高等代数复习
一、填空题
1．排列n n n 321)2)(1( --的逆序数是 。
2．若n 阶方阵A 满足2230A A E +-=，则1()A E --= 。
3．已知向量(1,2,3)α=,111,,23β??= ???
,设T A αβ=,其中T α是α的转置,则n A = 。
4．设A 为n m ?矩阵，b 为b AX =有解的充要条件是 。
5．已知三阶方阵A 有三个特征值为1，-2，6，则=A 。
6．设A 为3阶可逆矩阵，且1123012001A -?? ?=- ? ?-??
，则=*A 。
7．若n 阶方阵A 满足2230A A E ++=，则1()A E --= 。
8．设A=2,101020101≥????
? ??n 为正整数，则12n n A A --= 。
9．设t ηηη,,,21 及t t ηληληλ+++ 2211都是)0(≠=b b AX 的解向量，则 =+++t λλλ 21 。
10．已知三阶方阵A 有三个特征值为2，3，4，则=-E A 。
二、单项选择题
1．设B A ,均为三阶方阵，且3,2-==B A ，则=AB 2（ ）。
A. 12
B.12-
C. 48
D. 48-
2．设B A ,均为n 阶方阵，且0=AB ，则必有（ ）。
A. 0=A 或0=B
B. 0=+B A
C. 0=A 或0=B
D. 0=+B A
3．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（ ）。
A. α必可由,,βγδ线性表示
B. β不可由,,αγδ线性表示
C ．δ必可由,,αβγ线性表示 D. δ必不可由,,αβγ线性表示
4．设 3
12223121
1111023
A -=--，则21222324A A A A -+-=（ ）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
5．线性方程组?????=+-=+=++00202321
21321x x x kx x x x kx 有非零解的充要条件是（ ）。
A. 2=k 或3=k
B. 0k =或3=k
C. 2-=k 或3=k
D. 2-=k 或3-=k
6．设B A ,均为三阶方阵，且3,2-==B A ，则=AB 2（ ）。
A. 12
B.12-
C. 48
D. 48-
7．设B A ,均为n 阶方阵，且0=AB ，则必有（ ）。
A. 0=A 或0=B
B. 0=+B A
C. 0=A 或0=B
D. 0=+B A
8．若向量组,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则（ ）。
A. α必可由,,βγδ线性表示
B. β不可由,,αγδ线性表示
C ．δ必可由,,αβγ线性表示 D. δ必不可由,,αβγ线性表示
9．设 3
12223121
1111023
A -=--，则21222324A A A A -+-=（ ）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
10．线性方程组?????=+-=+=++00202321
21321x x x kx x x x kx 有非零解的充要条件是（ ）。
A. 2=k 或3=k
B. 0k =或3=k
C. 2-=k 或3=k
D. 2-=k 或3-=k
三、计算题
1、 计算行列式n
D
00103010
0211
111= 。
2、设A 为3阶矩阵，12
A =，求1*(3)2A A --。
3、设3400230000250
013A ??????=??????
，求1-A 。
4.求矩阵
200
031
013
A
??
?
=-
?
?
-
??
的特征值和特征向量。
5.给定向量组
1(1,1,0,0)T
α=-，
2(1,2,1,1)T
α=--，
3(0,1,1,1)T
α=-，
5(2,6,4,2)T
α=-。(1)
求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
6.问λ为何值时，非齐次线性方程组
123
123
123
(1)(1)1 (12)(1) 1
(1) 1
x x x
x x x
x x x
λλλ
λλ
λ
-+-+=+
?
?
-+-+=
?
?++-=
?
(1) 有唯一解？(2) 无解? (3) 有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。
7． 计算行列式=D
011111
01111
11011
1110
8.设A 为4阶矩阵，13
A =
，求*134A A --。
9.设2100011000001010
001200001A ????????=-??????-??
，求1-A 。
10.给定向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,14)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T α=。
(1)求该向量组的秩；(2)求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
11. 设有线性方程组???????=+--=++-=+++=+++b
x x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321
43214321121053153363132，问b a ,取何值时，方程组(1) 有唯一解？ (2) 无解？(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。
12.求矩阵211020413A -?? ?= ? ?-??
的特征值和特征向量。
四、证明题
1.已知向量组123,,ααα线性无关，令112βαα=+,223βαα=+,331βαα=+. 求证向量组123,,βββ线性无关.
2. 设,,A B A B +均为是n 阶可逆矩阵，试证：11A B --+可逆，且1111()()A B B A B A ----+=+。
3. 设n 阶方阵A 和B 满足A B BA +=，试证：
(1)B E -为非奇异矩阵，其中E 为n 阶单位阵；(2)AB BA =。
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲
《高等代数Ⅱ》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 本课程的教学目的是使学生获得二次型，线性空间，线性变换，欧几里得空间等方面的系统知识,为进一步学习数值计算方法等后续课程打下坚实的基础。通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。 应达到的具体能力目标： 具有独立思维能力和解决实际问题能力； 具有较强的抽象思维和逻辑推理能力； 熟练的计算能力及其应用代数工具解决实际问题的能力 三、教学学时分配 《高等代数Ⅱ》课程理论教学学时分配表
四、教学内容和教学要求 第五章二次型（14学时） （一）教学要求 1. 了解二次型与二次型的矩阵的概念； 2. 理解二次型的标准形、正定二次型的概念； 3. 掌握用正交变换、拉格朗日配方法、合同线性变换法化二次型为标准形，掌握 正定二次型的判定方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：二次型的矩阵表示，化二次型为标准形的方法 教学难点：正定二次型的判定与证明 （三）教学内容 第一节二次型及其矩阵表示 1．二次型的定义 2．二次型的矩阵表示 3. 矩阵的合同关系 第二节标准形 1．二次型的标准形； 2．化二次型为标准形的方法； 3. 例题讲解 第三节唯一性 1．复数域上二次型的规范型 2. 实数域上二次型的规范型 第四节正定二次型 1．正定二次型的定义 2. 正定二次型的判定 3. 半正定二次型的定义及判定 本章习题要点：
1．化二次型为标准形的方法； 2. 正定二次型的判定方法与证明。 第六章线性空间（22学时） （一）教学要求 1.了解集合与映射的概念及性质； 2. 理解线性空间的概念与性质，线性空间同构的概念、性质及意义； 3. 掌握基和维数的概念、求法及维数定理，过渡阵概念、性质及求法，子空间的 概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念。 （二）教学重点与难点 教学重点：线性空间的基与维数，子空间的和 教学难点：子空间的直和 （三）教学内容 第一节集合.映射 1．集合与映射的概念 2. 集合与映射的性质； 第二节线性空间的定义与性质 1．线性空间的定义； 2．线性空间的简单性质。 第三节维数、基、与坐标 1. 维数、基、坐标的概念 2. 维数、基、坐标的性质 第四节基变换与坐标变换 1．基变换 2．坐标变换。 第五节线性子空间 1．线性子空间的定义及性质 2．生成子空间的定义及性质 第六节子空间的交与和 1．线性子空间的交 2．线性子空间的和 3. 维数公式 第七节子空间的直和
高等代数(上)期末复习题
高等代数（1）复习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ） 2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。（ ） 3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。（ ） 4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ） 5、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ） 6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。（ ） 7、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ） 8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。（ ） 9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。（ ） 12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。（ ） 14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。（ ） 18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。（ ） 19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ） 20、设n m A ?，n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。（ ） 22、线性方程组0=?X A n n 只有零解，则0≠A 。（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。（ ）
高等代数II期末考试试卷及答案A卷
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
高等代数下期末复习
第六章 线性空 间 一 线性空间的判定 线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。 例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和 数量乘法； 2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解： 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 5 23n n x x ++--=（）（）。 2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质， 即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有 '''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。 A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘 向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则 不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。 二、基 维数 坐标 定义:在线性空间V 中，如果存在 n 个线性无关的向量 12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性 表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线 性空间V 的维数。记作dim V =n 。维数为n 的线性空间称为n 维线性空 间。 定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。对 于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x 使 则n x x x ,,,21 这组有序数就称为元素a 在基底 12n ,,,ααα下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x = 例： 在线性空间2 2?R 中， 就是2 2?R 的一个基。2 2?R 的维数为4. 任一2阶矩阵 因此A 在 4321,,,A A A A 这个基下的坐标为 () T d c b a ,,,。 若另取一个基 ? ? ? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1111,0111,0101,00014321B B B B 。 则
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
数学系《高等代数》课程教学大纲
数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
高等代数课程的基本内容与主要方法
2010年第2期 牡丹江教育学院学报 No 12,2010 (总第120期) JOU RN A L OF M U D AN JIA N G CO LL EG E OF EDU CA T IO N Serial N o 1120[收稿日期]2009-10-25 [作者简介]戴立辉(1963-),男,江西乐安人,闽江学院教授,研究方向为矩阵论;林大华(1959-),男,福建福州人,闽江学院副教授,研究方向为代数学;吴霖芳(1979-),女,福建永安人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为微分方程;陈翔(1980-),男,福建连江人,闽江学院讲师,硕士,研究方向为代数环论。 [基金项目]/十一五0国家课题/我国高校应用型人才培养模式研究0数学类子课题项目(F IB070335-A2-03)。 高等代数课程的基本内容与主要方法 戴立辉 林大华 吴霖芳 陈 翔 (闽江学院,福建 福州 350108) [摘 要] 对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时体现高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 [关键词] 高等代数;基本内容;主要方法[中图分类号]O 15 [文献标识码]A [文章编号]1009-2323(2010)02-0146-03 高等代数是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程,它是由多项式理论和线性代数两部分组成。多项式部分以一元多项式的因式分解理论为中心,线性代数部分主要包括行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、K -矩阵与若尔当标准形、欧几里得空间等。 通过高等代数课程的教学,要求学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法,理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系,提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。根据我们多年的教学经验,本文拟对高等代数的基本内容与主要方法进行归纳和总结,使其所涉及的知识点之间的相互关系清晰明了,同时也体现出了高等代数课程要求学生掌握的知识体系。 一、多项式 一元多项式理论主要讨论了三个问题:整除性理论,因式分解理论和根的理论。其中整除性是基础,因式分解是核心。 (一)基本内容 1.整除性理论)))整除,最大公因式,互素。 2.因式分解理论)))不可约多项式,典型分解式,重因式。 3.根的理论)))多项式函数,根的个数,根与系数的关系。 (二)主要方法 1.多项式除多项式的带余除法。 2.用辗转相除法求两个多项式的最大公因式,最大公因式的判别法。 3.两多项式互素的判别法。 4.不可约多项式的判别法,多项式标准分解式求法,重因式的判别法。 5.多项式函数值的求法,x -c 除多项式f (x )的综合除法,多项式按x -x 0的方幂展开的方法。 6.多项式根的判别法,多项式重根的判别法。 7.整系数多项式有理根的求法,艾森斯坦判断法。二、行列式 行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分,是一种重要的数学工具。 (一)基本内容 n 级排列及其性质,n 级行列式的概念,行列式的性质,行列式的计算,克拉默规则。 (二)主要方法 1.求一个排列的逆序数的方法。 2.行列式的计算方法:定义法,性质法,化为三角形行列式的方法,降级法(按一行或一列展开法、拉普拉斯展开法),化为范得蒙行列式的方法,递推法,加边法,数学归纳法,拆项法。 3.一些特殊行列式的计算方法)))三角形行列式,ab 型行列式,范得蒙行列式,爪型行列式,三对角行列式。 4.克莱姆规则。三、线性方程组 /线性方程组0这部分在理论上解决了线性方程组有解的判定、解的个数及求法、解的结构等。 (一)基本内容 1.向量的线性关系)))n 维向量,向量的线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组等价,向量组的秩。 2.矩阵的秩)))矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩,即矩阵的行(列)秩=矩阵不为零的子式的最大级数,初等变换不改变矩阵的秩,用初等变换计算矩阵的秩。 3.线性方程组的解的情形)))线性方程组有解的判定,线性方程组解的个数,齐次线性方程组解的情形。 4.线性方程组解的结构)))齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组解的表示,非齐次线性方程组解的表示。
高等代数专题研究形成性考核册作业答案
《高等代数专题研究》作业参考答案 高等代数专题研究作业1 一、 单项选择题: 1-5: BCBDB 二、 填空题1、 交换。2、 不等价、 等价。3、 1212()()a a a a σσσ()=⊕, 且 σ是A 到B 的双射。 4、 具有下面性质的自然数的任何集合M 满足: :1;:i M ii ∈如果a M ∈, 则 'a M ∈。则M 含有一切自然数, 即M N =。 5、 对于一个与自然数有关的命题T, 若i: 若n=1时命题T 正确; ii: 假设命题T 对n 高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 高等代数专题研究学习辅导（三） 多 项 式 与 环 一、 环 1．环的定义 环具有加法、乘法两个代数运算的代数体系。集合R 对于加法、乘法两个代数运算构成一个环，要求满足： （1）加法性质 有交换律、结合律，每个元素有负元素。（R 对 加法作成一个加群） （2）乘法性质 有结合律：c ab bc a )()(= （3）乘法对加法有左、右分配律： ac ab c b a +=+)(，ca ba a c b +=+)(),,(R c b a ∈? 则称对这两个代数运算作成一个环。 2．环的简单性质 （1） 在环R 中，零元素惟一； （2） 在环R 中，每个元素的负元素惟一； （3） 在环R 中，加法有消去律：c b c a b a =?+=+； （4） 在环R 中，符号法则成立： a a =--)(，a b b a b a -=-=-)()(，ab b a =--))((； （5） 在环R 中，移项法则成立：b c a c b a -=?=+； （6） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n a a a na +???++=， 个 n a a a a n )()()()(-+???+-+-=-，00=a 。 于是，环中的元素整数倍有意义，对任意Z n m ∈,；R b a ∈,有 a n m na ma )(+=+，)( b a m mb ma +=+； ab mn nb ma ?=?)()()( （7） 设a 是环R 中的元素，n 是正整数， 规定 个 n n a aa a ???=， 于是，环中元素的整数次幂有意义，对任意正整数n m ,有 n m n m a a a +=?，mn n m a a =)(； （8） 在环R 中广义分配律成立： n n ab ab ab b b b a +???++=+???++2121)( n a b a b a b a a a n n +???++=+???++2121)( 3．子环与理想 定义 设S 是环R 的一个子集，若S 对R 的两种运算也作成环， 则称S 是R 的一个子环，R 是S 的一个扩环。 子环的判别定理: 环R 的子集S 作成R 的子环的充分必要条件是 （1） S b a ∈, ? S b a ∈+ （2） R r ∈，S a ∈ ? S ar ra ∈, 4．整环与域 定义1. 乘法满足交换律的环称为交换环； 定义2. 设1是环R 的一个元素，对任意R a ∈有a a a ==11，则 称1 是R 的单位元素； 定义 3. 设R 是有单位元素1的环，若对R 中的元素a 有一元素 b ，使1==ba ab ，则称a 是可逆元素，b 称为a 的一个 逆元素； 定义4. 设a ,b 是环R 的两个元素，若0≠a ，0≠b ，而0=ab ， 则称a 与b 是真零因子。 性质 在无真零因子的环R 中，乘法适合 左消去律 ac ab =，0≠a c b =? 第 六章 线性空 间 一 线性空间的判定 线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。 例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 解： 1）否。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 5 23n n x x ++--=（）（）。 2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有 '''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。 A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。 例：齐次线性方程组A x =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构 成一个线性空间，通常称为解空间。 而非齐次线性方程组 A x =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性 空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。 二、基 维数 坐标 定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使 得：V 中任一向量 α 都可由 12n ,,,ααα线性表示，那么， 12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。记作dim V =n 。维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。 定义（向量的坐标）：设12n ,, ,ααα是线性空间n V 的一个基。对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x 使 则n x x x ,,,21 这组有序数就称为元素a 在基底 12n ,,,ααα下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x = 例： 在线性空间22?R 中， 就是2 2?R 的一个基。2 2?R 的维数为4. 任一2阶矩阵 因此A 在 4321,,,A A A A 这个基下的坐标为 () T d c b a ,,,。 若另取一个基 ? ? ? ??=??? ??=??? ??=??? ??=1111,0111,0101,00014321B B B B 。 则 4 321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=?? ? ??=因 此A 在 4321,,,B B B B 这个基下的坐标为 () T d d c c b b a ,,,---。 例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。 沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积 c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4 、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1 高等数学I 1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是 无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 2 2βα+ (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2x x βα 2. 极限a x a x a x -→??? ??1sin sin lim 的值是（ C ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3. ??? ??=≠-+=001 sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim 0（ A ）. （A ） )(3a f ' （B ） )(2a f ' (C) )(a f ' （D ） ) (31 a f ' 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. 极限) 0(ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1. 6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x y x xy xy ln 2sin 2+++ - . 7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直 线l 的方程为 13 1211--=--=-z y x . 8. 求函数2 )4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） . 三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分） 9. 计算极限10(1)lim x x x e x →+-. 10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。 高等代数论文 题目：有关二次型的总结 学院：理学院 专业：信息与计算科学 姓名：王颀 学号：１１２７１０１４ 2011年12月30日 学习高等代数,最好的方法是多进行总结分类,将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。 二次型的问题来源于解析几何： 平面解析 一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线)； 二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey = F → 经平移 变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）； 空间解析 一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面)； 二次曲面： （平移后不含一次项）→ Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题 了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性 在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。 例１.二次型??? ? ?????? ??=21 21213201),(),(x x x x x x f 的矩阵为（ 3 ）。 (1)、102 3?? ??? (2)、1 22 3?? ??? (3)、1113?? ??? (4)、1 113-?? ?-?? 注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。 例２.将二次型2212311213233(,,)246f x x x x x x x x x x x =+-++化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。 解：用配方法： 2 2 2 2 12311232323233 (,,)[2(2)(2)](2)6f x x x x x x x x x x x x x x =+-+---++ 2221232233(2)103x x x x x x x =+--+- 2 2 2 2 12322333 (2)(1025)22x x x x x x x x =+---++ 试卷代号：1079 座位号 国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试 高等代数专题研究试题 2020年7月 一、单项选择题（每小题4分，共20分） 1．下列法则是整数集Z上的代数运算的是( )． A．α。b=α+b B．α。b=αb 2 C．α。b=√2αD．α。b=1 3 2．若向量组α1，α2…，αt与β，…，β1以均线性无关，则向量组α1+β1，…，αt+βt。( )．A．一定线性无关B．一定线性相关 C．可能线性相关，也可能线性无关D．以上说法都不对 3．设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是( )． A．A有n个不同的特征值B．A是可逆矩阵 C．A有n个线性无关的特征向量D．A是实对称矩阵 4．设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，σ在基α1，α2，…，αn。下的矩阵为对称矩阵A，则( )． A．σ为可逆变换 B．当α1，α2，…，αn为标准正交基时，σ为对称变换 C．σ为正交变换 D．σ为对称变换 5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵( )． A．相似B．相等 C．正交相似D．相合 二、填空题（每小题4分，共20分） 6．有理数域上的不可约多项式的次数是____________次的． 7．在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是____________的． 8．设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T?1AT=B，则称A与B__________．9．若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是___________变换．10．设A是n阶实矩阵，当A是__________矩阵时，A T A是正定矩阵. 三、计算题（每小题15分，共45分） 11．已知α1，α2，α3是3维线性空间V的一组基，向量组β1，β2，β3满足β1+β3=α1+α2+α3，β1+β2=α2+α3，β2+β3=α1+α3求由基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵． 12．设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=（2x1?x2，x2?x3，x2+x3），求σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)，ε3=（0，0，1）下的矩阵． 13．用正交线性替换化实二次型x12+2x22+3x32?4x1x2?4x2x3为标准形. 四、证明题（共15分） 14．设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1． 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1n n a ∞ =∑发散，则级数21n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞=∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数 1 1 (1) ! n n n x n ∞ -=-∑的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)
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