2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题
一、选择题:1
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其中二阶导数()''f x 的图形如图所示,则曲线
()=y f x 的拐点的个数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】(C )
【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由()f x ''的图形可得,曲线()y f x =存在两个拐点.故选(C ). (2)设211
()23
=
+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解,则 ( )
(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】(A )
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一
种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.
【解析】由题意可知,21
2
x
e 、13
x
e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解,所以2,1为特征方程2
0r ar b ++=的根,从而(12)3a =-+=-,122b =?=,从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=,再将特解x y xe =代入得1c =-.故选(A )
(3) 若级数
1
∞
=∑n
n a
条件收敛,则
=x 3=x 依次为幂级数
1
(1)
∞
=-∑n
n
n na x 的 ( )
(A) 收敛点,收敛点 (B) 收敛点,发散点 (C) 发散点,收敛点 (D) 发散点,发散点 【答案】(B )
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质. 【解析】因为
1
n
n a
∞
=∑条件收敛,即2x =为幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点,所以
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛
区间还是(0,2).
因而x =3x =依次为幂级数1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛点,发散点.故选(B ).
(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =,41xy =与直线y x =
,y =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则
(),D
f x y dxdy =?? ( )
(A)
()1
3sin214
2sin2cos ,sin d f r r rdr π
θπθ
θθθ??
(B)
(
)3
4
cos ,sin d f r r rdr π
π
θθθ?
(C)
()13
sin 214
2sin 2cos ,sin d f r r dr π
θπθ
θθθ??
(D)
(
)34
cos ,sin d f r r dr π
πθθθ?
【答案】(B )
【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形,
所以(,)D
f x y dxdy =
??3
4
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?,故选(B )
(5) 设矩阵21111214A a a ??
?
= ? ???,21b d d ?? ?= ? ???
,若集合{}1,2Ω=,则线性方程组Ax b =有
无穷多解的充分必要条件为 ( )
(A) ,a d ?Ω?Ω
(B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D
【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a
d a d a d a a d d ????
? ?=→-- ? ? ? ?----????
,
由()(,)3r A r A b =<,故1a =或2a =,同时1d =或2d =。故选(D )
(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222
1232+-y y y ,其中
()123,,=P e e e ,若()132,,=-Q e e e ,则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准
形为 ( )
(A) 2
2
2
1232-+y y y
x
(B) 222
1232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 222123
2++y y y 【答案】(A)
【解析】由x Py =,故222
123
()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且 200010001T P AP ??
?
= ?
?-??. 100001010Q P PC
?? ?
== ? ?-??
200()010001T T T Q AQ C P AP C ??
?
==- ?
???
所以222
123
()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+。选(A )
(7) 若A,B 为任意两个随机事件,则 ( )
(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()
2
≥P A P B P AB
【答案】(C)
【解析】由于,AB A AB B ??,按概率的基本性质,我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤,从而()()
()2
P A P B P AB +≤,选(C) .
(8)设随机变量,X Y 不相关,且2,1,3===EX EY DX ,则()2+-=????E X X Y ( )
(A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5
【答案】(D)
【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+-
2
()()()()
2()
D X
E X E X E Y E X =++?- 23221225
=++?-?=,选(D) .
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上. (9) 20ln cos lim _________.x x
x
→=
【答案】12
-
【分析】此题考查0
型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一:2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222
x x x x
x x x x x x →→→--===- 方法二:2
222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)
2
2sin ()d ________.1cos x x x x π
π-+=+?
【答案】2
π4
【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.
【解析】22
2
02sin 2.1cos 4x x dx xdx x π
π
ππ-??+==
?+?
??? (11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x
e xyz x x 确定,则(0,1)
d ________.z =
【答案】dx -
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令(,,)cos 2z
F x y z e xyz x x =+++-,则
(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+
又当0,1x y ==时1z e =,即0z =.
所以
(0,1)
(0,1)
(0,1,0)
(0,1,0)1,
0(0,1,0)(0,1,0)
y x z z F F z z
x
F y
F ''??=-
=-=-
=''??,因而(0,1)
.dz
dx =-
(12)设Ω是由平面1++=x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域,则
(23)______
_x y z d x d y d z Ω
+
+=??? 【答案】
1
4
【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性,得
1
(23)66z
D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω
Ω
++==???????
??,
其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面,其面积为
21
(1)2
z -.所以 1
1232
0011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ
++==?-=-+=???????? (13) n 阶行列式
2
002120
2
___________.0
0220
012
-=-
【答案】1
2
2n +-
【解析】按第一行展开得
1111200212
2
2(1)2(1)22
00220
12
n n n n n D D D +---
-=
=+--=+-
221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=++
+
122n +=-
(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0
;1,1,0)N ,则{0}________.P XY Y -<= 【答案】
1
2
【解析】由题设知,~(1,1),~(0,1)X N Y N ,而且X Y 、相互独立,从而
{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>
11111
{1}{0}
{1}{0}22222
P X P Y P X P Y =><+<>=?+?=.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ,3()=g x kx ,若()f
x 与()g x 在
0→x 是等价无穷小,求,,a b k 的值.
【答案】,,.a b k =-=-=-1
1123
【解析】法一:原式()3
ln 1sin lim
1x x a x bx x
kx
→+++= ()()233333
0236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx →????+-+++-+ ? ?
????==
()()2343
3
1236
lim
1x a a b a x b x x x o x kx →??++-
+-+ ??
?==
即10,0,123a a a b k +=-
== 11
1,,23
a b k ∴=-=-=-
法二:()3
ln 1sin lim
1x x a x bx x
kx
→+++= 201sin cos 1lim 13x a
b x bx x
x kx
→++++== 因为分子的极限为0,则1a =-
()
2
1
2cos sin 1lim
16x b x bx x x kx
→--+-+==,分子的极限为0,1
2
b =-
()02
2sin sin cos 13lim 16x b x b x bx x
x k
→-
---+==,1
3k =- 111,,23
a b k ∴=-=-=-
(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,由线()=y f x 在点
()()0
,x f x 处的切线与直线0
x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4,且()02f =,求()
f x 的表达式. 【答案】f x x
=
-8
()4. 【解析】设()f x 在点()()
00,x f x 处的切线方程为:()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =,得到()
()
000f x x x f x =-
+',
故由题意,()()00142f x x x ?-=,即()()()
0001
42f x f x f x ?=',可以转化为一阶微分方程, 即28y y '=,可分离变量得到通解为:11
8
x C y =-+,
已知()02y =,得到12C =
,因此111
82
x y =-+;
即()8
4
f x x =
-+.
(17)(本题满分10分)
已知函数(),=++f
x y x y xy ,曲线C :223++=x y xy ,求(),f x y 在曲
线C 上的最大方向导数. 【答案】3
【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模.
()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+,
故(){},1,1gradf x y y x =++
此题目转化为对函数
(),g x y =在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.
即为条件极值问题.
为了计算简单,可以转化为对()()2
2
(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.
构造函数:()()()()
2
2
2
2
,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-
()()()()22
2120212030
x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?
'=+++=??'=++-=?,得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M
====
所以最大值为3=. (18)(本题满分 10 分)
(I )设函数()()u x ,v x 可导,利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()(
)]()()()() (II )设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导,n f x u x u x u x =12()()()(),写出()f x 的求导公
式.
【解析】(I )0()()()()
[()()]lim
h u x h v x h u x v x u x v x h
→++-'=
0()()()()()()()()l i m
h u x h v x h u x h v x u x h v x
u x v x
h
→++-+++-=
0()()()()
lim ()
lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h
→→+-+-=++ ()()()(
u x v x u x v x ''=+ (II )由题意得
12()[()()
()]n f x u x u x u x ''=
121
21
2()()()
()()()()()()
n
n
n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++
(19)(本题满分 10 分)
已知曲线L
的方程为,
z z x ?=??=??
起点为()A
,终点为()
0,B ,计算
曲线积分()()2222
d d ()d L
I y z x z x y y x y z =
++-+++?.
【答案】
π2
【解析】由题意假设参数方程cos cos x y z θθθ
=??=??=?
,ππ
:22θ→-
π22
π2[cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ-
-++++?
π222
π2
sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-
=+++?
π220
sin d π2
θθ==
(20) (本题满11分)
设向量组1,23,ααα内3
R 的一个基,113=2+2k βαα,22=2βα,()313=++1k βαα.
(I )证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;
(II )当k 为何值时,存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1
β2β3β下的坐标相同,并求所有的
ξ
.
【答案】
【解析】(I)证明:
()()()
()12313213123,,2+2,2,+1201,,0
2
0201k k k k βββαααααααα=+??
?= ? ?+?
?
201
2
1
202
4021
201
k
k k
k ==≠++ 故123,,βββ为3R 的一个基. (II )由题意知,
112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠
即
()()()1112223330,
0,1,2,3
i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=
()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解
即13213+2,,+0k k ααααα=
即1
01
10020k k
=,得k=0 11223121300,0
k k k k k k ααα++=∴=+=
11131,0k k k ξαα=-≠
(21) (本题满分11 分)
设矩阵02313312a -?? ?=-- ? ?-??A 相似于矩阵12000031b -?? ?
? ???
B =.
(I) 求,a b 的值;
(II )求可逆矩阵P ,使1-P AP 为对角矩阵..
【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ?=?+=++
023120
1330
0120
3
1
--=?--=-A B b a 14
235-=-=??∴???
-==??
a b a a b b (II)
023100123133010123123001123A E C ---?????? ? ? ?
=--=+--=+ ? ? ? ? ? ?--??????
()123112*********---???? ? ?
=--=-- ? ? ? ?-????C
C 的特征值1230,4λλλ===
0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T
5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T
A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C
令123231(,,)101011ξξξ--??
?
==- ? ???P ,
1115-??
?
∴= ? ???
P AP
(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,
0,
0.x x f x x -?>?=?≤??
对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数. (I)求Y 的概率分布; (II)求EY
【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率,则3
13228
()ln x p P X dx +∞
-=>=
=
?
, 从而12
2211
71188
n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()
()()(),23,,n
=
为Y 的概率分布;
(II)2221222
17777
11288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞
∞---====?==?-=?--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]
记2
12
111()()n n S x n n x
x ∞
-==
?--<<∑,则
2
1
13
222
2
11n n n n n n S x n n x
n x
x x ∞
∞
∞
--==='''=?-=?==
-∑∑∑()()()()()
, 1
2213
2
2
2111()()()()()n n n n x
S x n n x
x n n x xS x x ∞
∞
--===?-=?-==
-∑∑,
2
2
2
2
313
2
2
2111()()()()()n
n n n x S x n n x x
n n x
x S x x ∞
∞
-===?-=?-==
-∑∑, 所以21233
2422
211()()()()()x x S x S x S x S x x x
-+=-+==--, 从而7168
E Y S ==()().
(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为:
x f x θθθ
?≤≤?
=-???
1
,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数,12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本.
(I)求θ的矩估计量. (II)求θ的最大似然估计量.
【解析】(I)
1
1112
()(;)E X xf x dx x dx θ
θ
θθ+∞
-∞
+=
=?
=
-?
?, 令()E X X =,即12
X θ
+=,解得1
121n
i i X X X n θ==-=∑,
为θ的矩估计量;
(II) 似然函数1()(;)n
i
i L f x θθ==
∏,
当1i x θ≤≤时,1
1111()()n
n
i L θθθ===--∏,则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而
dln d 1L n
θθθ
=-(),关于θ单调增加, 所以12min n X X X θ={,,,}为θ的最大似然估计量.