基于Mooney_Rivlin模_省略_h模型的超弹性橡胶材料有限元分析_黄建龙

作者简介:黄建龙(1951-),男,甘肃兰州人,兰州理工大学教授,硕士,主要从事成套设备的设计与开发及机械可靠性设计理论与方法的研究。

基于Mooney -Rivlin 模型和Yeoh 模型的超弹性

橡胶材料有限元分析

黄建龙1,解广娟1,刘正伟2

(1.兰州理工大学机械电子工程学院,兰州　730050;2.中海油田服务股份有限公司,北京　101149)

摘要:介绍橡胶材料两种常用的应变能密度函数模型———M ooney -Rivlin 模型和Yeoh 模型,并解析求得其材料常数。采用ANSYS 有限元分析软件,分析比较两种模型的位移和应力云图,验证其适用性,即M ooney -Rivlin 模型适合模拟中小变形行为;Yeoh 模型适合模拟炭黑填充NR 的大变形行为。 关键词:超弹性;橡胶材料;应变能密度函数模型;有限元分析

中图分类号:T Q330.1+2;O241.82 文献标识码:A 文章编号:1000-890X (2008)08-0467-05

橡胶材料作为一种高分子非线性超弹性材料

广泛应用于承载结构轴承、密封件、吸收震动的衬垫、连接器和轮胎等,已成为现代工业的重要原材料。橡胶硫化后分子形成网状结构,从而成为具有超弹性、体积几乎不发生变化(即不可压缩)、大变形的非线性固体材料。材料特性的非线性和几何非线性给橡胶材料的研究带来了很大的困难。

几十年来,人们对橡胶材料做了大量的研究工作,主要有罚有限元、混合元和杂交元等方法。文献[1-3]均以Piola -Kirchhoff 应力和Cauchy -G reen 应变建立拉格朗日虚功方程,将非线性方程线性化,并利用目前广泛应用的应变能密度函数模型———Mo oney -Riv lin 模型进行有限元分析,介绍确定适当罚因子的方法。文献[4]采用罚函数和拉格朗日乘子法,并引入静水压力概念,同样应用Mo oney -Rivlin 模型对橡胶材料进行有限元分析,通过试验和解析方法确定算法的有效性。文献[5,6]采用试验方法结合有限元方法对如何确定M oo ney -Rivlin 常数做了研究。文献[7]以Piola -Kirchho ff 应力和Cauchy -Green 应变理论,采用Yeoh 模型对橡胶材料进行有限元分析,从而确定此类材料的有限元模型。尽管应变能密度

函数模型理论越来越多,应用研究范围也越来越

广,但是针对具体工况选择合适的应变能密度函数模型仍有很大困难。

本文根据有限元分析软件ANSYS 提供的超弹性不可压缩材料的材料特性描述,介绍橡胶材料的有限元分析模型———Mo oney -Rivlin 模型和Yeoh 模型,并用实例证明这两种典型模型的适用性,以期为有限元分析打下理论基础。

1　橡胶材料增量形式的应力-应变关系和其本构关系

(1)假设橡胶材料在小范围内是线性的,可以用增量形式建立其应力(σ)-应变(ε)关系:

d ε1=1

E

[d σ1-μ(d σ2+d σ3)]

d ε2=1E [d σ2-μ(d σ1+d σ3)]d ε3=1E

[d σ3-μ(d σ1+d σ2)](1)

式中,E 为弹性模量,μ为剪切模量。

但是式中的E 是变形过程函数,给试验测定和实际应用带来很大困难,因此该公式很少使用。

(2)假设橡胶材料为各向同性和不可压缩(I 3≡1),基于应力-应变关系以唯象理论建立橡胶材料的本构关系,以应变能密度函数(W )表示:

W =W (I 1,I 2,I 3)

(2)式中

I 1=λ21+λ22+λ2

3I 2=λ21λ22+λ22λ23+λ21λ23

I 3=λ21λ22λ2

3=1

λi =1+γi

式中,I 1,I 2和I 3为变形张量不变量,λ

1,λ2和λ3为主伸长比,γi 为主应变。

2　Mooney -Rivlin 模型和Yeoh 模型2.1　应变能密度函数模型

(1)M oo ney -Rivlin 模型

Moo ney -Rivlin 模型是一个比较经典的模型,几乎可以模拟所有橡胶材料的力学行为,适合于中小变形,一般适用于应变约为100%(拉伸)和30%(压缩)的情况。但是M ooney -Riv lin 模型不能模拟多轴受力数据,由某种试验得到的数据不能用来预测其它的变形行为。ANSYS 有限元分析软件可根据不同需要,将其展开为二项三阶展开式、三项三阶展开式、五项三阶展开式和九项三阶展开式等,其应变能密度函数模型如下:

W =∑N

i +j =1

C ij (I 1-3)i (I 2-3)j

+∑N

k =11d k

(I 23-1)2k

(3)

典型的二项三阶展开式为

W =C 10(I 1-3)+C 01(I 2-3)+1d

(J -1)

2

(4)

式中,N ,C ij 和d k 为材料常数,由材料试验所确

定;对于不可压缩材料,J =1。

(2)Yeoh 模型

Yeoh 模型比较适合模拟炭黑填充NR 的大变形行为,并且可以用简单的单轴拉伸试验数据模拟其它变形的力学行为,但是它不能很好地解释双轴试验数据,当材料发生较大变形时,计算结果就会不精确。

ANSYS 有限元分析软件中也将其分为一、二、三、四和五等多项参数形式,其应变能密度函数模型如下:

W =

∑N

i =1

C i 0

(I 1-3)i

+∑

N

k =1

1d k

(J -1)2k

(5) 典型的二项参数形式为

W =C 10(I 1-3)+C 20(I 1-3)

2

(6)

式中,材料常数N ,C i 0和d k 由材料试验所确定,初始剪切模量μ=2C 10;同样,对于不可压缩材料,J =1。

2.2　Piola -Kirchhoff 应力张量与Cauchy -Green

应变张量的关系

应力-应变关系表征材料的主要特性。橡胶材料的应力-应变关系可以由应变能密度函数对其主伸长比求偏导表示,此应力-应变形式由Pio -la -Kirchhoff 和Cauchy -G reen 定义,因此也称为Piola -Kirchho ff 应力张量(t ij )和Cauchy -Green 应变张量(γij ),其形式如下:

t ij = W γij = W I 1 I 1 γij + W I 2 I 2 γij +

W I 3 I 3 γij

(7)

由上述公式得主应力(t i )与主伸长比(λi )之间的关系:

t 1=2λ1[ W I 1+(λ22+λ23) W I 2+λ22λ23

W I 3]t 2=2λ2[ W I 1+(λ23+λ21) W I 2+λ23λ21 W I 3]t 3=2λ3[ W I 1+(λ21+λ22) W I 2+λ21λ22 W I 3

](8)

3　基于Mooney -Rivlin 模型和Yeoh 模型的参数

计算

通过单轴拉伸试验确定材料常数,并取二项参数的Mo oney -Rivlin 模型和Yeoh 模型作为计算准则,采用ANSYS 有限元分析软件对两模型进行分析对比。

(1)单轴拉伸试验简化

对于单轴拉伸试验,有t 3=t 2=0

λ22=λ23=

1λ1

(9)

对于绝对不可压缩材料,I 3=λ21λ22λ2

3=1,结合

式(8)和(9)推导出绝对不可压缩橡胶材料的主应力与主应变和变形张量不变量与主伸长比的关系:

t 1=

2λ1(λ21-1λ21λ22)( W I 1+λ22 W I 2

)(10)

I 1=λ2

1+

2

λ21

(11)

(2)M oo ney-Rivlin模型常数C10和C01确定

二项参数M ooney-Riv lin模型应变能密度函数为W=C10(I1-3)+C01(I2-3),结合式(9)～(11)求得:

t1

2(λ1-1

λ21)

=C10+1

λ1C01

根据试验测得不同拉伸比(λ1)下的应力值

(t1),然后以1

λ1为横坐标,以

t1

2(λ1-1

λ21

)

为纵坐标,

把试验点绘在坐标系中,并把试验点回归成一条直线,则C10为这条直线的截距,C01为其斜率。

(3)Yeoh模型常数C10和C20确定

二项参数Yeoh模型应变能密度函数为式(6),与上述方法相同,先求得

t1

2(λ1-1

λ21)

=C10-6C20+2C20(λ21+2

λ1

)

最后求得C10和C20。

(4)基于数值分析和Matlab求解C10和C01及C10和C20

以一种典型橡胶材料为例,本研究选用轨道减震器做单轴拉伸试验,所得应力-应变关系如图1所示,根据上述方法做图并回归为直线,如图2和3所示。

根据对应斜率和截距关系求得材料常数。Mo oney-Rivlin模型:C10=1.20,C01=-0.35; Yeoh模型:C10=0.71,C20=-0.019。

4　ANSYS分析结果

本研究采用A NS YS10.0有限元分析软件对这种材料进行分析[8],结果如图4～7所示。

根据图4～7可得到模型位移和应力数据,如表1和2所示。由表1和2可看出,两种模型应力云图对应等值线差值几乎为零,但很明显位移差值却很大,并逐渐增大,最小差值为0.9%,最大可达到8.2%。M ooney-Rivlin模型的最大位移为0.197016mm,Yeoh模型最大位移为0.279016mm,相差8.2%,从而可以验证:M oo-ney-Rivlin模型适合模拟中小变形行为,Yeo h模型比较适合模拟炭黑填充N R的大变形行为

。5　结语

本研究主要总结了目前两种常用的超弹性橡胶材料的应变能密度函数模型,并分析比较其适用性,具体给出了Moo ney-Rivlin模型和Yeoh模型材料参数的确定方法。采用A NS YS有限元分析软件对两种模型进行分析,进一步证明了两种

模型的适用性,即M ooney-Riv lin模型适合模拟

表1　Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型的

位移数据mm

M oon ey-Rivlin模型Yeoh模型位移差值相对差值/%

0.0218910.0310020.0091110.9

0.0437810.0620040.0182231.8

0.0656720.0930050.0273332.7

0.0875630.1240070.0364443.6

0.1094540.1550090.0455554.6

0.1313440.1860110.0546675.5

0.1532350.2170130.0637786.4

0.1751260.2480140.0728887.3

0.1970160.2790160.0820008.2

表2　Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型的

应力数据M P a M oon ey-Rivlin模型Yeoh模型应力差值相对差值/%

0.0965560.0966180.0000620.0062

0.0977760.0977980.0000220.0022

0.0989960.098978-0.0000180.0018

0.1002160.100157-0.0000590.0059

0.1014360.101337-0.0000990.0099

0.1026560.102517-0.0001390.0139

0.1038760.103697-0.0001790.0179

0.1050960.104877-0.0002190.0219

0.1063160.106057-0.0002590.0259

0.1075360.107237-0.0002990.0299

中小变形行为;Yeo h模型适合模拟炭黑填充N R 的大变形行为。采用A NS YS有限元分析软件进行分析,为超弹性橡胶材料选用和分析打下了理论基础。

参考文献:

[1]史守峡,白若阳.非线性不可压缩橡胶柱体的大变形罚有限

元分析[J].世界地震工程,1998,14(1):51-57.

[2]史守峡.平面应力不可压缩橡胶薄片的非线性有限元分析

[J].哈尔滨工程大学学报,1998,19(3):11-15.

[3]于建华,魏永涛.不可压缩超弹性材料的有限元应力分析

[J].西南交通大学学报,1998,33(1):41-45.

[4]魏永涛,于建华.橡胶有限元分析之研究[J].四川联合大学

学报,1997,1(5):78-83.

[5]郑明军,谢基龙.压缩状态下橡胶大变形有限元分析[J].北

方交通大学学报,2001,25(1):76-79.

[6]郑明军,王文静,陈政南,等.橡胶M ooney-Rivlin橡胶力学性

能常数的确定[J].橡胶工业,2003,50(8):462-465.

[7]危银涛,杨挺青,杜星文.橡胶类材料大变形本构关系及其有

限元方法[J].固体力学学报,1999,20(4):282-289.

[8]杨晓翔.非线性橡胶材料的有限单元法[M].北京:石油工业

出版社,1999:4.

收稿日期:2008-02-12

FEA of hyperelastic rubber material based on

Mooney-Rivlin model and Yeoh model

HU AN G J ian-long1,X IE Guang-juan1,LIU Zheng-wei2

(https://www.wendangku.net/doc/5016618428.html,nzh ou University of T echnology,Lanzhou　730050,Chin a;2.China Oilfield Services Ltd,Beij ing　101149,C hina)

A bstract:Tw o kinds o f strain energy density models for rubber m aterial———Moo ney-Rivlin mo del and Yeoh mo del w ere intro duced,and their ma terial constants w ere analy zed.By use of ANSYS FEA softw are,the displacement and stress clo ud atlases o f the m odels w ere com pared,and their applicability w as verified,i.e.M oo ney-Rivlin m odel w as suitable to sim ulate the behavio r of medium and sm all strain,w hile Yeoh m odel w as for the behavio r of larg e strain of N R filled w ith carbon black.

Keywords:hype relasticity;rubber ma terial;strain energy density function mo del;FEA

费尔斯通工业品公司到哥斯达黎加

开设橡胶空气弹簧厂

中图分类号:T Q336.4+2 文献标识码:D

美国《橡胶和塑料新闻》(w w w.rubbernew s. com)2008年5月20日报道:

费尔斯通工业品公司计划在哥斯达黎加图里亚尔瓦开设一家橡胶空气弹簧厂,以满足该地区日益增长的需求。该公司已签署在图里亚尔瓦租用厂房的协议,按计划开始时雇用100人,需用厂房面积约为11600m2,但并未透露投资额以及初期生产能力。

费尔斯通工业品公司选择在哥斯达黎加建橡胶空气弹簧厂的原因之一是普利司通(美国)投资公司已在该国拥有一家轮胎厂,该厂于1967年投产。轮胎厂的管理人员能够向费尔斯通工业品公司提供各种帮助。橡胶空气弹簧厂坐落在轮胎厂附近,两家工厂已经达成了相互支持的共识。

按计划,橡胶空气弹簧厂将于2008年年底前投产,并取得客户认可,于2009年年初达产。工厂将同时生产自有品牌和贴M arsh Mellow牌的产品。

费尔斯通公司生产空气弹簧的历史始于1939年,产品采用工程橡胶制造,上下各有一块特殊设计的金属端盖,腔内装有可压缩的空气。该产品主要用于载重汽车减震,还可保持车辆平稳,减轻悬架疲劳和轮胎磨损,使车辆高度可调节,调整车辆刚性频率和延长道路寿命等。Marsh Mello w牌空气弹簧采用纤维织物增强的橡胶筒,腔内不需要充气,适用于需要隔离震动或消除冲击影响的工业环境。

在北美和西欧等成熟市场,大型空气弹簧的份额已占到70%～95%,而在亚洲和南美洲等新兴市场,其份额还不足10%。因此可以预计,在未来10年,大型空气弹簧的需求量将会迅速增长。

目前,费尔斯通工业品公司在美国设有3家橡胶空气弹簧厂,在巴西和波兰各有1家,在中国有1个装配点。

[昊华南方(桂林)橡胶有限责任公司

邓海燕摘译]

盖茨公司将关闭Moncks Corner厂

中图分类号:TQ336.2;F27 文献标识码:D

美国《橡胶和塑料新闻》(w w w.rubbernew s. com)2008年6月17日报道:

盖茨公司将关闭其位于美国南卡罗来纳州的Mo ncks Co rner厂,并计划在未来数月内调整其在北美的胶带生产布局。据称,上述计划是在对生产经营进行详细评估后做出的。公司大致披露了关闭工厂的细节和工厂的评估情况。

Mo ncks Co rner厂于1986年投产,产品为同步带,现有员工197人。预计工厂将于2009年第1季度完成关闭,产能将分散到北美其它胶带厂。

[昊华南方(桂林)橡胶有限责任公司

邓海燕摘译]

弹性力学及有限元法学习总结

弹性力学及有限元法学习总结 摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外 部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象： 材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法： 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设： 1）连续性，假定物体是连续的。连续性因此，各物理量可用连续函数表示。 2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不 计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所 引起的。 有限元法的基本思想： 有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组

弹性力学及有限元基础复习权威版(最新)

《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性

弹性力学及有限元介绍

弹性力学与有限单元法（报告） 姓名： 尚建波 学号： 201314010624 班级：土木F1307 第一题（20分） 变分法中的δ符号与微积分中的d 符号均表示微小变化，请问二者有何关 系？如何理解在理论上有了δ则不需要有d 符号。 第二题（20分） 设()y y x =，'(,)F y y 不显含x ， 证明：当()y y x =满足固定边界条件()A y a =，()y b B =时，'[()](,)b a y x F y y dx ∏=?取极值的必要条件为：' 'F y F C y ?-=?，C 为常数。 第三题（20分） 以平面应力弹性力学问题为例，写出其8方程数学模型。并从中导出位移解法数学模型以及应力解法数学模型。 第四题（20分） 以平面应力弹性力学问题为例说明最小位能原理（能量法－泛函极值）对问 题的描述完全等价于第一题中的位移法描述（微分形式）。 第五题（20） 谈一谈有限单元法在工程上的使用（可结合具体实例）；说明有限单元法今 后的发展方向（理论与软件两个层面）（20分）。 试 卷 要 求 1 要求字迹工整，书写清楚； 2 绝对不允许以任何形式整体拷贝讲义或他人试卷，如有雷同卷子（包括个别题的雷同），一律按不及格处理（评阅教师具有试卷雷同认定权）； 3 本试卷页作为报告的扉页，与报告内容采用统一纸张装订； 4 不符合要求的报告按不及格处理（评阅教师具有不符合要求报告的认定权）。

解答报告 第一题（20分） 变分法中的符号与微积分中的符号均表示微小变化，请问二者有何关系？如何理解在理论上有了则不需要有符号。 解答：（1）二者的关系。 d 是无限小的增量，是一个微分符号，表示了一个函数的局部线性近似。对于函数，dx 反应的是一个函数在x=x0附近的微小变化，也就是自变量的变化。d 作为一个微分符号，dx 必须与其他微分符号如同dy 、dt 成对出现。 δ是无限小的量，这个符号表示变分，所谓变分是一种假想的移动量，比如我假象一条路径x(t)如果x 做了一个微小改变，那么记做δ x 。δ(x)反应的是对某个函数在其定义域内的变化，也就是如果f(x)是一个函数，f(x)+δ(x)也是一个函数，且||δ(x)||很小。这个涉及泛函。泛函是函数的一种推广，是以函数为自变量的映射J=J[y]，该自变量不是以函数的值为自变量，而是以函数本身为自变量，比如一个函数在某个区间上的积分。同时，函数本身也可以当作特别的泛函。 由于δ作用于泛函类似于d 作用于函数，所以δ与d 的运算规律大体上是类似的。 （2）如何理解在理论上有了δ则不需要有d 符号？ d 是无限小的增量，只是微分符号，表示函数的局部线性近似。δ是无限小的量，是一种假想的移动量是两个函数的线性近似，比d 更能表述函数的微小变化，所以我个人理解有δ的时候就不需要d 。 第二题（20分）设()y y x =，'(,)F y y 不显含x ，证明：当()y y x =满足固定 边界条件()A y a =，()y b B =时，'[()](,)b a y x F y y dx ∏=?取极值的必要条件为： ''F y F C y ?-=?，C 为常数。 证明：

(绝密试题)弹性力学与有限元分析试题及其答案

2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为

弹性力学及有限元试题

弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不

计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。

（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。

《弹性力学及有限元》教学大纲

《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修 适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务： 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求： 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明： 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时：6学时（讲课6学时） 本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法

最新弹性力学与有限元分析试题答案

最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、 填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

弹性力学与有限元法分析及实例讲解

弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析；（2）

试题及其答案--弹性力学与有限元分析(DOC)

如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部

弹性力学基础及有限单元法

第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么?为什么要采用这些假设? (1)假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的．可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2)假设物体是匀质的和各向同性的——物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3)假设物体是完全弹性的—一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 (4)假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5)假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中．假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别? P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内 容。

弹性力学与有限元分析试题及参考答案

弹性力学与有限元分析试题及参考答案 四、分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ????? ??=??+??=??+??0 0x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力边界条件()()()() ???? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，22 23xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ???? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ?? ?=--=--+-0 230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230 333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

弹性力学及有限元课程大纲

《弹性力学及有限元》课程大纲课程代码EM316 课程名称中文名：弹性力学及有限元 英文名：Elasticity and Finite Element Method 课程类别专业基础课修读类别必修 学分 2 学时32 开课学期第5学期 开课单位船舶海洋与建筑工程学院土木工程系 适用专业土木工程专业 先修课程《高等数学》、《理论力学》、《材料力学》、《结构力学》 教材及主要参考书教材： 徐芝纶. 弹性力学简明教程（第四版），北京：高等教育出版社，2013年6月。ISBN: 9787040373875 参考书： 1. 王润富.弹性力学简明教程学习指导. 北京：高等教育出版社， 2004. ISBN: 7040130815 2. 吴家龙. 弹性力学(新一版). 北京：高等教育出版社，2001. ISBN: 7560812457. 3. S.Timoshenko ＆J. N. Goodier. Theory of Elasticity.(Third edition) McGraw-hill Book Co.,1970. ISBN-13: 978-0070647206 4. 丁科，陈月顺. 有限单元法. 北京大学出版社，2006. ISBN: 9787301104354 一课程简介 弹性力学及有限元是土木工程专业必修的一门专业基础课。课程主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上，进一步掌握弹性力学与有限元的基本概念、基本原理和基本方法，提高分析与计算的能力。使学生掌握有限单元法及其工程适用性，为学生从事与土木工程相关的专业技术工作、科学研究工作等打下坚实的基础。 二本课程所支撑的毕业要求 本课程支撑的毕业要求及比重如下： 序号毕业要求指标点毕业要求指标点具体内容支撑比重 1 毕业要求1.3 具有必备的土木工程专业基础知识及 在复杂土木工程问题中应用能力 65% 2 毕业要求5.2 具有至少应用一种土木工程方面的大 型分析软件能力，并了解工程适用性。 35%

弹性力学与有限元分析试题及其答案

一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ， 50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应 力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ， =1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ， 0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ， =1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量， 2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ， 400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别 建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 19、在有限单元法中，单元的形函数N i 在i 结点N i =1；在其他结点N i =0及∑N i =1。 20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。 二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×”）

弹性力学及有限元法复习题.

第一章 1、已知某材料为理想弹性体，弹性体内一点的应力状态为???? ??????----=522246268σ MPa, 假设某表面的外法线方向余弦为6/11,7/11x y z n n n ===，求该表面的法向和切向应力；该点的应力不变量、主应力、最大剪应力，并绘制摩尔圆。 2、以y 轴或z 轴为例，推导平衡微分方程（要求写清详细的推导过程） 3、从理想弹性体中取出一微元体，见下图，试以向yOz 面投影为例，推导几何方程。 图（2） 4、已知点P （1，0，3）处位移场为223 [()i 4j+(7+5+6+7)k]10m x y xyz x yz z -=+?+???u ，求点P 处的应变状态，应变不变量，主应变，体积应变，假如材料参数为11 2.0610E =?Pa ， 0.3μ=，试求该点的应力状态 5、一理想弹性体处于平面应力状态，材料参数为,E μ，其中 cx y bx ay x -+=23σ e dy y -=3σ h y gx fxy xy -+=22τ g f e d c b a ,,,,,,，h 是常量。为了使应力场满足相容方程，这些常量的约束条件是什么？ 6、一个理想弹性体，材料参数为,E μ，设体内某点所受的体积力为,,x y z F F F ，所处的位

移场为223 [()i 4j+(6+8)k]10m x y yz yz z -=+?+???u ，试求在此坐标系下体积力的表达式。 7、如下图所示处于平面应力状态的薄板结构，在P 点区域作用有面力F ，请标示出该结构的应力及位移边界条件 B C x 第二章 1、 一点处的应力状态由应力矩阵给出，如下 301520152510201040-?? ??=--?? ???? σ MPa 如果70=E GPa ，33.0=μ，求单位体积的应变能密度。 2、 对于平面应变状态10=x σMPa ，0=y σMPa ，0=τMPa ，画出与三个主应力相对应的三个摩尔圆；求最大剪应力的位置和数值；计算等效的von Mises 应力值，并与最大剪应 力的二倍进行比较。 3、 一柔性材料具有 280MPa 的屈服应力。根据Tresca 理论和von Mises 理论，求如下平面应力状态下屈服时的安全系数。 140=x σMPa ，140=y σMPa ，0=xy τMPa 4、 对给定的应力矩阵，求最大Tresca 和von Mises 应力。并将von Mises 应力与Tresca 应力进行比较。 201010102010101020?? ??=?? ???? σ MPa 第四章

弹性力学同有限元分析的关系

弹性力学同有限元分析的关系 弹性力学：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。 是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力。 研究对象：包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学基本规律：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 弹性力学同材料力学的比较 1、研究内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件；弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。 3、研究的方法： 相同点：静力学、几何学与物理学三方面进行研究； 不同点：材料力学：

对构件的整个截面建立分析方程，引用一些截面的变形状况或应力情况的假设，因而得出的结果往往是近似的，不精确。 弹性力学： 对构件采用无限小单元体来建立分析方程的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。 从几何形状复杂程度来考虑可以分为： 1）简单形状变形体—材料力学 2）任意形状变形体—弹性力学 任意变形体是有限元方法处理的对象，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述是有限元方法的重要基础。 弹性力学的弱点：由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。

弹性力学与有限元分析复习题(含答案)

分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。 （1）By Ax x +=σ，Dy Cx y +=σ，Fy Ex xy +=τ； （2）)(22y x A x +=σ，)(22y x B y +=σ，Cxy xy =τ； 其中，A ，B ，C ，D ，E ，F 为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：（1）在区域内的平衡微分方程 ?? ? ? ???=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ；（2）在区域内的相容方程()02 222=+??? ? ????+??y x y x σσ；（3）在边界上的应力 边界条件()()()() ?? ?? ?=+=+s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ；（4）对于多连体的位移单值条件。 （1）此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A =-F ，D =-E 。此 外还应满足应力边界条件。 （2）为了满足相容方程，其系数必须满足A +B =0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A =B =-C /2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 2、已知应力分量312x C Qxy x +-=σ，222 3xy C y -=σ，y x C y C xy 2 332--=τ，体力不计，Q 为常数。试利用平衡微分方程求系数C 1，C 2，C 3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 ?? ? ? ?? ?=??+??=??+??00x y y x xy y yx x τστσ 得 ? ? ?=--=--+-0230 33322322212xy C xy C x C y C x C Qy 即 ()()()?? ?=+=+--0 230333222231xy C C y C Q x C C 由x ，y 的任意性，得

弹性力学及有限元考试复习简答题

1、简述有限单元法常分析的问题。 答：有限单元法是一种用于连续场分析的数值模拟技术，他不仅可以对机械、建筑结构的位移场和应力场进行分析，还可以对电磁学中的电磁场、传热学中的温度场、流体力学中的流体场进行分析。 2、在有限单元法中，位移模式应满足哪些基本条件。 答：1位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元部是连续的） 2所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解 3、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 答：对称矩阵奇异矩阵稀疏矩阵具有相对独立性4、简述有限单元法中单元刚度矩阵的性质。 答：1．单元刚度矩阵是对阵矩阵 2．单元刚度矩阵的主对角线元素恒为正值 3．单元刚度矩阵是奇异矩阵 4．单元刚度矩阵仅与本身有关 5、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 答：必须假定一个函数，所假定的位移函数必须满足两个条件：其一，它在单元节点上的值应等于节点位移；其二，由该函数出发得到的有限元解收敛于真实解。 6、要保证有限单元法计算结果的收敛性，位移函数必须满足那些条件？

答：1、完备性条件：要求单元的位移函数必须能够满足刚性位移和常量应变状态 2、协调性条件：要求单元的位移函数在单元部必须是连续函数，且必须保证相邻单元间位移协调 9、用有限元法分析实际工程问题有哪些基本步骤？需要注意什么问题？ 1）建立实际工程问题的计算模型 2）选择适当的分析工具侧重考虑以下几个方面 1）前处理（Preprocessing） 2）求解（Solution） 3）后处理（Postprocessing 10、在弹性力学中根据什么分别推导出平衡微分方程、几何方程、物理方程，这三个方程分别表示什么关系？ 答：根据静力学、几何学和物理学三方面条件，分别推导出平衡方程、几何方程和物理方程；三组方程分别表示：应力与载荷关系、应变与位移关系、应力与应变关系。 11、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有σx，σy，τxy。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且

弹性力学及有限元模拟卷

武汉大学 《弹性力学及有限元》模拟试题 （考试时间： 年 月 日） 姓名 学号 成绩 一、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代 号写在题干前面的括号内。答案选错或未选者，该题不得分。每小题2分，共30分） 1．所谓“完全弹性体”是指 A ．材料应力应变关系满足胡克定律 B ．材料的应力应变关系与加载时间历史无关 C ．本构关系为非线性弹性关系 D ．应力应变关系满足线性弹性关系 2．下列哪种材料可视为各向同性材料 A ．竹材 B ．纤维增强复合材料 C ．玻璃钢 D ．沥青 3．下列关于弹性力学基本方程描述正确的是 A ．几何方程适用小变形条件 B ．物理方程与材料性质无关 C ．平衡微分方程是确定弹性体平衡的唯一条件 D ．变形协调方程是确定弹性体位移单值连续的唯一条件 4．在平面应变问题中(取纵向作Z 轴) A.0,0,0===z z ε?σ B. 0,0,0≠≠≠z z ε?σ C.0,0,0=≠=ε?σz D. 0,0,0==≠z z ε?σ 5.，平面问题中θσσσσ+=+r y x 可知。 A ．平衡方程 B ．剪应力互等定理 C ．应力协调条件 D ．第一应力不变 6、变形协调方程说明 A ．几何方程是根据运动学关系确定的，因此对于弹性体的变形描述是 不正确的

B ．微分单元体的变形必须受到变形协调条件的约束 C ．变形协调方程是保证所有弹性体变形协调条件的必要和充分条件 D ．变形是由应变分量和转动分量共同组成的 7．圣维南原理可应用于 A. 长边位移边界条件 B. 短边位移边界条件 C. 长边应力边界条件 D. 短边应力边界条件 8．平面问题应力函数的量纲是 A. [力] B. [力][长度] C. [力][长度]2 D. [力][长度]-1 9．要使函数()y bx axy y x 33,+=?能作为应力函数，a 与b 的关系是 A ．a 与b 可取任意值 B ．a=b C ．a=-b D ．a=b/2 10．用应力分量表示的相容方程等价于 A ．平衡微分方程 B ．用应变分量表示的相容方程 C ．几何方程和物理方程 D ．平衡微分方程、几何方程和物理方程 11．如图所示圆环仅受均布内压力作用时 A ．r σ为压应力，θσ为压应力 B. r σ为压应力，θσ为拉应力 C. r σ为拉应力，θσ为压应力 D. r σ为拉应力，θσ为拉应力 12．如图所示开孔薄板中的最大应力应该是