2012年文数高考试题答案及解析-重庆

2012年普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）命题“若p 则q ”的逆命题是

（A ）若q 则p （B ）若?p 则? q （C ）若q ?则p ? （D ）若p 则q ?

（2）不等式

1

02

x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：

1

0(1)(2)0212

x x x x x -

【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2

【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270

（5）

sin 47sin17cos30

cos17

-

（A ）32-

（B ）12-（C ）1

2

（D ）32 【答案】：C 【解析】：

sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30

cos17cos17

-+-=

sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171

sin 30cos17cos172

+-=

===

【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+ （6）设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A ）5 （B ）10 （C ）25 （D ）10 【答案】：B

（7）已知

22log 3log 3a =+

，22log 9log 3b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是 （A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】：B

【解析】：2222213log 3log 3log 3log 3log 322

a =+=+=，

2222213

log 9log 32log 3log 3log 322

b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3

c ==

=则a b c => 【考点定位】本题考查对数函数运算．

（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数

()y xf x '=的图象可能是

【答案】：C

【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．

（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，12和a 且长为a 2的棱异面，则a 的取值范围是

（A ）(0,2) （B ）(0,3) （C ）(1,2)（D ）(1,3) 【答案】：A

【解析】：222

1(

)22

BE =-=

，BF BE <，22AB BF =<，

【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象

能力，极限思想的应用，是中档题．．

（10）设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>

{|()2},N x R g x =∈<则M

N 为

（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞ 【答案】：D

【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x -> 所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x -<即34x <所以3log 4x <故(,1)M

N =-∞

二、填空题：本大

题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。 （11）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S = 【答案】：15

【解析】：4

4121512

S -=

=-

【考点定位】本题考查等比数列的前n 项和公式

（12）函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数，则实数a =

（13）设△ABC 的

内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1

cos 4

a b C =

=1，=2，，则sin B = 【答案】：

15

4

（14）设P 为直线

3b y x a

=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的

离心率e =

（15）某艺校在一

天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相

邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为

（用数字作答）。

【答案】：15

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））已知{}n a 为等差数列，且

13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成

等比数列，求正整数k 的值。 【答案】：（Ⅰ）n a =2n （Ⅱ）6k =

【解析】：：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d,由题意知112282412a d a d +=??+=? 解得12,2a d ==

所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1()(22)(1)22

n n a a n n n

S n n ++=

==+ 因12,,k k a a S + 成等比数列，

所以212k k a a S += 从而2(2)2(2)(3)k k k =++ ，即 2560k k --= 解得6k = 或1k =-（舍去），因此6k = 。

17．（本小题满分13分）已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -

（1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最大值． 【答案】：（Ⅰ）

1327（Ⅱ）4

27

【解析】：：（Ⅰ）因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值

故有(2)0(2)16f f c '=??=-?即1208216a b a b c c +=??++=-? ，化简得12048a b a b +=??+=-?解得1

12a b =??=-?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-

令()0f x '= ，得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时，()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ，故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数。

由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=，(2)164f c =-=-因此

()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-

【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．（1）先对函数()f x 进行求导，根据(2)0f '==0，(2)16f c =-，求出a ，b 的值．（1）根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a ，b 的值，再令导数等于0，求出极值点，判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值．再代入原函数求出极大值和极小值．（2）列表比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值． 18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时

投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为1

2

，且各次投篮互不影响。（Ⅰ）

求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。 【答案】：（Ⅰ）

1327（Ⅱ）4

27

独立事件同时发

生的概率计算公式知112211223()()()p D p A B A B p A B A B A =+

112211223()()()()()()()()()p A p B P A P B p A p B P A P B p A =+2222212114

()()()()3232327

=+=

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设函数()sin()f x A x ω?=+（其中

0,0,A ωπ?π>>-<< ）在6

x π

=

处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为

2

π

（I ）求()f x 的解析式； （II ）求函数426cos sin 1

()()6

x x g x f x π

--=

+的值域。

【答案】：（Ⅰ）6π

?=

（Ⅱ）775

[1,)(,]442

223

1cos 1(cos )22x x =+≠因2cos [0,1]x ∈，且21

cos 2

x ≠

故()g x 的值域为775

[1,)(,]442

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。

【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）1

3

【解析】：（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC ， D 为AB 的中点，故CD ⊥AB 。又直三棱柱中，1CC ⊥ 面ABC ，故1CD CC ⊥ ，所以异面直线1CC 和AB 的距离为22CD=5BC BD -=

（Ⅱ）：由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角。

因1A D 是1A C 在面11A ABB 上的射影，又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从而

11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA ∠=∠，所以1Rt A AD ≌11Rt B A A ，因此

111

1

AA A B AD AA =得21118AA AD A B =?= 从而221111=23,23A D AA AD B D A D +===

所以在11A DB 中，由余弦定理得222111111111

cos 23A D DB A B A DB A D DB +-==?

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为12,F F ，线段

12,OF OF 的中点分别为12,B B ，且△12AB B 是

面积为4的直角三角形。（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过1B 作直线交椭圆于

,P Q ，22PB QB ⊥，求△2PB Q 的面积 【答案】：（Ⅰ）220x +2

4

y =1（Ⅱ）16109

，12|OA B B ⊥

（*）

设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根，因此122

4,5

m

y y m +=

+ 12216

5

y y m -?=

+ 又111222(2,),(2,)B P x y B P x y =-=-，所以1212(2)(2)B P B P x x ?=-- 12y y +1212(4)(4)my my y y =--+2

12(1)m y y =+124()16m y y -++22

2216(1)161655m m m m -+=-+++

22

16645

m m -=-+由22PB QB ⊥ ，知220B P B Q ?= ，即2

16640m -= ，解得2m =± 当2m = 时，方程（*）化为：298160y y --= 故1244104410y y +-=

=，12810

||y y -= 2PB Q 的面积121211610

||||2S B B y y =

-= 当2m =- 时，同理可得（或由对称性可得）2PB Q 的面积16109S =

综上所述，2PB Q 的面积为10

9

。