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校公选课(线性代数)

校公选课(线性代数)
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第一章 行列式

一、排列理论:

1、定义:

2、反序数,奇、偶排列,对换

二、n 阶行列式的定义及性质:

1、行列式是数或代数式。

2、性质对简化计算的作用:

性质1:行列式转置后,其值不变,即T

D D =。

性质2:互换行列式中的任意两行(列),行列式仅改变符号。

性质3:如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零。 性质4:如果行列式中有一行元素全为零,则这个行列式等于零。

性质5:把行列式的某一行(列)的每个元素同乘以数k ,等于以数k 乘行列式。

推论1:如果行列式某行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式外面。 推论2:如果行列式有两行(列)的对应元素成比例,则行列式等于零。

性质6:如果行列式中的某一行(列)所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和,而且这两个行列式除了这一行(列)以外,其余的元素与原来行列式的对应元素相同。

性质7:以数k 乘行列式的某行(列)的所有元素,然后加到另一行(列)的对应元素上,则行列式的值不变。

3、按行按列展开计算行列式: 1)余子式,代数余子式(化三角形) 2)范德蒙德行列式

第二章 矩阵

一、定义与运算:

1、定义:数表

2、矩阵相等:同型矩阵

3、矩阵的线性运算:

1)加法; 2)数乘; 3)运算性质。

4、矩阵的乘法:F 上n m ?矩阵)(ij a A =与p n ?矩阵)(ij b B =的乘积指的是一个p n ?矩阵)(ij c C =,其中∑==

n

k kj

ik ij b a

c 1

1)可乘的条件:仅当前一个矩阵A 的列数和后一个矩阵B 的行数相同,才能作乘积AB ;

2)不适合的算律:矩阵的乘法不适合交换律;两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵;矩阵的乘法不适合消去律;

3)适合的算律: 4)方阵的幂:k

k

k

B A AB ≠)( 5、转置: 1)定义: 2)性质:

二、几类特殊的矩阵:

1、零矩阵;

2、单位矩阵;

3、 数量矩阵;

4、对角矩阵;

5、三角矩阵;特别,主对角线上元素全为0的三角矩阵

6、对称(反对称)矩阵;

7、非奇异矩阵、满秩矩阵、可逆矩阵:AB BA E == 8、矩阵的伴随矩阵:||AA A E *=

1)1||||n A A *-=; 2)??

???-<-===*

1)(,01)(,1)(,)(n A R n A R n A R n A R ;

3)*-*=A a aA n 1)(; 4)2()||n A A A **-= 5)***=A B AB )(; 6)1

1()

||

A A A *-=

9、初等矩阵:单位矩阵施行一次初等变换所得到的矩阵。 10、正交矩阵:U 是实矩阵,T

UU E =(与对称矩阵无关)

三、初等变换与初等矩阵:

1、初等变换:矩阵的行(列)初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换:

Ⅰ(换法变换):交换矩阵的两行(列);

Ⅱ(倍法变换):用一个非零的数k 乘矩阵的某一行(列)的每一个元素;

Ⅲ(消法变换):把矩阵某行(列)的k 倍加到另一行(列)的对应元素上。 2、如果矩阵A 经一系列初等变换可以化成B ,则称A 与B 相抵(等价)。

3、初等矩阵:单位矩阵实行一次初等变换得到的矩阵.初等矩阵都是可逆矩阵,其逆矩阵为同类的初等矩阵.

4、初等变换与初等矩阵之间的关系:对矩阵施行一次初等行(列)变换相当于用相应的初等矩阵左(右)乘以该矩阵。

5、应用:求矩阵的秩,求可逆矩阵的逆矩阵,解线性方程组。

四、矩阵的秩:

1、定义:不为零的子式的最大阶数。?=r A R )(1)A 有一个r 阶子式不为零;2)所有的1+r 阶子式全为零。

2、初等变换不改变矩阵的秩。(阶梯形矩阵中非0行的行数)

3、r A R =)(,则存在可逆矩阵,P Q ,使000r

E PAQ ??

= ???

。(A 的相抵(等价)标准形) 同型矩阵相抵?它们的秩相等

4、)(F M A n ∈,()1R A A =?可以分解成一个1n ?矩阵和一个1n ?矩阵的乘积。

5、矩阵运算后的秩的变化:

1)()()T

R A R A =;2)0()min(,)mn R A m n ≤≤;3)(),0

()0,0

R A k R kA k ≠?=?

=?;4)()00R A A =?=;

5) ()()()R A B R A R B +≤+;6)))(),(min()(B R A R AB R ≤,若A 可逆,)()(B R AB R =;

7)若0mn np A B =,则()()R A R B n +≤;8)()()T R A A R A =.

五、可逆矩阵:

1、定义:设)(F M A n ∈,若存在)(F M B n ∈,使得AB BA E ==,则称A 为可逆矩阵,称B 为A 的逆矩

阵。

2、性质:A 可逆,则1)111)(,0---=≠A k kA k ;2)k k A A )()(11--=

3、判别与求法: 1)0||≠A ,1

1||

A

A A -*

=

;2)A E →,1(|)(|)A E E A -→ 六、矩阵与行列式的区别与联系:

1、概念的本质:

2、一些结果的差别:

1)||||,()n n kA k A A M F =∈;2)||||||||AB A B BA == 3、联系:

1)方阵有行列式;2)||||T A A =;3)||||k k A A =;4)11||||A A --=; 5)对方阵A 施行消法变换变为B ,则||||A B =。

七、分块矩阵:

1、分块思想:注意几种特殊的分块

2、矩阵分块对运算的简化:特别注意乘法的分块原则

3、,A B 可逆,求???

?

??B C A 0的逆:

4、广义初等变换:

5、准对角形矩阵:???? ??=???

? ??---00

00

111

A B B

A ;0(1)||||0

n mn n

A A

B B =-

八:知识的相互渗透:)(F M A n ∈

||0A ≠?A 可逆?n A R =)(?A 经初等变换化为单位矩阵?A 可以写成初等矩阵的乘积?)()(B R AB R =?0=AX 只有零解?b AX =有唯一解?A 的行(列)向量组线性无关?A 的行

(列)向量组是n

F 的基?A 是数域F 上n 维向量空间的两个基之间的过渡矩阵?A 的特征值全非零。

第三章 线性方程组

一、线性方程组的定义:

1、线性方程组:

?????

?

?=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112

222212********* 1)非齐次;2)齐次;3)系数矩阵;4)增广矩阵。

2、方程组的解:1)使得各方程变成恒等式的一组数;2)方程组中所有方程的解的交集。

3、非齐次线性方程组m n A X b ?=有解的充要条件:(,)()R A b R A r ==。当r n =时有唯一解;当r n <时有无穷多解。

二、线性方程组的解法:

1、克拉默规则:一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组(1)当它的系数行列式0≠D 时,有且仅有一

个解.(注意该解法的适用条件) 2、消元法:利用矩阵,是最一般的解法

对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵,将每一行第一个非零元素化为1,将这些1所在列的其余元素化为0(最简型矩阵).写出相应的方程组,将这些1对应的未知量留下来,其余的是自由未知量移到等式右端得到一般解.

3、利用矩阵方程:方程的个数与未知量的个数相同。

第四章 向量

一、n 维向量的定义及运算:

1、由n 个数组成的一个有序数组12(,,,)n a a a α=称为一个n 维向量,其中12,,,n a a a 称为向量α的

分量(或坐标)。

注:根据讨论问题的需要,向量α也可以竖起来写成12

n a a a α??

? ?= ? ???

注:1)分量全为零的向量,称为零向量,记作0,即0(0,0,0)=。

2)向量12(,,

)n a a a α=的各分量的相反数所组成的向量,称为a 的负向量,记作α-,即:

12(,,)n a a a α-=---。

3)如果12(,,)n a a a α=,12(,,),n b b b β=当i i a b =(1,2,

)i n =时,则称这两个向量相等,记作

αβ=。

2、向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算。

3、n 维向量的加法和数乘运算的性质与常规的数的运算性质一致.

二、线性组合与线性表出:

定义:设有n 维向量1,2,,

,,s βααα如果存在一组数1k ,2k ,,s k ,使

1122s s k k k βααα=+++

则称12,,,s βααα是的线性组合,或称β能由12,,,s ααα线性表出。

注:1)零向量是任何向量组12,,,m ααα的线性组合,或者说零向量可由任何向量组12,,

,m ααα线性

表出。

2)β能否由12,,

,s ααα线性表示归结为一个线性方程组是否有解.

定义:设r ααα,,,21 和s βββ,,,21 是两个向量组。若两个向量组的向量可以互相线性表出,则称两个向量组等价。

注:(1)1212(,,

,)(,,,)s r r s A βββααα?=表明s βββ,,,21 可以由r ααα,,,21 线性表出;

(2)等价表明了两个向量组之间的关系; (3)等价具有以下特性:

(ⅰ) 反身性;(ⅱ)对称性;(ⅲ)传递性。

三、线性相关与线性无关:(12,,

,s ααα的线性相关性取决于零向量怎么样由其线性表示)

定义: 设12,,

,s ααα为s 个n 维向量,如果存在一组不全为0的数12,,,s k k k ,使得

11220s s k k k ααα++

+=

成立,则称向量组12,,

,s ααα线性相关。

如果仅当12,,

,s k k k 全为0时,上式才成立,则称向量组12,,

,s ααα线性无关。

注:1)单独一个零向量线性无关;2)含有零向量的向量组线性相关;

3)单独一个非零向量线性无关;4)两个向量线性相关的充要条件是它们成比例; 5)由n 个n 维标准单位向量12,,,n εεε组成的向量组是线性无关的。

一般地,判断向量组12,,,s ααα的线性相关性归结为相应的齐次线性方程组是否有非零解,基本方法和步骤是:

(1) 假定存在一组数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++

+=;

(2) 转化为关于12,,

,s k k k 的齐次线性方程组;

(3) 判断方程组有无非零解; (4) 若有非零解,则12,,

,s ααα线性相关,若仅有零解,则12,,,s ααα线性无关。

四、有关线性相关性的一些结论:

1)s 个n 维向量12(,,

,,)i i i in a a a α= (1,2,

,i s =)线性无关的充要条件是

11121212221

2

n n s s sn a a a a a a R s a a a ?? ? ?

= ? ???

推论:n 个n 维向量12(,,,,)i i i in a a a α= (1,2,

,i n =)线性无关的充要条件是

11121212221

2

0n n n n nn

a a a a a a a a a ≠

2)1n +个n 维向量),,,(21in i i i a a a =α(1,2,,1i n =+)线性相关。

注:一个向量组所含向量的个数大于向量的维数时,这个向量组一定线性相关。

3)向量组12,,

,(2)s s ααα≥线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示。

4)如果一个向量组的一部分向量线性相关,那么这个向量组线性相关。 5)如果一个向量组线性无关,那么它的任何一部分向量也线性无关。 6)如果向量组12(,,

,,)i i i in a a a α= 1,2,,i s =线性无关,那么在每一个向量上添一个分量所得到的1n +维向量组12(,,

,,)i i i in i a a a b β= 1,2,,i s =也线性无关。

注:这个结论可以推广到添加几个分量的情况

7)如果向量组12,,,s ααα线性无关,而12,,,,s βααα线性相关,那么β可由12,,

,s ααα线性表示,

而且表示式是唯一的。

8、设向量组r ααα,,,21 线性无关,且每一个均可由向量组s βββ,,,21 线性表示,则r ≤s .等价说法:设向量组r ααα,,,21 中每一个均可由向量组s βββ,,,21 线性表示,且r s >,则r ααα,,,21 相关.

五、向量组的极大无关组与向量组的秩:

定义:设r i i i ααα,,,21 是n ααα,,,21 的一部分向量,若满足

1)r i i i ααα,,,21 线性无关;

2)n ααα,,,21 中每一个向量均可由r i i i ααα,,,21 线性表示(对任j α,使12,,,,r i i i j αααα线性相关)

。 则称r i i i ααα,,,21 是n ααα,,,21 的一个极大无关组。

注:(1)一个线性无关的向量组的极大无关组是它本身; (2)向量组与其极大无关组等价;

(3)向量组的极大无关组一般不唯一,彼此等价。

注:1)n

F 中向量组m ααα,,,21 的极大无关组的求法:以m ααα,,,21 为列构成矩阵,施行初等行变换化为阶梯形矩阵,每一行第一个非零元素所在列对应的向量构成的向量组即为一个极大无关组。

2)等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量;特别,一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。向量组的极大无关组所含的向量个数称为该向量组的秩。

3)两个等价的向量组的秩相等。

六、向量空间:

1、定义:给两个集合:数域F 和非空集合V ,若满足以下条件,则称V 为数域F 上的一个向量空间:

1 在V 中定义一个加法:V ∈?βα,,存在V 中的唯一向量γ与它们对应,称为α与β的和,记为βαγ+=。

2 有一个标量乘法:V F a ∈?∈?α,,在V 中存在唯一向量δ与它们对应,称为a 与δ的积,记为αδa =。

3 两种运算满足八个运算律: 1)αββα+=+;

2))()(γβαγβα++=++; 3)ααα=+∈?∈?0,,0V V ; 4)0,,=+'∈'?∈?ααααV V ; 5)βαβαa a a +=+)(; 6)αααb a b a +=+)(; 7))()(ααb a ab =; 8)αα=1。

2、n 维向量的全体关于向量的加法和数乘构成实数域上的一个向量空间。

3、子空间:设W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集。若W 对于V 的加法和数乘封闭,则称W 是V 的一个子空间。

1)向量m ααα,,,21 的一切线性组合作成V 的一个子空间称为由m ααα,,,21 所生成的子空间。 2)设m ααα,,,21 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而r i i i ααα,,,21 是它的一个极大无关组,则

),,,(21m L ααα =),,,(21r i i i L ααα 。

4、向量空间的基底:设n ααα,,,21 称为向量空间V 的基,若满足:

(1)n ααα,,,21 线性无关;

(2)V 中每一个向量均可由n ααα,,,21 线性表示。

注: 1){0}无基;

2)V 的基是V 的一组线性无关的生成元; 3)V 的基是整个向量空间V 的一个极大无关组;

4)设n ααα,,,21 是V 的一个基,则V 的每一个向量可以唯一地被表示成基向量的线性组合。 5)n 维空间中任意多于n 个向量一定线性相关。

6)设V 为n 维向量空间,则V 中任意n 个线性无关的向量均V 的基。

7)一个向量空间的基一般不唯一。一个向量空间的任意两个基彼此等价,进而含有的向量个数相同,称为V 的维数,记V dim 。

8)由m ααα,,,21 所生成的子空间的维数为m ααα,,,21 的秩。

5、向量关于基底的坐标:设n ααα,,,21 是F 上n 维向量空间V 的一个基,n n x x x αααα+++= 2211,

则称T n x x x ),,,(21 为向量α关于基n ααα,,,21 的坐标,记????

??

? ??=n n x x x 2121),,,(αααα.

6、设n ααα,,,21 与n βββ,,,21 为n 维向量空间V 的两个基,且

n

nn n n n n

n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ+++=+++=+++=

22112222112212211111

以n βββ,,,21 的n 个坐标为列构成的矩阵称为由n ααα,,,21 到n βββ,,,21 的过渡矩阵。

1)T n n ),,,(),,,(2121αααβββ = 2)过渡矩阵是唯一且可逆的。

七、线性方程组的解的结构:

1、解向量:

齐次线性方程组

111122121122221122000

n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????++

+=

? (1)

它的任一组解1122,,

,n n x k x k x k ===可以看成一个n 维向量,称12(,,,)T n k k k 是(1)的一个解向量。

显然,n 维零向量是(1)的一个解向量。

注:1)如果12,ξξ是(1)的两个解向量,则12ξξ+也是(1)的解向量。

2)如果ξ是(1)的解向量,c 为任意实数,则c ξ也是(1)的解向量。进而,如果12,,s ξξξ是齐次线

性方程组(1)的s 个解向量,则它们的任一线性组合1122s s c c c ξξξ++

+也是(1)的解向量。

定义 若齐次线性方程组(1)的一组解向量12,,s ξξξ满足条件:

1)12,,

s ξξξ线性无关;

2)方程组(1)的任一解向量都可由12,,s ξξξ线性表示,

则称12,,

s ξξξ是(1)的基础解系。

注:如果(1)只有零解向量,那么(1)就不存在基础解系。如果(1)有非零解向量,那么(1)就有

无穷多个解向量。把这无穷多个解向量看成一个向量组,那么,基础解系就是它的一个最大线性无关组,于是,只要找出(1)的基础解系,(1)的全部解向量就能由基础解系的全部向量线性组合表示出来,即1

n

i i

i c ξξ

==∑(i c 为任意常数),称它为齐次线性方程组(1)的通解。

定理 如果齐次线性方程组(1)的系数矩阵A 的秩()r A r n =<,那么(1)的基础解系存在,而且基础解系含有n r -个解向量。 2、齐次线性方程组的解的结构:

(1)0=AX 的全部解构成解空间}0|{=∈AX F X n ,基为基础解系。

1) 若n A R =)(,方程组只有零解;n A R <)(有非零解,有基础解系,其中含有)(A R n -个解向量。 2)0=AB ,则B 的列向量均为0=AX 的解向量。

(2)对系数矩阵施行初等行变换化为00r

E C ??

???

型,给出基础解系。 (3)应用:1)判断向量组的线性相关性;2)求矩阵的特征向量。

3、非齐次线性方程组解的结构: b AX =,0=AX 称为b AX =的导出组。 一般解:r n r n k k --+++=ηηγγ 110,0γ是b AX =的一个特解,1,

,n r ηη-为0=AX 的基础解系.

第五章 特征值和特征向量

一、特征值和特征向量:

1、定义

定义: 对于n 阶矩阵A ,如果存在常数λ,及非零n 维列向量x ,使Ax x λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,非零向量x 称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。

注:1)特征值与特征向量同时出现,特征向量非零; 2)A 的特征根是A 的特征方程0E A λ-=的根;

3)A 的属于λ的特征向量为()0E A X λ-=的非零解;

2、有关结论:

1),X Y 为A 的属于λ的特征向量,0kX lY +≠也为A 的属于λ的特征向量; 2)若λ为A 的r 重特征根,相应有s 个线性无关的特征向量,则1s r ≤≤; 3)若n λλ,,1 为A 的互异特征根,1,

,n X X 是相应的特征向量,则1,,n X X 线性无关;

4)若n λλ,,1 为A 的互异特征根,1,,i i ir X X 是属于i λ的线性无关的特征向量,则1111,,r X X ,1,,,n n nr X X 线性无关;

5)若n λλ,,1 为A 的全部的特征根,nn a a a A tr +++= 2211)(n λλ++= 1,12||n A λλλ=,()R A 为n λλ,,1 中非零数的个数;

6)1

B P AP -=,则A 与B 有相同的特征矩阵、特征值、秩、行列式值、迹;特征向量不同;

7)AX X λ=11

,,()()m m A X X A X X f A X f X λλλ--?===,kAX k X λ=;

8)A 与T

A 的特征值相同。

3、求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量的步骤如下:

1)求A 的特征方程

0E A λ-=的全部根;,,,21n λλλ

2)将λ=()n i i ,,2,1 =λ分别代入()A E -λx =0,得齐次线性方程组()0=-x A E i λ;

3)()0=-x A E i λ的基础解系,就是A 对应于λ=i λ的特征向量。基础解系的非零线性组合就是A 的对应于λ=i λ的全部特征向量。

二、矩阵的相似及相似对角化:

1、矩阵的相似:

定义 对于n 阶方阵A 与B ,如果存在可逆矩阵P ,使得B AP P =-1

,则称方阵A 与B 相似,记作A ~B .运算AP P 1

-称为对A 进行相似变换,而可逆矩阵P 称为将变换为B 的相似变换矩阵.如果B 是对角矩阵,则称A 可以对角化。

矩阵的相似具有下面三条性质: 1. 反身性 A ~A

2. 对称性 若A ~B ,则B ~A

3. 传递性 若A ~B ,B ~C ,则A ~C

注:1) 相似矩阵的特征多项式、特征值、秩、迹、行列式值完全相同; 2) n 阶方阵A 与对角矩阵A 相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量;

3) n 阶方阵的两个不同的特征值21,λλ对应的特征向量21,x x 是线性无关的;12x x +不再是A 的特征向量。

4)若B AP P =-1

,则1

k

k

P A P B -=。(求矩阵高次幂的方法之一) 2、矩阵相似对角化的步骤:

1)求

0E A λ-=的根;

2)对每一λ,求()0E A X λ-=的基础解系,与根的重数比较;

3)以各基础解系为列构成矩阵P ,使121n P AP λλλ-?? ?

?

=

? ???

三、向量的内积:

1、向量的内积

定义 设有两个n 维向量??????? ??=321a a a α,????

??

? ??=n b b b 21β,则()n n b a b a b a +++= 2211,βα,称为向量α和β的

内积.

注:(1)设α,β,γ是n 维向量,λ为实数,则向量的内积满足如下运算规律: 1)

()();,,αββα= 2)()()βαλβλα,,=

3) ()()();,,,γβγαγβα+=+ 4) ();0,≥αα当且仅当0=a 时等式成立.

(2)

()1122,T n n a b a b a b αβαβ=++

+=.

定义 当()βα,0=时,称向量α,β是正交的. 定义 设α()n a a a ,,,21 =,则称()2

2221,n a a a +++=

= ααα为向量α的长度(模或范数).

注:

α

α

称为将α单位化。 2、正交向量组

定义 若非零向量组r ααα,,,21 中的任意两个向量都是正交的.则称这个向量组为正交向量组. 1)n 维标准向量组n εεε ,,21是正交向量组; 2)正交向量组是r ααα,,,21 是线性无关的. 3、线性无关向量组的正交化:

由一组线性无关组m ααα,,,21 得出一个正交组m βββ,,,21

211122111(,)

,(,)

αββαβαβββ==-

11111111(,)

(,)

,(,)

(,)

k k k k k k k k αβαββαββββββ----=-

-

-

1212(,,

,)(,,,),

m m T T βββααα=为上三角形阵 4、实对称矩阵的相似对角化

定义:如果n 阶矩阵A 等于它的转置矩阵,则称A 为对称矩阵,所有元素为实数的对称矩阵,称为实对称矩阵。

1) 实对称矩阵的特征值都是实数;

2) 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交。

定理 设A 为n 阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵P ,使????

??

?

?

?=Λ=-n AP P λλλ

2

11

,其中n λλλ ,,21是A 的特征值。

(实对称矩阵一定可以相似对角化) 求正交矩阵P 的步骤:

1)求实对称矩阵A 的全部特征值,即求解特征方程

0E A λ-=的全部根;

2)将每一个特征值分别代入()0=-x A E λ,求出基础解系; 3)将各个基础解系正交规范化;

4)以正交规范化得到的向量为列做正交矩阵P ,则??????

?

?

?=Λ=-n AP P λλλ

2

11。

第六章 二次型

一、二次型的概念及其矩阵表示:

定义 含有变量,,,21n x x x 的二次齐次多项式

2121111212112

2222

22(,,

)222n n n

n n nn n

f x x x a x a x x a x x a x a x x a x

=+++++

++

+ (1)

称为一个n 元二次型,简称二次型,当 ij

a 都是实数时,(1)称为实二次型, 1211

(,,

,)n n

T n ij i j i j f x x x a x x X AX ====∑∑

ji ij a a =,称)(ij a A =为二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵,二次型的矩阵的秩称为二次型的秩。

注:1)二次型与实对称矩阵一一对应; 2)将n x x x ,,21变为n y y y ,,,21 的变换

11111221221122221122n n

n n

n n n nn n

x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++??=+++??

??=+++? (2) 称为变量的线性变换。矩阵111212122

212

n n n n nn c c c c c c C c c c ??

?

?

= ?

???

称为线性变换(2)的矩阵写成矩阵的形式为 CY X =。当C 为可逆矩阵时,经可逆线性变换CY X =,二次型AX X f T =化为

Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===。

如果此时把二次型化为仅含有平方项的二次型时,称为二次型的标准形,如果进一步化成平方项系数只能是

1,1,0-,则称为规范形或典范形。

注:1)可逆线性变换不改变二次型的秩;

2)要使二次型AX X f T

=经过可逆变换CY X =化成标准形,关键在于找到一个可逆矩阵C 使T C AC

成为对角矩阵。

3)设,A B 为n 阶矩阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C ,使得T

C AC B =,则称B 与A 合同.

注:矩阵的合同具有自反性、对称性、传递性;合同的矩阵有相同的秩和正定性,与对称矩阵合同的矩

阵是对称的。

二、化二次型为标准形:

1、正交变换法

如果P 为正交矩阵,则线性变换PY X =称为正交变换。

定理 任给二次型12(,,

),(),T T n f x x x X AX A A ==必有正交变换1()T X PY P P -==使

2

222`211`n n y y y f λ λ λ ++=

其中,,,,2`1`n λ λ λ 是A 的特征值,而P 的列向量就是对应于,,,,2`1`n λ λ λ 的两两正交的单位特征向量。

注:此时,因实对称矩阵A ,存在正交矩阵P ,使1

1

2

T n P AP P AP λλλ-??

?

?==Λ= ? ? ??

?

。 2、配方法:以含某个文字的所有项为准进行配方,直到全变为平方项为止。 1)此方法不方便求相应的变换;2)只需确定秩和符号差时用简捷

3、初等变换法:对n 阶对称矩阵A 施行同样的行和列初等变换的同时,对n 阶单位矩阵只施行同样的列变换,

A 化为对角形时,E 就化为P 。(主对角线元素不全为0或全为0两种形式)

三、正定二次型:

1、惯性定理:

定理 设有实二次型AX X f T =,它的秩为r ,有两个实的可逆变换CZ X BY X ==,,使

2222211....r r y c y c y c f ++=,2

222211....r r z k z k z k f ++=

则r c c c ,...,21中正数的个数与r k k k ,...,21中正数的个数相等。

标准形中正系数的项数称为二次型的正惯性指数,负系数的项数称为二次的负惯性指数。 2、正定二次型:

定义 设有实二次型AX X f T

=,若对任何0≠X ,都有0>f ,则称f 为正定二次型,并称实对称

矩阵A 是正定矩阵;如果对任何0≠X ,都有0

判断实二次型AX X f T

=正定的充要条件:

1)它的正惯性指数等于未知数的个数n 。2)A 的所有特征值都为正数。

3)A 的各阶顺序主子式都大于零。(左上角的k 阶子式)

典型习题

一 行列式

题型一 余子式相关问题技巧解题

例1 已知(4级)行列式的第三列元素为2,4,0,6-, 则11214123A A A +-=_____________. 例2 已知6阶行列式D 的某一行所有元素及其余子式都等于a , 则[ ]

A.6D a =;

B. 2

6D a =; C. 1D =; D. 0D =.

例3 设行列式3040222

2

0700532

2

D =

---, 则第4行各元素的代数余子式之和的值为______. 例4 已知n 阶行列式100011

00

111011

11

D =

,求D 的所有元素的代数余子式之和.

题型二 行列式的计算

例1 已知2

101111x

y z =, 求12

21011

1

x y

z ++的值.

例2 已知1231m αααβ=, 1223n ααβα=, 求32112()αααββ+.

例3 求123,(,

1,2,,).n i n

a b b b b

a b b

D b

b a b b a i n b

b

b a =≠=

例4 求11

121212221

2

n n n n n n n

a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=

+++

5、形如n

n

n n n a b b a b a b a D 11

22

11--=

的所谓二条线的行列式,直接按行列展开降阶。

6、形如n

n

n n n n n

n

n d c d c d c b a b a b a D 1

1

1

1

111

1

2----=

的所谓二条线行列式,展开得递推公式。

7、形如1

010101

200

1

111

n

n D n -=爪形或箭形的行列式,利用性质将一条边化为零成为三角形行列式。

8、形如2

1

12

0000021000121

00012------=

n D 的三对角或次三对角形行列式,按第一行(或列)或第n 行(或

列)展开得两项的递推关系式。

9、x

a a a a

a x a a a a x D n =各行列元素之和相等。

10、11

1

2

111

212

2212

12

11

1

11

)(----------=n n n n n n n n n n a a a x a a a x

a a a x x f

,其中11,,-n a a 为互不相同的数。证明:)(x f 是一个1-n 次多项式,并求)(x f 的全部根。

二 矩阵

题型一 矩阵计算, 矩阵幂

例1 已知AP PB =, 其中100100000,210001211B P ????

? ?==- ? ? ? ?-????

, 求A 及5

A .

例2 已知()111111A ?? ?=-- ? ???

, 求10

A .

例3 设α为3维列向量, 若111111111T αα-?? ?=-- ? ?-??

, 则T

αα=____________.

例4 设2300320000120012A ??

?

- ?= ? ???

, 求2n A . 例5 设110100k A k k ?? ?= ? ???, 求n A .

例6 设1010

20101A ??

?

= ? ???, 求12n n A A --. 例7 设0101

0000

1A -??

?

= ? ?-?

?

, 1B P AP -=, 则200822B A -=____________ 8、()321,321=?

???

?

??=B A ,求10)(,,AB BA AB ;111(1,,,),(1,2,3,4),234T A αβαβ===,求n

A 。

9、B A ,为n 阶方阵,0=AB ,则( )。

1)0=A 或0=B ;2)||0A =或||0B =;3)0=+B A ;4)||||0A B +=

10、设四阶方阵),,,(321αααα=A ,),,,(321αααβ=B ,其中n F ∈321,,,,αααβα,且||5,||2A B ==,则||A B +=( )。 11、???

?

??D C B A 是方阵,A 可逆,则||||1

B CA D A D

C B A --=。 12、)(F M A n ∈,||5A =,求1

11|(

)|(1)510

n n A A *

---=-. 14、设A 为n 阶正交矩阵,则SA A 1

-为对称矩阵的充要条件是S 为对称矩阵。 题型二 逆矩阵

例0 设223110121A ?? ?=- ? ?-??

, 求1

A -.

例1 已知n 阶方阵A 满足2

320A A E -+=, 证明A 可逆, 并求1A -.

例2 已知n 阶方阵A 满足2220A A E --=, 求1

(3)A E -+.

例3 A 是方阵, 满足0k

A =,k 是大于1的整数。证明:()E A -可逆, 并求其逆.

例4 1

1

,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆阵, 则1

11

()A B ---+=___________

例5 设1123,()()4567A B E A E A -?? ?- ?==+- ?- ?

-??

, 则1()E B -+=_________ 例6 设110(0,1,,)i

n n a A a i n a a -?? ?

?=≠= ? ? ???

,求1A -.

例7 设01101110110011032O O A O

O O O ??

?

? ? ?

= ? ? ? ? ? ???

, 求1A -. 8、设)(F M A n ∈,2

430A A E -+=。证明:

1)A 可逆并求A 的逆;2)A 为实对称矩阵时,2A E -为正交矩阵。

9、03=A ,则2

E A A ++可逆。

10、3

2

320A A A E -+-=,求11,()A E A ---。

题型三 关于伴随矩阵

例1 设,A B 是n 阶方阵,A O C O B ??=

???

,则*

C =_______

A. **A A O O B B ??? ? ???

? B. **B B O O

A A ??

? ? ???? C. **A B O O B A ??

? ? ???

?

D. *

*B A O O A B ??

? ? ???

?

. 例2 设100220345A ?? ?= ? ???, 求()1*A -. 例3设1111121113A -??

?= ? ???

, 求()1

*A -.

例4 设100420561A ?? ?= ? ?

??

, 求()**A 例5 设*1011010308A ??

?

?= ? ?-??

, 且113ABA BA E --=+, 求B . 6、设三级方阵A 的行列式21||=A ,1-A 为A 的逆矩阵,*

A 为A 的伴随矩阵,则|)2

1(|1-*-+A A =( D )。

A .0;

B .-3;

C .427;

D .4

27

-。

题型四 解矩阵方程

例1 设11111

1111A -??

?

=- ? ?

-??

, 且***11()82A X A A X E -=+, 求X . 例2 设,A B 为3阶方阵, 1

24A B B E -=-,

(1) 证明2A E -可逆; (2) 若120122002B -?? ?

= ? ???

,求A

例3 设210120001A ?? ?= ? ???

, 矩阵B 满足**

2ABA BA E =+, 则B =______

例4 A 是3阶方阵,12

A =, 求1*

(3)2A A --的值.

例5 设,A B 均为n 阶方阵, 2,3A B ==-, 则1**1

A B A B ---=________

例6 设A 为n 级方阵, 且,0T AA E A =<, 则A E +=______

例7 实矩阵33()ij A a ?=,满足(,1,2,3)ij ij a A i j ==,其中ij A 是ij a 的代数余子式,且110a ≠,求A .

例8 已知100011110,101111110A B ???? ? ?

== ? ? ? ?????

,且矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++,求X .

9、已知B A ,为三阶矩阵,且满足E B B A 421

-=-。1)试证E A 2-的伴随矩阵为可逆阵;2)若

???

?

? ??-=200021021B ,求A 。

10、已知方阵B A ,满足BA A BA A +=-61

,若?????

??

?

??=714

1

3

1

A ,求

B 。 11、若????

??=?

???

? ??0110101000010X X ,求X 。 12、求与???

?

??=1101A 乘积可交换的矩阵。 题型五 矩阵的秩

例1 设11111111111111A λ

λλ?? ?

?

= ?+ ???

, 求()R A . 例2 设111212122

212

n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ??

? ?

= ? ???

, 其中0,0,1,2,,i i a b i n ≠≠=, 求()R A =______

例3 设3312324

,0,0369Q t P PQ ???

?

=≠= ? ??

?

, 则______ A. 6,()1t R P == B. 6,()2t R P == C. 6,()1t R P ≠= D. 6,()2t R P ≠=

例4 设A 为77?级方阵,*

()1R A =,求()R A .

例5 设a b b A b a b b b a ?? ?

= ? ???

, *()1R A =, 则必有______

A. a b =或20a b +=;

B. a b =或20a b +≠;

C. a b ≠且20a b +=;

D. a b ≠且20a b +≠

例6 设矩阵001010,100B A B ?? ?

= ? ???

,则()()R A E R A E ++-=______

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

例7 已知,,()r r r s B C R C r ??=。证明:(1)若0BC =,则0B =;(2)若BC C =,则r B E =.

8、A 为n 阶矩阵,证明:A A =2

的充要条件是()()R A R A E n +-=。

9、若n m A R mn <=)((行满秩),则( )

1)A 的任意一个1+n 阶子式等于零;2)A 的任意m 个列向量线性无关; 3)若矩阵B 满足0=AB ,则0=B ;4)A 经初等变换化为()0m E 的形式。

10、,nm mn A B E n m =<,则n B R =)(。

11、设)(F M A n ∈,0)(>=r A R ,则存在)(,F M C B n ∈,使BC A =,且r C R B R ==)()(。 12、设)(),(F M B F M A nm m n ∈∈,n m <,则||0AB =。

13、设)(,F M B A n ∈,且r B R A R ==)()(,则存在可逆矩阵,P Q ,使B PAQ =。

题型六 初等变换

例1 设A 为3阶方阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的(1)-倍加到第2列得C ,记

110010001P ?? ?

= ? ???

,则[ ] A. 1C P AP -=; B. 1C PAP -=; C. T C P AP =; D. T C PAP =

例2 设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩B ,**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则( )

A. 交换*A 的第1列与第2列得*B ;

B. 交换*A 的第1行与第2行得*

B ;

C. 交换*A 的第1列与第2列得*B -;

D. 交换*A 的第1行与第2行得*

B -. 3、设三级方阵?????

??=3332

31

232221

131211a a a a a a a a a A ,?????

?

?+++=2322

21133312

3211

3113

1211

a a a a a a a a a a a a B ,,010*******???

?? ??=P

???

?

?

??=1010100012P ,则必有(C )。A .B P AP =21;B .B P AP =12;C .B A P P =21;D .B A P P =12。

4、(3分)、设四级方阵),,,(),,,,(4324321αααβαααα==B A ,其中βαααα,,,,4321为四维列向量。若|A|=1,|B|=2,则|A+B|=( )。

5、设A 为n 级可逆矩阵,如果交换A 的第i 行与第j 行得到B ,则1

-BA =( )。

6、?????

?

?=j i

h g f e

c b a A ,????? ??+++=c j b i a h c b

a g f e B ,????? ??=1000010101P ,???

?

?

??=1010100012P ,则B A P P =21.

三 向量

题型一 向量组的线性相关性

例 1 设β可由1,,m αα线性表示,但不能由向量组 (Ⅰ)

11,,m αα-线性表示,记向量组(Ⅱ)

11,

,,m ααβ-,则( )

A.

m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示;B. m α不能由(Ⅰ)线性表示,能由(Ⅱ)线性表示;

C. m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示;

D. m α可由(Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示. 例2 设向量组(Ⅰ) 12,,,r ααα可由向量组(Ⅱ)12,,,s βββ线性表示, 则( )

A. 当r s <时,向量组(Ⅱ)必然线性相关;

B. 当r s >时,向量组(Ⅱ)必然线性相关;

C. 当r s <时,向量组(Ⅰ)必然线性相关;

D. 当r s >时,向量组(Ⅰ)必然线性相关. 例3 设12,,,s ααα均为n 维向量, 下列结论不正确的是( )

A. 若对任意一组不全为0的数1,,s k k 都有11220s s k k k ααα+++≠, 则12,,,s ααα线性无关;

B. 若12,,,s ααα线性相关,则对任意一组不全为0的数1,,s k k 都有

11220s s k k k ααα+++=

C. 12,,,s ααα线性无关充要条件是此向量组的秩为s ;

D. 12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任两个向量线性无关. 例4 假设,A B 为满足0AB =的任意两个非零阵,则必有( )

A. A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关;

B. A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性无关;

C. A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性无关;

D. A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性无关. 例5 设有向量组12,,,r ααα线性无关及列向量组12,,,t βββ满足1212(,,,)(,,,)s r r t K βββααα?= 则12,,,t βββ线性无关()R K t ?=。

例6

123,,ααα线性无关,则下列向量组线性无关的是( )

A. 122331,,αααααα++-;

B. 1223123,,2ααααααα++++;

C. 1223312,23,3αααααα+++;

D.123123123,2322,355ααααααααα++-++-.

例7 已知向量组1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,9)t t αααα===-+=+线性相关,求t 的值. 例8 设123,,ααα线性无关, 1β可由123,,ααα线性表示, 而2β不能由123,,ααα线性表示, 则对任意常数k ,

则必有( )

A. 12312,,,k αααββ+线性无关;

B.

12312,,,k αααββ+线性相关;

C. 12312,,,k αααββ+线性无关;

D. 12312,,,k αααββ+线性相关.

例9 12,,(2)s s ααα≥线性无关, 设112223111,,,,s s s s s βααβααβααβαα--=+=+=+=+,讨论12,,,s βββ的线性相关性.

例10 设123,,ααα为3维列向量, 设矩阵

123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++

如果1A =, 则B =______。 例11 (Ⅰ)

123,,ααα , (Ⅱ) 1234,,,αααα , (Ⅲ) 1235,,,αααα, (

)()3,()4R R R ===ⅠⅡⅢ, 证明: 12354,,,ααααα-的秩为4.

例12 设,m n n m A B ??满足n BA E =, 问A 的列向量组的线性相关性如何?为什么?

例13 n 维列向量组12,,,n ααα线性无关当且仅当111212122

212

0T T T n

T T T n

T T T n n n n

D αααααααααααααααααα=

例14 已知12301,2,1110a b βββ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????与向量组1231392,0,6317ααα?????? ? ? ?

=== ? ? ? ? ? ?--??????

有相同的秩, 且3β可

由123,,ααα线性表示,求,a b 的值.

题型二 向量组的极大无关组, 秩; 向量空间的基, 基与基之间的过渡矩阵

例1 设向量组 123451113401123,,,,1124501123ααααα?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????????

求向量组的秩, 极大无关组, 且用极大无关组表示其余向量.

例2 设1234(1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),(4,4,4,4)T T T T a a a a αααα=+=+=+=+,问当a 为何值

时1234,,,αααα线性相关,若1234,,,αααα线性相关时,求其中一个极大无关组并表示其余向量. 例3 已知3

R 的两个基为123(1,1,1),(1,0,1,),(1,0,1)T T T ααα==-=,1(1,2,1),T β=

23(2,3,4,),(3,4,3)T T ββ==,求由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵.

例4 设12312(1,1,0,0),(1,0,0,1),(1,1,0,1),(1,1,0,2),(2,2,0,1),T T T T T αααββ=====

3(1,2,0,2)T β=,为向量组V 的两组基, 求前一组基到后一组基的过渡矩阵P ,并求向量(0,1,0,0)

α=在两组基下的坐标.

例5 求由3

R 的基123,,ααα到21123,,ααααα++的过渡矩阵, 及12323αααα=++在后一组基下的坐标.

四 线性方程组

题型一 求方程组的基础解系,通解,特解

例1 求齐次线性方程组的基础解系1234123412

34030230

x x x x x x x x x x x x --+=??

-+-=??--+=?

例2 λ取何值时,线性方程组123123123(21)(1)1(2)(1)(2)(21)(1)(21)x x x x x x x x x λλλλλλλλλλλλ

+-++=-??

---+-=??---+-=?

有唯一解,无解,无穷多解,在有无穷

多解时求通解.

例3 设123211101,1,1,111λααλαβλλλ+????????

? ? ? ?

==+== ? ? ? ? ? ? ? ?+????????

, 问λ取何值时:

⑴ β可由123,,ααα线性表示,且表达方式唯一;

⑵ β可由123,,ααα线性表示,且表达方式不唯一; ⑶ β不能由123,,ααα线性表示,为什么?

例4 设123(1,2,0),(1,2,3,),(1,2,2)T

T

T

a a

b a b ααα==+-=---+,(1,3,3)T

β=-,试讨论当,a b 为何值时,

⑴ β可由123,,ααα唯一表示,且写出表达式;

⑵ β由123,,ααα不唯一表示,且写出表达式; ⑶ β不能由123,,ααα线性表示.

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果! 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项: 1. 考前请将密封线内填写清楚; 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 ); 3.考试形式:开(闭)卷; 4. 本试卷共五大题,满分100 分,考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题(每小题 2 分,共 40 分)。 题 封 答1.设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵,则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2+ E =0,其中 E 是 n 阶单位矩阵,则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵,且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. -2n A. -2 D. 1 B. -2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵,且行列式det(A)=0 ,则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量,其对应分量成比例 C. 存在一个行向量,它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5.设向量组a1,a2, a3线性无关,则下列向量组中线性无关的是【】名A.a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1- a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7.设 a 为 m n 矩阵,则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A . A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数( i =1, 2, 3),且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量,则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1,η2,η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系, 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1, η2, η3 线性表示的向量组 B. 与 η1, η2 , η3 等秩的向量组 C.η 1-η2, η2- η3, η3- η1 D. η 1, η1-η3, η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ,则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解, 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0,1,1,2,则||A E λ-= 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值,则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ;||A = -2 ;A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值,则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵,||A d =,则*AA 的特征值是,,,d d d ???(共n 个) 二、选择题 1.设1λ,2λ为n 阶矩阵A 的特征值,1ξ,2ξ分别是A 的属于特征值1λ,2λ的特征向量,则( D ) (A )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (B )当1λ=2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 (C )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必成比例 (D )当1λ≠2λ时,1ξ,2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值,则1 A -有一个特征值等于 ( C ) A 、2; B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B ) A 、充分条件; B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解:A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时,解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ,故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时,解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ,故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解:B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时,解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010~ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2. 设A 、B 为4阶方阵,且,2||1 =-A 813=B ,则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ,且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4.设??????????=210110001A ,则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5.已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示,则21,αα线性 相关 . 6.设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ,且1α,32αα,线性相关, 则=t 8 . 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ,???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8.设三阶方阵A 的每行元素之和均为零,又2)(=A R ,则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ; )B ( 2 ; )C ( 1 ; )D ( 0. 2.设C B A ,,均为二阶方阵,AC AB =,则当(C )时,可以推出C B =. .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) . )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关,则21,αα线性相关; )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似,则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解,则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解,其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η,???? ????????=+444432ηη, 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关,则下列向量组中线性无关的是( B ) )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6.若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值,且各有n 个线性无关的特征向量,则(A )

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ,有时为了强调矩阵的行数和列数,也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ,或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义:对于矩阵()ij m n a ?=A ,称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ,

a b+

21 2 n m m mn a a a ????,转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律(这里k 为常数,A 与B 为同型矩阵)阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???,m b = ? ??? β,有:

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义,该线性方程组可以用矩阵形式来表示:=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ,21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ,的行数相同、列数相同,则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ,都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题(共5小题,每题2分,共计10分) 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中,2x 的系数为 ( ) (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵,(),r A r B =是m 阶可逆矩阵,C 是m 阶不可逆矩阵,且 ()r C r <,则 ( ) (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值,且各自有n 个线性无关的特征向量,则( ) (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似,但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵,且AB BC CA E ===,其中E 为n 阶单位阵,则 222A B C ++= ( ) (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5.设1010,0203A B ???? == ? ????? ,则A B 与 ( ) (A)合同,且相似 (B)不合同,但相似 (C)合同,但不相似 (D )既不合同,又不相似

二、填空题(共 二、填空题(共10小题,每题 2分,共计 20 分) 1.已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠,则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2.设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ,若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3.已知β为n 维单位列向量, T β为β的转置,若T C ββ= ,则 2C = 。 4.设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量,则 12T αα= 。 5.设A 是四阶矩阵,A * 为其伴随矩阵,12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解,则()r A *= 。 6.向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7.已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解,则 λ= 。 8.已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===,则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9.设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10.二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

8线性代数练习题(带解题过程)

8线性代数练习题(带解题过程)

0 线性代数试题 一 填空题 ◆1. 设 A 为3阶方阵且 2 =A ,则 = -*-A A 231 ; 【分析】只要与* A 有关的题,首先要想到公式, E A A A AA ==**,从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意: 为什么是3 )1(- ◆2. 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β, 如 3 21,,ααα线性相关,则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关,则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题,最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

1 法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ,记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==, 切不可两边取行列式!!因为矩阵不一定 是方阵!! ◆3. 设非齐次线性方程b x A m =?4 ,2)(=A r ,3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解,且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案: T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ,形式不 唯一) 【分析】对于此类题,首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数(也是解空间的维数) 是多少,通解是如何构造的。其次要知 道解得性质(齐次线性方程组的任意两解的线性

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++2 21 12 1 c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

2020线性代数试题(带解题过程)

线性代数试题 一 填空题 ◆1. 设A 为3阶方阵且2=A ,则=-*-A A 231 ; 【分析】只要与*A 有关的题,首先要想到公式,E A A A AA ==**,从中推 你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意: 为什么是3)1(- ◆2. 设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β, 如321,,ααα线性相关,则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关,则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题,最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 法的关系,然后用矩阵的秩加以判明。 ???? ??????=110011101],,[],,[321321αααβββ,记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==, 切不可两边取行列式!!因为矩阵不一定是方阵!! 你来做 下面的三个题: (1)已知向量组m ααα,,,21 (2≥m )线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。(答案:m 为奇数时无关,偶数时相关) (2)已知321,,ααα线性无关,试问常数k m ,满足什么条件时,向量组 312312,,αααααα---m k 线性无关?线性相关?(答案:当1≠mk 时,无关;当1=mk 时,相关) (3)教材P103第2(6)题和P110例4和P113第4题 ◆3. 设非齐次线性方程b x A m =?4,2)(=A r ,321,,ηηη是它的三个解,且

线性代数期末考试试卷答案

枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1) 3811411 02 ---; (2)b a c a c b c b a (3) 2 2 2 111 c b a c b a ; (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答(1)=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2) =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0

线性代数期末试题(同济大学第五版)(附答案)

线性代数试题(附答案) 一、填空题(每题2分,共20分) 1.行列式0 005002304324321= 。 2.若齐次线性方程组?? ? ??=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解,且12≠k ,则k 的值为 。 3.若4×4阶矩阵A 的行列式*=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = 。 4.A 为n n ?阶矩阵,且ο=+-E A A 232,则1-A 。 5. 321,,ξξξ和321,,ηηη是3R 的两组基,且 32133212321122,2,23ξξξηξξξηξξξη++=++=++=,若由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的基变换公式为(321,,ηηη)=(321,,ξξξ)A ,则A= 6.向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa 。 7.设=?? ?? ? ?????---=??????????)(,111012111,321212113AB tr AB B A 之迹则 。 8.若的特征值分别为则的特征值分别为阶矩阵1,3,2,133--?A A 。 9.二次型x x x x x x f 2 32 22 132123),,(--=的正惯性指数为 。 10.矩阵?? ?? ? ?????1042024λλA 为正定矩阵,则λ的取值范围是 。 二、单项选择(每小题2分,共12分)

1.矩阵()==≠≠???? ? ???????=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i i 则其中。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2. 齐次线性方程组???=--=++-020 23214321x x x x x x x 的基础解系中含有解向量的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.已知向量组=====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 ( ) A 、-1 B 、-2 C 、0 D 、1 4. A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+( ) A 、B=E B 、A=E C 、A=B D 、AB=BA 5.已知=?? ?? ? ?????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1(( ) A 、1或2 B 、-1或-2 C 、1或-2 D 、-1或2 6.下列矩阵中与矩阵合同的是??? ? ???? ? ?-50 00210 002 ( ) A 、??????????---200020001 B 、?? ??? ?????-500020003 C 、?? ?? ??????--100010001 D ????? ?????100020002 三、计算题(每小题9分,共63分) 1.计算行列式),2,1,0(00000 022 11 210n i a a c a c a c b b b a i n n n ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛΛ=≠其中

线性代数题目及解析。

一. 判断题(正确打√,错误打×) 1若s α不能由121,,,-s ααα 线性表示,则s ααα,,,21 线性无关. (×) 解答:反例:取01=α,02≠α,则2α不能由1α线性表示,但21,αα线 性相关. 2. 如果β可由321,,ααα唯一线性表示,则321,,ααα线性无关.(√) 解答:向量β能由向量组A 唯一线性表示的充分必要条件是 m R R m m ==),,,(),,,,(2121αααβααα ; 所以3),,(321=αααR ,所以321,,ααα线性无关. 3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数.(×) 解答:正确结论: 向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数. 4. 若向量组γβα,,只有一个极大无关组,则γβα,,线性无关. (×) 解答:反例:取0,0==≠γβα,则向量组γβα,,只有一个极大无关 组α,但γβα,,线性相关. 正确命题:若γβα,,线性无关,则γβα,,只有一个极大无关组. 二. 单项选择题 1.设向量组(1):321,,ααα与向量组(2):21,ββ等价,则( A ). (A ) 向量组(1)线性相关; (B )向量组(2)线性无关; (C )向量组(1)线性无关; (D )向量组(2)线性相关.

解答:因为等价的向量组具有相同的秩,所以 32),(),,(21321<≤=ββαααR R ,所以向量组(1)线性相关. 2. 3维向量组1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,则向量组中(A ) (A )每一个向量都能由其余三个向量线性表示; (B )只有一个向量能由其余三个向量线性表示; (C )只有一个向量不能由其余三个向量线性表示; (D )每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示. 解答:因为4个3维向量线性相关,所以1234,,,αααα线性相关,而1234,,,αααα中任意3个向量都线性无关,所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示.所以选(A ) 3. 设n 维向量组m ααα,,,21 线性无关,则(B ). (A )向量组中增加一个向量后仍线性无关; (B )向量组中去掉一个向量后仍线性无关; (C )向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关; (D )向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关. 解答:根据“全体无关则部分无关”知选项(B )正确. 注意(D ),“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是 原来的接长向量组,所以不能保证还线性无关.

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