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线代第一章

线性代数第一章(答案)

第一章行列式一填空题 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为（n-1）！ 2.行列式 1 2 n λλλ = (1) 2 12 (1) n n n λλλ-- 3. 行列式11121314222324 333444 00 a a a a a a a a a a 的值11223344 a a a a 4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则 A = 1122nn a a a 解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=10 6. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为10 7. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 34 8.在函数x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中,3x 的系数为 -2

解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项. 9. 行列式x x x x x 2213212 113215 含 4x 的项 410x 解：含4x 的项应为4443322111025x x x x x a a a a =???=. 10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0 解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变 11. =5 6789012011400 10 3 0200 1000 120 . 解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式 12.行列式c c b b a a ------1111111的值是 1 。解c c b b a a ------1111111= 10 11111a b b c c ----=101 111a b c c --=1010101a b c =1

扬州大学线性代数习题册第一章

线性代数第一章行列式 --电商1201 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 131 32 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 (陈冲) 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 12243143a a a a 的系数：() (1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 2 2 111a a b b c c =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- （陈思宇）

5.行列式 1 13 610420 4 7 10501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 0710 01-3 41+-?）（=(－1) ×7 ×6×(－1)=42 6.设3 1-20 3 1222 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0 解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 1211 1 222 -=0 （崔宇轩）二、单项选择题 1、设x x x x x x f 1 11 12 3111212)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解：x 3的系数为）（）（）（1-21341234λλ+=-1 2、设33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 32 3131 23222121 13121111 423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：33 32 31232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 232221 131211 4-4-4-a a a a a a a a a =-4m

华南理工大学线代微积分答案课后题第一章(1)

1、（1） ()sin cos sin sin cos cos 1cos sin x x x x x x x x ?=??= （5）33223x y y x y y y y x y x y x y y x y xy y x y x y y y y x =?+=+? 2、（1）左边= ()()a b x a d y c b x ad ay b c cx c d y +=+?+=+??+ 右边= ()()a b a x ad bc ay cx c d c y +=?+? 左边=右边，所以等式成立。（2）左边=010 0b a e f b a b a e f ad bc d c d c e f d c =? +=? 右边=ad bc ? 左边=右边，所以等式成立。 3、（2）解：因系数行列式 21 5011021 D ?=?=? 故方程组有解， 1 1 010********D x D ???===，2 2200 50103161D x D ?===，3 321 050002 3 151 D x D ??=== 4、由题意已知，34 43i i or j j == == 当34i j = = 时，()17352468τ=，当43 i j = = 时，()17452369τ= 故3,4i j ==。 5、顺序数+逆序数=2 n C 故()()() 212112112 n n n n n n n i i i i C i i i i m ττ???=?=?

6、（1）()2653841713τ=，奇排列（2）()()()() 1,1,,2,11212 n n n n n n τ???+?++ 441,4243,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列奇排列（3） ()()()()()()()2,21,2,21,23,,121231 311212 n n n n n n n n n n τ???= ?+?++?+?+?++= 443,4142,n kor k n k or k =+ =++ 偶排列奇排列 7、含123541a a a 的项分别有() () 251122354151i j i j a a a a a τ?，其中34 43 i i or j j == == 当34i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2351412233541541a a a a a τ?，()235144τ=，当43 i j = = 时，含123541a a a 的项分别是()() 2451312243541531a a a a a τ?，()245135τ= 故含有123541a a a 的项是1223354154a a a a a 和1224354153a a a a a ? 8、解：() () () () ()134212342221511213x x x ττ?+??= 10、(1) ()()()()214323410 000011000 00a a b baed bcea abde abce c d e ττ=?+?=? (2) 0000000000a b c g f e d =

线性代数第一章答案

第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n ) (2n -2) ? ? ? 2. 解逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ? ? ? ? ? ? (2n )2, (2n )4, (2n )6, ? ? ?, (2n )(2n -2) (n -1个)

线性代数第一章习题集

一. 判断题（正确打√，错误打×） 1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n .( × ) 正确答案：)!1(-n 解答：方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj j a a a 2211 ，其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体，所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理 =nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 n n A a A a A a 1121211111+++ ，而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ，而11A 共有)!1(-n 项，所以含有11 a 的项数是)!1(-n . 注意：含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n . 2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零，则ij a 等于零.( √ ) 解答：将 nn n n n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211 中的n 、、、 32列都加到第一列，则行列式中有一列元素全为零，所以ij a 等于零.

3. 3 3 2244 114 4 332211 000000a b b a a b b a a b a b b a b a =.( √ ) 解答：方法1按第一列展开 3 3 2244 114 4 1141413 3 224 13 3 224 14 4 332211) (0 000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=. 方法2 交换2，4列，再交换2，4行 2 2 3344114 4 3322114 4 332211 00000000 0000000 000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =- == 3 3 2244 11a b b a a b b a . 方法 3 Laplace 展开定理：设在n 行列式 D 中任意取定了 )11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。所以按2，3行展开 3 2324 4 332211 ) 1(0 000000+++-=a b a b b a b a 3 3 2244 11a b b a a b b a = 3 3 2244 11a b b a a b b a . 4. 若n 阶行列式ij a 满足ij ij A a =,n j i ，， ,2,1=,则0 ≥ij a .(√)

线代第六章答案

习题6.1 1．解 (1) A = ????? ? ?--011102120 (2) A = ??? ????? ??---0000012310233 10111 (3) A = ???????? ? ?57674256251 (4) A = ? ??????? ?? ??0111110111110111110111110 2．解 (1) 3231212 3213218622),,(x x x x x x x x x x x f ++--= (2) 2 3222132153),,(x x x x x x f +-= 3．解二次型f 的矩阵 ?? ??? ??----=c A 33351315 因f 的秩为2 , 故R(A) = 2. 所以 A = 0, 由此解得c = 3. 4．证明设 ?? ??? ??=321x x x X 作变换 ??? ??===23 1231y x y x y x , 即 X=CY 其中 ?? ??? ??=????? ??=321,010001100y y y Y C , C 为非奇异矩阵. 则 Y AC C Y CY A CY y a y a y a x a x a x a AX X T T T T )() ()(22 3212231233222211==++=++=

又 BY Y y a y a y a AX X T T =++=2 3 1223212 于是有 B AC C T =, 故A 与B 合同. 习题6.2 1．解 23232232132232223213 1212 2213212)()( 2)( 222),,( )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+=+-+-+=-++= 令 ?????=+=-+=333223211 x y x x y x x x y 即?????=-=+-=33 3223211 2y x y y x y y y x 则 2 322212y y y f -+= 为标准形。 23223213 2232223213231212 221321)2 1 (4)( 44)( 6223),,( )2( x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f + -+-=---+-=-+--= 令 ? ????=+=+-=333223211 21 x y x x y x x x y 即????????? =-=-+=333223211 21 2 3y x y y x y y y x 则 2 2214y y f -= 为标准形。 ),,,().3(44332 122 114342324131214321?????? ?==-=+=+++++=y x y x y y x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x f 令 4 342132142132121214321)()()()())((),,,(y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x f +-+-+++++-+=

线代1

第一章行列式 §1.1行列式 1．计算下列排列的反序数： )(i 523146879； )(ii ;1,2,,1, -n n )(iii .,1,,2,12,1,2k k k k +- 2．假设n 个数码的排列n i i i ,,,21 的反序数是k,那么排列121,,,,i i i i n n -的反序数是多少？ 3．写出4个数码的一切排列． §1.2 n 阶行列式 1．确定六阶行列式 D= 66 62 61 26 22 21161211 a a a a a a a a a 中以下各乘积的符合： ()().; 466455321321651456423123a a a a a a ii a a a a a a i 2．写出下列四阶行列式44 4114 11 a a a a 中一切带有负号且含元素23a 的项。 3．证明：n 阶行列式 nn n n n a a a a a a a a a a 32 1 3332312221 110 00 0000nn a a a 2211= 4．考察下列行列式：

nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 2222111211 = ， n n n ni ni ni i i i i i i a a a a a a a a a D 2 121 212221111=，其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 这n 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5．计算n 阶行列式a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ---- 6．计算行列式()()()()()()()()()()()()2 2 2 2 2222 2222 2222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 7．证明：行列式 2 2 2 111222 22 21111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++ 8．设在n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 222 2111211 = 中，.0.,,2,1,,==-=D n n j i a a ji ij 是奇数时，证明：当 §1.3 子式和代数余式行列式的依行依列展开 1．把行列式01111 1101 101------d c b a 依第三行展开，然后加以计算． 2．计算以下行列式: ()3 214 214314324321 i ()2010411063143211111ii () 49 362516362516925169416941iii

【复旦版线代】线性代数第一章课后习题及详细解答

习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 4. 本行列式4512 3 12123 122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解：设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1)0200001030000004 ； (2)1230 002030450001 . 【解】(1) D =(-1)τ (2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式. (1) 2 141312112325 62 -----； (2) ab ac ae bd cd de bf cf ef -------；

线代习题(1-3章)

线性代数习题第一章行列式 1、计算下列行列式. ① b a ....a a a a b ....a a a .............a a ....a b a a a ....a a b D n = ② x y y x y x y x D n 0....00....000 0 0 (00) 0....0= ③ 00...0100...10...........01...0010...00=n D ④43215321542154315432543215=D ⑤a a a a D n 0 (010) ...00.. 0 0 (01) 0...0= ⑥ n n a a a a D ...001.. .........0 (010) (011) ...112101=+ (其中),..,2,1,0,0n i a i =≠ ⑦ 1500310000430021D 4-= ⑧ 2 2221 11140000000 0d c b a d c b a D = 2、解方程: ① 021231x 123625x 43 12222=--+----- ② 01 101120 1=--+-x x x ③0432143214 3214321=----a a a x a a a x a a a x a a a x a a a a ④11 000100 011=z y x z y x (其中z y x ,,均为实数) 3、如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，=1D 33 3231312322212113 121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4---，求1D .

线性代数练习册(第1章)

第一章习题一（行列式的基本概念）一、填空题 1. 按自然数从小到大为标准次序，排列2413的逆序数是 . 2. 按自然数从小到大为标准次序，排列4637251的逆序数是 . 3. 按自然数从小到大为标准次序，排列()n n 2241213 -的逆序数是 . 4.若排列4153972 j i 为偶排列，则=i ，=j . 5. 四阶行列式中含有因子2311a a 的项是 . 6. 在5级行列式中，项4524513213a a a a a 前带的符号是 . 二、解答题 1. 求行列式的值. （1） 2001462 1 3-；（2） 9876543 21. 2. 证明（1）))()((1 11 2 2 2a c c b b a c b a c b a ---=.

（2）()3 2 2 11122b a b b a a b ab a -=+. （3） ()()424231314 4 312211 000000y y x x y y x x x y x y y x y x --=.

第一章习题二（行列式的性质）一、填空题 1.行列式4 032121 01的值是 . 2. 行列式2 1 13 127 074 58-的值是 . 3. 行列式 322000000 111d d c d c b a = .；=d c b a . 二、解答题 1. 计算下列各行列式：（1） 7 1100251020214214. （2） 2 605232112131412-.

（3）ef cf bf de cd bd ae ac ab ---. 2. 证明（1）2222 22 22 24c b a b a bc ca bc a c ab ca ab c b =+++. （2）()()()()()()()()()()()()03213213213212 2222222 2222 2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a . （3）()()()()()()()d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a +++------=4 4442222 1111.

线代第一章行列式测试题

线性代数第一章《行列式》测验一填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列12345a a a a a 的逆序数为a ，则排列54321a a a a a 的逆序数为（）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2a -或a +2 3. 00010020 03004 00 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知 11 121311111212132122232121222223313233 313132323341 42 4341 4142 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 42 43 4142 a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++=++（）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) ()m n -+ 5. 已知231421,1 1 1 D =- ij A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（）. (A) 1112130A A A ++= (B) 1121310A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立

6. 0001000 020 00010 n n =- ( ). (A) 1 (1)!n n +- (B) (1)2 (1) !n n n -- (C) (1)2 (1) !n n n +- (D)!n 二填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n - 的逆序数为 , 13(21)24(2)n n - 的逆序数为 . 4. 线性方程组 12120 40 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2n n -，则D = . 6. 211203 101311 11 2 x x ----的展开式中2x 的系数为 . 7. 11111234 14916182764 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值为1,2,5,4, 则行列式D = .

线性代数第一章总结

n n P 二阶与三阶行列式二阶三阶： 3332 31 232221 13 1211 a a a a a a a a a D =,0≠,33 32 3 23222 13121 1a a b a a b a a b D =,33 3 31232 21131 11 2a b a a b a a b a D =.3 32 31 22221 112113b a a b a a b a a D = ,11D D x = ,22D D x =.33D D x = 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式全排列与对换排列：定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示. 逆序：对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序，在这n 个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成一个逆序逆序数：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种做出新排列的连 11a 12 a 22 a 12 a 主对角线副对角线 .22 2112112211 112 2a a a a b a b a D D x == ?? ?=+=+. ,22221211212111b x a x a b x a x a . 2112a a -,22 21121122212 1 1 1a a a a a b a b D D x == 2211a a =??? ??=++=++=++; ,,33 3323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

交大版线性代数第一章答案

（一） 1，（1） 69 612890812 =?-?= （2） cos()sin() cos()cos()(sin()sin())1sin()cos() x x x x x x x x =?--?=- （3）223222 223211(1)(1)11 1x x x x x x x x x x x x x x x x -=-?++-=++----++=-- （4） 123 312111222333213321132 231 182766618 =??+??+??-??-??-??=++---= 也可化简为上三矩阵角或者按某一行（列）展开。（5）3333333a b c b c a abc abc abc c a b abc a b c c a b =++---=--- （6）234 1 0430 1 x x x x x -=-+ 2，（1）()17263540503019τ=+++++＝,为奇排列.例如和式的第二项5表示与排列中第二项7构成逆序的数，也就是7后面比7小的数的个数。（2）()9854673218743332131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()() 121215311212 n n n n n n τ ++-=+-+++= 当41,42n k k =++时为奇排列，否则为偶排列。 3，在12,,,n a a a 共有2n C 个数对，逆序数为s ，故顺序数为2 n C s -个。但在排列11n n a a a - 中将排列12n a a a 中的逆序数变为顺序数，顺序数变为逆序数，故排列11n n a a a - 的逆序数为2 n C s -个。（(,)i j a a 变为(,)j i a a ）。 4，（1）当3,8i k ==时 ()12743568900410000τ=+++++++＝5为奇排列，交换顺序排列改变奇偶性，故当8,3i k ==时排列为偶排列。