建立概率模型解决实际问题 确定版教学详案 龚彪

建立概率模型解决实际问题

教学实例

武汉市汉铁高级中学龚彪

建立概率模型解决实际问题

教学实例

一、 教学设计

1. 教学目的：

通过实际问题使学生初步理解现实世界上大量事件的不确定性，同时能够运用概率知识进行一些简单的判断和决策.

利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，体会概率模型的作用及运用概率思想思考和解决问题.

2. 教学重点：建立概率模型解决实际问题

3. 教学难点：建立概率模型

二、 课堂实录

同学们，我们日常生活中的很多实际问题都可以转化为数学问题.下面我们一起看一个生活中的视频.

视频播放.

老师：视频播放了海豚在设计的水池中吹气泡泡，请问每次都能成功吗？成功吹气泡泡的可能性有多大呢？今天对于这个问题我想和同学们共同思考.请同学们看导学案上的例题1，分析题意，找到解决问题的相关信息.

例1：某海洋世界公园中，海豚在水池中自由游弋时，表演吹气泡泡的节目，现在水池的长30米，宽20米，水深6米，不妨假设当海豚嘴尖离水池的池壁、池底及水面的距离不少于1米时能成功的吹气泡泡，求海豚能成功吹气泡泡的概率？

老师：下面请同学们审题后回答四个问题：

1. 海豚能吹气泡泡的区域？

2. 海豚能成功吹气泡泡的区域？

3. 用什么数学知识求解？

4. 怎样求解？

老师：海豚能吹气泡泡的区域？

学生：水池中含水的区域（图形演示）.

老师：海豚能成功吹气泡泡的区域？

学生：海豚嘴尖离池壁、池底及水面的距离不少于1米（图形演示）.

老师：用什么数学知识求解？

学生：用几何概型的公式.

老师：为什么可以用几何概型的公式？

学生：因为海豚在水中自由游弋，所以其嘴尖在水池中的任何位置是等可能的，且嘴尖位置有无数种可能性.因此可以根据题意建立几何概型.

老师：非常正确.这个分析过程就是建立概率模型过程.

老师：该题怎样利用几何概型公式求解呢？ 学生：2514

6203041828=????=P

老师：很好.这个计算过程就是模型求解的过程.

老师：例题1解题的思路是将实际问题经过审题建立概率模型，然后通过数学知识对模型求解.

老师：我们有了这种解题思路之后，请同学们再看一个实际问题.

视频播放：随着经济的高速发展，不少大型城市进行汽车限牌政策，严重影响了轿车的销售量，从而影响了轿车生产商销售利润，为了保证销售利润，各轿车生产商不得不面临生产策略的调整.

老师：在当前大背景下，某轿车生产商也面临着生产策略的调整，今天我们就从该企业入手，请同学们出谋划策，解决导学案上的例题2.

例2：受轿车在保修期内维修费用等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已出售的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？

老师：下面请同学们认真审题，分析例题2中的主要信息及其联系.

学生思考2分钟.

老师：本题需要我们解决的问题是什么？

学生：选择生产何种品牌的轿车.

老师：解决此问题由什么来确定？

学生：甲、乙两种品牌轿车经济效益的大小比较.

老师：与利润相关的条件有哪些？

学生：每辆轿车利润与轿车数量的对应关系.

老师：从厂家的角度考虑，你认为应该如何求利润呢？

学生：1×2+2×3+3×45=143万元 1.8×5+2.9×45=139.5万元

老师：这种解法可以，是利用样本总利润的大小关系来估计总体总利润的大小关系.但是这种解法有一定的局限性，我们能不能直接考察总体的某些数字特征呢？

老师：对于甲品牌在总体中每辆轿车的利润的取值可能为1万元、2万元或3万元为随机变量，且每个取值在总体中所占的比例不同，因此可以建立以每辆轿车的利润为随机变量的分布列模型.这样我们就可以求出每辆汽车利润的期望，即总体中每辆轿车的平均利润.

经过以上分析，下面我们一起来完成具体的解题过程.

解：生产一辆甲品牌轿车利润为X 1 万元，生产一辆乙品牌轿车利润为X 2万元

X 1

求50

2的依据：古典概型.在样本中，任取一辆轿车有50个基本事件，利润为1万元这个事件包含了2个基本事件，因此利用古典概型求解.

86.250

453503250211=?+?+?=EX （万元） X 2的分布列：

79.250

459.25058.12=+?=EX (万元） ∴生产甲品牌轿车.

同学们，我们一起来回顾下例题2的解题思路：通过审题得知：总体中每辆轿车利润为随机变量，且每个取值在总体中所占的比例不同，因此建立了随机变量分布列模型，然后求出随机变量的期望得到实际问题的解.

老师：下面请同学们再看一个实际问题.

播放视频：湖北省某市周边有着丰富的水资源条件，为了充分利用现有资源来改善居民用电困难，计划在某水库建一座水电站.

老师：下面请同学们根据该市政府提供的相关数据资料，帮助该市政府解决例题3的问题？

例3：湖北省某市计划在当地水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立，水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 的限制，并有如下关系：

800万元，欲使水电站年总利润均值达到最大，应安装发电机多少台？

老师：下面请同学们认真审题分析例题3中的主要信息及其联系.

学生审题

老师：本题需要我们解决的问题是什么？

学生：确定安装发电机的台数；

老师：可以安装多少台？

学生：1台、2台或3台.

老师：解决此问题由什么来确定？

学生：安装不同台数时水电站年总利润均值的大小比较；

老师：那年总利润由什么来确定？

学生：发电机运行与未运行的台数；

老师：最多运行的台数又受什么的限制呢？

学生：年入流量；

老师：那也就是说年总利润为随机变量，并且根据题意每个取值在总体中所占的比例不同.因此建立以以年总利润为随机变量的分布列模型.然后求出年总利润的期望.

下面我们一起听听一个同学对例题3的分析.

设年总利润为Y 万元

安装2

=EY （万元）

学生完成：

安装1台：5000=Y （万元）

安装3台：

（万元）

∴安装2台发电机.

课堂小结：

老师：今天我们一共解决了三个实际问题，每一个问题都来源于生活实例，通过审题建立概率模型利用数学知识求解模型，然后还原成实际问题的解.

通过本节课的学习，你有哪些收获？

三、课后反思

可取之处：一是通过问题的提出，能积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；二是学生通过本节课的学习，初步有了建立概率模型的意识；三是通过三个实际问题，学生体会到数学来源于生活又服务于生活。

改进之处：一是在审题时，对问题的设置更明确更具体；二是对学生回答问题要有预案。

高中数学《古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型》导学案

3.2.1古典概型的特征和概率计算公式 3.2.2建立概率模型 [航向标·学习目标] 1．理解古典概型的两个基本特征． 2．掌握古典概型的概念及概率的计算公式． [读教材·自主学习] 1．基本事件：一次试验中可能出现的□01每一个结果称为一个基本事件．2．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是不可能同时发生的．一次试验中，只可能出现一种结果，即出现一个基本事件．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和． 3．古典概型：(1)□02有限个，每次试验只出现其中的一个结果．(2)每一个试验结果出现的可能性□03相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型． 4．古典概型的计算公式：对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含 的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为□04P(A)＝m n. [看名师·疑难剖析] 1．古典概型试验有两个共同的特征 (1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限个，即只有有限个不同的基本事件．

(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 2．古典概型的概率公式(等可能性事件的概率) (1)若试验的结果是由n个基本事件组成，并且每个基本事件的发生是等可能的，而随机事件A包含的基本事件数为m，则由互斥事件的概率加法公式可得： 所以古典概型中，P(A)＝A包括的基本事件个数总的基本事件个数 . 这就是概率的古典定义． (2)用集合观点来理解事件A与基本事件的关系(如下图)：在一次试验中，等可能出现n个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含每个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记 作card(A))与集合I的元素个数(记作card(I))的比值，即P(A)＝card(A) card(I) ＝ m n. 考点一基本事件的计数问题 例1一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球． (1)共有多少个基本事件？ (2)两只都是白球包含几个基本事件？ [分析]由题目可获取以下主要信息： ①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球． ②题目中摸球的方式为一次摸出两只球，每只球被摸取是等可能的．

运用数学模型解决问题

运用数学模型解决问题 张家荣 （中山大学新华学院信息科学系逸仙班） 摘要：数学模型是数学创造与数学教学中经常使用的一种重要的数学方法。从方法论的角度考虑，我们了解数学模型的涵义以及它的作用、构建一般的模式，对促进数学学习、灵活的应用数学知识和它的思想方法解决现实问题、提高我们的数学能力都有极其重要的意义。运用数学模型来解决各学科中的数学问题，可以把抽象问题具体化、解题过程规律化，提高答题的准确性，是解决数学问题的有效方法。 关键词：数学模型数学建模数学应用 Abstract: Mathematical model is an important mathematic way in mathematical creation and mathematical education. Thinking in methodology, we realize its mean and function. Setting up the normal mode can improve our mathematic study and use it to solve some mathematic problems. When we solve the problem, we can embody the abstract problem so we can improve our accuracy which is an effective method for solving the mathematic problems. Key words: Mathematical model Mathematical modeling Application of mathematics 前言 随着科学技术的迅速发展，数学模型越来越多的出现我们的工作、生活中。筹划出一个合理的数学模型，必定可以获得更大的效益。在日常活动中也越来越重要，采购中，人们也会谈论找出一个数学模型，或者在出行的时候，优化出行的路线。而对于那些科学技术人员和应用数学工作者来说，建立数学模型解决相关的问题更是必不可少的方法。本论文主要是通过一个例子来阐述数学模型的重要性。 一、什么是数学模型 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。【1】 二、衣柜能否搬进新居 下面这个例子为“衣柜能否搬进新居”[2]，通过这个例子，阐述数学模型的重要性。 题目如下： 老张临搬家前，站在自己大衣柜旁发愁，担心这大衣柜搬不进新居，站在一旁的小李马上拿着一把尺子出去了，不一会儿，小李对老张说：“从量得的电梯前楼道和单元前楼道宽度，绝对没有问题，请问小李的根据是什么？” 这是一个非常普遍的生活问题，而这个问题是完全可以通过建立一个数学模型去解决的！

北师大版高中数学必修3教案备课建立概率模型

2.2建立概率模型 学习 目标核心素养 1.进一步掌握古典概型的概率计算公 式．(重点) 2．对于一个实际问题，尝试建立不 同的概率模型来解决．(重点、难点) 1.通过进一步运用古典概型的概率计算 公式求解概率，提升数学运算素养． 2．通过实际问题尝试建立不同的概率模 型来解决，培养数学建模素养. 由概率模型认识古典概型 (1) 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的．如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型． (2)从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单． (3)树状图是进行列举的一种常用方法． 思考：若一个试验是古典概型，它需要具备什么条件？ [提示]若一个试验是古典概型，需具备以下两点： (1)有限性：首先判断试验的基本事件是否是有限个，若基本事件无限个，即不可数，则试验不是古典概型． (2)等可能性：其次考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则试验不是古典概型． 1．一个家庭有两个小孩，则这两个小孩性别不同的概率为() A. 3 4 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 B[这两个小孩的所有可能情况是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，

共4种，其中性别不同的有两种，所以两个小孩性别不同的概率为2 4＝ 1 2.] 2．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为() A.1 12 B. 5 12 C. 7 12 D. 5 6 A[由题意知基本事件个数有12个，满足条件的基本事件个数就一个，故所 求概率为P＝1 12.] 3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1 2，甲获胜的概率是 1 3，则甲不输 的概率为() A.5 6 B. 2 5 C.1 6 D. 1 3 A[先确定甲不输包含的基本事件，再根据概率公式计算．事件“甲不输” 包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为1 2＋ 1 3＝ 5 6.] 4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是() A．一定不会淋雨B．淋雨机会为3 4 C．淋雨机会为1 2D．淋雨机会为 1 4 D[用A、B分别表示下雨和不下雨，用a、b表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，则当(A，b)发生时就会被雨淋到， ∴淋雨的概率为P＝1 4.] “有放回”与“不放回”的古典

数学建模是使用数学模型解决实际问题

数学建模是使用数学模型解决实际问题。 对数学的要求其实不高。 我上大一的时候，连高等数学都没学就去参赛，就能得奖。 可见数学是必需的，但最重要的是文字表达能力 回答者：抉择415 - 童生一级 3-13 14:48 数学模型 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 数学建模 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高学生应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 数学建模的一般方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性。建模的一般方法： 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。 在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致如下： 1、实际问题通过抽象、简化、假设，确定变量、参数； 2、建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数； 3、用实际问题的实测数据等来检验该数学模型； 4、符合实际，交付使用，从而可产生经济、社会效益；不符合实际，重新建模。 数学模型的分类： 1、按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、统计模型等。 2、按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

引导学生运用数学模型解决实际问题

引导学生运用数学模型解决实际问题 著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思维方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。 由此，我们可以看到，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题，通过解决数学问题，从而解决实际问题。本人结合实际教学谈谈运用数学模型，解决实际问题的实例。 实例一：二次函数与实际问题 1．中学课本中的实际例题。 在义务教育课程标准实验数学教材苏科版九年级上第34页习题10：某商场购进一批单价为16 元的日用品。若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件。假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数。 （1）试求y与x之间的函数关系式。 （2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润W最大？每月的最大毛利润是多少？ 解：（1）y=-30x+960。 （2）设每月的毛利润为W元，则 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-960×16 =-30（x-24）2+1920。 ∴当x=24时，W有最大值，W最大值=1920。 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元。 2．在一场战争中，敌方战败，敌方准备乘飞机逃跑。我军战机监测到敌方的飞机位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方战机的速度是4 km/s，由东向西追，如图，请问我方战机在何时方能有把握把敌机击落（最近处）。 分析：设时间x秒，两机相距s千米。 那么s是斜边，两直角边分别为3x km，（30-4x）km，则 S=■ =■ 当x=■=4.8时，s有最小值 所以，经过4.8秒后，去击落敌机最有把握。 二次函数在各领域非常重要，上述二例说明了在经济、军事上的实际应用。当然在其他方面如体育方面、建筑方面等都能用到二次函数，只要认真观察，仔细寻找，我们不难发现数学就在身边，数学不再是简单地运算，而是生活中必不可少的成分。我们的生活与数学密不可分，我们通过学习数学为生活服务。因此，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数——二次函数，以转化为函数的极值问题。

2019-2020年高中数学 第三章 概率 3.2.2 建立概率模型教案 北师大版必修3

2019-2020年高中数学第三章概率 3.2.2 建立概率模型教案北师大版 必修3 教学分析 本节教科书通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力． 三维目标 1．使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力． 2．通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力． 重点难点 教学重点：建立古典概型． 教学难点：建立古典概型． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路 1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的．今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题． 思路 2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 1．回顾解应用题的步骤？ 2．什么样的概率属于古典概型？ 讨论结果：1.解应用题的一般程序： (1)读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础． (2)建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关． (3)解：求解数学模型，得到数学结论．一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程． (4)答：将数学结论还原给实际问题的结果． 2．同时满足以下两个条件的概率属于古典概型： (1)试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件； (2)每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等． 应用示例 思路1 例口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球．试计算第二个人摸到白球的概率． 分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数．为此考虑用列举法列出所有可能结果． 解法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”．把2个白球编上序号1,2；2个黑球也编上序号1,2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来(如图1)．

数学建模练习试题

1、放射性废料的处理问题 美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验。发现当圆桶下沉速度超过12.2 m/s 与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少? 这时已知圆桶重量为239.46 kg，体积为 0.2058m3，海水密度为1035.71kg/m3，如果圆桶速度小于12.2 m/s就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止使用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。现要求建立合理的数学模型，解决如下实际问题： 1. 判断这种处理废料的方法是否合理? 2. 一般情况下，v大，k也大；v小，k也小。当v很大时，常用kv来代替k，那么这时速度与时间关系如何? 并求出当速度不超过12.2 m/s，圆桶的运动时间和位移应不超过多少? (的值仍设为0.6) 鱼雷攻击问题 在一场战争中，甲方一潜艇在乙方领海进行秘密侦察活动。当甲方潜艇位于乙方一潜艇的正西100千米处，两方潜艇士兵同时发现对方。甲方潜艇开始向正北60千米处的营地逃跑，在甲方潜艇开始逃跑的同时，乙方潜艇发射了鱼雷进行追踪攻击。假设甲方潜艇与乙方鱼雷是在同一平面上进行运动。已知甲方潜艇和乙方鱼雷的速度均匀且鱼雷的速度是甲方潜艇速度的两倍。 试建立合理的数学模型解决以下问题: 1) 求鱼雷在追踪攻击过程中的运动轨迹； 2) 确定甲方潜艇能否安全的回到营地而不会被乙方鱼雷击中 3、贷款买房问题 某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题： 1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？ 2)假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房? 4、养老保险问题 养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供选择，分析保险品种的实际投资价值。 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率(也就是投保人的实际收益率)? 5、生物种群数量问题

用数学模型思想方法解决实际问题

用数学模型思想方法解决 初中数学实际应用问题 关键词: 数学模型难点策略 随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。 把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。 一、初中学生解决实际应用问题的难点 1.1、缺乏解决实际问题的信心 与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。 数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。 1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏 由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如：从2001年2月21日起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟按3分钟计算），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟按1分钟计算）。上星期天，一位同学调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话

用树状图求概率

用树状图求概率 【学习目标】 1．掌握用“树状图”求概率的方法． 2．会画“树状图”并利用其分析和解决有关三步求概率的实际问题． 【学习重点】 用“树状图”求概率的方法． 【学习难点】 画“树状图”分析和解决有关三步求概率的实际问题． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．小颖将一枚质地均匀的硬币掷一次，正面朝上的概率是；小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了两次，你认为两次都是正面朝上的概率是；连续掷三次正面朝上的概率是多少呢？ 2．掷一枚硬币一次，这是一步试验，可用直接计算法求概率；掷两枚硬币(或一枚硬币掷两次)，这是两步试验，可用列表法求概率；那么掷三枚硬币(或一枚硬币掷三次)，这是三步试验．那么如何求三步试验的概率呢？ 带着这个问题进入今天学习吧！ 自学互研生成能力 【自主探究】 阅读教材P138～P139例3，完成下面的问题： 范例：“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全，小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，回答以下问题： 解：(1)补全下列“树状图”： (2)他遇到三次红灯的概率是多大？P(三次红灯)＝． 归纳：当试验存在三步或三步以上时，用树状图法比较方便， 【合作探究】 变例：甲，乙，丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次． (1)若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回甲手中的概率是多少？ 解：画树状图如图：

可看出：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲手中的有2种． 所以P(传球三次回到甲手中)＝＝. (2)若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由． 解：由(1)可知：从甲开始传球，传球三次后球传到甲手中的概率为，球传到乙、丙手中的概率均为，所以三次传球后球回到乙手中的概率最大值为.所以乙会让球开始时在甲手中或丙手中． 交流展示生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块树状图法求概率 当堂检测达成目标 【当堂检测】 1．中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽一项，从50米、50×2米、100米中随机抽一项，恰好抽中实心球和50米的概率是(D) A.B.C.D. 2．学校团委在五四青年节举行“感动校园十大人物”颁奖活动中，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲乙两人恰有一人参加此活动的概率是(A) A. B. C. D. 3．在四边形ABCD中，①AB∥CD；②AD∥BC；③AB＝CD；④AD＝BC，在这四个条件中任选两个作为已知条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的概率是多少？ 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有等可能的结果共12种，满足条件的结果有8种．所以能判定四边形ABCD是平形四边形的概率是＝. 【课后检测】见学生用书 课后反思查漏补缺 1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________

高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式 3.2.2 建立概率模型练习

2.1古典概型的特征和概率计算公式 2.2建立概率模型 课后篇巩固提升 A组 1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是() A.B. C.D. 解析随机选取的a,b组成实数对(a,b),有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),( 5,3),共15种,其中b>a的有(1,2),(1,3),(2,3),共3种,所以b>a的概率为. 答案D 2.从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为() A.B. C.D. 解析从甲、乙等5名学生中选2人有10种方法,其中2人中包含甲的有4种方法,故所求的概率为 . 答案B 3.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有相等的实根的概率为() A.B. C.D. 解析基本事件总数为6×6=36,若方程有相等的实根,则b2-4c=0,满足这一条件的b,c的值只有两 种:b=2,c=1;b=4,c=4,故所求概率为. 答案D 4.20名高一学生、25名高二学生和30名高三学生在一起座谈,如果任意抽其中一名学生讲话,抽 到高一学生的概率是,抽到高二学生的概率是,抽到高三学生的概率是. 解析任意抽取一名学生是等可能事件,基本事件总数为75,记事件A,B,C分别表示“抽到高一学生”“抽到高二学生”和“抽到高三学生”,则它们包含的基本事件的个数分别为20,25和30. 故P(A)=,P(B)=,P(C)=. 答案 5.现有5根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为. 解析“从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿”的所有可能结果为 (2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7, 2.9),(2.8,2.9),共10种等可能出现的结果,又“它们的长度恰好相差0.3 m”包括 .8),(2.6,2.9),共2种结果,由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为. 答案 ,则甲、乙两人相邻而站的概率为. 解析甲、乙、丙三人随机地站成一排有:(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,甲,丙),(乙,丙,甲),(丙,甲,丙,乙,甲),共6种排法,其中甲、乙相邻有:(甲,乙,丙),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲),共4种排法. . 答案

高中数学第三章概率2.2建立概率模型教案北师大版

2.2 建立概率模型 整体设计 教学分析 本节教材通过例2的四种模型的所有可能结果数越来越少，调动起学生思考探究的兴趣；教师在教学中要注意通过引导学生体会不同模型的特点以及对各种方法进行比较，提高学生分析和解决问题的能力. 三维目标 1.使学生能建立概率模型来解决简单的实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力. 2.通过学习建立概率模型，培养学生的应用能力. 重点难点 教学重点：建立古典概型. 教学难点：建立古典概型. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.计算事件发生概率的大小时，要建立概率模型，把什么看成一个基本事件是人为规定的.今天我们学习如何建立概率模型，教师点出课题. 思路2.解决实际应用问题时，要转化为数学问题来解决，即建立数学模型，这是高中数学的重点内容之一，也是高考的必考内容，同样解决概率问题也要建立概率模型，教师点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 1.回顾解应用题的步骤？ 2.什么样的概率属于古典概型？ 讨论结果： 1.解应用题的一般程序： ①读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础. ②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关. ③解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程. ④答：将数学结论还原给实际问题的结果. 2.同时满足以下两个条件的概率属于古典概型： ①试验的所有基本事件只有有限个，每次试验只出现其中一个基本事件； ②每一次试验中，每个基本事件出现的可能性相等. 应用示例 思路1 例1 口袋里装有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球.试计算第二个人摸到白球的概率. 分析：我们只需找出4个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.为此考虑用列举法列出所有可能结果.

构建数学模型 解决生活中的实际问题

构建数学模型解决生活中的实际问题 青州市王府街道刘井小学邢文谦 每次听课对我的课堂教学都有一个新的提升，今天我听了本校教师刘老师的“相遇问题”这节课，我有一种新的感觉是老师引导的太到位了，从学生的生活实际出发，创设与学生的日常生活紧密联系的上学情境，且采用动画形式呈现，学生在现实而有趣的情境吸引下，主动发现问题、提出问题，进而提炼生成完整的数学问题、解决问题，帮助学生构建起“相遇问题的情景模型”。通过观课学习和根据自己的教学实践浅谈一下如何帮助学生构建数学模型： 第一，应激发学生学习数学的兴趣。学生在实际的操作过程中，必须考虑这些背景材料学生是否熟悉，学生是否对这些背景材料感兴趣。只有对实际原形有充分的了解，明确原型的特征，只有做到这一点，才能使学生对实际问题进行简化。从而培养学生对事物的观察和分辨能力，增强学生的数学意识。结合学生的生活实际，把学生所熟悉的或了解的一些生活实例作为应用题教学的问题背景，这样既克服了教材的不足，又对问题背景有一个详实的了解，这不但有利于学生对实际问题的简化，而且能提高学生的数学应用意识。 第二，要让学生参与数学模型的建立形成过程。数学模型的建立过程中教师要善于调动学生主动建模的积极性，千万不能对学生的不合理的归纳或不恰当的抽象，以及不合常情的假设加以批评和指责，恰恰相反要抓住他们闪光的地方加以表扬、鼓励，并通过适度的引导和点拨使学生对实际问题的简化更加清楚。 总之，我们要提供实际问题不同层面学生对数模的理解，问题的难易是有层次。例如基本练习，拓展练习和延伸练习。在本节相遇问题的课例中，刘老师通过三个层次的练习：基本练习，拓展练习和延伸练习。让学生将相遇问题的解题策略和解题经验进行迁移，解决生活中简单的实际问题，体会数学与生活的密切联系，获得数学学习的积极情感体验。

《用树状图求概率》教学案

课题：用树状图求概率 【学习目标】 1．掌握用“树状图”求概率的方法． 2．会画“树状图”并利用其分析和解决有关三步求概率的实际问题． 【学习重点】 用“树状图”求概率的方法． 【学习难点】 画“树状图”分析和解决有关三步求概率的实际问题． 情景导入 生成问题 旧知回顾： 1．小颖将一枚质地均匀的硬币掷一次，正面朝上的概率是12 ；小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了两次，你认为两次都是正面朝上的概率是14 ；连续掷三次正面朝上的概率是多少呢？ 2．掷一枚硬币一次，这是一步试验，可用直接计算法求概率；掷两枚硬币(或一枚硬币掷两次)，这是两步试验，可用列表法求概率；那么掷三枚硬币(或一枚硬币掷三次)，这是三步试验．那么如何求三步试验的概率呢？带着这个问题进入今天学习吧！ 自学互研 生成能力 知识模块一 树状图法求概率 【自主探究】 阅读教材P 138～P 139例3，完成下面的问题： 范例：“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全，小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，回答以下问题： 解：(1)补全下列“树状图”： (2)他遇到三次红灯的概率是多大？P(三次红灯)＝18 ． 归纳：当试验存在三步或三步以上时，用树状图法比较方便， 【合作探究】 变例：甲，乙，丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次． (1)若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回甲手中的概率是多少？ 解：画树状图如图： 可看出：三次传球有8种等可能结果，其中传回甲手中的有2种．

构建数学模型解决实际问题

构建数学模型解决实际问题 “能够运用所学知识解决简单的实际问题”是九年义务教育数学教学大纲规定的初中数学教学目的之一。能够解决实际问题是学习数学知识、形成技能和发展能力的结果，也是对获得知识、技能和能力的检验。构建数学模型解决实际问题基本程序如下： 解题步骤如下： 1、阅读、审题： 要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。 2、建模： 将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。 3、合理求解纯数学问题 4、解释并回答实际问题 一、方程模型 例：小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦（即0.009千瓦）的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦（即0.04千瓦）的白炽灯，售价为18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，已知小刚家所在地的电价是每千瓦0.5元。 ⑴设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用（注：费用＝灯的售价＋电费） ⑵小刚想在这两种灯中选购一盏: ①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多； ②试用特殊值推断: 照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低； 照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低； ⑶小刚想在这两种灯中选购两盏

假定照明时间是3000小时，使用寿命都是2800小时，请你帮他设计费用最低的选灯方案，并说明理由。 解：(1)用一盏节能灯的费用是(49+0.0045x)元， 用一盏白炽灯的费用是(18+0.02x)元． (2)①由题意，得49+0.0045x=18+0.02x ，解得x=2000， 所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多． ②取特殊值x=1500小时， 则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×1500=55.75(元)， 用一盏白炽灯的费用是18+0.02×1500=48(元)， 所以当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低； 取特殊值x=2500小时， 则用一盏节能灯的费用是49+0.0045×2500=60.25(元)， 用一盏白炽灯的费用是18+0.02×2500=68(元)， 所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低． (3)分下列三种情况讨论： ①如果选用两盏节能灯，则费用是98+0.0045×3000=111.5元； ②如果选用两盏白炽灯，则费用是36+0.02×3000=96元； ③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低． 费用是67+0.0045×2800+0.02×200=83.6元 综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低． 变式1：某出租汽车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元，为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG ”的改烧汽油为天然汽的装置，每辆车改装价格为4000元。公司第一次改装了部分车辆 后核算：已改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的 20 3 ，公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下末改装车辆每天燃料费用的5 2 。问： （1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？ 解:（1）设公司第一次改装了y 辆车，改装后的每辆出租车每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示 一、填空题： 1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式： 10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.12212010 11≈=（万元） 应该填写：12.2783万元． 2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式： 10 )05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910 =（万元） 应该填写：32.5779 3．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 . 解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析． 4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 . 解： 由商品的均衡价格公式： 8035 2536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80. 5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 . 解：根据经济订购批量公式： 19110 01.020022*≈??==R c c T s b 209701.011020022*≈??== s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T 二、分析判断题 1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决． 解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．

数学模型在物理题中运用

数学模型在物理题中运用

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数学模型在物理解题中的运用 陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君 数学不仅是解决物理问题的工具，数学方法更是物理学的研究方法之一。在物理解题中，可以运用数学方法，将物理问题转化为数学问题，将“物理模型”转化成“数学模型”，然后运用数学的方法进行求解或论证，再将数学结论回归到物理问题中进行验证，完成物理问题的求解。 一、函数模型 函数模型就是建立起所求量或所研究量与已知量或决定量之间的函数关系，然后运用函数的运算或性质进行运算或判断。这是物理解题中最常用的数学模型，一般用来解决最值问题或变量问题比较方便。 例1一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？ 分析与求解：设汽车起动后经时间t还未追上自行车，则汽车的位移为：s1=at2，自行车的位移为：s2=vt，二者间距为Δs=s2-s1=vt-at2。 带入已知数据，建立Δs与ｔ的函数关系式：。 由此式可知：当ｔ＝2s时，Δs最大为6m。即汽车从路口开动后，在追上自行车之前2s两车相距最远，最远距离是6m。 二、三角模型

有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析。 例2 如图１所示，用细绳悬AB吊一质量为ｍ的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？ 分析与求解：以Ｏ点为研究对象，则它在AO绳的拉力F AO，BO的拉力F BO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力相互平衡。这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形。由于绳BO对O点的拉力F BO=mg恒定不变，绳AO 对O点的拉力方向不变。所以，当F方向变化时，由 图1可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mg 三、图像模型 图像模型就是，在平面直角坐标系中，建立起有某种关系的物理量间的关系图像，利用图像与坐标轴围成的面积，图像与坐标轴的交点，图像间的交点的物理意义进行分析和求解。这类问题求解时，准确化出图像是关键。

“建立概率模型”教学设计

北师大版必修三第三章第二节第二讲 “建立概率模型”教学设计 【教材版本】北师大版 【教材分析】 《建立概率模型》是高中数学北师大版必修3第三章概率第二节古典概型的第二课时．古典概型是一种理想的数学模型，也是一种最基本的概率模型，通过建立概率模型将问题转化为不同的古典概型来解决，更直观的理解概率的意义． 【学情分析】 学生在学习了古典概型特征及概率公式后，已经了解了古典概型的意义，掌握了概率的计算公式，本节课从建立概率模型来进一步加深对其的理解． 【教学目标】 1、知识与技能 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及其事件发生的概率，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．以学生动手为主要形式，通过解决具体问题来感知用模型来解决概率问题的思路，体会建立概率模型的意义． 2、过程与方法 这节课在解决概率的计算上，教师通过鼓励学生尝试列表和画出树状图等方法，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑,也符合培养学生的数

学应用意识的新课程理念． 3、情感、态度与价值观 树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观察来理性的理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神．鼓励学生通过观察类比提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度． 【重点难点】将实际问题转化为数学问题，建立概率模型，并解答．【教学环境】多媒体课件多媒体教室 【教学设计】

这个模型的所有可能结果数为 的所有可能结果数为6