第六章 一元不稳定流

第六章 一元不稳定流

不稳定流：凡是流动参数（压力、速度、密度等）随时间变化的流动。 本章主要内容：

● 一元不稳定流动基本方程 ● 水击现象及水击压力计算 ● 变水头泄流及排空计算

第一节 一元不稳定流动基本方程

一、连续性方程

假设：过水断面A ，密度ρ随A 变化。即：A=A(s,t), ρ=ρ(s,t)。控制体如图： 依据：质量守恒，即在dt 时间内，流出与流入控制体的质量差应等于同一时段内该体积的质量变化（减小值），即m m '?=? 1、 dt 时间内流入控制体质量：AVdt ρ

2、 dt 时间内流出控制体质量：

ds

AVdt s

AVdt )(ρρ??+

流出与流入之差：ds

AVdt s

m )(ρ??=

? (1)

3、 dt 时间前，控制体内流体质量为Ads ρ

4、 dt 时间后，控制体内流体的质量为：dt

Ads t

Ads )(ρρ??+

dt 时间段内，控制体内质量的减少值为： dt

Ads t

dt Ads t Ads Ads m )()(ρρρρ??-

=?

?

?

?????+-='? (2)

则：dt

Ads t

ds AVdt s

)()(ρρ??-

=??

则：0

)()(=??+??

A t

AV s

ρρ (3)

● 公式说明：

(1)、若0

=??t ，即稳定流，则0

)(=??

AV s

ρ，则

const AV =ρ (4)

(2)、若c =ρ，(3)式变成

)(=??+

??t

A AV s

(5)

(3)、若c =ρ，A=A(s)，则0

=??t

A

，则(5)式成

V A=C(t) (6)

二、运动方程： 1、

不稳定流的运动微分方程

管路如图：在中心轴取微圆柱体，长ds ，面积dA ，重dG ，与水平夹角θ、直径d a) 根据：ma

F =∑

b) 受力分析：s 方向：

(1)重力：

s Z

ds

dA ds dA dG dGs ????-=???=?=γθγθsin sin (1)

(2)压力：dsdA

s p dA ds s

p p pdA P s ??-

=??+

-=)( (2)

(3)切力：ds d ??-πτ (3)

(4)加速度：s u

u t u t s s u t u dt

du a ???

+??=?????+??==

(4)

把(1)～(4)式代入ma

F =∑

，得：

)

(

s u u t u ds dA ds d dA ds s

p s

Z ds

dA ???

+???=??-???-????-ρπτγ

等式两边同除以dG ds dA =??γ，可得：

04)(11=+???+??+

??+??d s u u t u g s

p

s

Z γτ

γ (5)

——————微分方程式。 2、

一元不稳定流总流的运动方程

忽略管路断面上流速分布的不均匀性，以断面平均流速V 取代u ，τ0取代τ

，D 取代d ，

可得：

04)(110=+???+??+

??+??D s V V t V g s

p

s

Z γτγ (6)

其中，p 为总流断面上的平均压强，τ0为管壁切应力

公式说明：

1、(6)式物理意义：作用在总流上的重力、压力、惯性力、阻力相平衡。

2、D γτ0

4含义： ∵

D

D

ds ds D A

ds ds D γτπγπτγπτ0

2

0044

11

=

?

???=

????? ，分子表阻力在单位距离上

的功，分母表示体重量，则含义为：单位重量液体在单位距离上的能量损失（或阻力做功）

∴s h D

w

??=γτ0

4 (7)

3、 公式适用条件：一元不稳定总流。 三、不可压流体、一元不稳定流的能量方程： 由总流的运动方程

04)(110=+???+??+

??+??D s V

V t V g s

p

s

Z γτγ ∴t V

g D

s

V V g s p

s

Z ??--

=???

+??+

??14110

γτγ (8)

∴t V

g s

h g

V

p

Z s

w ??-

??-

=+

+

??

1)2(2

γ

(9)

对于不可压流体，c =γ，(9)式两边同乘以ds ，并由1到2积分可得： ?

??+

++

+

=++

2

1

2

2

2

22

1

1

1122ds

t

V g

h g

V p Z g

V p Z w γ

γ

————————能量方程 (10)

说明： 1、

ds

t

V g

h i ???=

2

1

1

——惯性水头，其意义是由于当地加速度而引起的惯性力在 1－1～2

－2断面的距离上单位重量液体所做的功。

证明：

?

?

?

?=?=

????

=

?=???

??2

1

2

1

2

1

1S

F ds ma ds t

V Ads h dG ds t

V g

ds A i ργ

2、公式(10)还可以写成

i

w h h g

V p Z g

V p Z +++

+

=++

222

2

2

22

1

1

1γ

γ (11)

3、一元不稳定流与稳定流能量方程区别：

在于一元不稳定流的能量方程中增加了由于当地加速度引起的惯性水头损失h i ，当

,

0,0>>??i h t

V 惯性力向后起阻力作用；当,

0,0,

V

惯性力向前，起动力作用。

4、

对于等径管：V=V(t)，与s 无关，d →?

dt d gA L dt

dV g L ds dt

dV g ds t

V g

h i θ

=

=

=

??=

?

?

2

1

2

1

11 (12)

例题：

活塞式往复泵输液管线就是不稳定流动的例子。现以泵的吸入段为例，利用能量方程讨

论泵的压头γ0

p 已知参数见图

吸液过程：靠

γ

b

a p p -━→ 使液流上流 ━→克服阻力、位差、惯性水头损失。

设吸入段长L ，面积A ，泵缸长x ，面积A b ，吸入段高H 吸 0－0、1－1列方程：

dt dQ

gA x gA L dt dQ

gA x dt

dQ gA L h h h h h g

V p H p b i i i i w b

a

???? ??+=+

+=++++

=++

＝

泵缸内吸入段吸2002

γγ 则：

???

??????? ??++++-=dt dQ gA x gA L h g V H p p b w a

b

22

0吸γγ

（13）

其中，)

(x f dt

dQ

=与活塞运动规律有关。例如：

柱塞泵：)cos 1(α-=r x

所以，α

ωcos 2

r dt

dx V ==

α

ωcos 2

r dt

dV a ==

(14)

说明：由（13）式，p b 应保持一定，真空泵才能工作，但其值又不能太小，若小于液体饱和蒸气压，液体将沸腾、汽化。即泵正常工作时p b >p 汽。当H 吸一定时，必须靠减少惯性水头来实现。方法：减少L ；扩大A 、A b ；降低ω。

第二节水击现象

日常生活中，快速开关阀门、停泵或突然断电

一、水击的产生

1、水击现象（水锤）

在有压管路内，由于流速急剧变化，引起管内压强突然变化，并在整个管长范围传播的现象，称水击。

当急剧升降的压力波波阵面通过管路时，产生一种声音，犹如冲击钻工作时产生的声音或用锤子敲击管路时发出的噪音，称之谓水击，亦称水锤。

2、水击压力：突然变化的压力称为水击压力（管路中出现水击现象时所增加或降低的压力

）

值p

3、发生水击现象的物理原因：

（1）外因：管路中流速突然变化

（2）内因：液体具有惯性和压缩性。

惯性：企图维持液体原来的运动状态

压缩性：改变体积，缓和流体流动

4、说明：

（1）考虑液体的压缩性和管壁的弹性

（2）水击中的液流参数随时间和位置变化，水击现象为不稳定流动。

（3）水击压力以压力波的形式在管内传播。

二、压力波的传播过程

如图表示具有固定液面的油罐、水库或水塔，沿长度为l，直径为d的等直径管路流向大气中，管路出口装有控制阀门。现以图为例，说明压力波传递过程。

?当阀门开启一定大小时，管中流速为V0，出口阀门前压力为p

?如将阀门骤然关闭，邻近阀门的一层厚度为

?的液体于时间内首先停止流动。该段液体在后面液体惯性的作用下被压缩，压强比静压增加了, 即水击压力。同时，管壁也由于的作用而发生膨胀。

?当第一层液体在一个无限小的时间t内停下来以后，紧邻的第二层液体又停下来，也受

压缩，同时与之相应的这段管材也要膨胀。由于液体依序停止而形成的高低分界面，依次向液罐方向传递，传递速度为c。它略小于液体内的声速c0。

?在阀门关闭后t1=l/c时，压力波传至管路入口处。这时全管内液体都已停止流动，处于被压缩状态，管子则处于膨胀状态。而此刻管内压力高于液罐内的压力，出现不平衡，是一种不稳定状态，于是管子入口邻近的一层液体将开始以速度v0又冲向液罐，使水击压力消失，恢复正常静压，与之相应，管壁也恢复原状。从此刻开始，管中液体高低压分界面又将以速度c向阀门方向传播。

?在阀门关闭后t2=2l/c时刻，全管内压力值都已恢复到静压，特别注意，就在此瞬间，紧邻阀门的一层液体，由于惯性作用，仍企图以速度v0向液罐方向继续流动，而此刻后面不再有液体补充，从而管内液体产生进一步膨胀，出现压力进一步降低，即产生负的水击压力。同样，第二层、第三层依次膨胀，形成减压波以速度c向液罐方向传递。

图理想情况水击波传递过程

表理想情况水击波传递过程参数表

3状态，管子由于抽吸负压处于收缩状态。此时，液罐内压力高于管子内压力，又失去压力的平衡，在压差作用下液体又以速度v 0冲向管路中，使紧邻管入口的一层液体压力恢复到正常压力。这种增压波面又依次以速度c 向阀门方向传播。 ?

直到t 4=4l/c 时刻，增压波面传到阀门处，此时，全管又恢复到阀门关闭前的流动状

况。随后开始第二个压力传递的循环。 三、水击的分类 ●

水击的相或相长：从阀门关闭产生增压波到上游反射回来的减压波又传到阀门处为止，所需要的时间为2l/c ，称之为水击的相或相长，用τ

０

来表示。

c l 20=

τ

1、① 直接水击：当阀门关闭时间T <τ0时，最早由阀门处产生的向上游传播，而又反射

回来的减压顺行波，在阀门全部关闭时还未到达阀门处，在这种情况下，在阀门处产生最大的水击压力，称为直接水击。

② 间接水击：当阀门关闭时间T >τ

0时，最早由阀门处产生的向上游传播，而又反射

回来的减压顺行波，在阀门全部关闭前已经到达阀门处，水击压力波不能全部进一步向上游反射，并随流体泄掉一部分能量，使得在阀门处的水击压力不能达到直接水击的压力增高值，称为间接水击。

2、① 正水击：当阀门突然关闭时，管内流速突然减小，从而引起压强首先急剧增大，称为~。

② 负水击：当管道末端阀门突然开启时，管中流速突然增大而压强则首先急剧降低，称

为~。

四、水击压力的计算

当阀门突然关闭时，停下来△S 段液体的质量为ρA △S ，这部分液体由于阀门的阻挡和后面液体的惯性作用而被压缩，增大的总压力为△pA 。由动量原理可以得出

()

t u s A pA ?-?=

?00ρ 0

u t s p ??=?ρ

水击压力传播速度 c

t

s

=??

0cu p ρ=?

——产生直接水击时的水击压力计算公式。

其中，

????

??+

=

02

11

eE D E

c ρ

000

11E E e D c E E e D E

c +

=

+

=

ρ

ρE

c =

五、水击压力的预防

水击压力的危害很大，在管路设计时应力图避免直接水击压力的产生。但在有些情况下仅仅依靠管路的设计达不到预防水击的目的，因此工程中采取以下方法避免和减缓水击。 1、延长开关阀门的时间，避免产生直接水击。 2、在阀门前加空气包，吸收水击能量。 3、阀门前加安全阀，防止管路崩裂。 例题：

最大水击压强。

处的

水击？并求阀门前断面

击是直接水击还是间接

试判断管中所产生的水，

间为，若完全关闭阀门的时流，阀门关闭前管流为稳定。

，水的弹性系数

钢管的弹性系数

，

管壁厚，直径长一水电站的引水钢管，s s m Q cm N E cm N E cm e cm D m L 1/14.3/1006.2/1006.21,1007003

02

52

7

0=?=?====

s m E E e D E c /10151

10010

06.21006.21100010

06.21/7

59

=??+

?=

+

=

ρ流中的传播速度解：水击压强波在该管

。

所以水击属于直接水击

s s c L 138.11015

70022>=?=

Pa

cV p s

m A

Q V 6

0001006.4410151000/4:?=??==?==

ρ压力为

于是所产生的最大水击

正常流速为阀门未关闭前管中水的