ CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向 外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙ A 1 、⊙ B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙ C 1 、 ⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心 19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形 中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如: （1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半 （2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点 （3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕 20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心 依次位于同一直线（欧拉线）上． 21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半 径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2 =R 2 －2Rr ． 22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各 边距离的和． 23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分 成2：1的两部分；)3 ,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC
高中平面几何常用定理总结
高中平面几何常用定理 总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1 （高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-?⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 6． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中p 为周长一半）． 7． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 8． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 9． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 10． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．
专题平面几何的四个重要定理
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
第十九讲平面几何中的几个著名定理
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
初中平面几何四个重要定理
初中数学知识重点整理 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、 R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的 充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： 。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中 点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、 CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比 为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。 求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、R b、R c表示O到A、B、C的距离。
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
平面几何四大定理
平面几何四大定理 平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Me ｎelau ｓ)定理（梅氏线） △ＡBC 的三边ＢC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R,则Ｐ、Q 、Ｒ共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦（Ceva)定理(塞瓦点) △ＡBC 的三边BC 、ＣA 、ＡB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ｐto ｌｅｍy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(S ｉmso ｎ)定理(西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△A ＢＣ的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求 证：FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ＡBD → 1FA BF CB DC ED AE =??(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、Ｂ、D 之一作CF 的平行 线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、Ｆ，交CB 于
平面几何四大定理 D 。 求证: 1FA CF EA BE =+。 【分析】连结并延长AG 交BC 于Ｍ，则Ｍ为BC 的中点。 ＤＥG 截△AB Ｍ→1DB MD GM AG EA BE =??(梅氏定理） D ＧF 截△AC Ｍ→1DC MD GM AG FA CF =??(梅氏定理) ∴FA CF EA BE + =MD AG )DC DB (GM ?+?＝MD GM 2MD 2GM ??＝1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ＡBC 的BC 、C Ａ、ＡB 边上, λ===EA CE FB AF DC BD ，A Ｄ、ＢE 、CF 交成△ＬMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ＡBC 各边为底边向外作相似的等腰△B ＣE 、△CAF 、 △ABG 。求证：ＡE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5． 已知△ABC 中,∠B=2∠Ｃ。求证：ＡC 2=AB 2＋AB ·B Ｃ。
平面几何四个重要定理
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理 重庆市育才中学瞿明强 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是四个重要定理： 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是 。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题：
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。 【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理
3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理
平面几何的几个重要定理--托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之 和)． 即：ABCD AB CD AD BC AC BD ?+?≥? 定理：在四边形中，有： ABCD 并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立； () ABCD E BAE CAD ABE ACD AB BE ABE ACD AB CD AC BE AC CD AB AE BAC EAD ABC AED AC AD BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC BE ED AB CD AD BC AC BD E BD A B C ∠=∠∠=∠ ??∴=??=? =∠=∠∴?? ∴=??=? ∴?+?=?+ ∴?+?≥? 证：在四边形内取点，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、 一、直接应用托勒密定理 例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为 繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB， ∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC． 二、完善图形借助托勒密定理 例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是 圆内接四边形． 由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴BD=CD． 故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形借助托勒密定理 例4若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理 例5已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进 而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC 的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于 D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD BDC =∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形妙引线 借肋托勒密定理 例6在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起 来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理， 有AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 1.已知△ ABC 中，∠ B=2∠ C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 2.ABC BC P BC AC AB PK PL PN BC AC AB PK PL PM ? =+ 由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和， 求证：
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P
F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G
平面几何的几个重要的定理
平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??CE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥?=∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????＝ 依分比定理有：＝即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：Θ
1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习 注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘； 共线； 、、证明点引的垂线的垂足， 、、向是从点、、的外接圆上；位于点例111111C B A AB CA BC P C B A ABC P .2? 三点共线； 、、综上可得：也重合与的延长线上时，同在与类似地可证得当矛盾＝这与于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线R Q P R R AB R R BR AR BR AR BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ''' ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP Θ三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =???? C B A 1 A 1 B 1 C 三点共线； 、、依梅涅劳斯定理可知，＝可得 且将上面三条式子相乘， 证：易得：1111 1 1111111111C B A 1BC AC AB CB CA BA 180PBA PCA ,PCB PAB ,PBC PAC PBA cos PB PAB cos AP BC AC PAC cos AP PCA cos CP AB CB , PCB cos CP PBC cos BP CA BA ???=∠+∠∠=∠∠=∠∠?∠?-=∠?∠?-=∠?∠?-=Θ
平面几何的几个重要的定理~~梅涅劳斯定理
平面几何的几个重要的定理 一、梅涅劳斯定理： 1=??=??B A A C C B C B A h h h h h h RB AR QA CQ PC BP l C B A h h h 的垂线的长度，则：到直线 、、分别是、、证：设 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的 线段成比例的条件； 。 的交点，证明：与是的中点，是上，在点 的平分线，是是斜边上的高，中，：若直角例CE //BF CK DE F AC D AK E ACK CE CK ABC ∠?11PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l 1=??RB AR QA CQ ，则 、、的延长线分别交于或它们 、、的三边的顶点，并且与不经过：若直线定理??
1 11 111111111D B D A : C B C A B D AD :BC AC D C B A D C B A K 1=，试证：、、、和、、、线分别交这四条直线于引四条直线，另两条直】从点【练习于是可得即这时设必定重合，不然的话，与线段上，则同在与若的延长线上； 线段上，或者同在或者同在与因此，或边上的点的个数也为三点中，位于、、由于在同一直线上的＝ ，则：又得： ，于是由定理交于与直线证：设直线BR AR BR AR ,BR BR ,AR AB AR AB ,AR AR R R AB R R AB AB R R 20ABC R Q P RB AR B R AR 1RB AR QA CQ 1B R AR QA CQ 1R AB PQ ' ' ' ' ' ''''''''' '> <-<->=??=???PC BP PC BP ΘCE //BF CKE FKB KE BK KC KF BE BK FC KF BE BK BC BP AC EP AC CK AE EK FC KF 1FC KF EK AE DA CD F E D ACK EP CK EP BC EBC CE BH 90HCB ACE HCB HBC ACE HBC ACK EBC BH B EBC ∴?∴= ====??=∴⊥? =∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠?????＝依分比定理有：＝ 即：＝于是依梅涅劳斯定理有：、、和三点对于，则：上的高作为等腰三角形 即：则：的平分线中，作在证：Θ三点共线； 、、求证：， ，这时若或边上的点的个数为三点中，位于、、三点，并且 上或它们的延长线上的、、的三边分别是、、：设定理R Q P PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P 21RB AR QA CQ =????
平面几何中的几个著名定理
平面几何中的几个著名定理 文章来源：全国初中数学竞赛辅导作者：孙瑞清 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ ∽△BXP得 同理
将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理 一些平面几何的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，
设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角
平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、
盘点几何中的著名定理
盘点几何中的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆
叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$ 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$ 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD，则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$ 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，