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2012年高二数学教案：第2章(第11课时)平面向量小结与复习(1)(人教A版必修4)

课题：平面向量小结与复习（1）

教学目的：

1了解本章知识网络结构； 2进一步熟悉基本概念及运算律； 3理解重要定理、公式并能熟练应用；

4加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力

5认识事物之间的相互转化； 6培养学生的数学应用意识教学重点：突出本章重、难点内容

教学难点：通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别授课类型：复习课课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪教学方法:自学辅导法

在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度教学过程：一、引入

前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法这一节，我们开始对本章进行小结与复习

二本章知识

1本章知识网络结构

2本章重点及难点

(1)本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；

(2)本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；

(3)对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用 3向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向

(2)向量的表示：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法(,)a xi yj x y =+=

(3)向量的

长度：即向量的大小，记作｜a

｜

(4)特殊的向量：零向量a ＝0 ?｜a

｜＝0

向量0a 为单位向量?｜0a

｜＝1

(5)相等的向量：大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =??

?==?2

1y y x x

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b

由于向量可

以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

4向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

5重要定理、公式：

(1)平面向量基本定理

21,e e

是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一

对实数21,λλ，使2211e e a

λλ+=

(2)两个向量平行的充要条件

a ∥

b ?a

＝λb ?1221=-y x y x

(3)两个向量垂直的充要条件

a ⊥

b ?a ·b

＝O ?2121=+y y x x

三、讲解范例：

例1在四边形A B CD 中，AB ·BC ＝BC ·CD ＝CD ·DA ＝DA ·AB

，试证明四

边形A B CD 是矩形

分析：要证明四边形A B CD 是矩形，可以先证四边形A B CD 为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考

证明：设AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DA ＝d

，则

∵a ＋b ＋c ＋d ＝O ∴a ＋b ＝－（c ＋d

)

两边平方得

｜a ｜2＋2a ·b ＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d

＋｜d ｜2

，又a ·b ＝c ·d

∴｜a ｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2

＋｜d ｜2

（1）同理｜a ｜＋｜d ｜2

＝｜b ｜2＋｜c ｜2

（2）由(1)(2)得｜a ｜2＝｜c ｜2

，｜d ｜2

＝｜b ｜2， ∴a ＝c ，d ＝b

，

即AB ＝CD ，BC ＝DA

∴四边形A B CD 是平行四边形

于是＝－CD ，即a ＝－c

，

又a ·b ＝b ·c ，故a ·b ＝b ·（－a ）

∴a ·b

＝O

∴AB ⊥BC

∴四边形A B CD 为矩形

评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会

例2设坐标平面上有三点A 、B 、C ，i ，j

分别是坐标平面上x 轴，y 轴正方向的单位向量，若向量AB ＝i －2j ，＝i

＋ｍj ，那么是否存在实数ｍ，使A 、B 、C 三点共

线

分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点共线?AB ∥BC

?存在实数λ，使AB

＝λBC ，从而建立方程来探索

解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A 、B 、C 三点共线，即AB ∥BC

， ∴存在实数λ，使AB

＝λBC ， i －2j ＝λ（i

＋ｍj ）

， ?

?-==21

m λλ ∴ｍ＝－2 ∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C 三点共线

解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：i

＝（1，O ），j ＝（O ，1）

∴AB

＝（1，O ）－2（O ，1）＝（1，－2）， BC

＝（1，O ）＋ｍ（O ，1）＝（1，ｍ），由A 、B 、C 三点共线，即AB ∥BC

，

故1·ｍ－1·（－2）＝O 解得ｍ＝－2 ∴当ｍ＝－2时，A 、B 、C 三点共线四、课堂练习：

五、小结：熟练定理、公式应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力六、课后作业：

七、板书设计（略）八、课后记

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第一章平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． b a C B A a b C C -=A -AB =B

平面向量基本定理教案(区公开课)

仁爱/诚信/勤奋/创新授课教师：蒋金凤课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班

授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重点平面向量基本定理难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证突破方法通过实例画图和类比平面直角坐标系的象限归纳总结教学模式讲授式、探究式板书设计平面向量基本定理平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影小结：教学过程教学活动学生活动设计意图一、情景引入两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算（1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？看图观察并思考，说出自己的判断和依据学生口述，作图过程得结果独立完成，个别展示从实际生活问题入手，贴近学生的日常生活，能很好地激发学生的求知欲望复习向量的线性运算和共线向量定理，为后续的向量的分解和唯一性作铺垫进入向量分解的探究，刚刚作图的过程还记忆犹新，按照来的痕迹寻找构造平行四边形的方法

平面向量基础知识复习+练习(含答案)

平面向量 1. 基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算： (1)A] A2 A2A3 A n i A n A1A n . ⑵若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则 a b= ( X i x?, y i y ). 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量AB = a、AD = b为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量 AC = a + b, BD=b —a,DB = a —b 且有丨a I —I b I <| a b I <| a I + I b I . 向量加法有如下规律： a + b = b + a (交换律)；a+(b+c)=(a+ b)+c (结合律)；—F- —F —k —V- a + 0= a a + (—a )=0. 3 .实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量。 (1) I a I = I I?I a I ; (2) 当 >0时，a与a的方向相同；当v 0时，a与a的方向相反；当=0时， —t a = 0. (3) 若a= ( X i, y i)，则a= ( X i, y i). 两个向量共线的充要条件： (1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= a . ―b- —te- (2) 若a= ( X i, y i) ,b= ( X2, y2 )则a // b x』2 x? y i 0 . 平面向量基本定理：若e i、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 —*■ 一对实数i, 2，使得a = i e i+ 2 e2.

平面向量经典精品结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结 1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322 a b - ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213 (2,3),(,)24e e =-=- （答： B ）；（3）已知,AD BE 分别是AB C ?的边,BC AC 上的中线,且,A D a B E b == ,则BC 可用向量,a b 表示为_____（答： 2433 a b + ）；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()() 1,2a a λλ= 当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ= ，注意：λa ≠0。 5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b == ，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量a ，b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝2π 时，a ，b 垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ 叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→ ?AB ，4||=?→ ?AC ，5||=?→ ?BC ，则=?BC AB _________ （答：－9）；（2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- ，c 与d 的夹角为4 π ，则k 等于____（答：1）；（3）已知2,5,3a b a b ===- ，则a b + 等于____）；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，

2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线). 五、小结（略）

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法：体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算教学难点：平面向量基本定理．一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解：思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1．平面向量基本定理（1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

2.3.1平面向量基本定理教案

2.3.1 平面向量的基本定理教学目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量．教学重点：平面向量的基本定理及其应用．教学难点：平面向量的基本定理．教学过程：一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C

得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ．注意几个问题：（1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）这个定理也叫共面向量定理；（3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量．例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ．作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ，（2）作平行四边形OACB ，即为所求．已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ．三、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e

平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点及方法总结总结一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、四、向量平行(共线)的充要条件、五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用

1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、（二）利用投影定义

9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、（二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（）（三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________

高中数学有关平面向量的公式的知识点总结.

定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有 OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式 x=(x1+x2/(1+, y=(y1+y2/(1+。(定比分点坐标公式我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。 a//b的重要条件是 xy-xy=0。零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0。 ab的充要条件是 xx+yy=0。零向量0垂直于任何向量.

设a=(x,y,b=(x,y。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x,y+y。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b+c=a+(b+c。 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减 a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y. 4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。当>0时,a与a同方向; 当<0时,a与a反方向; 当=0时,a=0,方向任意。当a=0时,对于任意实数,都有a=0。注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;

高中数学优质课比赛平面向量基本定理教案

《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林一、背景分析 1．教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点．二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培

养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了培养学生核心素养的要求．三．教学过程设计教学过程 1．创设问题、引出新课（一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____ （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是______ 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a=1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______ （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213 (2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→ ?=DB CD 2，?→ ??→ ??→ ?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ 4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下： ()()1,2a a λλ= 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ= ，注意：λ≠0。 5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b == ，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π 时，，垂直。

高中数学平面向量知识点总结82641

平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。一．向量的概念： 1．向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2．向量的表示方法：（1）几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）（2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a

1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：

平面向量基本定理教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课：平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：

平面向量方法总结大全

平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题： 1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD． rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca// 4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.

平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】 1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。【目标分析】知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。【学情分析】有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。不利因素