高中绝对值不等式
绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
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也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2
x －2x
－6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜ f(x)｜>g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1 2 } (2)原不等式等价于－3x <2 x －2x －6<3x 即 222 226360 (3)(2)032(1)(6)0 16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<-- 所以原不等式的解集是{x |2 1．解不等式（1）｜x-x 2 -2｜>x 2 -3x-4；（2）234x x -≤ 1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2 -3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2 -3x-4) ② 解①得：1-2 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2 -x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2 +74>0 所以｜x-x 2 -2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2 -3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234 x x -≤1求解，但过 程较繁，由于不等式234 x x -≤1两边均为正，所以可平方后 求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ?9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ?x 4-17x 2 +16≥0 ?x 2≤1或x 2 ≥16 ?-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜ f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2(x)〈g 2 (x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2 <|x +a |2 即有2 x －2x +1<2x +2ax +2 a ，整理得(2a +2)x >1－ 2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x < 1 (1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5?-2x>6?x<-3. 当-3 ［请你试试4—2］ 1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a -+> ∴22 |lg(1)||lg(1)| x x - >+ 于是 22 lg (1)lg (1)0x x --+> ∴ [lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴2 1lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1 ∴0<1－2 x <1 ∴lg (1－2 x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -< <+ 解得0 2．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=??? ? ? ? ?? ? -≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21 ≥x 时124+<-x x ∴x>2 当-3 2 3-<<-x 当3-≤x 时12 4+< -x x ∴3-≤x 综上7 2- 故填),2()72 ,(+∞?--∞。 3．求不等式133 1 log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0103x x >???>?-?，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1) 当 01 x <≤时 ， 不 等 式 化 为()33log log 31 x x -+-≥即 ()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 3 4x ≤ 综合前提得： 3 04 x <≤。 (2)当1 2 330x x -+≤ x ∴∈?。 (1) 当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2) ∴()33x x ≥- ∴9 4x ≥，结合前提得： 9 34 x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,344???? ??????? U 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当 3>+m 即 3 ->m 时 ， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-= m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- ［请你试试4—3］ 1．解关于x 的不等式：()0922 >≤-a a a x x 分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个 不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。 解 ： 当 ()? ??≤--≥???≤-≥≥0299292 22a ax x a x a a x x a x a x 即时，不等式可转化为 a b x a 17 3+≤ ≤∴ ???≥+- 2992)(2 22a ax x a x a x a ax a x a x 即时不等式可化为当 ]? ?????+?-∞<≤≤∴a a a a x a a x 6173,323 , (323故不等式的解集为或。 2．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。 按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k 值的不确定，要以k 的不同取值分类处理。 解：原不等式可化为－4≤kx ≤6 当 k >0时，进一步化为46 x k k -≤≤，依题意有 4 433632k k k k ?-=-??= ????? ??==???，此时无解。 当k =0时，显然不满足题意。 当k <0时，64x k k ≤≤-，依题意有4 2263 k k k ?-=???=-??=-?? 综上，k =－2。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a + b |≤ |a |+|b |，便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当 a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x | 时a的取值范围。 令 x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3 ①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3 7 解不等式组 47 4 272 x a x x a ≥ ?+ ?≤< ? -< ? ，∴a>1 ②当3 ③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－x 解不等式 377 33 7222 x a a x x a ≤ ?-- ?<≤?< ? -< ? ，∴ a>1 综合①②③可知，当a>1时，原不等式有解，从而当0 由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1 解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a>1时，|x －4|+|3－x| 从而当a≤1时，原不等式解集为空集。 解法三：∵a>|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1 ∴当a>1时，|x－4|+|3－x| 从而当a≤1时，原不等式解集为空集。 ［请你试试4—4］ 1．对任意实数x，若不等式|x+1|－|x－2|> k恒成立，求k的取值范围。 思维点拨：要使|x+1|－| x－2|>k对任意实数x恒成立，只要| x+1|－|x－2|的最小值大于k。因|x+1|的几何意义为数轴上点x到－1的距离，|x－2|的几何意义为数轴上点x到2的距离，|x+1|－|x－2|的几何意义为数轴上点x到－1与2的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。 解法一根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>k 成立 ∵|AB|=3，即|x+1|－|x－2|≥－3 故当k<－3时，原不等式恒成立 解法二令y=|x+1|－|x－2|，则 3,1 21,12 3,2 x y x x x -≤- ? ? =--<< ? ?≥ ? 要使|x+1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可。 k<－3满足题意。 故 2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。 解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2)≤0, 即 -x时取等号。故a<3 ≤ 2 1≤ 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3| 分析（一）Θ|x-4|+|x-3|≥|x-4—(x-3)|=1 当|x-4|+|x-3| 于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1 （二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB|≥1 恒有y≥1 数按题意只须a>1 A B P x （四）考虑|z-4|+|z-3| （五）可利用零点分段法讨论. 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 变题： 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求 a的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3| a的取值范围 3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值 范围 第5变绝对值三角不等式问题 ［变题 5］已知函数 2 ()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1] x ∈-时|()|1f x ≤，求证： (1)||1b ≤； (2)若 2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时， 求证：|()|2g x ≤。 ［思路］本题中所给条件并不足以确定参数b a ,，c 的值，但应该注意到：所要求的结论不是()b g x 或的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用()1-f 、 (0)f 、()1f 来表示b a ,,c 。因为由已知条件得|(1)|1f -≤，|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤。 ［ 解 题 ］ 证 明 ： (1) 由 ()()()()1 1,1[11] 2 f a b c f a b c b f f =++-=-+?=--，从而有 11 ||[(1)(1)](|(1)||(1)|),|(1)|1,|(1)|1, 221 ||(|(1)||(1)|) 1. 2 b f f f f f f b f f =--≤+-≤-≤∴≤+-≤Q (2) 由 ()()()()1 1,1[11],2 f a b c f a b c b f f a =++-=-+?=-- 从而 ()()1 [11](0)2 a f f f =+-- 将以上三式 代入 2 ()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，并整理得 2 2 2 22 11 |()||(0)(1)(1)(1)(1)(1)| 2211|(0)(1)||(1)(1)||(1)(1)| 2211|(0)|1||(1)||1||(1)||1| 221111|1||1||1|1(1)(1)22222 2 g x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x x x x x =-+++--≤-+++--=-+++--≤-+++-=-+++-=-≤ ［请你试试4—5］ 1．已知函数f(x)=2 1x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证 |f(a)-f(b)|<|a-b|。 分析：要证|||11| 2 2b a b a -<+-+，考察左边， 是否能产生|a-b|。 证明 ： |f(a)-f(b)|= ||||||||11| ||11|22222 2 b a b a b a b a b a b a +-?+<+++-=+-+ ||||| |||| |||b a b a b a b a -=-?++≤ （其中 ||12 2a a a =>+，同理|, |12b b >+∴||||1111 22b a b a +< +++） 高中不等式习题精选精解 一、求取值范围 2、已知c b a >>，且0=++c b a ，求a c /的取值范围。 解：由已知条件，显然0,0<>c a 2 /1/,0,02,-<∴>=++<+∴>a c a c b a c a c b ΘΘ 2 /,0,2,02,->∴>->=++>+∴>a c a a c c b a c a b a ΘΘ 综上所述a c /的取值范围是()2/1,2-- 3、正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。 解 ： 2 /2/1)/1/1)(2()/1/1(*1/1/1+++=++=+=+x y y x y x y x y x y x 223)/2)(/(23+=+≥x y y x （y x ,Θ为正数） 5、已知函数 2 ()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -的取值范围。 解：由习已知得：52,21≤+≤≤-≤b a b a 设 ： ?? ?==????-=-=+?-++=-=-6 3 39)()(39)3(n m n m n m b a n b a m b a f 27 )3(12),1(*3)1(*6)3(≤-≤∴+-=-∴f f f f 所以)3(-f 的取值范围是[]27,12 8、若关于x 的方程 0124=++?+a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围。 解一：设x t 2=， ,02 ∴>t x Θ 012=+++a at t 在()+∞,0上有解。 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只 有一个根（如图所示），由二次函数的图像和 性质，得方程012 =+++a at t 在()+∞,0上 有实数解的充要条件为： ???≤+=>+-=???? ????>+=>-≥+-=?01)0(0)1(401)0(0 2 )1(42 2a f a a a f a a a 或 注：两组不等式分别对应两个图 解 得 2 22,12221-≤-≤-≤<-a a a 即或 所以a 的取值范围是 (]222,-∞- 解二：由方程012=+++a at t 得)0(112 >++-=t t t a 函数)0(11)(2 >++-=t t t t f 的值域就是a 的取值范 围。 2 22)222(212)1(12)1(12)1(1122-=--≤??????-+++-=??????++--=+---=++-=t t t t t t t t a 所以a 的取值范围是(] 2 2 2,-∞- 二、解不等式 1、032)2(2 ≥---x x x 解：不等式 0)()(≥?x g x f 与? ??>≥0)(0 )(x g x f 或0 )(=x g 同解，也可以这样理解： 符号“ ≥”是由符号“>”“=”合成的，故不等式 )()(≥?x g x f 可转化为0)()(>?x g x f 或 0)()(=?x g x f 。 解得：原不等式的解集为{}13|-=≥x x x 或 2、03 22 322 ≤--+-x x x x . 解 ： 03 22 32 2 ≤--+-x x x x ? ?? ???≠--≤--+-0320)32)(23(2 22x x x x x x ? ???≠+-≤+---0)1)(3(0 )1)(3)(2)(1(x x x x x x ，用根轴法（零点分段法）画图如下： ∴原不等式的解集为{}3211|<≤≤<-x x x 或。 3、 )0(,112 >≤-+a ax x 解：原式等价于ax x +≤+112 11,112 ≥+∴≥+ax x Θ，即0≥ax 注：此 为关键 0,0≥∴>x a Θ∴原不等式等价于不等式组 ?? ?≥+≤+0 )1(12 2x ax x 解得： + 温馨提示： 高考题库为Word 版，请按住Ctrl ，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 【考点35】绝对值不等式 2009年考题 1、（2009全国Ⅰ）不等式 1 1 X X +-＜1的解集为（ ）（A ）｛x }}01{1x x x ??? (B){ }01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){ }0x x ? 【解析】选 D.0040)1()1(|1||1|11 1 22 或③12 (21)(2)0 x x x ? ≤? ??--+-解得 又 0,x x <∴不存在; 当1 02 x ≤< 时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又11 0,0;22 x x ≤<∴<< 当1 11 ,211,222 22 x x x x x x ≥-<+<≥∴≤<原不等式可化为解得又 综上,原不等式的解集为|0 2.x x << 7、（2009海南宁夏高考）如图，O 为数轴的原点，A,B,M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点，设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离4倍与C 到B 距离的6倍的和. （1）将y 表示成x 的函数； （2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值 第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+ ②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式； ◇知识梳理 1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >??= =?? 时， |()|f x a >?____________； |()|f x a - 例2. 解不等式125x x -++> 变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围 变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围 ◇能力提升 1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|< 高中绝对值不等式(精华版)适合高三复 习用可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2 x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 一．课题：含绝对值的不等式的解法 二．教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法． 三．教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集合间 的交、并等各种运算． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2．当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． （三）例题分析： 例1．解下列不等式： （1）4|23|7x <-≤；（2）|2||1|x x -<+；（3）|21||2|4x x ++->． 解：（1）原不等式可化为4237x <-≤或7234x -≤-<-，∴原不等式解集为17[2,) (,5]22--． （2）原不等式可化为22(2)(1)x x -<+，即12x > ，∴原不等式解集为1[,)2+∞． （3）当12x ≤- 时，原不等式可化为2124x x --+->，∴1x <-，此时1x <-； 当122 x -<<时，原不等式可化为2124x x ++->，∴1x >，此时12x <<； 当2x ≥时，原不等式可化为2124x x ++->，∴53 x >，此时2x ≥． 综上可得：原不等式的解集为(,1)(1,)-∞-+∞． 例2．（1）对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞； （2）对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是(4,)+∞． 解：（1）可由绝对值的几何意义或|1||2|y x x =++-的图象或者绝对值不等式的性质|1||2||1||2||12|3x x x x x x ++-=++-≥++-=得|1||2|3x x ++-≥，∴3a <； （2）与（1）同理可得|1||3|4x x --+≤，∴4a >． 例3．（《高考A 计划》考点3“智能训练第13题”）设0,0a b >>，解关于x 的不等式：|2|ax bx -≥． 解：原不等式可化为2ax bx -≥或2ax bx -≤-，即()2a b x -≥①或2()2a b x x a b +≤?≤ +②， 含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域： 分析利用绝对值的基本概念． 解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0． ∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)． (2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)． (3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R． 画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]． 说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用． 例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2． 将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． (1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2． ∴x＞2与条件矛盾，无解． 综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}． 注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 例3 解不等式|x2-4|＜x+2． 分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法： 二是根据绝对值的性质：|x|＜a?-a＜x＜a，|x|＞a?x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法． ∴2≤x＜3或1＜x＜2 故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围． 分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间 当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1； 绝对值不等式练习题 绝对值的不等式 一、选择题（8分×6=48分） 1.不等式243x 的整数解的个数为 ( ) A 0B 1C 2D 大于2 2.函数22x x y 的定义域是 ( ) A ]2,2[B ),2[]2,(C ),1[]1,(D ) ,2[3.设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 ( ) A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 2 3 ,21 .b a D 4.若两实数y x,满足0xy ,那么总有 ( ) A y x y x B y x y x C y x y x D.x y y x 5.已知,b c a 且,0abc 则 ( ) A c b a B b c a C c b a D c b a 6.)(13)(R x x x f ,当b x 1有),,(4)(R b a a x f 则b a,满足 ( ) A 3a b B 3b a C 3a b D 3 b a 二、填空题（8分×2=16分） 7.不等式x x 512的解集是 8.不等式x x x x 11的解集是 三、解答题（18分×2=36分） 9.解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x 10．已知a x x x f |2||1|)(，（1）当5a 时，求)(x f 定义域； （2）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围。附加题：（10分×2=20分） 1.若不等式|1|75x x 与不等式022bx ax 同解，而k b x a x ||||的解集为非，求实数k 的取值范围 2.当10x 时,比较)1(log x a 与)1(log x a 的大小.)1,0(a a 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x -3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 高中数学解题思路大全—绝对值不等式解法指 导 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 绝对值不等式解法指导 带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。解绝对值不等式的关键是去绝对值符 号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。去绝对值符号的方法就是解不等式的方法，有下列四种。 一. 注意绝对值的定义，用公式法 即若a x a ><0，||，则-<>0，||，则x a >或x a <-。 例1. 解不等式||2331x x -<+ 解：由题意知310x +>，原不等式转化为-+<-<+()312331x x x 二. 注意绝对值的非负性，用平方法 题目中两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到 ||x x 22=。 例2. 解不等式||||x x +<+123 两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。 解：原不等式?+<+?+<+?+-+>||||()()()()x x x x x x 1231232310222222 解得x x <->-243 或 故原不等式的解集为{|}x x x <->-243 或 三. 注意分类讨论，用零点分段法 不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。 例3. 解不等式||||x x ++->213 解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令x -=10和x +=20得分界点x x ==-12、 于是，可分区间(),[][,)-∞--+∞，，，2211讨论原不等式? 解得x x ><-12或 综上不等式的解为x ∈-∞-?+∞()()，，21 四. 平方法+定义法 有些题目平方之后仍有一个绝对值号，需要用定义去绝对值符号求解，这种方法叫“平方法+定义法”。 例4. 解关于x 的不等式|log ||log |a a ax x 22<+ 解：化为|log ||log |122+<+a a x x 后，通常分log log a a x x <--≤<1212 0，，log a x ≥0三种情况去绝对值符号，再分a a ><<101或进行讨论，这样做过程冗长，极易出错。改变一下操作程序，思路将十分清晰，过程也简洁得多，即原不等式两边平方得4414422(log )log (log )|log |a a a a x x x x ++<++。 再由定义去绝对值号，有： （1）log ,(log )log a a a x x x ≥1时，解为a x a -<<3；当01<0，且a ≠1，解不等式|log ()||log ()|a a x x 11->+。 2. 解不等式||||||x x x +--<+112 1 3. 解不等式||||31932x x -+-> 答案：1. 01< 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 一、选择题(8分X 6=48分) 1.不等式3x -4 v2的整数解的个数为() A0 B1 C 2 D 大于2 2.函数y = Jx2 _|x| _2的定义域是() A[-2,2] B(-：：,-2] [2, ：：) C(-：：,-1] [1, ：：) D[2,：：) 3.设不等式|x —a| v b的解集为｛x| —1< x v 2｝，贝U a, b的值为() A. a = 1, b= 3 B . a=—1, b= 3 1 3 C . a = —1, b= —3 D .a , b — 2 2 4.若两实数x, y满足xy ::: 0 ,那么总有() Cx — yvx—y D. Ax + y 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 \ 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． ' 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜ 或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| · B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 ： B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ? 123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 、 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ? {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 绝对值不等式 绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b| y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值 |y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| < 5 得-5 < y < 5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5 ［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转 化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x) 1 1 解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^} ⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X 即 『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二* [x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6 2< X<6 所以原不等式的解集是{ X|2< X<6} 2 2I 3x I 1 .解不等式(1 )1 x-x 2- 2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 < 1 解：(1)分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3X-4① 或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)② 解①得：1- - 2 v X<1+ 2 解②得：x>-3 故原不等式解集为{ x | x>-3 } 分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 | 绝对值不等式 1．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 解析 当x ≤1时，不等式可化为(1－x )－(5－x )<2，即－4<2，满足题意； 当1 解析 ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| ＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |) ≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3， 当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3。 答案 C 4．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________。 解析 当a ≤－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |＝????? －3x ＋2a －1，x －1， 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝－a －1， 由－a －1＝5得a ＝－6，符合a ≤－1； 当a >－1时， f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a | ＝????? －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ， 3x －2a ＋1，x >a 。 所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 则f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝a ＋1， 由a ＋1＝5，得a ＝4，符合a >－1。 综上，实数a 的值为－6或4。 答案 －6或4 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] 答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5分析列出不等式．|x|≤5．解根据题意得2＜5，，其中最小整数为－5x＜－2或2＜x≤从而－5≤．选D答 ．的解集为________不等式4＜|1－3x|≤7例3 利用所学知识对不等式实施同解变形．分析 或－74＜3x－1≤74解原不等式可化为＜|3x－1|≤7，即 ．，5x∈N}，求A例4 已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜转化为解绝对值不等式．分析 可化为|6－2x|＜5＜解∵25＜|2x－6|＜2 ，1，5}．因为x∈N，所以A＝{0说明：注意元素的限制条件．ab＜0，那么例5 实数a，b 满足[ ] |b|A．|a－b|＜|a|＋|a．|a＋b|＞－b|B|a＋b|＜|a－b|C．＋|b||b|＜||a||aD．－根据符号法则及绝对值的意义．分析 、ab异号，解∵b|．＜∴ |a＋b||a－．选答 C ba，的值为2}1b|x例6 设不等式－a|＜的解集为{x|－＜x＜，则[ ] A．＝3ba＝1，3b1aB．＝－，＝3＝－b，1＝－a．C． 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 分析分类讨论． x＜m． {x|1－m＜x＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母． 解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得 说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便． 例9 解不等式|6－|2x＋1||＞1． 分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解． 解事实上原不等式可化为 6－|2x＋1|＞1 ① 或 6－|2x＋1|＜－1 ② 由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2； 由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4． 从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论． 例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是 ________． 分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法． 解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5， ∴a＞5． 当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5． a∴，5＞1－2x而有解，a＜1－2x即a＜3－x＋2＋x是，不等式化为3＞x当． ＞5． 综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空． 解法二 |x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5． 解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得 |x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5． 所以a＞5时不等式有解． 说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x＋1|＞2－x． 分析一对2－x的取值分类讨论解之． 解法一原不等式等价于： 由②得x＞2． 分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之．绝对值不等式,高考历年真题
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