定积分习题及讲解
第四部分 定积分
[选择题]
容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。
1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）
。 (A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点； (D). ξ是],[b a 的中点。
答B
2．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 答A
3．a dx x
x I a
n n n (,1sin lim ?=+∞→为常数）由积分中值定理得?=+a n n
a dx x x ξξ1sin 1sin ，则
=I （ ）。 (A)a
a a a a
n 1
sin
1
sin
lim 1
sin
lim 2==→∞
→ξ
ξξ
ξξ; (B).01
sin
lim 0
=→ξ
ξa ;
(C).a a =∞
→ξ
ξξ1
sin
lim ;
(D).∞=∞
→ξ
ξξ1
sin
lim a .
答C
4．设)(x f 在],[b a 连续，?=x
a dt t f x )()(?，则（ ）
。 (A).)(x ?是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B). )(x f 是)(x ?的一个原函数;
(C). )(x ?是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D).)(x f 是)(x ?在],[b a 上唯一的原函数.
答A
5．设0)(=?b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ）
。 (A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
答B
6．设?=a dx x f x I 023)( (0.>a ), 则（ ）。 (A).?=2
0)(a dx x xf I ;
(B).?=a dx x xf I 0)(;
(C).?=2
0)(21a dx x xf I ; (D).?=a
dx x xf I 0)(21.
答 C
7．=-+?-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π （B ）
2
π
（C ）π2 （D ）
4
π
答（A ）
8．设?????
<≤=其余0
3sin )(ππx x
x f ，则=?π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
答（B ）
9．设]1,0[C f ∈，且2)(1
=?dx x f ，则=?
20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）1
答（A ）
10．定积分的值与哪些因素无关？( ) (A) 积分变量。 (B) 被积函数。 (C) 积分区间的长度。 (D) 积分区间的位置。 答 A
11．闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值，即出现 一个有限的间断点，问结果如何？( ) (A) 必将破坏可积性。 (B) 可能破坏可积性。
(C) 不会破坏可积性，但必将改变积分值。 (D) 既不破坏可积性，也不影响积分值。 答 D
12．定积分的定义为∑?=→?=n
i i i b
a x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的？
( )
(A) 随然要求当0max →?=i i
x λ时，i i
i x f ?∑)(ξ的极限存在且有限，但极限
值仍是任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 答 A 13．?20 2sin π dx x dx d 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 1- （D ） 2 π 答 A 14．定积分 dx x x ?-π0 3sin sin 等于( ) （A ） 34 （B ） 0 （C ） 32 （D ） 23 答 A 15．定积分 dx x x ? -π0 3cos cos 等于( ) （A ） 0 （B ） 2 3 （C ） 34 （D ） 34 - 答C 16．定积分?-20 |cos sin |π dx x x 等于( ) （A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 答D 17．定积分dx x x ?-2 223}1,,max {等于( ) （A ） 0 （B ） 4 .. （C ） 316 （D ）12 97 答 D 18．当 0→x 时，函数 dt t x f x ? =sin 0 2tan )( 是x 的( ) （A ） 1阶无穷小量 （B ） 2阶无穷小量 （C ） 3阶无穷小量 （D ） 4阶无穷小量 答 C 19．设)(x f 在],[a a -上连续且为奇函数，?=x dt t f x F 0)()(，则（ ）。 （A ）)(x F 是奇函数； （B ）)(x F 是偶函数； （C ）)(x F 是非奇非偶函数； （D ）（A ）、（B ）、（C ）都不对。 答B 20．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则（ ）。 （A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ； （B ）在],[b a 上，0)(≡x f ； （C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ； （D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。 答C 21．设)(x f 在],[b a 上连续，且?=b a dx x f 0)(，则?=b a dx x f 0)]([2（ ）。 （A ）一定成立； （B ）一定不成立； （C ）仅当f 单调时成立； （D ）仅当0)(≡x f 时成立。 答D .. 22．dx x x x ?+-2 232=( ) (A) )22(154 + (B) )22(154 +- (C) 52 8324- (D) 5 2 8324+- 答 A 23．设dx x I b a ?=,则I =( ) (A) )(22a b -- (B) )(22a b - (C) ))(21 a a b b - (D) ))(21 a a b b -- 答 C 24．设,2arcsin )(,)1ln()(2 02 dt t x g dt t x f x x ??=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小 答 D 25．?-=x t tdt e x F 0 ,cos )(则)(x F 在],0[π上有( ) (A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值 (B) )2 (π F 为极大值,但无最小值 .. (C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(π F 为最小值,)0(F 为最大值 答 A 26．设?=x dt t f x F 0 )()(,则=?)(x F ( ) (A) dt t f t t f x ?-?+0 )]()([ (B) x x f ?)( (C) ??-?+x x x dt t f dt t f 0 )()( (D) ??-?+x x t f t t d t f 0 )()()( 答 C 27．?+x x dt t dx d ln 2)1ln(=( ) (A) )21ln(2)ln 1ln(1 x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1 x x x +-+ (C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D) )21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 答 A 28．?????????>=<-=?x x dt t x x x x x x f 0 2 20 cos 101 )cos 1(2 )(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导 (B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续 答 D 29．设??==x e x e tdt I dt t I 221ln ,ln ),0(>x 则( ) (A) 对一切的,e x ≠有21I I < (B) 对一切的,e x ≠有21I I ≥ (C) 仅当e x >时, 21I I < (D) 仅当e x <时, 21I I < 答 C 30．下列积分中不为零的是( ) (A) dx x x ? -+2 2 10 1sin π π (B) dx x x ? -+π π 2sin cos (C) dx x x x )arcsin(11ln 22 1 21 ? --+ (D) ? -++2 2 2sin 1cos )1(π π x x x 答 D 31．下列运算正确的是( ) (A) 22ln sin ln cot 42 4 2 -= =-- --?ππ ππ x xdx (B) 22ln sin ln cot 24 2 4 = =- -?π π π π x xdx (C) 2 1arctan 1arctan 11 1 1 π = =--? x dx x dx d (D) 02tan arctan 21tan 2sec 20 202==+?ππ x dx x x 答 A 32．曲线1),0(,12=≥=+=y x x y x y 与x 轴所围的面积等于( ) (A) 67 (B) 32 (C) 21 (D) 34 答 A 33．=+?-1 11dx e e x x ( ) (A) 1- (B) e e +-11 (C) e e -+11 (D) 1- 答(A) 34．设??==e e xdx I xdx I 1 221 1ln ,ln ，则 (A)0212=-I I (B) 0212=-I I (C) e I I =+122 (D) e I I =-122 答(C) 35．定积分?=--b a dx b x a x ))((( ) (A)6 )(3a b - .. (B) 6)(3 b a - (C) 3)(3 a b - (D)6 33a b - 答(B) 36．=?--2 22 dx e x （ ） (A) ?--2 224 du e u (B) ?--22 dt e t (C) ?-0 22 2dx e x (D) ?--0 2 2 2dx e x 答(D) 37．函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的 （ ） (A ) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件 答B 38．设函数)(x f 在],[a a -上连续，则?-a a dx x f )(恒等于 （ ） (A ) ?a dx x f 0)(2 ( B ) 0 (C ) ?-+a dx x f x f 0)]()([ (D ) ?--a dx x f x f 0)]()([ 答C 39．设)0(cos ,)1(,sin 3 23322 >?=-?=?=---a dx x Q dx e x P xdx x N a a a a x a a 则 （ ） (A ) Q P N ≤≤ (B ) P Q N ≤≤ (C) N P Q ≤≤ (D ) Q N P ≤≤ .. 答D 40．设函数)(x f 在),(+∞-∞上是可积函数，则?=x a dt t f x F )()(是 （ ） (A ) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C ) 可能是奇、也可能是偶函数 (D ) 非奇、非偶函数 答A 41．设函数)(x f 是连续函数，且?=t s dx tx f t I /0)(，其中0≠t 则I （ ） (A ) 依赖于s 与t ； (B ) 依赖于s ，不依赖于t ； (C ) 依赖于t ，不依赖于s ； (D ) 不依赖于s 与t 。 答B 42．曲线x e y =与其过原点的切线及y 轴所围成的面积为 ( ) (A )?-10)(dx ex e x ( B) ?-e dx y y y 1)ln (ln (C )dx xe e e x x )(1?- ( D ) ?-10)ln (ln dx y y y 答A 43．()1(212=+?dt t t dx d x ） (A ) x x +12 (B ) 212-+x x (C ) 241x x + ( D ) 2512x x + 答D 44．下述结论错误的是 （ ） (A ) dx x x ?+∞ +0 21 发散 ( B ) dx x ?+∞+0 211收敛 (C ) 012=?+∞+∞ -dx x x ( D ) dx x x ?+∞+∞-2 1发散 答C 45．设x x e x dt t f )1()(0+=?，则=?dx x x f e 1) (ln （ ） (A ) e - ( B) 0 .. (C ) e (D) e 2 答D 46．设)(x f '在]2,1[上可积，且?-===211)(,1)2(,1)1(dx x f f f 则 ?'21)(dx x f x =（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1- 答A 47．设? =x dt t t x f 50 sin )(， ?+=x t dt t x sin 01 )1()(?，当0→x 时，)(x f 是)(x ?的( ) （A ）高阶无穷小 （B ）低阶无穷小 （C ）同阶但不等价的无穷小 （D ）等价无穷小 答（C ） 48．设b a ,为任意实数，)(x f 为连续函数，且)()(x a f x a f +-=-. 则 =-? -b b dx x a f )(( ) （A ）?b a dx x f )( （B ）? -a b dx x f 0 )(2 （C ）?-b dx x a f 0 )(2 （D ）0 答（D ） 49． 设)(x f 为已知单调连续函数，)(x g 为)(x f 的反函数，则 =?)(0sin ) (x f tdt t t g dx d ( ) （A ） )())(sin() (x f x f x x f ' （B ） ))(sin() (x f x f x （C ）)())(sin() (x f x f x f x ' （D ）)() (sin x f x f x x '? 答（C ） 50．设?+=1 011dx x x I ，?+=10 2)1ln(dx x I ，则( ) （A ）21I I < （B ）21I I > （C ）21I I = （D ）不确定 答（B ） 51．),0[1∞∈C f ，)(x g 为)(x f 的反函数，且满足)8(3 1 )(23 )(1 -=?x dt t g x f ，则 ),0[∞上的=)(x f ( ) （A ） x 1 （B ） x 21 （C ）x 2 （D ）x 答（B ） 52.)(x f 在],[b a 上连续且?=b a dx x f 0)(,则( ) (A) 在],[b a 的某个小区间上0)(=x f (B) 在],[b a 上0)(≡x f (C) 在],[b a 内至少有一点,x 使0)(=x f (D) 在],[b a 内不一定有,x 使0)(=x f 答 C 53．)(x f 在],[b a 上连续且?=b a dx x f 0)(,则( ) (A) ?=b a dx x f 0)]([2一定成立 (B) ?=b a dx x f 0)]([2一定不成立 (C) ?=b a dx x f 0)]([2仅当)(x f 单调时成立 (D) ?=b a dx x f 0)]([2仅当0)(=x f 时成立 答 D 54．设?? ?? ?≤≤≤ ≤=1 2 1021 01 )(x x x f ,则?=1 0)()(dx x f f ξ,其中ξ的情况是( ) (A) 在]1,0[内至少有一点ξ,使该式成立 (B) 不存在]1,0[内的点ξ,使该式成立 (C) 在]1,21 [],21,0[都存在ξ,使该式成立 (D) 在]21 ,0[中存在ξ,使该式成立 答 B 55．设)(x f 为连续函数,?=t s dx tx f t I 0 )(,其中,0,0>>s t 则I 的值( ) (A) 依赖于s 和t (B) 依赖于s ,x 和t (C) 依赖于x 和t ,不依赖于s (D) 依赖于s ,不依赖于t 答 D 56．设? --=1 1 2 1x xdx I ,则下列说法中不正确的是( ) (A) 可以令t x sin =,0sin 2 2 == ?- dt t I π π (B) 可用凑微分法求得01) 1(211 122=---=?- x x d I (C) 因为在1±=x 点)(x f 无界,所以不能用变量代换 (D) 因为广义积分收敛,利用奇函数在对称区间上积分性质知为零. 答 C 57．设)(x f 有连续导数，0)0(=f ，0)0(≠'f ，?+=x dt t f t x F 02)()1()(，且当 0→x 时，)(x F '与k x 是同阶无穷小量，则k =（ ）。 （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4． 答C 58．设在闭区间[a,b]上有：0)(>x f ，0)(<'x f ，0)(>''x f ，记?=b a dx x f s )(1， ))](()([21 ),)((32a b b f a f s a b b f s -+=-=则（ ）。 （A ）321s s s <<； （B ）312s s s <<； （C ）213s s s <<； （D ）132s s s <<。 答B 59．设dx x dx x x F x x ??+++=1 0202 1111)(，则=)(x F （ ）。 （A ）0； （B ）x arctan 2； （C ）x arctan ； （D ） 2π。 答D 60．设)(x f 是连续函数，且240 2)(x dx x f x =?-，则)4(f =（ ）。 （A ）4； （B ）31 ； （C ）21； （D ）1． 答D 61．下列广义积分收敛的是（ ） .. （A ）? ∞ +e dx x x ln ； （B ）?∞+e x x dx ln ； （C ）? ∞ +e x x dx 2 ) (ln ； （D ）? ∞ +e x x dx 2 1) (ln 。 答C 62．设)(x f ,)(x g 在],[b a 上连续，且??>b a b a dx x g dx x f )()(，则( ) ??>b a b a dx x g dx x f |)(||)(|（ ）。 （A ）一定成立； （B ）当0)( （D ）仅当0)(>x f ，0)(>x g 时，才成立。 答C 63．设?? ?<≤<≤=2 11 0)(2 x x x x x f ，?=x dt t f x F 0 )()(，则)(x F 在（ 0，2 ）上（ ）。 （A ）有第一类间断点； （B ）有第二类间断点； （C ）有可去型间断点； （D ）连续。 答D 64．下面命题中错误的是（ ）。 （A ）若)(x f 在),(b a 上连续，则?b a dx x f )(存在； （B ）若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界； （C ）若)(x f 在],[b a 上可积，则|)(|x f 在],[b a 上必可积； （D ）若)(x f 在],[b a 上单调有界，则)(x f 在],[b a 上必可积； 答A 65．下面命题中正确的是（ ）。 （A ）若],[],[b a d c ?，则必有?d c dx x f )(≤?b a dx x f )(； （B ）若|)(|x f 可积，则)(x f 必可积； （C ）若)(x f 是周期为T 的函数，则对任意的实数a 有=? +T a a dx x f )(?T dx x f 0 )(； （D ）若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在),(b a 内必有原函数。 答C 66． 已知)(x f 连续，则?='-x a dt t f t x dx d )()(（ ）。 （A ）)0()(f x f -； （B ）)()(a f x f -； （C ）)(x f ； （D ）0． 答B 67．设)(x f ，)(x g 在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线a x x f y x g y ===),(),(及b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（ ） （A ）?-+-b a dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π （B ）?---b a dx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π （C ）?-+-b a dx x g x f x g x f m )]()()][()([π （D ）?---b a dx x g x f x g x f m )]()()][()([π 答B 68．设)(x f 为已知的连续函数，?=t s dx tx f t I 0 )( ，其中0,>t s ，则I 的值 (A) 依赖于.,t s (B) 依赖于x t s ,, (C) 依赖于x t ,，不依赖于.s (D) 依赖于,s 不依赖于.t 答 D 69．设 ,)(,)(, 122 43222 4 3 224 2???- - --=+=+=π ππ πππdx x Cos x Sin x P dx x Cos x Sin N dx x Cos x Sinx M 则有 （Ａ）Ｎ.M P << （Ｂ）Ｍ.N P << （Ｃ）P M N <<。 （Ｄ）N M P <<。 答 D 70．设dt t t x x F x ?+=20 2cos 1sin )(，则=dx dF （A ） x x x 2 cos 1sin + (B) 2 22 2cos 1sin x x x + (C) 2 22 cos 1sin x x x + (D) 2 222 2cos 1sin 2cos 1sin x x x dx x x +++? 答 D 71．则设)0() 0(0 1{ )(2 2=≠=x x x Sin x x F ( ) ;]1,1[)().(上不可导在-x F A ;]1,1[)().(上可导在-x F B ;]1,1[)().(上可积在-'x F C ;]1,1[)()(上连续在-'x F D 答 B 72．设)(x f 在[a ,b ]上可积,则变上限定积分=)(x g ? x a dt t f )(=( ) (A)在],[b a 上可导. (B) 是f(x)一个原函数. (C) 不是f(x)一个原函数. (D) 不一定是f(x)一个原函数. 答 D 73．在],[b a 上要从)(x f 连续推断0)(≡x f ，应附加什麽条件？( ) (A) ],[,0)(max b a x x f ∈= (B) ],[,0)('b a x x f ∈≡ (C) ],[b a 上任两点之间都有0)(=x f 的根。 (D) 0)(=?b a dx x f . 答 C 74．在不计算积分值的情况下，对上界的最佳估计是( ) (A) 54 ≤I (C) 1 75．)(x f 在],[b a 上的哪些性质?=x a dt t f x F )()(也具备？( ) (A) 有界性 (B) 单调性 (C) 奇偶性 (D) 周期性 答 A .. 76．=?x x dt t f dx d 2)(( ) (A) ? x x dt t f 2)(' (B) )()2(x f x f - (C) )()2(x f x f + (D) )()2(2x f x f - 答 D 77．在dt t t xdx x ?=?2010 sin 21arctan 1π中，所做的变换是=x ( ) (A) 2 tan t (B) t tan (C) t sin (D) t cos 答 A 78．定积分 xdx x n ?1 ln 等于( ) （A ） 112!)1(++-n n n （B ） n n n 2! )1(- （C ） !2)1(n n n - （D ） 12 ! )1(+-n n n 答 D 79．设函数 ]1,0[C f ∈， 则 ?π )(sin dx x xf =( ) （A ） ?20 )(sin π πdx x f （B ） ?20 )(sin 2π dx x f 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =． 2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函 数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??． 定积分典型例题 例1 求332 1lim )n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子 1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分.即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?. 例２ ? =___＿_＿_＿_． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= （0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法２ 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ）,则 ? =22 tdt ππ-?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 不定积分的典型例题 例1．計算?Skip Record If...? 解法1 ?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...?所以 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法2 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 解法3 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 由拼接法可有 ?Skip Record If...? 例2.求?Skip Record If...? 解将被积函数化为简单的部分分式 ?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，约去?Skip Record If...?的因子后令?Skip Record If...?得?Skip Record If...? 两边同乘以?Skip Record If...?，对?Skip Record If...?求导，再令?Skip Record If...?，施以上运算后，右端得A,而左端为 ?Skip Record If...? 在分解式（*）中令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?所以?Skip Record If...?分解式（*）两边同乘以?Skip Record If...?，再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?故有 ?Skip Record If...? 例3.求?Skip Record If...? 解令?Skip Record If...?再用部分分式，則 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?两边乘以 ?Skip Record If...?再令?Skip Record If...?得?Skip Record If...?令?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 例4 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? 例5.求?Skip Record If...? 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+ 三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算 题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c . 高考定积分应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 2．（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 3．设f（x）=，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（） A．B．C．D． 4．定积分的值为（） A．B．3+ln2 C．3﹣ln2 D．6+ln2 5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（） A．1B．C．D． 6．=（） A．πB．2C．﹣πD．4 7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（） A．2B．4C．5D．8 8．∫01e x dx与∫01e x dx相比有关系式（） A． ∫01e x dx＜∫01e x dx B． ∫01e x dx＞∫01e x dx C． （∫01e x dx）2=∫01e x dx D． ∫01e x dx=∫01e x dx 9．若a=，b=，则a与b的关系是（） A．a＜b B．a＞b C．a=b D．a+b=0 10．的值是（） A．B．C．D．11．若f（x）=（e为自然对数的底数），则=（） A． +e2﹣e B． +e C． ﹣e2+e D． ﹣+e2﹣e 12．已知f（x）=2﹣|x|，则（） A．3B．4C．3.5 D．4.5 13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（） A．7B．8C．7.5 D．6.5 14．积分=（） A．B．C．πa2D．2πa2 15．已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为（）A．1/2 B．1C．2D．3/2 20XX年复习资料 大 学 复 习 资 料 专业： 班级： 科目老师： 日期： 定积分典型例题 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2111 n n n =?的一个因子1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+=333 112 lim ()n n n n n n →∞+=33 4 xdx =?． 例2 20 2x x dx -? =_________． 解法 1 由定积分的几何意义知，20 2x x dx -? 等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故202x x dx -?= 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2x x dx -? =2 22 1sin t tdt π π- -?=2 20 21sin t tdt π -=220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12x e dx ?，2 1 2x e dx ?，1 2(1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时， ()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意 定积分典型例题20 例答案 定积分典型例题20例答案 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞L =34 =?． 例2 0?=_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0?= 2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0()()x f x xf t dt =?，求 ()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即 0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0 ()()x f t dt xf x +?． 第5章定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数在区间[a，b]上连续是在[a，b]上可积的（）。 A．必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（）。 A． B. C. D. 3．的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设，则的值等于（）。 A．0 B.8 C. D. 5．设广义积分收敛，则必定有（）。 A. B. C. D. 6．求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 8．由直线，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 9．由围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为（ ）。 A. B. C. D. 10．由围成平面图形的面积为（ ）。 A. B. C. D. 11．由围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 12．由围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 13．由围成的平面图形绕ｘ轴旋转形成旋转的体积为（ ）。 A. B. C. D. 14．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为 。 A. B. C. D. （二）、判断题 1．（） 2．定积分的值只与被积函数有关，与积分变量无关。（） 3．。（） 4．所围城的图形面积为。（） 5．。（） 6．曲线在［0，2π］上与ｘ轴围成平面图形的面积为（） 7．用微元法求量Q时，Q的微元中，是微符号，无任何实际意义。（） （三）、填空题 1.曲线，所围 成的图形的面积可用定积分表示为 。 2．已知，则 。 3． 。 4． 。 5．的值的范围 。 6．＝ 。 7．由及围成平面图形的面积，若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达为 。 8．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 。 9．由及围成平面图形的面积，若选ｘ为积分变量，利用定积分应表达为 ；若选ｙ为积分变量，利用定积分应表达 为 。 10．求由曲线与直线所围成平面图形的面积时，选 为积分变量，计算比较简单。 11．由及ｘ轴围成的曲边梯形，绕ｘ轴旋转形成旋转体的体积 为 。 12．有一立体，对应变量ｘ的变化区间为［-10，10］，过任意点ｘ∈［-10，10］作垂直于ｘ轴的平面截立体，其截面面积，于是该立体的体积V＝ 。 13．由及ｙ轴围成的平面图形绕ｙ轴旋转形成的旋转体的体积 为 。 14．由曲线，直线及ｘ轴围成的平面图形的面积为 。 15．一物体做变速运动，速度米/秒，则物体运动开始后8秒内所经过的路程为 。 （四）、计算下列定积分 1． 2. 3. 4． 5. 6. 定积分典型例题 例１求、 分析将这类问题转化为定积分主要就是确定被积函数与积分上下限。若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分与,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限、 解将区间等分,则每个小区间长为,然后把得一个因子乘入与式中各项.于就是将所求极限转化为求定积分。即 ==. 例2＝_＿＿__＿__＿. 解法1由定积分得几何意义知,等于上半圆周 () 与轴所围成得图形得面积。故=. 解法2本题也可直接用换元法求解.令=(),则 ==== 例3 比较,,、 分析对于定积分得大小比较,可以先算出定积分得值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分得性质通过比较被积函数之间得大小来确定积分值得大小、解法1在上,有、而令,则、当时,,在上单调递增,从而,可知在上,有.又 ,从而有. 解法2在上,有.由泰勒中值定理得。注意到.因此 。 例4 估计定积分得值、 分析要估计定积分得值, 关键在于确定被积函数在积分区间上得最大值与最小值。 解设, 因为, 令,求得驻点, 而 , , , 故 , 从而 , 所以 、 例5设,在上连续,且,.求. 解由于在上连续,则在上有最大值与最小值。由知,。又,则 。 由于,故 =. 例6求,为自然数. 分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难,解决此类问题得常用方法就是利用积分中值定理与夹逼准则. 解法１利用积分中值定理 设,显然在上连续, 由积分中值定理得 ,, 当时,,而,故 。 解法2利用积分不等式 因为 , 而,所以 、 例7求、 解法1由积分中值定理可知 ＝,、 又 且, 故 、 解法2因为,故有 、 于就是可得 、 又由于 、 因此 ＝. 例8设函数在上连续,在内可导,且.证明在内存在一点,使. 分析由条件与结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件即可. 证明由题设在上连续,由积分中值定理,可得 , 其中.于就是由罗尔定理,存在,使得.证毕、 例9(1)若,则=＿＿_;(２)若,求=_＿_. 分析这就是求变限函数导数得问题,利用下面得公式即可 。 解(1)=; (２) 由于在被积函数中不就是积分变量,故可提到积分号外即,则可得 ＝。 例１0 设连续,且,则＝_____＿＿__、 解对等式两边关于求导得 , 故,令得,所以. 例11函数得单调递减开区间为_＿__＿__＿_、 解,令得,解之得,即为所求. 例1２求得极值点. 故为得极大值点,为极小值 定积分计算例题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 1 / 7 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ．()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1 ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B.()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 304 不定积分的典型例题 例1．計算 dx x x ?++1 14 2 解法1 ).12)(12(12 24+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(2 111 2 2 4 2 dx x x dx x x dx x x ???+++ +- = ++ . )]12arctan( )12[arctan(2 11)12( ) 122 11 )12( )12(21) 2 1)22(12 1)2 2(1 [2 12 2 2 2 c x x x x d x x d dx x dx x +++-=++++ +--= + ++ + - = ??? ? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??++ +-+ +- = ++) 12)(12(2)12(1 1 2 2 2 4 2 . arctan 2 1)12arctan(2 11 21 22 4 2 c x x dx x x x x dx ++ += ++ ++=?? 解法3 ? ? ?+ - = + += ++≠2 2 2 2 2 42 1) 1 (111 1 1 , 0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-= +- -= ? 21arctan 2 12 )1() 1(2 2 ,2 221arctan 2 1lim 2 π- =-+ →x x x ,2 221arctan 2 1lim 2 π= -- →x x x 由拼接法可有 305 .0 2221arctan 2 1000,2221arctan 2 1112 2 4 2? ???? ??<+--=>++-=++? x c x x x x c x x dx x x π π 例2.求 .) 1()1(22 2 3 dx x x x ? +++ 解 将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 ) 1(1 ) 1()1(22 2 2 2 3 ?????+++ ++ += +++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2 )1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11 )1(2)1(2 3 = +-+-= B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26) 1() 2(2)1(3lim ]1 2[lim ) 1()1()1(2 [ lim 2 2 3 22 1 2 3 1 2 2 2 3 1 =∴=+= ++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令 ,+∞→x 得.1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1) 1ln(21 )1(21 1ln 2]1 )1(1[ ) 1()1(22 2 2 2 2 3 c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+- +- +=+++ ++ +=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 4 2 4 dx x x x x ? ++ 解 令 ,2x u =再用部分分式，則 ??++= ++) )(1(21 )()1(2 2 2 44 u u u du dx x x x x ,1 1 ) ()1(1 2 2 2 +++ ++ = ++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1x d x 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0s i n ) 3x d x ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1a r c t a n ) 1x d x x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ? 2 1 ln ) 1xdx 与dx x ?21 2)(ln dx e x ?10 )2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+202 1)1 ?+324 1)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数?-=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1 >≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0c o s )1k x d x ππ π =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0s i n c o s )3l x d x kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx定积分典型例题20例答案(供参考)
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