高考数学
高中数学总复习
四十三讲
目录
命题2考题2解题
第一讲集合的概念和运算
命题点1 集合的基本概念
命题点2 集合的基本运算
命题点3 集合与不等式
命题点4 集合与函数和方程
第二讲简易逻辑
命题点1 真假命题及四种命题的概念
命题点2 充要条件
第三讲函数的概念及表示法
命题点1 映射与函数的概念
命题点2 函数的表示法与定义域
第四讲函数的性质
命题点1 直接法、配方法与换元法求值域
命题点2 求值域、已知值域求参数范围
命题点3 函数的奇偶性与周期性
命题点4 函数单调性
命题点5 反函数
第五讲基本初等函数
命题点1 二次函数
命题点2 指数函数与对数函数
命题点3 函数图象及函数综合问题
第六讲等差数列与等比数列
命题点1 数列的概念
命题点2 等差数列基本量的运算
命题点3 等比数列基本量的运算
命题点4 等差数列、等比数列前n项和及证明
命题点5 等差、等比数列性质及应用
第七讲数列综合问题
命题点1 数列求和
命题点2 求数列的通项公式
命题点3 等差数列与等比数列的综合问题及应用
第八讲三角函数的概念、同角三角函数的关系诱导公式
命题点1 角的概念的推广与弧度值、三角函数的概念
命题点2 同角三角函数之间的关系
命题点3 诱导公式的应用
第九讲两角和与差的三角函数、二倍角公式
命题点1 两角和与差的三角函数、二倍角公式的应用命题点2 “角”的形式的转化和差、倍角公式的变形第十讲三角函数的图象和性制
命题点1 三角函数单调性与解不等式
命题点2 y=Asin(ωx+φ)+k的图象和性质
命题点3 求三角函数值域
命题点4 三角函数周期性和奇偶性及综合应用
第十一讲平面向量的基本概念及其运算
命题点1 向量的基本概念、向量加法、减法
命题点2 实数与向量的积
第十二讲平面向量的数量积
命题点1 平面向量的数量积
命题点2 数量积的性质
命题点3 向量的综合问题
第十三讲线段的定比分点与平移
命题点1 定比分点及定比分点公式
命题点2 平移公式及应用
第十四讲正弦定理、余弦定理与解斜三角形
命题点1 正弦定理、余弦定理
命题点2 解斜三角形
第十五讲不等式的概念和性质
命题点1 不等式性质
命题点2 比较大小
第十六讲不等式证明和均值不等式
命题点1 均值不等式
命题点2 不等式的证明
第十七讲不等式及不等式组的解法
命题点1 有理不等式的解法
命题点2 绝对值不等式
第十八讲不等式的综合应用
命题点不等式的综合应用
第十九讲直线的方程和两条直线的位置关系
命题点1 直线的倾斜角和斜率
命题点2 直线方程
命题点3 两条直线的位置关系
命题点4 距离和角
命题点5 对称问题
第二十讲简单的线性规划
命题点简单的线性规划
第二十一讲圆
命题点1 圆的方程
命题点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
第二十二讲椭圆
命题点1 椭圆方程
命题点2 椭圆的性质
命题点3 直线与椭圆的位置关系
第二十三讲双曲线
命题点1 双曲线方程与双曲线的性质
命题点2 直线与双曲线的位置关系
第二十四讲抛物线
命题点1 抛物线方程、抛物线的几何性质
命题点2 直线与抛物线的位置
第二十五讲轨迹方程
命题点直接法、定义法、几何法、相关点代入法、参数法第二十六讲圆锥曲线的综合问题
命题点圆锥曲线的综合问题
第二十七讲直线与平面
命题点1 平面的基本性质
命题点2 空间两条直线位置关系的判断
命题点3 空间两条直线所成的角与距离
第二十八讲线面关系
命题点1 线面平行与垂直的概念
命题点2 线面平行的判定与性质
命题点3 线面垂直的判定与性质
命题点4 射影
命题点5 三垂线定理
第二十九讲面面关系
命题点1 面面平行
命题点2 面面垂直
第三十讲距离与角
命题点1 空间距离
命题点2 线面角
命题点3 二面角
第三十一讲棱柱与棱锥
命题点1 棱柱
命题点2 棱锥
第三十二讲多面体与球
命题点1 多面体
命题点2 球
第三十三讲空间向量的坐标运算
命题点空间向量的坐标运算
第三十四讲分类计数原理与分步计数原理
命题点1 分类计数原理(加法原理)
命题点2 分步计数原理(乘法原理)
第三十五讲排列与组合
命题点1 排列
命题点2 组合
第三十六讲二项式定理
命题点1 通项公式
命题点2 二项展开式的系数与系数和第三十七讲概率
命题点1 等可能性事件的概率
命题点2 互斥事件有一个发生的概率命题点3 相互独立事件同时发生的概率第三十八讲离散型随机变量的分布列命题点1 利用分布列求概率
命题点2 期望与方差
第三十九讲抽样方法
命题点抽样方法
第四十讲数学归纳法
命题点数学归纳法
第四十一讲极限
命题点1 数列的极限
命题点2 函数的极限与连续性
第四十二讲导数
命题点1 导数的概念与运算
命题点2 导数的应用
第四十三讲复数
命题点1 复数的概念
命题点2 复数的代数运算
第一讲集合的概念和运算
命题点1 集合的基本概念Array命题点2 集合的基南运算
命题点3 集合与不等式
命题点4 集合与函数和方程 命题点1 集合的基本概念 本类考题解答锦囊
解答“集合的基本概念”一类试题，最主要的是注意以下两点： 1．掌握集中的基本概念和表示方法，注意集合中元素的互异性、无序性和确定性． 2．解题时要先化简集合，并弄清集合中的元素是什么．具备什么性质． Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设集合M={x|x=412+k ，k ∈Z},N={x| x=2
1
4+k k ∈Z},则 A ．M=N B ．M ?N
C.M ?N D ．M ∩N=φ
命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的相等及集合之间的关系，解决本题的关键是理解奇偶数的概念，整数的整除及运算性质．
[解析]???∈???
+==???∈???+=Z k k x x N Z k k x x M ,42|,,412|当k ∈Z 时，
2k+1和k+2分别表示所有奇数和所有整数，故有M ?N ，选B [答案]B
2(典型例题)满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案： B 指导：满足条件的有：{1,2,3}、{2,3}. 3(典型例题)设A 、B 为两个集合，下列四个命题：
①A B B x A x ?∈?有对任意, ②=??B A AB φ③B A AB ?? ④ B x A x AB ?∈?使得存在其中真命题的序号是____________(把符合要求的命题序号都填上) 答案：指导：由真子集的定义知，只有④正确.
4(典型例题)若非空集合M N ，则“a ∈M 或a ∈N ”是“a ∈M ∩N ”的
A ．充当非必要条件
B ．必要非充分条件 C.充要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案： B 指导:注意到“α∈M ”或“α∈N ”也就是“α∈M ∪N ”.
5(典型例题春)设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I 若含P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集φ，则这个运算表达式可以是________(只要写出一个表达式)
答案：指导:我们用文氏图来表示.则阴影部分为,显然,所求表达式是,如右图所示. Ⅱ 题点经典类型题
1(20052黑龙江)设全集U=2，3a 2
+2a-3}， A={|2a-1|，2} A={5}, 求实数a 的值．
命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的补集及全集等概念．解决本题的关键是理解全集、补集的概念，也要注意元素的互异性．
[解析] 因为 A={5}，故必有a 2+2a-3=5且|2a-1| =3，解得a=2 [答案] a=2
2(20052石家庄)集合M={1，2．3，4，5，}的非空真子集个数是
A ．29
B ．30
C ．31
D ．32
答案： B 指导:本题是考查子集的概念,由子集的定义.
3(典型例题)设A={x|x 2
-8x+15=0}，B={x|ax-1=0，若B A ，求实数a 的取值集合．
答案： A={3,5} 指导: ①当a=0时,B= ?,此时BA 成立;当a ≠0时,}1{a B =由BA 得a 1=3或a 1=5,即31=a 或51
综合知的取值集合为}.5
1
,31,0{
4(典型例题)集合S={0，1，2，3，4，5}，A 是s 的一个子集，当x ∈A 时，若有x-l ?A ，x+1?A ．则称x 为A 的一个“孤
立元素”。那么S 中无孤立元素的四元子集的个数是
A.4 B ．5 C ．6 D ．7
答案： C 指导:由题意可知:一个集合中由相邻数字构成的元素都不是“孤立元素”,例如1,2,S 中无“孤立元素”的4元子集可分两类:第一类是子集中的T 个元素为相邻的四个数字,有{0,1,2,S},{1,2,S,4},{2,3,T,5}三个;第二类是子集中的T 个元素为两组,每一组的两个元素为相邻的两个数字,有{0,1,S,T},{0,1,4,5},{1,2,T,5}三个,一共有6个. 5(典型例题)集合A={(x ，Y)|y=2x
}，B={(x ，y)|y>0， x ∈R}之间的关系是
A ．A
B B ．A B
C ．A=B
D ．A ∩B=φ
答案： A 指导: ∵A 表示指数函数y=2x
的图象上的点集,B 表示x 轴上方的点集, ∴选A. Ⅲ 新高考命题探究
1含有三个实数的集合可表示为{
}0,,,1
,,2
b a a a b a +?
?????也可表示为，求a
典型例题005的值． 答案：指导:两个集合的元素完全相同,而a ≠0故必有b=0,此时两个集合为{a,0,1}和{a 2
,a,0},所以有a 2
≠a 且a 2
=1,所以a=-1.
这时,a
典型例题005
=1+0=1.
2已知集合A={0，2，3}，B={x|x=a 2b ，a 、b ∈A}，则集合B 的真子集有
A ．7个
B ．8个
C ．15个
D ．16个
答案： C 指导：∵a 、b ∈而A={0,2，3}，∴B={0，4，6，9}，其真子集数个数为2r
-1=15. 3已知集合A {1．2，3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
答案： B 指导：当A 中含有一个奇数时有{1}、{1，2}、{3}、{3，2}四种，当A 中含有两个奇数时有{1，3}、{1，2，3}两种，但A
{1，2，3}． 命题点2 集合的基本运算 本类考题解答锦囊 解题的一般方法是：
1．先弄清集合中的元素是什么(是数?是点?)而且弄清楚集合的几何意义．
2．当集合有较明显的几何背景时，常利用数形结合的思想方法进行集合的运算：一般抽象集合问题往往借助于文氏图求解；常集之间的运算常用数轴直观显示；点集可画出满足条件的点构成的图形(直线或圆锥曲线或区域等)进行求解．
3．因集合运算的题目多以选择题的形式出现在高考中，所给集合又常常是非具体的集合，因此特例法也是解决这类问题的常用方法之一． Ⅰ高考最新热门题
1(典型例题)设全集是实数集R ，M={x|-2≤x ≤2}，N={x|x C ．{x|x<1} D ．{x|-2≤x<} 命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的基本运算．正确解决本题的关键是注意应用数形结合的思想方法，在数轴上正确的表示相应的集合，并注意端点的取舍． [解析] 已知集合是数集，可利用数轴进行集合的运算．结合图形知答案是A [答案] A 2(典型例题)设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ? I ，则下列各式中错误的是 A ．(A)∪B=I B ．(A) ∪(B)=I C ．A ∩(B)=φ D ．（A ）∩（B ）=B 答案： B 指导：由于A ?B ?I ，画出文氏图，结合图形知只有B 是错的． 3(典型例题)已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N等于 A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2} 答案： D 指导：由题意N={0，2，4}，所以M∩N={0，2}． 4(典型例题)设集合M={(x，y)|x2+y2=1，x∈R， y∈R}，N={(x，y)|x2-y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4 答案： B 指导：如右图：集合M、N有较明显的几何背景，故可画出对应的图形，用数形结合的方法求解． 集合"表示的图形是圆x2+y2=1，集合M表示的图形是抛物线x2-y=0，如右图，圆和抛物线有两个公共 点，所以M∩N中元 素的个数为2. 5(典型例题)设集合A={5，log2(a+3)}，集合B=a，b}．若A∩B={2}．则A∪B=____________ 答案：指导：由题意，log2(a+3)=2，所以a=1，所以b=2．故集合A={5，2}，集合B{1，2}，则A∪B={l，2，5}． 6(典型例题)设集合P={ 1，2，3，4，5，6}， Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正解的是 A．P∩Q=P B．P∩Q?Q C．P∪Q=Q D．P∩QP 答案： D 指导：由题意，P∩Q={2，3，4，5，6}，P∪Q={x|2≤x≤6或x=1} 7(典型例题)设A={x|x=1 k，k∈N}，B={x|x≤6，x≤Q}，则A∩B等于 5+ A．{l，4} B．{1，6} C．{4，6} D．{1，4，6} 答案： D 指导：由于B中元素是不大于6的有理数，易得4∩B={1，4，6} Ⅱ题点经典类型题 1(典型例题一中质捡)已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于 A．{x|x∈R} B．{y|y≥0} C．{(0，0)，(1，1)} D．φ 命题目的与解题技巧：本题主要考查集合的基本运算．正确解决本题的关键是首先弄清集合中的元素是什么，还应注意应用数形结合的思想方法，在数轴上正确的表示出相应的集合，并注意端点的取舍． [解析] A={x|x∈R}，B={y|y≥0}，已知集合是数集，可利用数轴进行集合的运算．易得A∩B={y|y≥0}，故选B [答案] B 2(20052淄博)设集合I={a，b，c，d，e}，M={c，d，e}，N={a，b，e}，那么集合{a，b}可以表示为 A.M∩N B． M∩N C.M∩N D．M∩N 答案： B 指导：画出文氏图如下，易得{a,b}=M∩N 3(20052宣武质检)已知全集U=R，集合A={x|<-2或x>1},B={x|-1≤x<0}，则A∪( B)= A．{x|x<-2或x>1} B．{x|x≤-1或x>0} C．{x|x<-1或x≥0} D．{x|x<-l或x>0} 答案： C 指导：B={x|x<-1或x≥0}，∴选C 4(典型例题、黄冈)已知集合P={(x，y)||x+|y|=1}， Q={(x，y)|x2+y2≤1}，则 A．P Q B．P=Q C．P Q D．P∩Q=Q 答案：指导：分四类讨论化简方程|x|+|y|=1得点集户表示的图形如左下图中的正方形，而点集 Q表示单位圆面如下右图．∴P是Q的的真子集． Ⅲ新高考命题探究 1定义A-B={x|x∈A，且x B}，若A={2，4，6，8，10}，B= A.{4,48,8}则A-B等于 B．{1，2，6，10} C．|1| D．{2，6，10} 答案： D 指导：A-B={x|x∈A，且x∈B}={2，6，10}． 2如图所示，u是全集，M、P、S是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 A ．(M ∩P)∩S B ．(M ∩P)∪S C.(M ∩P)∩( ，S) D.(M ∩P)∪(S) 答案： C 指导：由图知，阴影部分表示的集合是M ∩P 与S 的补集的交集． 命题点3 集合与不等式 本类考题解答锦囊 解答“集合与不等式”一类测题，主要注意以下几点 1．能化筒的集合先化简，以便使问题进一步明朗化，掌握不等式的解法，如串根法、零点分区间法、平方法、转化法等． 2．在进行集合的运算时，不等式解集端点的合理取舍是难点之一，可以采用验证的方法进行取舍． 3．合理运用数形结合思想，是解决此类问题的关键之一．弄清集合中的元素是什么，然后分别用文氏图、数：轴或坐标平面表示出相应集合． 4．要注意检验和分类讨论，分类的关键在于确定分类标准，使所分的各类不重复不遗漏． Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)记函数f(x)=1 3 2++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-X)](a<1)的定义域为B (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围． 命题目的与解题技巧：本题主要考察函数定义域的求法、分式不等式与含参数的整式不等式的解法、集合之间的包含关系．解决本题的关键在于含参数不等式的正确求解，合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧． [解答] (1)01 1 ,0132≥+-≥++- x x x x 得，x<-1或x ≥1即 A=(-∞，-1)∪[1，+∞] ， (2)由(x-a-1)(2a-X)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0． ∵a<1，∴a+1>2a ，∴B=(2a ，a+1)． ∵B ?A ，∴2a ≥l 或a+1≤-1，即a ≥21或a ≤-2，而a<1∴2 1 ≤a<1或a ≤-2，故当B ?A 时，实数a 的取值范围是(-∞， -2)∪[ 2 1 .1] 2(典型例题)已知集合M={x|x 2 <4}，N={x|x 2 -2x —3<0}，则集合M ∩N 等于 A ．{x|x<-2} B ．{x|x>3} C ．{x|-1 D ．{x|2 答案： C 指导：①化简集合M 和N ，M={x}-2 +4mx-4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 A ．P Q B ．Q P C ．P=Q D ．P ∩Q=φ 答案： A 指导：由题意，P={m|-1 (1)解关于x 的不等式：|x-1|+a-1>0(a ∈R) (2)记A 为(1)中不等式的解集，集合B={x|sin(0)3 cos(3)3=-+- π ππ πx x )，若 A ∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围 答案：(1)由|x-1|+a-1>0|x-1|>1-a 当a>1时，解集是R ； 当a ≤1时,解集是{x|x2-a}． (2)当a>1时，=，不符合题意； 当a ≤1时，A={x|a ≤x ≤2-a}． 因sin()cos(3)3S x x π ππ π-+- . sin 2) cos(3)3 [sin(2x S x x ππ ππ π=- +-= 由sinx=0，得(k ∈Z)．即B=k ∈Z ，所以B=z ． 当(A)∩B 恰有S 个元素时，a 就满足 .0101,322,1≤<-??? ??≤<-<-≤ 1(典型例题海淀)已知关于x 的不等式a x ax --25<0的解集为M (1)当a=4时，求集合M (2)若3∈M 且5∈M ，求实数a 的取值范围． 命题目的与解题技巧：本题主要考查分式不等式的解法以及元素与集合的关系．解决此题的关键是准确的利用串根法求得不等式的解集，准确把条件3∈M 且5∈M 转化为关于。的不等式组． [解答] (1)当a=4时，原不等式可化为 4 542--x x <0 解得x<-2或 5 ，2)． (2)由3∈M 得 a a --2353<0，由5a a M --?2555得 ≥0解之得： a ∈[1， 4 5 ]∪(9，25)． 2(典型例题)两个集合A 与B 之差记作A/B ”，定义为： A/B={x|x ∈A ，且x ?B}}，如果集合A={x|log 2x<1， x ∈R}，集合B={x||x-2|<1，x ∈R}，那么，A/B= A ．{x|x ≤1} B ．{x|x ≥3} C. {x|1≤x<2} D ．{x|0 答案： D 指导：A={x|0 -5x<0，x ∈Z}，若M ∩N ≠φ，则a 等于 A ．1 B ．2 C.l 或2 D.1或 2 5 答案： C 指导：N={x|0<，x ∈Z}={1,2},因M ∩N ≠?,所以有a=1或2 4(20052浙江)已知全集U=R ，集合M={x|x ≥1}，N={x|2 1 -+x x ≥0，则 (M ∩N)等于 A ．{x|x<2} B ．{x|x ≤2} C ．{x|-1 答案： B 指导：M={x|x ≥1},N={x|x ≤-1或x>2}，则∈u(M ∩N)={x|x ≤2} 5(20052天津)已知集合A={x|-2k+6 -3}，B={x|-k ? ???><--≥+-??? ? ???>≤-->+=-0362036222k k k k k k k k k k k 或 ? ?? ??+<<-≥??? ?? ??>+≤ ≤- 1313021312 13 13k k k k k 或 ?0 2131+或0 13 1+ }. Ⅲ 新高考命题探究 1设集合A={x|(x+2)(x-5)≤0}，B={x|a+1≤x ≤2a-1}，若B ?A ，则实数a 的取值范围是________ 答案：指导：A={x|-2≤x ≤5}，因B ?A ，所以,5122 1???≤--≥+a a 得-3≤a ≤3 2已知集合M={x||x-1|≤1}，Z 为整数集，则M ∩Z= A ．{1，2} B ．{0，l ，2} C. φ D ．{-1，0} 答案： B 指导：M={x|10≤x ≤2}，所以M ∩Z={0，1，2} 3设集合A={x|x 2 -a<0}，B={x|<2}，若A ∩B=A 则实数a 的取值范围是_____________ A ．a<4 B ．a ≤4 C ．0 D ．0 答案： B 指导：∵A ∩B=A B ①a ≤0时，不符合 ②当a>0，时．若a B ．则a ≤4． ∴选B ． 命题点4 集合与函数和方程 本类考题解答锦囊 解答“集合与函数和方程”一类试题，注意以下几点： 1．解决集合与方程、函数的综合问题时，要注意灵活运用集合的相关知识，掌握函数值域、定义域的求法信方程的解法； 2．要充分利用数形结合的思想方法； 3．要弄清集合中元素是什么? 4．对于含参数的方程问题，一般需要对参数进行讨论，要特别注意检验集合的元素是否满足“三性”，还要提防“空集”这一隐性陷阱． Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设函数 f(x)| |1x x +-(x ∈R)，区间M=[a ，b](a A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数多个 命题目的与解题技巧：本小题主要考查集合的表示和相等，函数值域等知识，解题的关键是掌握函数值域的基本求法，理解集合相等的概念等． [解析] (方法一)f(x)=001 01=????? ???? <->+-x x x x x x x 由此可知x>0时f(x)<0；x=0时f(0)=0；x<0时f(x)>0．∴当x ≠0时f(x)的定义域M 与值域N 不可能相等，而x=0时，定义域为{0}，不存在a ，b 且 a>b ，使得[a ，b]中仅含0元素，故选A (方法二)由f(-x)= )(| |1x f x x -=+知f(x)为奇函数，过原点；同时易证f(x)在x ∈R 上单调递减，故f(x)与y=x,y=-x 仅有 原点一个交点．而一个函数f(x)若想定义域与值域相等，则 f(x)与y=x 或y=-x 应有两个交点．故本题中不存在(a ，b)使 得M=N ，选A [答案] A 2(典型例题)若集合M={y|y=2-x }， 集合P={y|y=1-x }，则M ∩P= A ．{y|>l} B ．{y|y ≥1} C ．{y|y>0} D ．{y|y ≥O} 答案： C 指导：M={y|y>0},P={y|y ≥0},则M ∪P={y|y>0}．故选C 3(典型例题2理)函数f(x)=???∈-∈,,, ,M x x P x x 其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x)，x ∈ P}f(M)={y|y=f(x),x ∈M}．给出下列四个判断： ①若P ∩M=φ，则f(P)∩f(M)= φ；②若P ∩M=φ，则f(P)∩f(M)=φ；③若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ；④若P ∪M ≠R ，则f(P)∪f(M)≠R 其中正确判断有 A.1个 B ．2个 C3个 D ．4个 答案： B 指导：由题意知函数f(P)f(M)的图象如下图所示． 设P=[x 2+∞]，M=(-∞，x 1)]，|x 2|<|x 1|． f(P)=[f(x 2)，+∞]，f(M)=[f(x 1)，+∞]，P ∩M=?． 而f(P)∩f(M)=[f(x 1,+∞)≠?， 同理可知④正确．故①错误，同理可知②正确． 设P=[x 1，+∞)，M=(-∞，x 2)]，|x 2|<|x 1|，则P ∪M=R f(P)=[f(x 1)，+∞]，f(M)=[f(x 2)，+∞] f(P)∪f(M)=[f(x 2)，+∞]≠R ，故③错误．同理可知④正确． 4(典型例题)记函数f(x)=1 3 2+--x x 的定义域为A ，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-X)](a<1)的定义域为B (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数。的取值范围． 答案：(1)由即或得11,01 1 ,0132≥-<∴≥+-≥++- x x x x x x A(-∞，-1)∪[1，+∞)． (Ⅱ)由(x-a-)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a <1，∴a+1>2a ，∴B=(2a ，a+1)． ∵B ?A ，∴2a ≥1或a+1≤-1，即a ≥2 1 或a ≤-2， 而a<1，∴ 2 1 ≤a 或a ≤-2．故当B A 时，实数a 的取值范围是(-∞，-2)∪[，1]． Ⅱ 题点经典类型题 1设集合M={(x ，y)|y=216x - ,y ≠0}， N={(x ，y)|y=x+a}，若M ∩N ≠φ，求实数m 的取值围． 命题目的与解题技巧：本小题主要考查集合的概念和运算，解题的关键是要弄清集合中的元素是函数图像的点集，然后运用数形结合的思想方法求得答案． [解析] 集合M,N 有较明显的几何背景，故可画出对应的图形，用数形结合的方法求解．集合M 表示的图形是园x 2 +y 2 =16在x 轴上方的部分，集合N 表示的图形是直线y=x+a ，如图，若M ∩N ≠φ，即半圆(不含端点)与直线没有公共点．当直线与半圆相切时。a=42，当直线过A 时，a=-4，故。的取值范围是 [答案] (-∞，-4)∪(42，+∞) 2(20052合肥)若A={(x ，y)|x+y=3}，B={(x ，y)| x-y=1}，则A ∩B 等于 A ．{(1，2)} B ．{2，1} C ．{(2，1)} D ．φ 答案： C 指导:∴由}21{12 13=?∴? ??==???=-=+B A y x y x y x 得 3(典型例题)已知集合A={(x ，y)，]},0[,sin cos 2|πθθθ ∈???==y x , B={{x,y}|y=kx+k+1},若 A ∩B 含有两个元素，则k ∈_________ 答案：指导：∵).10(14],,0[sin cos 222 ≤≤=+?∈???==y y x y x πθθ θ把y =kx+k+1代入得 ( 41+k 2)x 2+(2k 2+2k)x+k 2 +2k=0，由△=0得k=0或k=3 2．又直线y=kx+k+1恒过点(-1，1)，其与(-2，0)连线的斜率为1，与(2，0)连线斜率为31- ，由数形结合可得答案．[32,1])∪[-3 2 ，0] 4(典型例题四月)设f(x)=x 2 ，集合A={x|f(x)=x ，x ∈R}，B={x|f[f(x)]=x ，x ∈R},则A 与B 的关系 A ．A ∩B=A B ．A ∩B=φ C ．A ∪B=R D ．A ∪B={-1，0，1} 答案： A 指导：由f(x)=x 得x 2=x ，∴A={0，1}，由f[f(x)]=x 得x 4 =x ，∴B={0，1}∴A ∩B=A ，选A 5(典型例题)求：{x|y=lg(4x 2 -4)}∩{y|y=2x 2 -3}=______________ 答案：[-3，-1]∪(1+∞) 指导：原式={x|4x 2 -4>0}∩{y|y ≥-3}={xlx>1或x<-1}∩{y|y ≥-3}=[-3，-1]∪(1，+∞)． Ⅲ 新高考命题探究 1已知集合A={x|x 2 -5x+6=0}，B={x|mx+1=0}，且A ∪B=A ，则实数m 组成的集合为 A ． {-21,-31} B ．{0, 21} C ．{21,31} D ．{0,- 21,-3 1 } 答案： D 指导：A={2，3}，由A ∪B=A ，知B A ，若B ≠?，则m ≠0,此时m x 1 - =. ,2 1.06)1(5)1(,1,2-==+---∴∈- ∴?m m m A m A B 则 或m=m 1-， 故m 组成的集合是}3 1 ,21,0{-- 2集合A={x|x 2 -3x+2=0}，B={x|x 2 -ax+(a-1)=0}，C={x|x 2 -mx+2=0}，已知A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a ，m 的值． 答案：由,),20(01, 022y x y x y mx x 消去?? ???≤≤=+-=+-+ 得x 2 +(m-1)x+1=0． ∵A ∩B=? ∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解． 由△≥0，得m ≤-1或m ≥3． 当m ≤-l 时， 由x 1+x 2=-(m-1)>0及x l x 2=1>0知，方程①至少有一个根在区间[0，2]内，满足要求； 当m ≥3时，由x 1+x 2=-(m-1)<0及x l x 2=1>0知，方程①有两种负根，不符合要求． 综上，m 的取值范围是m ∈(-∞1—1)． 考场热身 探究性命题综合测试 1已知集合M={x|x=m+ 61，m ∈Z}，N={x|x=312-n ，n ∈Z}，P={x|x=6 1 2+p ，p ∈z}，则M 、N 、P 满足关系 A ．M=N P B ．M N=P C ．M N P D ．N P M 答案： B 指导：对于集合M ： }??? ∈+-=+=: ,61)1(6616|N Z n n n x x 对于集合:,613|P Z p p x x 对于集合? ?? ???∈+= ??? ???∈+=Z p p x x ,613|由于3(n-1)+1和S 都表示被除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,故MN 2设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义：P ★Q={(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q}，则P ★Q 中元素的个数为 A ．3 B ．7 C ．10 D ．12 答案： D 指导：P:Q 的元素有S 34=12，故选D ． 3已知集合A={(x ，y)|x 2 +mx-y+2=0}和B={(x ，y)|x-y+1=0，0≤x ≤2}，如果A ∩B ≠φ ，求实数m 的取值范围． 答案：由.01)1(,), 20(01, 0222=+-+???? ?≤≤=+-=+-+x m x y x y x y mx x 得消去 ∵A ∩B=，∴方程①在区间[0．2]上至少有一个实数解． 由△≥0，得m ≤-1，或m ≥3．当m ≤-1时， 由x 1+x 2=-(m-1)>0及x l x 2=1>0知，方程①至少有一个根在区间[0，2]内，满足要求； 当m ≥3时，由x 1+x 2=-(m-1)>0及xix2=1>0知， 方程①有两负根，不符合要求． 综上，m 的取值范围是m ∈(-∞，-1)． 4已知P={(x ，y)|(x+2)2 +(y-3)2 ≤4}，Q={(x ，y)|(x+1)2 +(y-m)2 < 4 1 }，且P ∩Q=Q ，求m 的取值范围． 答案：根据题意知， 点集P 表示以O 1，(-2，3)为圆心，以2为半径的圆面(包含边界圆)， 点集Q 表示以O 2(-1，m)为圆心，以 2 1 为半径的圆面(不包含边界圆)． 为使P ∩Q=Q ，应使圆O 2内含或切于圆O 1.故有|O 1O 2|2 ≤(r 1-r 2)2 ， 即(-l+2)2 +(m-3)2 ≤(2-2 1)2 解得.2 525+≤≤- S m S 5已知集合M={x ，xy ，lg(xy)}，N={0，|x|，y}，并且 M=N ，求(x+y 1)+(x 2+21y )(x 3+31y )+…+(x 典型例题 )的值． 答案：因为{x,xy,lg(xy)}={0,|x|，y}， 所以lg(xy)=0(因为当x ，y 之一为0时lg(xy)无意义)． 即xy=1时，再由集合N 和|x|=1，或y=1，当y=1时，由xy=1得x=1，根据元素的互异性知y=1不可能． 当|x|=1时，同理，由元素的互异性可知，x=1不可能．故只能取x=-1，由xy=1得y=-1． 由x=-1，y=-1，知x 2n =y 2n ,x 2n-1 =y 2n-1 (n ∈N+)．所以 =++++++++)1 ()1()21()1(200420043322y x y x y x y x (-1-1)+(1+1)+(-1-1)+…+(1+1)=0． 6已知R 为全集，A={x|2 1log =(3-x)≥-2}，B={x| 2 5 +x ≥1}，求 A ∩B 答案：由已知log 21(3-x)≥log 214，∵y=log 2 1x 为减函数，∴S-x ≤403104 <≤-????>-≤-x x S x S 即A={x|-2 2 5 +x ≥1得B={x|-2 2 x >0，x ∈R}．则A ∩B 的元素个数为________个． 答案：由已知集合A ，得lgx 2 =lg(8x-15)，∴x 2 -8x+15=0． 解得 x 1=3，x 2=5．∴A={x|x 1=3，x 2=5}． 又由集合B ，得 cos 2 x >0. ∴2k π- 2x <2x <2k π+2 x ,k ∈Z. ∴4k π-π (1)当k=0时，-π 命题点1 真假命题及四种命题的概念 命题点2 充要条件 命题点1 真假命题及四种命题的概念 本类考题解答锦囊 解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题，主要掌握以下几点：1．对数学概念要有准确的记忆和深层次的理解； 2．掌握真值表是判断真假的前提； 3．判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解；证明一个结论成立时，也常转化为证明其逆否命题成立． 4．解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式，准确地运用真值表进行判断． Ⅰ高考最新热门题 1(20052上海)设数列{a n }的前n 项和为s n (n ∈N * )，则关于数列{a n }有下列三个命题： (1)若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n =a n+1(n ∈N * )； (2)若s n =an 2 +bn(a ，b ∈R)，则{a n }为等差数列； (3)s n =1-(-1)n ，则{a n }是等比数列． 这些命题中正确命题的序号是_________ 命题目的与解题技巧：本题以“命题”为工具，主要考查等差、等比数列的基础知识．解决本题的关键是准确掌握等差、等比数列的定义，a n 和s n 的关系等知识．说明命题为真命题需要证明，说明一个命题为假命题只需单一个反例． [解析] (1)∵{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意a n -d,a n ，a n +d 为等比数列，∴a 2n =(a n -d)(a n +d)，所以d=0正确,∴(1)正确． (2)当n=1时，a 1=s 1=a+b ；当n ≥2时，a n =s n -s n-1=2an -a+b ；因n=1适合上式，所以a n =s n -s n-1=2an-a+b 而a n+1-a n =2a(常数)，所以{a n }为等差数列．(3)同(2)得a n = (-1)n-1 22，而 n n a a 1 +=-1(常数)．所以{a n }为等比数列． [答案] (1) 2(典型例题)在空间中： ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线； ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线． 以上两个命题中，逆命题为真命题的是__________ 答案：② 指导：①中的逆命题是：若四点任何三点都不共线，则这四点不共面．用正方体AC 1做模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1 中任何三点都不共线，但A 1、B 1、C 1、D 1四点共面，所以①中逆命题不真．②中逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条 直线没有公共点，所以②中逆命题是真命题． 3(典型例题)已知函数y=f(x)(定义域为D ，值城为A)有反函数y=f -1 (x)，则f(x)=0有根为a 且f(x)>x(x ∈D)的充要条件是y=f -1 (x)满足________ 答案： f -1(0)=a ，且f -1(x) (x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a) 指导：因为y=f(x)有反函数，则y=f(x)必为单调函数，由方程y=f(x)=0有解x=a ，则y=f(a)=0． 又y=f(x)>x ，说明在定义域D 内，函数y=f(x)的图象在直线y=x 的上方．而y=f(x)的反函数y=f -1 (x)与y=f(x) 的图象关于直线y=x 对称．因此，从代数角度回答有y=f -l (0)=a ，且y=f -1 (x) (x)图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点为(0，a)． 4(典型例题)α,β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线．给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论 断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________ 答案：指导：以m 上n 作为结论，其余S 个论断作为前提条件，检查命题是否正确：因为ββα⊥⊥n ,所以n//α或n ?α.当n ?α时,α⊥m 得n m ⊥当n//α时，过作一平面与平面a 相交于直线n’,则由前证知，根据线面平行性质这时n//n’故得 n m ⊥. .,,n m m n ⊥?⊥⊥⊥αββα 5(典型例题)命题p ：若a 、b ∈R 则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件．命题q 函数y=2|1|--x 的 定义域是(-∞，-1]∪[3，+∞)．则 A ．“P 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．“p 真q 假” D ．“p 假q 真” 答案： D 指导：∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|>1是|a+b|>1的必要而不充分条件，即p 假；由|x-1|-2≥0，得x ≤-1， 或x ≥3，即q 真．∴选D ． Ⅱ 题点经典类型题 1(20052合肥)给出命题：p ：3≥3，命题q ：函数f(x)=???-11 x ≥0 x<0在R 上是连续函数，则在下列三个复合命题： “p 且q ”“p 或q ”“非p ”中，真命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 命题目的与解题技巧：本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表．解决本题的关键是准确连续函数的定义及基本知识．要判断三个复合命题的真假，必须先判断P 与叮的真假，再结合复合函数的真值表进行判断． [解析] 要判断三个复合命题的真假，先必须判断p 与q 的真假，再结合复合命题的真假表作出判断，p:3≥3为真命题，而 q:f(x) 在R 上是连续函数是假命题，则这p 或q 为真，P 且q 为假，p 为假命题． [答案] B 2(20052南开中学)今有命题p 、q ，若命题m 为“p 且q ，则“p 或，q ”是“m ”的 A.充分不必要条件 D ．必要而不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案： C 指导：∵“p 且q ”的否定为“┐p 或┐q ∴“┐p 或┐q ”是“┐m ”的充要条件． 3(典型例题)定义在R 上且不恒为0的函数f(x)，满足f(x)满足f(x+23)+f(x)=0，且函数f(x-4 3 )为奇函数， 给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是23；②函数y =f(x)的图象关于点(-4 3 ，0)对称；③函数y=f(x)的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案： B 指导：∵).()2 3 ()2323().()23(x f x f x x f x f =+-=++∴-=+ ∴最小正周期为3；∵y=f )43 (-x 为奇函数． ∴函数y=f 对称中心为原点，∴函数y=f(x)以点 )0,4 3(-为对称中心．∵y=f(x 43 -)为奇函数． )23 ()(43).43()43(--=-=---=--∴x f x f y x x f x f 代入得以① 又由)2 3 ()23()()23()()23(--=+-==+-==+-x f x f x f x f x f x f 比较①②得f(-x)=f(x). ∴y=f(x)为偶数.∴命题②、③正确，①错误 ∴选B ． 4(典型例题)已知原命题：“若m>0，则关于x 的方程x 2 +x-m=0有实根”，下面结论中正确的是 A.原命题和逆否命题都是真命题 B ．原命题和逆否命题都是假命题 C.原命题是真命题，逆否命题是假命题 D ．原命题是假命题，逆否命题是假命题 答案： A 指导：对于方程x 2 +x-m=0的△=4m+1， 当m>0时△>0，∴方程有实根，即原命题是真命题，而逆否命题与原命题是等价命题，故选A. Ⅲ 新高考命题探究 1已知命题p=不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，命题q=函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，若p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值是______． 答案：[1，2] 指导：不等式|x|+|x-1|>m 的解集为R ，则m<1，函数f(x)=-(5-2m)x 是减函数，则m<2，又由p 或q 为真命题、p 且q 为假命题，则实数m 的取值1≤m ≤2． 2已知函数f(x)=x 2 +(a+1)x+1g|a+2|(a ∈R ，且a ≠-2)． (1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式； (2)命题P ；函数f(x)在区间[(a+1)2 ，+∞]上是增函数；命题Q ；函数g(x)是减函数，如果命题p 、0有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； (3)在(2)的条件下，比较f(2)与3-lg2的大小． 答案：(1)∵y=f(x)=g(x)+h(x)， g(-x)=-g(x)，h(-x)=h(x)， ∴f(-x)=-g(x)+h(x)． ?? ???+++-=+-+++-=+∴|2|lg )1()()(|, 2|lg )1()()(2 2a x a x x h x g a x a x x h x g 解得g(x)=(a+1)x ，h(x)=x 2 +lg|a+2|． (2)∵函数y=f(x)=|2|lg 4)1()2)1()21(222+++-+-++a a a a x 在区间[(a+2)2，+∞]上是增函数，∴(a+1)2 ≥21+- a , 解得a ≥-1或a ≤2 3 - 且a ≠-2． 又由函数g(x)=(a+1)x 是减函数，得a+<0， ∴a<-1且a ≠-2． 命题Q 为真的条件是：a<-l ，∴命题P 为真的条件是： a ≥-1或a ≤2 3 - 且a ≠-2． 又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，∴a>2 3- (3)由题意得f(2)=2a+lg|a+2|+6． 又∵a>2 3 - ∴f(2)=2a+lg|a+2|+2|+6． 设函数v(a)=2a+18(a+2)+6， ∴v'(a)=2+ 010ln 1 1 >+a ∴函数v(a)在区间[2 3 -,+∞]上为增函数． 又∵v(23- )=3-lg2，∴当a>23-时，v(a)>(2 3 -)，即f(2)>3-lg2. 命题点2 充要条件 本类考题解答锦囊 解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点： 1．判断充要条件要从两方面考虑：一是：解这类问题必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是再看是由条件推出吉论，还是由结论推出条件，应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明． 2．判断充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不必要条件，最根本的方法是根据定义，运用“?”号： 若p ?q 且p ?q ，则p 是q 的充分不必要条件； 若p ?q 且p ?q ，则p 是q 的必要不充分条件； 若p ? q ，则p 是q 的充要条件； Ⅰ 高考最新热门题 1(典型例题)设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2 +b 1x+c 1>0和a 2x 2 +b 2x+c 2>0的解集分别出心裁为集合M 和N ，那么“ 2 1 2121c c b b a a = =”是“M=N ”的 A.充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C.充要条件 D ．既非充分又非必要条件 命题目的与解题技巧：本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定．二次不等式是高考中的热点问题，解决本题 的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题，熟悉充要条件的判定和方法规律． [解析] 如果 212121c c b b a a = =>0 则“M=N ”，如果2 12121c c b b a a ==<0，则“M ≠N ”．∴R 反之若M=N=φ，既说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，“M=N ”“ 2 1 2121c c b b a a = = ” ．因此，既非充分又非必要条件． [答案] B 2(典型例题)已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ，点P n (n ，a n )都在直线y=2x+1上”是“{a n }为等差数列”的 A.必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案： B 指导：由P ：“对任意的n ∈N*，点P n (n,a n )都在直线y=2x+1上”，即P ：“a n =2n+l ，n ∈N*”，故a n+1-a n =2，∴{a n }是以a 1=3为首项，d=2为公差的等差数列．q:{a n }为等差数列．故p ?q ，而qp,∴选B 3(典型例题)函数f(x)=x 2 -2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是 A ．a ∈(-∞，1) B ．a ∈[2，+∞] C ．a ∈[1，2] D ．a ∈(-∞，1)∪[2，+∞] 答案： D 指导：∵f(x)=x 2 -2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1，2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a)或[1，2] [a ，+∞]，既a ≥2或a ≤1． 4(典型例题)“cos2α=Z k k ∈+=- ,12 523π πα是 的 A.必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案： A 指导：∵óZ k k Z k k ∈± =∴∈±=∴-=,2 522.,6 522,232cos π παπ παα Ⅱ 题点经典类型题 1(典型例题)指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件、”“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p:A>B ，q:BC>AC ； (2)对于实数x ，y ，p:x+y ≠8，q:x ≠2或y ≠6； (3)在△ABC 中，p:sinA>sinB ，q:tanA>tanB ； (4)已知x ，y ∈ R ，p ；(x-1)2 +(y-2)2 =0，q ；(x-1)(y 一2)=0． 命题目的与解题技巧：本题主要考查条件的判定，关键是分清条件和结论，条件→ 结论的充分性，结论→条件的必要性． [解析] (1)在△ABC 中，显然有A>B ?BC>AC ，∴p 是q 的充要条件． (2)∵逆否命题：x=2且y=6 x+y=8，∴p 是q 的充分不必要条件． (3)取A=120°，B=30°，p ?q ，又取A=30°，B=120°，q ? p ，∴p 是q 的既不充分又不必要条件． (4)∵p={(1，2)}，q={(x ，y)，|x=1或y=2}，pq,∴p 是q 的充分不必要条件． [答案] 略 2(典型例题)一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 答案： C 指导：方程ax 2 +2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为x 1x 2=a 1<0 ∴它的一个充分不必要条件为C 选项． 3(20052河南)给出两个命题：p ：|x|=x 的充要条件是x 为正实数；q ：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中真命题是 A.p 且q B ．p 或q C ．p 且q D ．p 或q 答案： D 指导：|x|＝x 得x ≥0．∴p 为假命题，q 也为假命题，如：x y 1 = 存在反函数，但不单调．∴选D ． 4(20052西城)已知命题p ：函数y=log(ax+2a)(a>0且a ≠1)的图象必过定点(-1，1)；命题q ：如果函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，那么函数y=f(x)的图象关于(3，0)点对称．则 A ．“p 且q ”为真 B ．“p 或q ”为假 C ．p 真q 假 D.P 假q 真 答案： C 指导：显然p 为真命题，由命题q ，得y=f(x)的图象关于(-3，0)点对称．∴选C 5(典型例题)设x ，y ∈R ，求证：，|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥O ． 答案：充分性是证：xy ≥0|x+y|=|x|+|y|；必要性是证：|x+y||x|+|y|?xy ≥0． 先证充分性：如果xy=0，那么①x=0，y ≠0；②y=0，x ≠0；③x=0，y=0．于是|x+y|=|x|+|y| 如果xy>0，即x>0，y>0，或x<0，y<0。 当x>0，y>0时，|x+y|=|x|+|y| 当x<0，y<0时，有|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|． 总之，当xy ≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.再证必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x ，y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2 ． 即x 2 +2xyy 2 =x 2 +2|xy|+y 2 ，即|xy|=xy,∴xy ≥0． Ⅲ新高考命题探究 1命题甲：( 2 1)x ,21-x , 2x2 成等比数列；命题乙：lgx ，lg(x+1)，lg(x+3)成等差数列，则甲是乙的 A.充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案： B 指导：甲乙而乙甲，故甲是乙的必要非充分条件． 2 0 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案： A 指导：设A={x|0 3已知a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，是各项大于零的数列．命 题①a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，不是等比数列；命题②a 1+a 8 A.充分且必要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案： B 指导：若是等比数列，则a 1+a 8=a 1(1+q 7)．a 4+a 5=a 1(q 3+q 4)．所以a 1+a 8-(a 4+a 5)=a 1(q 7-q 3-q 4+1)=a 1(q 4-1)(q 3 -1)． ∵a 1>0，q>0，∴a l +a 8≥a 4+a 5 故命题②?① 考场热身 探究性命题综合测试 1已知直线m 、n 和平面α ，则m ∥n 的一个必要条件是 A ．m ∥α，n ∥α B ．m ⊥α，n ⊥α C ．m ∥α，n ?α D ．m 、n 与α成等角 答案： D 指导：由m ∥n 可得m 、n 与α成等角，由m 、n 与α成等角不能得m ∥n ．∴选D 2已知a ∈R ，b ∈R ，则a 2 +b 2 =0是函数f(x)=x|x+a|+b 为奇函数的 A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案： C 指导：若a 2+b 2 =0即a=b=0时，f(-x)-x|x+0|+0=-x|x|=-f(x)， ∴a 2+b 2=0是f(x)为奇函数的充分条件．又若f(x)为奇函数即f(-x)=-x|(-x)+a|+b= -(x|x+a|+b)，则必有a=b=0即a 2+b 2 =0． ∴a 2 +b 2 =0是f(x)为奇函数的必要条件． 3在△ABC 中，条件甲：A A>cos 2 B ，则甲是乙的 A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案： C 指导：设a 、b 、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，则由正弦定理 C C b A a sin sin sin = =＝2R .cos cos sin 1sin 1sin sin sin sin sin 2sin 2222222B A B A B A B A B R A R b a B A >?->-? 4已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0， b d a c ->0(其中a ， b ， c ， d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 答案： D 指导：① b d a c ad bc a b ab ,00010>-??? ???>->? > 是真命题；② 0,ad -bc 0>?? ?? >-b d a c 是真命题； ③0000>?? ??>-?>-?>- ad ad bc ad ad ad bc b d a c 是真命题. 5已知函数f(x)=2x 2 +mx+n ，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1． 答案：证明：假设原命题不成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1． 则?? ? ??<++<-<++<-++<-??????<<<,131981,1281,213)1(,1)2(,1)1(n m n m n m f f f ①+③，得-11<2m+n<-9与②-9<2m+n<-7矛盾，所以假设不成立． 即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1． 第三讲 函数的概念及表示法 命题点1 映射与函数概念 命题点2 函数的表示法与定义域 命题点1 映射与函数的概念 2018年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（） A．B．C．D． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（） A． f B． f C． f D．f 5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）?A C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A D．当且仅当a≤时，（2，1）?A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=． 11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为． 12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是． 13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在 高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x + 集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4 2017年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题.（每小题5分） 1．（5分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＜﹣1或x＞3}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A．2 B．C．D． 4．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 5．（5分）已知函数f（x）=3x﹣（）x，则f（x）（） A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数 6．（5分）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得=λ”是“?＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．2 8．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（） （参考数据：lg3≈） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 二、填空题（每小题5分） 9．（5分）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m= ． 10．（5分）若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1 =b 1 =﹣1，a 4 =b 4 =8，则= ． 11．（5分）在极坐标系中，点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0上，点P的坐标 为（1，0），则|AP|的最小值为． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）= ． 13．（5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为． 14．（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i 的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． （1）记Q i 为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1 ，Q 2 ，Q 3 中最大的是． （2）记p i 为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1 ，p 2 ，p 3 中最大 的是． 三、解答题 15．（13分）在△ABC中，∠A=60°，c=a． （1）求sinC的值； （2）若a=7，求△ABC的面积． 16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者． 高考数学选择题专项训练（二） 1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。 （A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8 π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。 （A ）n //α （B ）n //α或n ?α （C ）n ?α或n 不平行于α （D ）n ?α 3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x + 21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．． 的是（ ）。 （A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2]) （C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数 5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。 （A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项 6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n n a S ，则有（ ）。 （A ）T 1 7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ） （A ）A ＝B （B ）A ?B （C ）A ?B （D ）A ?B 8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ） （A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0 （C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0 9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ） （A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2 10、已知函数y ＝1 -x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减 （B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增 （C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减 （D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增 11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ） （A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x 12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0}, 若A ∩B ＝{1}，则（ ）。 （A ） A ?B （B ）A ?B （C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2) 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________ 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 高考数学选择题专项训练（十）1、平面α与平面β平行，它们之间的距离为d (d>0)，直线a在平面α内，则在平面β内与直线a相距2d的直线有（）。 （A）一条（B）二条（C）无数条（D）一条也没有2、互不重合的三个平面可能把空间分成（）部分。 （A）4或9 （B）6或8 （C）4或6或8 （D）4或6或7或8 3、若a, b是异面直线，a?α,b?β,α∩β＝c，那么c（）。（A）同时与a, b相交（B）至少与a, b中一条相交（C）至多与a, b中一条相交（D）与a, b中一条相交, 另一条平行4、直线a//平面M，直线b?/M, 那么a//b是b//M的（）条件。（A）充分不必要（B）必要而不充（C）充要（D）不充分也不必要5、和空间不共面的四个点距离相等的平面的个数是（）。 （A）7个（B）6个（C）4个（D）3个 6、在长方体相交于一个顶点的三条棱上各取一个点，那么过这三点的截面一定是（）。 （A）三角形或四边形（B）锐角三角形（C）锐角三角形或钝角三角形（D）钝角三角形7、圆锥底面半径为r，母线长为l，且l>2r, M是底面圆周上任意一点，从M拉一条绳子绕侧面转一周再回到M，那么这条绳子的最短长 度是（ ）。 （A ）2πr （B ）2l （C ）2lsin l r π （D ）lcos l r π 8、α、β是互不重合的两个平面，在α内取5个点，在β内取 4个点，这些点最多能确定的平面个数是（ ）。 （A ） 142 （B ）72 （C ）70 （D ）66 9、各点坐标为A(1, 1)、B(－1, 1)、C(－1, －1)、D(1, －1)，则 “点P 在y 轴”是“∠APD ＝∠BPC ”的（ ）。 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 10、函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 11、若直线y ＝x ＋b 和函数y ＝21x -有两个不同的交点，则b 的取值范围是（ ）。 （A ）(－2, 2) （B ）[－2, 2] （ C ）(－∞,－2)∪[2, ＋∞） （D ）[1, 2） 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 高考数学选择题专项训练（九） 1、如果(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋……＋(1＋x)50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋……＋a 50x 50，那么a 3等于（ ）。 （A ）2350C （B ）351C （C ）451C （D ）450C 2、299除以9的余数是（ ）。 （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）8 3、化简)4 sin()4cos()4sin()4cos(x x x x +π++π+π-+π的结果是（ ） 。 （A ）－tanx （B ）tan 2 x （C ）tan2x （D ）cotx 4、如果函数y ＝f (x)的图象关于坐标原点对称，那么它必适合关系式（ ）。 （A ）f (x)＋f (－x)＝0 （B ）f (x)－f (－x)＝0 （C ）f (x)＋f －1(x)＝0 （D ）f (x)－f －1(x)＝0 5、画在同一坐标系内的曲线y ＝sinx 与y ＝cosx 的交点坐标是（ ）。 （A ）(2n π＋2π, 1), n ∈Z （B ）(n π＋2 π, (－1)n), n ∈Z （C ）(n π＋4π, 2)1(n -), n ∈Z （D ）(n π, 1), n ∈Z 6、若sin α＋cos α＝2，则tan α＋cot α的值是（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2 7、下列函数中，最小正周期是π的函数是（ ）。 （A ）f (x)＝ 22tan 1tan x x ππ+ （B ）f (x)＝22tan 1tan x x - （C ）f (x)＝cos 22x －sin 22x （D ）f (x)＝2sin 2 (x －2 3π) 8、在△ABC 中，sinBsinC ＝cos22A ，则此三角形是（ ）。 （A ）等边三角形 （B ）三边不等的三角形 （C ）等腰三角形 （D ）以上答案都不对 9、下列各命题中，正确的是（ ）。 （A ）若直线a, b 异面，b, c 异面，则a, c 异面 （B ）若直线a, b 异面，a, c 异面，则b, c 异面 （C ）若直线a//平面α，直线b ?平面α，则a//b （D ）既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 10、斜棱柱的矩形面(包括侧面与底面)最多共有（ ）。 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）6个 11、夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是（ ）。 （A ）两条线段同时与平面垂直 （B ）两条线段互相平行 （C ）两条线段相交 （D ）两条线段与平面所成的角相等 12、如果正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧棱与底面所成的角θ 应属于下列区间（ ）。 （A ）(0, 6π) （B ）(4π, 3π) （C ）(6π, 4π) （D ）(3π, 2π) 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 高考数学《集合》专项 练习(选择题含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 《集合》专项练习参考答案 1．（2016全国Ⅰ卷，文1，5分）设集合，，则A ∩B ＝（ ） （A ）{1，3} （B ）{3，5} （C ）{5，7} （D ）{1，7} 【解析】集合A 与集合B 的公共元素有3，5，故}5,3{=B A ，故选B ． 2．（2016全国Ⅱ卷，文1，5分）已知集合，则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】由29x <得33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，因为{1,2,3}A =，所以{1,2}A B =，故选D ． 3．（2016全国Ⅲ卷，文1，5分）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（ ） （A ）{48}， （B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ） {0246810}，，，，， 【解析】由补集的概念，得{0,2,6,10}A B =，故选C ． 4．（2016全国Ⅰ卷，理1，5分）设集合， ， 则A ∩B ＝（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【解析】对于集合A ：解方程x 2－4x ＋3＝0得，x 1＝1，x 2＝3，所以A ＝{x |1＜x ＜3}（大于取两边，小于取中间）．对于集合B ：2x －3＞0，解得x ＞ 23．3{|3}2 A B x x ∴=<<．选D ． 5．2016全国Ⅱ卷，理1，5分）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【解析】要使复数z 对应的点在第四象限，应满足3010 m m +>??-，则S ∩T ＝（ ） (A) [2，3] (B)（－∞ ，2] [3，＋∞） (C) [3，＋∞） (D)（0，2] [3，＋∞） {1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤{123}A =， ，，2{|9}B x x =<{210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}， ，{12}，2{|430}A x x x =-+<{|230}B x x =->3(3,)2--3(3,)2-3(1,)2 3(,3)2 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 2018年北京市高考数学试卷（文科） 一、选择题（每小题5分,共40分） 1．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 2．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣5＜x＜2}C．{x|﹣3＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜3} 3．（5分）下列函数中为偶函数的是（） A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx|D．y=2﹣x 4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查 教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（） 类别人数 老年教师900 中年教师1800 青年教师1600 合计4300 A．90 B．100 C．180 D．300 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（5分）设，是非零向量，“=||||”是“”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（） A．1 B．C．D．2 8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米） 2018年5月1日1235000 2018年5月15日4835600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（） A．6升 B．8升 C．10升D．12升 二、填空题 9．（5分）复数i（1+i）的实部为． 10．（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是． 11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ． 12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ． 13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为． 14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是． 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 2018年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A I B= （A）{0，1} （B）{–1，0，1} （C）{–2，0，1，2} （D）{–1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 1 1i 的共轭复数对应的点位于 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）1 2 （B） 5 6 （C）7 6 （D） 7 12 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都 等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f （D ）1272f （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （6）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当 θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则 （A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2，1）A ? （C ）当且仅当a <0时，（2，1）A ? （D ）当且仅当3 2 a ≤ 时，（2，1）A ? 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． （10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________． 专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是2018年北京市高考数学试卷(理科)
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