高一数学三角函数(家教必备)
高考数学总复习第七讲：三角函数
一、三角函数的图象和性质
一、教学目的：
1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。
2．会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；
3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(ωx+φ)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。
考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
二、基本三角函数的图象
三、（一）性质——单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论） 例1．用定义证明：f(x)=tgx 在)2
,2(π
π-
递增。 例2．比较下列各组三角函数的值的大小 （1）sin194°和cos160°；
（2）)1543(π-
ctg 和)1974(π-ctg （3）)83sin(sin π和)8
3sin(cos π； （4）tg1，tg2和tg3；
（1）>（2）<（3）>（4）tg2 化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。 例3．求下列各函数的单调区间 （1）)3 2cos( 2π+-=x y ； （2）x x y 2cos 32sin 1+-=（减区间） （3）x x y sin sin 2 +-=； （4）)4 3 cos(log 1π π + =x y （增区间） （1）4k π-2π/3≤x ≤4k π+4π/3（增）；4k π+4π/3≤x ≤4k π+10π/3（减），k ∈z （2）z k k k ∈+ - ，，]12 512 [π ππ π （3）[2k π-π/2，2k π+π/6]与[2k π+π/2，2k π+5π/6]（增）； （4）6k π-3π/4≤x<6k π+3π/4 [2k π-π/6，2k π+π/2]与[2k π+5π/6，2k π+3π/2]（减）； k ∈z 例4．有以下三个命题； （1）因为sin(0+π)=sin π=0，sin(π+π)=sin π=0， sin(2π+π)=sin π=0，所以π是y=sinx 的周期； （2）因为sin3x=sin(3x+2π)，所以y=sin3x 的最小正周期是2π； （3）设ω≠0，因为)2(sin )2sin(sin ω π ωπωω+ =+=x x x ， 所以y=sin ωx 的周期为 ω π2。 其中正确的命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例5 求下列函数最小正周期 （1）)2(cos 2+=x y π；（1）T=1； （2）a x ctg a x tg y -=；（2）2 ||x a T =； （3）)6 sin( )3 sin(x x y -+ =π π ；（3）T=π； （4）x x y 44sin cos -=；（4）T=π； （5）x x y sin 1cos +=；（5）T=2π； （6）x tg x tg y 21222+= ；（6）2π=T ； （7）y=|sin2x|；（7）2 π = T ； 例6求函数) tan 1(sec ) tan 1(sin 42 2x x x x y +-=的周期。 解：y=4sinx ·cosx ·cosx=2sin2x ·cos2x=sin4x 注意到函数的定义域为{x|x ∈R ，且2 π π+ ≠k x ，k ∈z} 在直角坐标系中，画出其图象 观察图象并根据周期函数的定义，可直所求函数的周期是π。 例7．已知函数)(3 sin )(N n n x f ∈=π ， 求：f(1)+f(2)+f(3)+……+f(100)的值。 解： 由函数)(3 sin )(N n n n f ∈=π 的周期为6 可知f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 又100=6×16+4 ∴f(1)+f(2)+……+f(100) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4) 2 3 2302323= -++= 例8．求下列函数的最小正周 （1）|)3 2sin(|π - =x y （1） 2 π = T （2）|2 1 )3 2sin(|+ - =π x y （2）T=π 求周期的一般思路大致有两种：一是化目标函数为单函数的形式，如y=Asin(ωx+φ)+B ；二是可结合图象进行判断。 例10．试判断下列各函数的奇偶性： （1）f(x)=|sinx|-xctgx ； （2）f(x)=sinx-cosxtgx ； （3）x x x x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+= ；非奇非偶函数 既奇又偶函数 说明：定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以在判断函数的奇偶性时，一定首先判断函数的定义域的对称性； 在等价变换的前提下，一般先化简解析式，再判断奇偶性，如（2）： 函数图象的初等变换：平移变换与伸缩变换；对称变换 平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同，即综合多步变换时，要考虑变换顺序。 四、（二）y=Asin(ωx+φ) ω>0的图象及变换 ) ()3()()2()()1(上、下伸缩振幅变换左、右伸缩周期变换左、右平移相位变换????→?????→?????→? ) ()3()()2()()1(上、下伸缩振幅变换左、右平移相位变换左、右伸缩周期变换????→?????→?????→? 三、y=Asin(ωx+φ)的图象与变换 相位变换-φ>0左移；φ<0右移； 周期变换- ω>1，横坐标缩短 ω 1 倍；0< ω<1，横坐标伸长 ω 1 倍； 振幅变换-A>1，纵坐标伸长A 倍；0 |(|π ?< 的图象，那么 A ．1110=ω，6π?=； B ．1110=ω，6 π ?-=； C ．ω=2，6 π ?= ； D ．ω=2，6 π ?- =； 例1．用五点法作函数)3 2sin(3π +=x y 的简图，并说明它是通过y=sinx 的图象作怎 样的变换得到的。 先将y=sinx （向左平移） 3 π 个单位，再把所得的各点（横坐标缩短）到原来的（1/2），（纵坐标伸长）到原来的（3）而得到的。 先将y=sinx 图象的各点的（横坐标缩短到原来的1/2）倍，再把各点向（左）平移（π/6）个单位，然后把所得的各点的（纵坐标伸长）到原来的（3）而得到的。 例2．函数)2 52sin(π +=x y 的图像的一条对称轴 方程是（）。)(2 2cos Z k k x x y ∈=-=?π A ．2 π -=x B ．4 π -=x C ．8π = x D ．π4 5 =x 例3．函数)3 2 1(π - =x tg y 在一个周期内的图象是（） 例4．如图，已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)（A>0）的一个周期的图象，试求函数y 的解析表达式)3 532sin( 2π+=x y 例5．已知函数R x x x x y ∈++= ，1cos sin 2 3 cos 212， （1）当y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到（2000年高考，难度0.70） （1）}6 |{45)62sin(21Z k k x x x y ∈+=?++=?，π ππ （2） ???????→?+=??????→?=倍纵不变，横缩左平移一个单位21 )6 sin(sin πx y x y ????????→?+=倍横不变，纵缩21 )6 2sin(π x y 4 5)62sin(2145 )62sin(21++=????????→?+=ππx y x y 个单位 向上平移 例6．求下列各方程在区间[0，2π]内实数解的个数 （1）x x 2log 2cos =； （2）sinx=sin4x ； （1）一个实解 （2）九个实解 例7 已知函数3cos 32cos sin 22-+=x x x y （1）作出它的简图： （2）填空回答问题： 〈1〉振幅 2 ； 〈2〉周期 π ； 〈3〉频率 1 π ； 〈4〉相位 3 2 π + x ； 〈5〉初相 3 π ； 〈6〉定义域 R ； 〈7〉值域 [-2，2] ； 〈8〉当x=12 π π+k 时 =max y 2 ； 当)(12 7Z k k x ∈+ =π π时，=min y -2 ； 〈9〉单调递增区间 12 ,125[π πππ+- k k k ∈Z 。； 单调递减区间] 12 7,12 [π ππ π+ + k k k ∈Z 。 〈10〉当x ∈ )3,6(π ππ π+- k k k ∈Z 时，y>0 当x ∈)6 5,3 (π ππ π+ + k k k ∈Z 时，y<0 〈11〉图象的对称轴方程12 2π π+= k x k ∈Z 。 〈12〉图像的对称中心)0,3 2(π π+k k ∈Z 。 作业： 1．已知函数x x x x x f 4466cos sin cos sin )(+++= 求（1）f （x ）的值域 ]2,4 3 [ （2）f （x ）的最小正周期 2 π （3）f （x ）的单调区间 单调递增区间为]2 ,42[ π ππk k - k ∈Z 。 ]4 2,2[ π ππ+k k k ∈Z 。 2．判断下列函数的奇偶性。 （1）1 sin sin 11sin sin 1)(2 2+++-++= x x x x x f （奇） （2）x ctgx x tgx x f csc sin )(++= （偶） （3）x x x x x x x f 5cos 3cos cos 5sin 3sin sin )(++++= （奇） （4）x x f cos 2)(= （偶） （5）)sec lg()sec lg()(22tgx x tgx x x f -++=（偶） 3．求函数|)4 sin(|π + -=x y 的单调区间 单调增区间为]4 3,4 [π ππ π+ + k k k ∈Z 。 单调减区间为]4 3,4 [π ππ π+ - k k k ∈Z 。 4．求下列函数的最小正周期 （1）x y 4sin 2 = （4 π = T ） （2）x x y 6 6cos sin += )2 (π = T （3）x x tg y sin 12-= （T=π） （4）)0(≠=a a x atg y （T=|a|π） 二、三角函数的求值 例1 求值???80sin 40sin 20sin 利用积化和差 原式= 8 3 例 2 求值??+?+?50cos 20sin 50cos 20sin 2 2 先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式= 4 3． 或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用βα+，βα-出现特殊角． 解1原式= )30sin 70(sin 2 1 )100cos 1(21)40cos 1(21?-?+?++?- 4 34120cos 2120cos 2114170sin 2120cos 60cos 22114170sin 21)80cos 40(cos 211=- ?+?-=- ?+????-=- ?+?+?-= 解2原式??-?+?=50cos 20sin )50cos 20(sin 2 4 34170sin 21)20cos 1(21) 21 70(sin 21)10cos 30sin 2() 30sin 70(sin 21 )40sin 20(sin 22=+?-?+=-?-??=?-?-?+?=g 例3 求值????70sin 50sin 30sin 10sin 方法1 可用积化和差 方法2 逆用倍角公式 原式????=20cos 40cos 60cos 80cos ???= 80cos 40cos 20cos 2 1 8120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 880cos 80sin 20sin 880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 40sin 20sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2=??= ???= ???=????= ? ???= ? ? ???= 例4 求值 )10tg 31(50sin ?+? 原式=1 例 5 求7π5cos 7π3cos 7π cos ++的值 原式)7π 5cos 7πsin 27π3cos 7πsin 27πcos 7πsin 2(7 πsin 21++= 2 1)7 π6(sin 7πsin 21 )7π4sin 7π6sin 7π2sin 7π4sin 7π2(sin 7 πsin 21== -+-+= 一般形式 ααααn sin 3sin 2sin sin ++++ 2 sin 2cos 21sin αααn n += ααααn cos 3cos 2cos cos ++++ 2 sin 2sin 21cos α α αn n += 例6 求值?+?10tg 50sec 解：原式?? +?= 10cos 10sin 50cos 1（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则） ? ?+?=80sin 80cos 40sin 1 3 80sin 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos 80sin 20cos 60cos 240cos 80sin ) 80cos 40(cos 40cos 80sin 80cos 40cos 2= ?? +?=? ? +?=? ? ?+?=? ?+?+?=? ? +?= 例7 求值 ? ??-?20cos 10sin ) 10sin 1(40sin 2 原式? ??-??= 20cos 10sin ) 10sin 1(20cos 20sin 22 ???-??= 20cos 10sin ) 10sin 1(10cos 10sin 4 3 220cos 20cos 60sin 2220cos ) 40sin 80(sin 220cos 50cos 280sin 220cos ) 20sin 80(sin 280sin 220cos 20sin 280sin 420cos 20sin 210cos 420cos ) 10sin 1(10cos 4=? ? ??= ? ?+?=? ? +?=? ?-?+?=? ? -?=? ? -?=? ?-?= 例8 求值?+?-?54sin 12cos 42sin ． 解：设法出现特殊角：原式?+?-?=54sin 12cos 48cos ???=?-??+?=? -?=?+??-=18sin 36cos 22 1854sin 21854cos 218sin 54sin 54sin 18sin 30sin )2( ? ? ????= 18cos 36cos 18cos 18sin 2（出现倍角关系） 2118cos 272sin 18cos 236cos 36sin 218cos 36cos 36sin =??= ? ???= ? ? ??= 三、三角函数的求值 例1 求值???80sin 40sin 20sin 利用积化和差 原式= 8 3 例 2 求值??+?+?50cos 20sin 50cos 20sin 2 2 先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式= 4 3． 或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用βα+，βα-出现特殊角． 解1原式= )30sin 70(sin 2 1 )100cos 1(21)40cos 1(21?-?+?++?- 4 34120cos 2120cos 2114170sin 2120cos 60cos 22114170sin 21)80cos 40(cos 211=- ?+?-=- ?+????-=- ?+?+?-= 解2原式??-?+?=50cos 20sin )50cos 20(sin 2 4 34170sin 21)20cos 1(21) 2 1 70(sin 21)10cos 30sin 2() 30sin 70(sin 21 )40sin 20(sin 22=+?-?+=-?-??=?-?-?+?=g 例3 求值????70sin 50sin 30sin 10sin 方法1 可用积化和差 方法2 逆用倍角公式 原式????=20cos 40cos 60cos 80cos ???= 80cos 40cos 20cos 2 1 8120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 880cos 80sin 20sin 880cos 40cos 40sin 220sin 480cos 40cos 40sin 20sin 480cos 40cos 20cos 20sin 2=??= ???= ???=????= ? ???= ? ? ???= 例4 求值 )10tg 31(50sin ?+? 原式=1 例 5 求7π5cos 7π3cos 7π cos ++的值 原式)7π 5cos 7πsin 27π3cos 7πsin 27πcos 7πsin 2(7 πsin 21++= 2 1)7 π6(sin 7πsin 21 )7π4sin 7π6sin 7π2sin 7π4sin 7π2(sin 7 πsin 21== -+-+= 一般形式 ααααn sin 3sin 2sin sin ++++ 2 sin 2cos 21sin αααn n += ααααn cos 3cos 2cos cos ++++ 2 sin 2sin 21cos α α αn n += 例6 求值?+?10tg 50sec 解：原式?? +?= 10cos 10sin 50cos 1（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则） ? ?+?=80sin 80cos 40sin 1 3 80sin 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos 80sin 20cos 60cos 240cos 80sin ) 80cos 40(cos 40cos 80sin 80cos 40cos 2= ?? +?=? ? +?=? ? ?+?=? ?+?+?=? ? +?= 例7 求值? ??-?20cos 10sin ) 10sin 1(40sin 2 原式? ??-??= 20cos 10sin ) 10sin 1(20cos 20sin 22 ???-??= 20cos 10sin ) 10sin 1(10cos 10sin 4 3 220cos 20cos 60sin 2220cos ) 40sin 80(sin 220cos 50cos 280sin 220cos ) 20sin 80(sin 280sin 220cos 20sin 280sin 420cos 20sin 210cos 420cos ) 10sin 1(10cos 4=? ? ??= ? ?+?=? ? +?=? ?-?+?=? ? -?=? ? -?=? ?-?= 例8 求值?+?-?54sin 12cos 42sin ． 解：设法出现特殊角：原式?+?-?=54sin 12cos 48cos ???=?-??+?=? -?=?+??-=18sin 36cos 22 1854sin 21854cos 218sin 54sin 54sin 18sin 30sin )2( ? ? ????= 18cos 36cos 18cos 18sin 2（出现倍角关系） 2118cos 272sin 18cos 236cos 36sin 218cos 36cos 36sin =??= ? ???= ? ? ??= 四、三角中常用的变角代换技巧 在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧性，本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。 1. 单角化复角 这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有： <1>ααβββαβα=-+=+-()()， <2>ααβ αβ βαβ αβ = ++ -= +- -2 2 2 2 ， 例1. 求证：sin sin cos sin()sin sin A B A A B A A B +-+=+22 2 。 证明：左边=++--+sin sin[()]cos sin()A A B A A A B =++-+-+=-+=+sin sin()cos cos()sin cos sin() sin [cos()]sin sin A A B A A B A A A B A A B A A B 122 2 例2. 求证：cos cos cos cos A B A B A B =++--2 222 1 证明：左边=++-+--cos()cos()A B A B A B A B 2222 =+--+-?+-++-=+--+?-=+---+--=++--(cos cos sin sin )(cos cos sin sin ) cos cos sin sin cos cos (cos )(cos ) cos cos A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 22222222 222222121222 1 2222222222 2. 单角化倍角 单角化倍角的主要角度换式有ααα=-2。 例3. 求证： 1 22sin cot tan x x x =+ 证明：左边==-cos sin cos cos() sin cos x x x x x x x 222 =+cos cos sin sin sin cos 222x x x x x x =+cot tan 2x x 例4. 求证： 232sin cos cos tan tan A A A A A +=- 证明：左边=-2222sin() cos cos A A A A = ?-=- =-1 222222cos cos (sin cos cos sin ) sin cos sin cos tan tan A A A A A A A A A A A A 3. 倍角化复角 倍角化复角常用的角变换式有：22ααβαββαβαβ=++-=+--()()()()， 例 5. 已知 cos()cos()αβαβ-=-+= 454 5 ，，且αβπ π-∈( )2 ，， αβπ π+∈( )32 2，，求cos cos 22αβ，。 解：因为cos()()αβαβπ π-=--∈452 ，， 所以sin()cos ()αβαβ-=--=135 2 又因为cos()( )αβαβπ π+=+∈4532 2，， 所以sin()cos ()αβαβ+=--+=-135 2 所以cos cos[()()]2ααβαβ=++- =+--+-= ?--?-=- cos()cos()sin()sin() ()()αβαβαβαβ45453535725 所以cos cos[()()]2βαβαβ=+-- =+-++-=?-+-?=-cos()cos()sin()sin()()()αβαβαβαβ4545353 51 4. 复角化复角 复角化复角内容丰富，但主要有以下三组变换式： <1>22αβαβααβαβα+=++-=-+()()， <2> αβ αβ α βαβ αβ α β+=- ---=+ -+2 2 2 2 2 2 ()( )()( )， <3>()( )()( )( )()π απ βπ αβπ απ βπ αβ4 4 2 4 4 2 +++= ++++-= +-， 例6. 已知cot tan()ααβ=-=-22 5，，求tan()βα-2之值。 解：因为cot α=2，所以tan tan()ααβ=-=-123 5 ， 所以tan()tan()βααβ-=--22 =-+-=- +---=- +--?-=- tan[()] tan tan()tan tan()()()ααβααβααβ1122511225112 例7. 已知cos( )sin()αβ αβ-=--=219223，，并且π απβπ2 0<<<<，，试求cos αβ +2 之值。 解：因为π απβπ2 0<<<<， 所以 π αβ ππ α βπ 4 2 4 2 2<- <- < -< ， 因为cos()sin()αβαβ-=--=21922 3 ， 所以sin()cos ()()αβ αβ- =--=--=21211949 522 cos( )sin ( )()α βα β2 121235 3 22-=--=-= 所以cos cos[()( )]αβ αβ α β+=- --2 2 2 =- -+- -=-? +?=cos()cos( )sin()sin( ) ()αβ α βαβ α β22 2 2 19534592 37527 例8. 已知 π απβπ4 3404<< <<，，且s i n ()cos()παπβ4354513 +=+=，，求s i n ()αβ+之值。 解：因为 π απβπ43404<< <<，，所以ππαπππβπ24442<+<<+<， 所以sin()cos()παπβ43545 13 +=+=， 所以cos( )sin ( )π απ α4 14 2+=--+ =--=- 13 5 45 2 () sin( )cos ( ) ( )π βπ β4 14 15131213 22+=-+=-= 所以sin()αβ+ =-++=-+++=-+++++= ?+?=cos[ ()]cos[( )( )]cos( )cos( )sin( )sin( )π αβπ απ βπ απ βπ απ β2 4 4 4 4 4 4 455132312 135665 在有些三角问题中，有时既要把单角化为复角，同时又要把复角化为复角。 例9. 已知32sin sin()βαβ=+，求证：tan()tan αβα+=2。 证明：因为32sin sin()βαβ=+ 所以3sin[()]sin[()]αβαααβ+-=++ 所以3[sin()cos cos()sin ]sin cos()cos sin()αβααβαααβααβ+-+=+++ 所以2sin cos()cos sin()ααβααβ+=+ 所以tan()tan αβα+=2 由以上数例可以看到，应用变角代换技巧，常可优解一些三角问题。 2021年数学小中初数学复习题练习试卷测试题教案等集合 高中数学必修四三角函数检测题 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列不等式中，正确的是（ ） A ．tan 5 13tan 4 13ππ< B ．sin )7 cos(5 π π-> C ．sin(π－1) 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 姓名_______班级_________ _______________号 高一数学三角函数测试 一、选择题：(5×10=50′) 1、若 –π/2<α<0，则点)cos ,(tan αα位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若5 4cos =α，),0(πα∈则αcot 的值是（ ） A ． 3 4 B ． 4 3 C ． 3 4± D ．4 3± 3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4．函数)6 2sin(2π +=x y 的最小正周期是（ ） A ．π4 B ．π2 C ．π D ．2 π 5．满足函数x y sin =和x y cos =都是增函数的区间是（ ） A ．]22,2[π ππ+ k k , Z k ∈ B ．]2,2 2[πππ π++k k , Z k ∈ C ．]2 2,2[π πππ- -k k , Z k ∈ D ．]2,2 2[ππ πk k - Z k ∈ 6．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3? ? 的图象（ ） A ．向右平移 π6 个单位 B ．向右平移 π3 个单位 C ．向左平移π3 个单位 D ．向左平移 π6 个单位 7．函数)2 52sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2 π - =x B ．4 π -=x C ．8 π = x D ．4 5π= x 8．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（ ） A ．2 B ．0 C ．4 1 D ．6 9．如果α在第三象限，则2 α 必定在第（ ）象限 A ．一、二 B ．一、三 C ．三、四 D ．二、四 10．已知函数)sin(φ?+=x A y 在同一周期内，当3 π = x 时有最大值2，当x=0时有最小值 -2，那么函数的解析式为（ ） A ．x y 23sin 2= B ．) 23sin(2π +=x y C ．)2 3sin(2π - =x y D ．x y 3sin 2 1= 二、填空题：11．终边落在y 轴上的角的集合是____________________ 12、设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是 该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(?ω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数有(填序号)________ (1)．]24,0[,6 sin 312∈+=t t y π (2)．]24,0[),6 sin(312∈++=t t y ππ (3)．]24,0[,12 sin 312∈+=t t y π (4)．]24,0[),2 12 sin( 312t t y π π + += 13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是___________________________ 14．已知a a x --= 432cos ，且x 是第二、三象限角，则a 的取值范围是________ 15、函数π()3sin 23f x x ? ? =- ??? 的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____ ①、图象C 关 于直线11 π12x = 对称； ②、图象C 关于点2π03?? ???，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212?? - ??? ，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π3 个单位长度可以得到图象C ． 三、解答题：16题．设)4,3(t t P --是角α终边上不同于原点O 的某一点，请求出角α的正弦、余弦、和正切的三角函数之值.。 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝ 高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1．若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2π+2k π（k ∈Z ） D ．－2π+2k π（k ∈Z ） 2．使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 3．函数y=3cos （ 52x －6π）的最小正周期是( ) A ．5 π2 B ．2π5 C ．2π D ．5π 4．函数y=2sin 2x+2cosx －3的最大值是( ) A ．－1 B ．21 C ．－21 D ．－5 5．下列函数中，同时满足①在（0， 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2x D ．y=|sinx| 6．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到（ ） A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7．函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是（ ） A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8．函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是（ ） A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9．函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________，值域是________，最小正周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 10．函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ，所得的曲线对应的函数解析式是____ _____． 11．关于函数f(x)=4sin(2x+π3 )，(x∈R)，有下列命题： （1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); （2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数； （3）y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; （4）y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________． 12． 已知函数y=3sin （21x －4 π）. （1）用“五点法”作函数的图象； （2）说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的； （3）求此函数的最小正周期； （4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，求它的振幅、最小正周期和初 相。 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 高一数学复习——三角函数 班级 姓名 【复习要点】 1． 了解任意角的概念和弧度制；借助单位圆理解掌握三角函数的定义；理解同角三角函数的基本关系；熟练运用诱导公式。 2． 结合三角函数图象理解三角函数的性质（周期性，单调性，最大和最小值等）。 3． 结合sin()y A x ω?=+的图象观察参数的变化对函数图象的影响；能应用三角函数解决一些简单的实际问题。 【例题分析】 1．已知2弧度的圆心角所对的弧长为 7 2 ，则此圆心角所对的扇形面积是____________. 2．方程sin lg x x =的实根个数为 . 3．函数 tan()6 y x π =-的定义域是 . 4．要得到 sin(3)y x =- 的图象只要把(cos3sin 3)2 y x x = -的图象 （ ） A. 右移 π4 B. 左移 π4 C. 右移 π12 D. 左移 π 12 5．已知α αα αα cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则 的值是 . 6．已知5 1 cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求 x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322 ++-的值. 7．化简),,)(23 sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=π ππ并求函数 )(x f 的值域和最小正周期. 8．函数x x y 2 4 cos sin +=的最小正周期是___________． 9．设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8 π =x 。 （Ⅰ）求?； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像. 10．函数2)6 2sin(3++-=π x y 的单调递减区间是 . 16、（1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的值． (3)若1tan 2α=,且04 π α<<,求函数22cos ()cos sin sin f ααααα=-的最小值 17（2006年安徽卷）已知 310 ,tan cot 43 παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求 2 2 5sin 8sin cos 11cos 8 2 2 2 2 2sin 2α α α α πα++-? ? - ? ? ?的值。 1．若ααα则且,0cos 02sin <>是 （ ） A ．第二象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第三象限角 D ．第二或第三象限角 2．已知0tan .sin >θθ，那么角θ是 （ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第三或第四象限 D ．第一或第四象限 3.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ） A.（0，1）∪（2，3） B.（1， 2 π ）∪（ 2 π，3） C.（0，1）∪（ 2 π，3） D.（0，1）∪（1，3） 7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2 π，π）上 为减函数的是（ ） A.y =cos 2 x B.y ＝2|sin x | 图4—1 C.y ＝ ( 3 1)cos x D.y =－cot x 8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ） 9.（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.已知函数()sin (0)f x x ωωπ?? =+ > ?3?? 的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π?? ?3?? ， 对称 B ．关于直线x π = 4对称 C ．关于点0π?? ?4 ?? ， 对称 D ．关于直线x π = 3 对称 14．函数y=2sin(2x -4 π )的一个单调递减区间是 （ ） A ．]87,83[ππ B ．]83,8[ππ- C ．]45,43[ππ D ．]4 ,4[ππ- 15．函数)||,0,0)(sin(π?ω?ω<>>+=A x A y 的图象如右，则函数的解析式是（ ） A ．)6 52sin(2π-=x y B ．)6 52sin(2π+=x y C ．)6 2sin(2π- =x y D ．)6 2sin(2π + =x y 16．函数sin()y A x ω=+?的部分图像如图所示，则其解析式可以是 （ ） A ．3sin(2)3 y x π =+ B ． 2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]} 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2 高中数学三角函数公式大全三角函数和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 三角函数积化和差公式 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 三角函数万能公式 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 三角函数半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 三角函数三倍角公式 sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 三角函数倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数两角和与差公式 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高中数学三角函数检测题(完美版)
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