高三理科数学一轮单元卷：第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷

一轮单元训练金卷?高三?数学卷（B ） 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（ ） A ．()111-，

， B ．()1,1,1- C ．()1,1,1- D ．()1,1,1---

2．已知正三棱柱111ABC A B C -，12AB AA ==，则异面直线1AB 与1CA 所成角的余弦值为（ ） A ．0

B ．1

4

-

C ．

14

D ．

12

3．如图所示，在平行六面体 1111ABCD A B C D - 中，M 为11A C 与11B D 的交点．若AB =a ，AD =b ， 1AA =c ，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

A B

C

D 4．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =，60BAD ∠=?，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，

E ，

F 分别为PD ，CD 的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦

值为（ ）

A ．13

B ．

34

C ．

14

D ．

710

5成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系O xyz -后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）

A B ．(001)，，

C D 6．如图，在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =，BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（ ）

A ．111

OG OA OB OC =++

B ．111

OG OA OB OC =-+

C ．111

OG OA OB OC =--

D ．111

OG OA OB OC =+-

7．如图，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()002OC =，

，，平面的

法向量为()212=，

，n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）

A ．

4

3

B C ．

23 D ．23

-

8．点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ?的取值范围是（ ）

A B C ．[]1,0-

D

9．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD =ABD △沿BD 折起，使二面角

A BD C --的大小在566ππ??

????

，内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）

A ．0???

?

B ．0????

C ．[

5201??

?????， D ．?? 10．如图，平面⊥α平面β，α∈A ，β∈B ，AB 与平面α，β所成的角分别为

4π和6

π

，过A ，B 两点分别作两平面交线的垂线，垂足为'A ，'B ，若12=AB ，则'

'B A 的长为（ ）

A ．4

B ．6

C ．8

D ．9

11．正四棱锥ABCD S -的侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ）

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．90?

12．如图，在三棱柱111ABC A B C -、中，侧棱垂直于底面，底面边长为2的正三角形，侧棱长为3，则1BB 与平面11C AB 所成的角为（ ）

A ．6

π

B ．4

π

C ．3

π

D ．2

π

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．已知(2,2,3)=-a ，(1,4,2)=--b ，(1,2,)λ=c ，若向量，b ，c 共面，则实数λ= ． 14．PA ，PB ，PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角为60，那么直线PA 与平面PBC 所成角的余弦值是_____．

15．已知正方形ABCD 的边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．

16．如图所示，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是AC 的中点，1AA AB =:，则异面直线1AB 与BD 所成的角为________．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD △是等边三角形，AB BC ⊥，AD BC ∥，2AD BC =． （1）求证：AD PC ⊥；

（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，60ADC ∠=?，求二面角A PD C --的余弦值．

18．（12分）如图，已知斜三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧面11A ABB 是菱形，

且160A AB ∠=?，M 是11B A 的中点，AC MB ⊥． （1）求证：⊥MB 平面ABC ； （2）求二面角C BB A --11的余弦值．

19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=?，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，

⊥BE 平面ABCD ，⊥DF 平面ABCD ，DF BE 2=，EC AE ⊥．

（1）证明：平面⊥AEC 平面AFC ； （2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

20．（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，

AD AB ⊥，AB CD ∥，222AB AD CD ===．E 是PB 的中点．

（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为

3

6

，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．

21．（12分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥ABCD P -中，60ABC ∠=?，

a AC PA ==， a PD PB 2==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =．

（1）证明：⊥PA 平面ABCD ； （2）求二面角D AC E --的大小；

（3）棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．

22．（12分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=?，3=BC ，6=AC ，D ，E 分别是AC ，

AB 上的点，且DE BC ∥，2=DE ．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，

使

1A C CD ⊥，如图2．

（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；

（2）若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所

成角的大小；

（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直?说明理由．

一轮单元训练金卷?高三?数学卷答案（B ） 第十六单元 空间向量在立体几何中的应用

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D

【解析】∵()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，∴()1B ,1,0A =-，()1C ,0,1A =-， 设平面ABC 的一个单位法向量为()y z n x =，，，则AB 0AC 0??=???=??

n n ，∴00x y x z -+=??-+=?

易知：()1,1,1---符合题意．故选D ． 2．【答案】C

【解析】以A 为原点，在平面ABC 内过A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，以1AA 为z 轴， 建立空间直角坐标系，

设正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长为2

，

则000A （，，），12B ，），1002A （，

，），020C （，，），(

)

1312AB =，，，()1

022A C =-，，， 设异面直线1AB 和1A C 所成的角的余弦值为θ， 则11111cos 48AB A C AB A C

θ?

-=

=

=

?．∴异面直线1AB 和1A C 所成的角的余弦值大小为1

4

．故选C ．

3．【答案】A

【解析】平行六面体的性质可得：(11111

A M A C ==a 则()11111

222

BM BA AA A M =++=-++=-+a a b a A ． 4．【答案】B

【解析】如图，取AD 的中点O ，连OP ，OB ，由题意可得PO ⊥平面ABCD ．在AOB △中，1OA =，

2AB =，60OAB ∠=?，则由余弦定理得OB =OB AD ⊥，因此可建立如图所示的空间直角

坐标系O xyz -．

则()100A ，，，102E ?- ??，()

0B ，302F ??- ? ???

，，

∴302AE ?=- ??，，302BF ??

=- ? ???

，， ∴9

3cos 43AE BF AE BF AE BF

?===，．

∴异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为3

4

．故选B ． 5．【答案】A

【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为B 点，以O 、B 为相对顶点，作出长方体

ABCD OEFG -，如图所示：

∵平面BFGD 经过点B 与x 轴垂直，

∴点B 在x 轴上的射影为G 点，结合得B

同理可得，点B 在y 轴上的射影为E 点，结合得B 的纵坐标为

点B 在z 轴上的射影为D 点，结合()0,0,1D 得B 的竖坐标为1，

∴点B 的坐标为A ．

6．【答案】A

【解析】()

111211

OG OM ON OA OB OC =+=?+?+，

化简得到111

344

OG OA OB OC =++，故选A ．

7．【答案】C

【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()002OC =，

，， 由空间向量的结论可得：42

cos 233

OC OC θ?==

=??n n

．本题选择C 选项． 8．【答案】D

【解析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，

可得点()1,0,0A ，()10,1,1C ，设点P 的坐标为(),,x y z ，则01x ≤≤，01y ≤≤，1z =， ∴()1,,1PA x y =---，()1,1,0PC x y =--，

∴(1PA PC x ?=-

由二次函数的性质可得，当时，1PA PC ?取得最大值为 当0x =或1时，且当0y =或1时，1PA PC ?取得最大值为0，

由此1PA PC ?的取值范围是，故选D ．

9．【答案】A

【解析】∵2AB BD DA ===．BC CD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO ， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，

以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 0(0)1B -，，，()100C ，，，()010D ，，，

设二面角A BD C --的平面角为θ，则566θππ??∈????

，，

连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)

A θθ，

∴(

)

3cos BA θθ=

，()11

0CD =-，，， 设AB 、CD 的夹角为α，则1cos AB CD AB CD

α-?=

=

?，

∵566θππ??

∈????，，∴cos θ?∈???

，

故5102θ??

∈????，，∴cos 0α?∈??

?．本题选择A 选项．

10．【答案】B

【解析】连接'AB 和B A '，设a AB =，AB 与平面α成的角'4

BAB π

∠=

， 在'Rt BAB △中，a AB 22'

=

，AB 与平面β所成的角'6AB A π

∠=，在'Rt ABA △中，a AA 2

1'=，

因此在'Rt AA B △中，''1

62

A B a ===，故选B ． 11．【答案】C

【解析】取AC 的中点F ，连接EF 、BF ，则EF SC ∥，异面直线BE 与SC 所成的角为BEF ∠，因为2221==

SC EF ，26=BF ，22=AE ，又在SAB ?中，由余弦定理可得4

6

cos =∠SAB ，则在ABE △中，可得2=BE ，在BEF △中，由余弦定理得2

1

cos =

∠BEF ，所以60BEF ∠=?，故选C ． 12．【答案】A

【解析】记点B 到平面11C AB 的距离为d ，1BB 与平面11C AB 所成的角为θ，连接1BC ，

∵1111C AB B C BB A V V --=，即11112323232d ??=???，∴3

2

d =，

则1sin d BB =2

1=，所以6θπ

=，故选A ．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】1

【解析】∵a ，b ，c 共面，∴存在实数x ，y ，使y +a =xb c ，

即()()()2,2,31,4,21,2,x y λ-=--+，∴224232x y x y x y λ=-+??

-=+??=-+?

，解得1λ=．

14．

【解析】过点A 向平面PBC 作垂线AO ，垂足为O ，连接PO ，易知PO 为BPC ∠的角平分线， 过点O 向PB 作垂线，垂足为B ，连接AB ，易知AB PB ⊥，设2AP a =， 在Rt PAB △中，60APB ∠=，PB a =， 在Rt PBO △中，30BPO ∠=?

，PO =， 在Rt PAO △

中，cos PO APO AP ∠=． 15．

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，则)2,0,0(=，由题意得平面GEF 的一个法向量为(1,1,3)=n ，所以点C 到平面GEF 的距离为611

d CG ?

=

=

n n

16．【答案】60?

【解析】在平面ABC 内，过A 作DB 的平行线AE ，过B 作AE BH ⊥于H ，连接H B 1，则在

1Rt AHB △中，AH B 1∠为1AB 与BD 所成的角，设1=AB ，则21=

AA ，

∴31=A B ，2

3=

=BD AH ，∴111

cos 2AH B AH AB ∠==，∴160B AH ∠=?．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（

1）见解析；（2． 【解析】（1）取AD 的中点O ，连接PO ，CO ，

∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥，∵AD BC ∥，2AD BC =，∴BC AO ∥且BC AO =． 又∵AB BC ⊥，∴四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥， ∵CO

PO O =，∴AD ⊥平面POC

又∵PC ?平面POC ，∴AD PC ⊥， （2）由（1）知PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =，PO ?平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，

以O 为坐标原点，以OC ，OD ，OP 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，

设1OD =，则1OA BC ==，∵60ADC ∠=?

，∴OC =，

又2AD =

，得PO

(00P ，()010D ，，

，)

0C ，，

∴(01

PD =，，

，(

3PC =，，

设平面PCD 法向量()1x y z =，，n ，

由1100PD PC ??????=?

=n n

，得0

y ==??

，取1z =，得()

1=n ， 又知OC 是平面PAD 的一个法向量，设(

)

230OC ==

，，n ，

∴

12121205

cos ?==?，n n n ,n n n

∴二面角A PD C --

． 18．【答案】（1）见解析；（2

． 【解析】（1）证明∵侧面11A ABB 是菱形，且160A AB ∠=?，

∴11A BB △为正三角形，∵点M 为11B A 的中点，∴11MB A B ⊥． ∵11AB A B ∥，∴AB MB ⊥，由已知AC MB ⊥，∴⊥MB 平面ABC ． （2）如图建立空间直角坐标系，设菱形11A ABB 边长为2， 得)3,1,0(1-B ，)0,2,0(A ，)0,1,3(C ，)3,1,0(1A ．

则)3,1

,0(1=BA ，)0,2,0(=BA ，)3,1,0(1-=BB ，)0,1,3(=BC ．

设平面11A ABB 的法向量1111(,,)x y z =n ，由1BA ⊥n ，11BA ⊥n

得111

200y y =???+=??，

令11x =得1(1,0,0)=n ．

设面C C BB 11的法向量2222(,,)x y z =n ，

由21BB ⊥n ，2BC ⊥n

得22220

0y y ?-+=?+=，

令32=

y

，得2(=-n ．

所以121212cos ?<>=

==?n n n ,n n n

又二面角C BB A --11的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为5

5． 19．【答案】（1）见解析；（2

． 【解析】（1）证明：连结BD ，和AC 交于O 点，连结OE ，OF ， ∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥，

∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ?△△，∴CE AE =， ∵EC AE ⊥，∴ACE △是等腰直角三角形，且AC OE 2

1

=，

∵AC =， ∴AB OE 23=，∵AB OD OB 2

1

==，∴AB BE 22=．∴AB BE DF 4221=

=． ∴

OB BE

FD DO

=

，∴Rt Rt OBE FDO △△，∴FOD OEB ∠=∠，

∴90BOE FOD BOE OEB ∠+∠=∠+∠=?，∴OF OE ⊥．

又∵AC OE ⊥，∴⊥OE 平面AFC ，∴平面⊥AEC 平面AFC ．

（2）分别以OB ，OC 所在射线为x 轴，y 轴，以过点O 平行于BE 的直线为z 轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．设()20AB a a =>，

则)0,3,0(a A -，)2,0,(a a E ，)0,3,0(a C ，)2

2

,

0,(a a F -，

∴()AE a =

，(,)CF a =-，

∴222

cos ,AE CF AE CF AE CF

?<>=

=

=?．

所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为3

3． 20．【答案】（1）见解析；（2

． 【解析】（1）证明：∵⊥PC 平面ABCD ，?AC 平面ABCD ， ∴PC AC ⊥，∵2=AB ，1==CD AD ，∴2==BC AC ，

∴222AB BC AC =+，∴BC AC ⊥． 又C PC BC = ，∴⊥AC 平面PBC ， ∵?AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ．

（2）如图，以C 为原点，、CD 、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正向， 建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,1,1(A ，)0,1,1(-B ．

设(0,0,)(0)P a a >，则11,,222a E ??- ???，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，11,,222a CE ??=- ???

．

设平面PAC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则由110CA CP ?=?=n n 得112

0x y az +=??=?，

令11=x ，则11-=y ，01=z ，所以平面PAC 的法向量为1(1,1,0)=-n ． 设平面EAC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，则由220CA CE ?=?=n n ，

得?????=+-=+,02212

1,

022222z a

y x y x 令a x =，则a y -=，2-=z ． 所以平面EAC 的法向量为2(,,2)a a =--n ．

依题意，12cos ,<>=

=n n ， 解得2=a ．于是2(2,2,2)=--n ，(1,1,2)PA =-， 设直线PA 与平面EAC 所成角为θ．

则222

sin cos ,PA PA PA θ?=<>=

=

?n n n ． 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3

2

． 21．【答案】（1）见解析；（2）

6

π；（3）当点F 为PC 中点时，有BF ∥平面AEC ． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=?，且a AC PA == ∴a AD AB ==，又a PD PB 2=

=，

∴222PB AB PA =+，222PD AD PA =+， ∴AB PA ⊥，且AD PA ⊥．∴⊥PA 平面ABCD ．

（2）连接BD ，∵底面ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，设O BD AC = ． 以O 为原点，OB ，OC 分别为x 轴，

y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点坐标分别为：

0,,02a A ??- ???，B ?

????，0,,02a C ?? ???，D ??

? ???

，0,,2a P a ?

?- ???．

∵点E 在PD 上，且:2:1PE ED =

．∴3DP DE =，即()

3DP OE OD =-． ∴,63a

a OE ??=-- ? ???，即点E 的坐标为,63a a ??

- ? ???

． 又平面DAC 的一个法向量为1(0,0,1)=n ，

设平面EAC 的一个法向量为2(,,)x y

z =n ，0,,02a OC ??

= ???，,63a a OE ??=-- ? ???

， 由22

00OC OE ??=???=??n n ，得0063y

a a

y z =??

?-+=??，可令1=x

，得2=n ， ∴121212cos ?<>=

=?n n n ,n n n ，∴126

π

=n ,n ，

所以二面角D AC E --的大小为

6

π． （3）证明：假设在PC 上存在点F 满足题设条件， 设(01)CF CP λλ=≤≤，得12(0,,)2

OF OC CP a a λ

λλ-=+=，

∴1212(0,

,)(,)22

BF OF OB a a a a λλ

λλ--=-=-=，

依题意，BF ∥平面AEC ，则有2BF ⊥n ，∴(12,02a a λ

λ??-?= ? ???

， 即0323=+-

a a λ，解得2

1

=λ， ∴当点F 为PC 中点时，有BF ∥平面AEC ． 22．【答案】（1）见解析；（2）

4

π

；（3）不存在，见解析． 【解析】（1）证明：因为BC AC ⊥，DE BC ∥，所以AC DE ⊥． 所以D A ED 1⊥，CD DE ⊥，所以⊥DE 平面DC A 1．所以C A DE 1⊥． 又因为1A C CD ⊥，CD AC ⊥1．所以1A C ⊥平面BCDE ． （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz C -，

则)32,0,0(1A ，)0,2,0(D ，)3,1,0(M ，)0,0,3(B ，)0,2,2(E ． 设平面BE A 1的法向量为(,,)x y z =n ，则10A B ?=n ，0BE ?=n ．

又)32,0,3(1-=B A ，)0,2,1(-=BE ，所以3020x x y ?-=??-+=??

令1=y ，

则2=x ，3=z ．所以=n ．

设CM 与平面BE A 1所成的角为θ，因为)3,1,0(=，

所以sin cos ,8CM CM CM

θ?=<>=

=

=

?n n n 所以CM 与平面BE A 1所成角的大小为

4

π． （3）线段BC 上不存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直，理由如下： 假设这样的点P 存在，设其坐标为)0,0,(t P ，其中]3,0[∈t ． 设平面DP A 1的法向量为(,,)x y z =m ，则10A D ?=m ，0DP ?=m ．

又)32,2,0(1-=D A ，)0,2,(-=t DP ，所以20

20y tx y ?-=??-=??

令2=x ，则t y =，3t z =．

所以(2,

t =m ．

平面DP A 1与平面BE A 1垂直当且仅当0?=n m ，即04=++t t ． 解得2-=t ，这与]3,0[∈t 矛盾．

所以线段BC 上不存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直．

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （2）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> ；②0a b a b ⊥??= ；③2||a a a =? ． （3）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；②a b b a ?=? （交换律）；③()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）。

4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++ ，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++= ； ||a == ||b == ． 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? ．

2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案

2015届高三数学立体几何专题训练 1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 解析：选A. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋1 2 π×22×4＝16＋8π. 2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析：选A. 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝1 2 ×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5， ∴V 球＝43π×53＝500π 3 (cm 3)． 3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则( ) A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D. 根据所给的已知条件作图，如图所示． 由图可知α与β相交，且交线平行于l ，故选D. 4．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析：选A.法一： 如图，连接AC ，交B D 于点O ，由正四棱柱的性质，有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ，所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC ＝C ，所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ，垂足为H ，则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O ＝O ，所以CH ⊥平面B D C 1，连接D H ，则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影，所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角．设AA 1＝2AB ＝2.在Rt △COC 1中，由 等面积变换易求得CH ＝23.在Rt △C D H 中，s in ∠C D H ＝CH CD ＝2 3 . 法二： 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D(0，0,0)，C (0,1,0)， B (1,1,0)， C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→ ＝(0,1,2)． 设平面B D C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 n ⊥DB →，n ⊥DC 1→ ，所以有????? x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0， 令y ＝－2，得平面B D C 1的一个法向量为n ＝(2， －2,1)． 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ，则s in θ＝|co s n ，DC → ＝???? ??n ·DC →|n ||DC →|＝23. 5．(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法

全国高考理科数学：立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

（ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是

立体几何与空间向量

10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

空间向量与立体几何知识总结

已知两异面直线 b a,，,,, A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 （2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 或 （3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中，AB=4，AD=6，，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点， 求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 （1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 （3）二面角的求法：①AB，CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为

高三理科数学《立体几何》测试题带答案.doc

高三理科数学《立体几何》测试题（带答案） 1、如图，在 C 中， C 45 ，点在上，且 C 2 ，平3 面 C ， D // ， D 1 ．2 1 求证：// 平面 C D ； 2 求二面角CD 的余弦值．（ 1）明：因PO 平面 ABC ，D// 所以 DA AB, PO AB 又 DA AO 1 PO ,所以AOD 4 ????????2 分2 又 AO 1 PO,即 OB OP, 所以 OBP ，即 OD // PB, ??????.4分2 4 又 PB 平面 COD, OD 平面 COD, 所以 PB // 平面 COD 。??????.6分 （ 2）解：A作AM DO,垂足为 M，过 M作MN CD于N ,连接 AN , ANM 即为二面角 O CD A的平面角。??????.8分 设 AD a，在等腰直角AOD 中，得 AM 2 a，在直角COD 中，得 MN 3 a，2 3 在直角AMN 中，得 AN 30 a，所以 cos ANM 10 ?????? .12分6 5 2、如图，在棱长为2的正方体CD11C1D1中，、F分别为1D1和CC1的中点． 1 求证：F// 平面CD1； 2 求异面直线 F 与所成的角的余弦值； 3 在棱 1 上是否存在一点，使得二面角C的 大小为 30 ？若存在，求出的长；若不存在，请说明理 由． 解：如分以DA、DC、DD1所在的直x 、 y 、 z 建立

空 直角坐 系 D-xyz ， 由已知得 D (0 ， 0， 0) 、 A (2 ， 0， 0) 、 B (2 ， 2， 0) 、 C (0 ， 2， 0) 、 B 1(2 ， 2， 2) 、 D 1(0 ， 0，2) 、 E (1 ， 0， 2 ) 、 F (0 ， 2， 1) ． (1) 取 AD 1 中点 G ， G （ 1， 0， 1）， CG =（1， -2 ， 1），又 EF = （ -1 ， 2， -1 ），由 EF = CG ， ∴ EF 与 CG 共 ．从而 ＥＦ ∥ ＣＧ，∵ CG 平面 ACD 1， EF 平 面 ACD 1，∴ EF ∥平面 ACD 1. ???????????????????????? 4 分 (2) ∵ AB =(0,2 ， 0) ， cos< EF , AB >= EF AB 4 6 ， | EF | | AB | 2 6 3 ∴异面直 EF 与 AB 所成角的余弦 6 . ??????????????????? 8 分 3 (3) 假 足条件的点 P 存在，可 点 P (2 ， 2，t )(0< t ≤2) ，平面 ACP 的一个法向量 n =( x ， y ， z ) ， n AC 0, AC =(-2 ， 2， 0) ， ∵ AP =(0 ， 2， t ), n AP 0. 2x 2 y 0, 2 ∴ tz 取 n (1,1, ) . 2 y 0, t 易知平面 ABC 的一个法向量 BB 1 (0,0,2) ， 依 意知， < BB 1 ， n >=30°或 < BB 1 ， n >=150 °， | 4 | 3 ∴ |cos< BB 1 ， n >|= t 4 ， 2 2 2 2 t

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值.

2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.

4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

2021高考数学立体几何专题

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

立体几何-2019年高考理科数学解读考纲

05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规

则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 .

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离

设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题

2017年高考数学空间几何高考真题 一．选择题（共9小题） 1．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（） A．B．C． D． 2．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（） A．πB．C．D． 3．在正方体ABCD﹣A 1B 1 C 1 D 1 中，E为棱CD的中点，则（） A．A 1E⊥DC 1 B．A 1 E⊥BD C．A 1 E⊥BC 1 D．A 1 E⊥AC 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A．60 B．30 C．20 D．10

5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（） A．+1 B．+3 C．+1 D．+3 6．如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB，==2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D ﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（） A．γ＜α＜β B．α＜γ＜β C．α＜β＜γ D．β＜γ＜α 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A．90πB．63πC．42πD．36π

1．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知直三棱柱ABC﹣A 1B 1 C 1 中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1 =1，则异面直线 AB 1与BC 1 所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 二．填空题（共5小题） 8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为． 9．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为． 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为． 11．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

（一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 ： `

} （一） 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- < 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0, {n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - <

（二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ \ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 《

高三数学立体几何专题复习课程

高三数学立体几何专 题

专题三 立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空 间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三 视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的 高宽高分别为,,m n k = =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4 a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．