导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.教师版

智康高中数学.板块一.导数的概念与几何意义.题库.教师版

1．函数的平均变化率：

一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-，

10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-，

则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y

x x

+?-?=

??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率．

注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：

设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-．

如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()()

f x x f x y x x

+?-?=

??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．

“当x ?趋近于零时，00()()

f x x f x x

+?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：

“当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()()

lim x f x x f x l x

?→+?-=?”，

符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作

“当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()()

lim ()x f x x f x f x x

?→+?-'=?”．

3．可导与导函数：

如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．

导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4．导数的几何意义：

设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()()

f x x f x y x x

+?-?=

??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即

知识内容

板块一.导数的概念 与几何意义

000()()

lim

x f x x f x x

?→+?-=?切线AD 的斜率．

由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．

题型一：极限与导数

【例1】

正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)??， B ．(060)??， C ．(6090)??， D ．(60180)??，

【考点】极限与导数 【难度】2星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 如图所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是过底面正三角形ABC 的中心且垂直于底面的垂线

段．当0SO →时，相邻两个侧面的夹角趋近于180?，当SO →+∞时，正三棱锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无限接近60?，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为(60180)??，．

O

S

【答案】D

【例2】 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

A ．2ππn n -??

???， B ．1ππn n -?? ???， C ．π02?? ???， D ．21ππn n n n --?? ???， 【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 当底面的高0→时，相邻两侧面所成的二面角→π；

当底面的高→+∞时，相邻两侧面所成的二面角→正n 边形的内角

2

πn n

-． 【答案】A

【例3】

对于任意π02???∈ ???

，都有（ ）

A ．sin(sin )cos cos(cos )???<<

B ．sin(sin )cos cos(cos )???>>

C ．sin(cos )cos cos(sin )???<<

D ．sin(sin )cos cos(sin )???<<

【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 当0?→时，cos 1?→，而cos(cos )cos11?→<，排除A ；同理可排除B ；

当π

2

?→时，sin(sin )sin1?→，cos 0sin1?→<，排除D ，故选C ．

典例分析

要证明C ，需得用π02x ??

∈ ???

，时，π0sin 2x x <<<（可利用导数的性质或利用三角函数线），

此时有cos(sin )cos x x >，同时有sin(cos )cos x x <．

【答案】C

【例4】

若0

()lim

1x f x x →=，则0(2)

lim x f x x

→=________．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 00(2)(2)

lim 2lim 22x x f x f x x x

→→==．

【答案】2

【例5】 若1(1)lim 11x f x x →-=-，则1(22)

lim 1

x f x x →-=-_______．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无

【解析】 11(22)(22)

lim (2)lim 2122x x f x f x x x

→→--=-?=---．

【答案】2-

【例6】 设()f x 在0x 可导，则()()

0003lim x f x x f x x x

?→+?--??等于（ ）

A ．()02f x '

B ．()0f x '

C ．()03f x '

D ．()04f x ' 【考点】极限与导数

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 ()()0003lim x f x x f x x x ?→+?--??()()

00000()()3lim

x f x x f x f x f x x x

?→+?-+--??= ()()

000000()()3=lim lim 33x x f x x f x f x f x x x x

?→?→+?---?+?

?? ()()000000()3()

=lim 3lim

3x x f x x f x f x x f x x x ?→?→+?--?-+??-?000()3()4()f x f x f x '''=+=． 【答案】D

【例7】

若000(2)()

lim

13x f x x f x x ?→+?-=?，则0()f x '等于（ ）

A ．23

B ．3

2

C ．3

D ．2

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 ∵000000

0(2)()(2)()33

()lim

lim 2232

x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→+?-+?-'===??．

【答案】B

【例8】

设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0

()()

lim

x f x a x f x b x x

?→+?--?=?（ ）

．

A ．()f x '

B ．()()a b f x '+

C ．()()a b f x '-

D ．()f x '

【考点】极限与导数

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】 000()()()()()()

lim lim lim ()()x x x f x a x f x b x f x a x f x f x f x b x a b f x x x x

?→?→?→+?--?+?---?'=+=+???．

【答案】B

【例9】 设(3)4f '=，则0(3)(3)

lim 2h f h f h

→--=（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．3-

D ．1 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 0

0(3)(3)(3)(3)11

lim

lim (3)2222h h f h f f h f f h h →→----??'=?-=-=- ?-??

． 【答案】B

【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，

()()

2f a h f a h

--=______．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】

0()()()()11

lim lim ()1222h h f a h f a f a h f a f a h h →→----??'=?-=-=- ?-??

． 【答案】1-

【例11】 已知函数2

()8f x x x

=+，则0

(12)(1)

lim

x f x f x

?→-?-?的值为 ．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无 【解析】 【答案】20-

【例12】 已知1()f x x =

，则0(2)(2)lim x f x f x

?→+?-?的值是（ ）

A ．14-

B ．2

C ．1

4

D ．2-

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 0(2)(2)lim (2)x f x f f x ?→+?-'=?，21()f x x '=-，故1

(2)4

f '=-．

【答案】A

【例13】 若2

(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 200(1)(1)2()(1)lim lim 1x x f x f x x

f x x

?→?→+?-?+?'===??．

【答案】1

【例14】 已知函数()f x 在0x x =处可导，则22

000[()][()]lim x f x x f x x

?→+?-=?（ ）

A ．0()f x '

B ．0()f x

C ．20[()]f x '

D ．002()()f x f x '

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 220000000000[()][()]()()

lim lim [()()]2()()x x f x x f x f x x f x f x x f x f x f x x x

?→?→+?-+?-'=?+?+=??．

【答案】D

【例15】 计算32

lim

43

n n n →∞-=+________．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 2

3323lim lim 3434

4n n n n n n

→∞→∞-

-==++

． 【答案】3

4

【例16】 222lim 23

n n n

n →∞+=-_______．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 2

222

121lim lim 3

232

2n n n n n n n

→∞→∞+

+==--． 【答案】1

2

【例17】 将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*

n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积

记为n S ，则lim n n S →∞

= ．

【考点】极限与导数

【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2010，上海，高考11

【解析】 直线2l 与3l 的交点坐标为,11n n n n ?? ?++??

，从而121211n

n n S n n =???=++，从而lim 1n n S →∞= 【答案】1

【例18】 2

111lim 1333n

n →∞

??

+

+++

= ??

?

（ ）

A ．

53

B ．

32

C ．2

D ．不存在 【考点】极限与导数

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】2010，江西，高考4

【解析】 1

21111133lim 1lim 1

33

3213n n n n +→∞

→∞??- ???++++==

? ??? ?-

??

?

【答案】B

【例19】 如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接

正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞

=（ ）

r O

A ．22πr

B ．28

π3

r C ．24πr D ．26πr

【考点】极限与导数 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】2010，湖北，高考7

【解析】 设第n 个圆的面积为n a ，则2

1πa r =，134n n a a -=，于是2

3π14314

n n r S ??

??- ? ? ?????=-

，从而2lim 4πn

n S r →∞= 【答案】C

【例20】 22

1

12lim 3243x x x x x →??

-=

?-+-+??

______． 【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 原式1111232(2)11

lim lim lim (1)(2)(1)(3)(1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x x x x x x x →→→??---=-

==-=- ?---------?

?． 【答案】1

2

-

【例21】 若

1n =，则常数a =_______

．

【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 212n n n a a

→∞

====?=；

【答案】2

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】

π

(1)x x x →→=-=-

【答案】-

【例23】 2

123lim

n n

n →∞+++

+=_________

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】

2211

1(1)

123112lim lim lim lim

222

n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++++====； 【答案】1

2

【例24】 0

12lim (2)x x x x →??-=

?+??

________． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 00121lim lim (2)(2)2x x x x x x x x →→??-== ?++??． 【答案】1

2

【例25】 211

lim 34

x x x x →-=+-__________．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 11111

lim

lim (1)(4)45x x x x x x →→-==-++．

【答案】1

5

【例26】 2241lim 42x x x →??-= ?--??

（ ） A ．1- B ．14- C ．1

4

D ．1 【考点】极限与导数

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】2010，重庆，高考3

【解析】

【答案】B

【考点】极限与导数 【难度】1

星 【题型】选择

【关键词】2009，北京，高考

【解析】 1

1

2

x x →→==，极限中的常规题． 【答案】1

2

【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12n a a a n +∈∈R N ，，，，，已知对一切

x ∈R ，有()sin f x x ≤和0sin lim 1x x

x

→=，求证：1221n a a na +++≤．

【考点】极限与导数 【难度】6星 【题型】解答

【关键词】第七届美国普特南数学奥林匹克竞赛

【解析】 由于12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =++

+，

则12()cos 2cos2cos n f x a x a x na nx '=+++，所以12(0)2n f a a na '=++

+．

由于0

00sin ()(0)()

(0)lim lim lim 1x x x x f x f f x f x x x

?→?→?→??-?'===???≤， 故有1221n a a na ++

+≤．

【答案】

【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，

，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．

【考点】极限与导数 【难度】1星

【题型】填空

【关键词】2008，北京，高考

【解析】 ((0))(4)2f f f ==；04

(1)220

f -'=

=--． 【答案】22-，

【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，

则((0))f f = ；0(1)(1)

lim x f x f x

?→+?-=? ．

（用数字作答）

【考点】极限与导数

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】2008，北京，高考

【解析】 由图可知2402()22x x f x x x -+?=?-

≤≤≤6，根据导数的定义知0(1)(1)

lim (1)2x f x f f x ?→+?-'==-?．

【答案】22-，

【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（ ）

B.A.

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 根据可导的定义，函数在1x =处可导，则极限0

(1)(1)

lim

x f x f x

?→+?-?存在，此时0x ?→，故必

有(1)(1)0f x f +?-→（即函数在该点处连续），排除A ，D ；

又x ?可正可负，B 中x ?为正时，(1)(1)1f x f x +?-=-?，x ?为负时，(1)(1)

1f x f x

+?-=?，故极

限不存在，B 排除．

并不是所有的函数都是可导的，只是我们平时遇到的可以写出解析式的连续函数一般都是可导的．课本淡化极限与可导的理论，在这里可以结合这几个函数的图象形象地说明一下，不必深究．

【答案】C

【例32】 函数2

()21f x x =+在闭区间[11]x +?，内的平均变化率为（ ）

A ．12x +?

B ．2x +?

C ．32x +?

D ．42x +?

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 2(1)(1)2(1)1342f x f x x x x

+?

-+?+-==+???．

【答案】D

【例33】 求函数y =

0x 到

0x x +

?之间的平均变化率．

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】无

【解析】

∵222

y ?=

=

∴

y

x

?=?

【答案】

y

x ?=?

【例34】 若函数2

()f x x

=

，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 22(1)(1)(2)11

x

f x f x x ?-+?--=

--=

-+??-， 00(1)(1)2lim lim 21x x f x f x

x ?→?→-+?--==-??-． 【答案】D

【例35】 求函数2

()f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】无

【解析】 函数()f x 在1x =-处的平均变化率为：

2(1)(1)(1)(1)2

3y f x f x x x x x x

?-+?----+?+-+?+===-????， 1-处的瞬时变化率与导数相等，为00

(1)lim

lim(3)3x x y

f x x ?→?→?'-==-?=?． 【答案】3x -?，3,3

【例36】 求函数3

()2f x x x =-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】无

【解析】 函数()f x 在1x =处的平均变化率为：

3(1)(1)(1)2(1)(12)y f x f x x x x x ?+?-+?-+?--==???322()3()()31x x x

x x x

?+?+?==?+?+?， 1处的瞬时变化率与导数相等，

为2000(1)(1)

(1)lim lim lim(()31)1x x x y f x f f x x x x

?→?→?→?+?-'===?+?+=??．

【答案】2()31x x ?+?+，1，1

【例37】 已知某物体的运动方程是3

199

s t t =+

，则当3t =s 时的瞬时速度是_______． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无 【解析】 【答案】12

【例38】 已知某物体的运动方程是22

23

2t s t t

-=

+，则3t =时的瞬时速度是_______． 【考点】极限与导数 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】无 【解析】

【答案】12

【例39】 已知物体的运动方程是23

s t t

=+

，则物体在时刻4t =时的速度v =____，加速度a = ． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】无

【解析】 232v s t t '==-

，3

62a v t '==+，4t =时，312581616v =-=，667

26432

a =+=． 【答案】12567,

1632

．

【例40】 物体运动方程为4

134s t =

-，则2t =时瞬时速度为（ ） A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 3v s t '==，2t =时，8v =．

【答案】D

【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t

s 后的距离为4321

4164

s t t t =-+，

则速度为零的时刻是（ ）

A ．4s 末

B ．8s 末

C ．0s 与8s 末

D ．0s ，4s ，8s 末

【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 321232v s t t t '==-+，令0v =得0t =，4或8．

【答案】D

【例42】 如果某物体做运动方程为2

2(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s

末的瞬时速度为（ ）

A ．0.88-m/s

B ．0.88m/s

C ． 4.8-m/s

D ．4.8m/s 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】无

【解析】 4s t '=-， 1.2t =时， 4.8v s '==-．

【答案】C

【例43】

求y =在0x x =处的导数． 【考点】极限与导数 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】无

【解析】

y

x

?=

=

?

，

当x ?无限趋近于0

，

∴

()

f x

'=．

【答案】

()

f x

'=

题型二：导数的几何意义

【例44】已知曲线

1

y x

x

=+上一点

5

2

2

A

??

?

??

，，用斜率定义求：

⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．

【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】解答

【关键词】

【解析】分析：求曲线在A处的斜率

A

k，即求

(2)(2)

lim

x

f x f

x

?→

+?-

?

，其中

1

()

f x x

x

=+．⑴记

1

()

f x x

x

=+，(2)(2)

y f x f

?=+?-

11

22

222(2)

x

x x

x x

-?

??

=+?+-+=+?

?

+?+?

??

，00

(1)lim lim

2(2)

x x

y x x

f

x x x x

?→?→

??

?-??

'==+

??

??+??

??0

13

lim1

2(2)4

x x

?→

??

-

=+=

??

+?

??

；

⑵切线方程为

53

(2)

24

y x

-=-，即3440

x y

-+=．

注：也可先求

1

y x

x

=+的导函数，

2

00

()()11

lim lim11(0)

()

x x

f x x f x

y x

x x x x x

?→?→

??

+?--

'==+=-≠

?

?+?

??

，

再计算

13

(2)1

44

y'=-=．

【答案】⑴

3

4

，⑵3440

x y

-+=

【例45】

已知曲线

1

y

x

=上一点(12)

A，，用斜率定义求：

⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．

【考点】导数的几何意义【难度】2星【题型】解答

【关键词】

【解析】分析：求曲线在A处的斜率

A

k，即求

(1)(1)

lim

x

f x f

x

?→

+?-

?

，其中

1

()

f x

x

．⑴

记

1

()

f x

x

，(1)(1)

y f x f

?=+?

-

1

2

1x

=-

+?

，

00

1

11

1

lim lim

x x

y x

x x

?→?→

??

+-

?

?+?

= ?

??

?

?

?

?

1

lim

1

x x

?→

?

=-?

+??

11

1

22

=-=-．

⑵切线方程为

1

2(1)

2

y x

-=--，即250

x y

+-=．

【答案】⑴1

2

-，⑵250x y +-=

【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-

B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<

C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<-

D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 设23x x ==，时曲线上的点为A ，B ，点A 处的切线为AT ，

点B 处的切线为BQ ，

∵(3)(2)f f -(3)(2)

32

AB f f k -==-，∵(3)BQ f k '=，(2)AT f k '=，

如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角BQ AB AT k k k <<．

【答案】B

【例47】 求函数()a

f x ax x

=+

(0)a ≠的图象上过点A 2(1)a a +，

的切线方程． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】

【解析】 2()()()(1)a x

f a x f a a a x a a x a x a x

?+?-=+?+

-+=?-

+?+?， ()()1

y f a x f a a x x a x

?+?-==-

??+?， ∴01lim x y a x a ?→?=-?，即过点A 的函数图象的切线方程为211()y a a x a a ?

?--=-- ??

?， 即2(1)20a x ay a --+=．

【答案】2(1)20a x ay a --+=

【例48】 曲线32

1y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（ ）

A ．1y x =-

B ．2y x =-

C ．y x =

D ．1y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 232y x x '=+，(1)1y '-=，P 在曲线上，故切线方程为11y x y x +=+?=．

【答案】C

【例49】 求曲线1

y x

=

在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．

【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】解答

【关键词】 【解析】

【答案】1l ：2y x =-+；2l ：2y x =--．

【例50】 函数1y x =-在点122??

- ???

，处的切线方程为（ ）

A ．4y x =

B ．44y x =-

C ．4(1)y x =+

D ．24y x =+ 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 点122??- ???，在函数的图象上，21y x '=，142y ??'= ???，故切线方程为1242y x ?

?+=- ??

?．

【答案】B

【例51】 已知曲线214y x =

的一条切线的斜率为1

2

，则切点的横坐标为_______． 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 【答案】1

【例52】 曲线3

24y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）

A ．30?

B ．45?

C ．60?

D ．120? 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】2008，全国Ⅰ，高考

【解析】 232y x '=-，1x =时，1tan 45y '==?．

【答案】B

【例53】 过点(11)，作曲线3y x =的切线，则切线方程为__________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 点(11)，可能是切点，也可能是切线经过(11)，点．

【答案】320x y --=或3410x y -+=

【例54】 曲线2

x

y x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】 【解析】

【答案】21y x =-+

【例55】 若曲线21y x =-与3

1y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 曲线21y x =-在0x x =处的切线斜率为00()2y x x '=；曲线31y x =-在0x x =处的切线的斜率为

2

00

()3y x x '=-，由题意有：200

2(3)1x x ?-=-，解得0x =． 【答案】A

【例56】 设曲线1

1

x y x +=

-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．12

C ．1

2

- D ．2-

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】2008，全国Ⅰ，高考

【解析】 211y x =+-，2

2(1)y x '=--，于是1(3)2y '=-，由题意得：1

()12a -?-=-2a ?=-． 【答案】D

【例57】 设曲线2

y ax =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a =（ ）

A ．1

B ．12

C ．1

2

- D ．1-

【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】

【解析】 ()2y x ax '=，(1)221y a a '==?=．

【答案】A

【例58】 若曲线4

y x =的一条切线l 与直线48y x =+平行，则l 的方程为______________． 【考点】导数的几何意义

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】 【解析】

【答案】43y x =-

【例59】 若曲线4

y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）

A ．430x y --=

B ．450x y +-=

C ．430x y -+=

D ．430x y ++= 【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在切点的导数为4，而34y x '=，

所以4y x =在(11)，处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A ．

【答案】A

【例60】 设P 为曲线C ：2

1y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，

则点P 纵坐标的取值范围是_______．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】 【解析】 【答案】[13]，

【例61】 设P 为曲线C ：2

23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04

π????

?

?

，，

则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112?

?

--???

?，

B ．[]10-，

C ．[]01，

D ．1

12??????

，

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】2008，辽宁，高考

【解析】 设00()P x y ，，22y x '=+，点P 处的切线的斜率的取值范围为πtan 0tan [01]4?

?=????

，，， 故00221x +≤≤，解得01

12

x --≤≤．

【答案】A

【例62】 曲线21

x

y x =

-在点()11，

处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=

D ．450x y --=

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】2009，全国Ⅱ，高考

【解析】 1

x y ='

=

2

1

2121(21)x x x

x =--=--，

故切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．

【答案】B

【例63】 设函数2

()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21y x =+，则曲线()

y f x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）

A ．4

B ．14-

C ．2

D ．1

2

-

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2009，江西，高考

【解析】 由已知(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+?=．

【答案】A

【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点

()()11f --，处的切线的斜率为 ．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2009，北京，高考

【解析】 由偶函数的图象关于y 轴对称知，在对称点处的切线也关于y 轴对称，故所求切线的斜率为

1-．也可由特殊函数y x =得到此题答案．

【答案】1-

【例65】 函数sin y x =的图象上一点π3?

??

处的切线的斜率为（ ）

A ．1

B

C

D ．

12

【考点】导数的几何意义 【难度】1星

【题型】解答

【关键词】

【解析】 cos y x '=，π1cos

32

=． 【答案】D

【例66】 曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）

A

B ．

C ．

D ．0

【考点】导数的几何意义

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】

【解析】 221y x '=

-，令2

221

x =-得1x =，故曲线ln(21)y x =-过点(1,0)的切线2(1)y x =-与直线230x y -+=平行，结合图象知，点(1,0)到直线230x y -+=的距离即为所求的最短距离，

故最短距离为d ==

【答案】A

【例67】 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3

:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在

点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 令23102y x '=-=，解得2x =±，又点P 在第二象限，故P 点的横坐标为2．

【答案】(2,9)-

【例68】 抛物线2

y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0bx y c ++=间的距离为________． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 2y x b '=+，于是2b b +=-，解得1b =-，又点(1,2)在抛物线上，故12b c ++=，解得2c =，

要求切线到其平行线的距离，即求点(1,2)到其平行线20x y -++=的距离，故

d =

【例69】 若0y =是曲线3

y x bx c

=++的一条切线，则32()()32

b c

+=（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 设切线0y =的切点为0(,0)x ，由23y x b '=+知，3200003x bx c x b ++==+，于是203b x =-，

302c x =，故3266

00()()032

b c x x +=-+=．

【答案】B

【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2

k k a a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，若

116a =，则135a a a ++的值是 ．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2010，江苏，高考8 【解析】 【答案】21

【例71】 已知点P 在曲线4

e 1x y =

+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．π04

??

???

?

，

B ．ππ42??????，

C ．π3π24?? ???，

D ．3ππ4???

???，

【考点】导数的几何意义 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】2010，辽宁，高考10

【解析】 2

441(1)2x x x x e y e e e

--'==+++，124x x e e ++≥，故[1,0)y '∈-，从而tan [1,0)α∈-,3ππ4α??

∈????， 【答案】D

【例72】 曲线2

x

y x =

+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．23y x =--

D ．22y x =--

【考点】导数的几何意义 【难度】1星 【题型】选择

【关键词】2010，全国Ⅰ，高考3

【解析】 【答案】A

【例73】 若曲线12

y x

-=在点12a a -?

? ???

，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，

则a =（ ）

A ．64

B ．32

C ．16

D ．8

【考点】导数的几何意义

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2010，全国Ⅱ，高考10

【解析】 曲线在点1

2a a -?? ???

，的切线方程为()13221

2y a a x a --????-=-- ? ?????，

于是1

2133186422

S a a a -=??=?=．

【答案】A

【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e)f 处的切线方程是

．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2010，丰台，一模

【解析】 ()e 11

e e x

f x

='=

=，∴所求的切线方程为()()()e e e y f f x '-=-， 即()1

lne e e

y x -=-，化简为e 0x y -=．

【答案】e 0x y -=

【例75】 设曲线()1*

n y x n +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ?等于

（ ）

A ．1n

B ．

1

1

n + C ．

1

n n + D ．1

【考点】导数的几何意义 【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2009，陕西，高考

【解析】 对1n y x +=求导得(1)n y n x '=+，令1x =得在点(11)，处的切线的斜率1k n =+，

在点(11)，处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令0y =，得1

n n

x n =

+， 则121231

23411

n n x x x n n =????=

++，故选B ． 【答案】B

【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）

A ．0

B ．1-

C ．1

D ．1± 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 设切点为00()x y ，，则01k x =

，于是知0000

1

10ln y x x x =?-==，故01x =，1k =． 【答案】C

【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为（ ）

A ．1

B ．2

C ．1-

D ．2-

【考点】导数的几何意义 【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2009，全国Ⅰ，高考

【解析】 设切点00()P x y ，，则001y x =+，00ln()y x a =+， 又∵001

1x x y x a

='==+，∴01x a +=，00y =，01x =-．

∴2a =，选B ．

【答案】B

【例78】 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：3

103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C

在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ． 【考点】导数的几何意义

【难度】2星

【题型】填空

【关键词】2009，江苏，高考【解析】 231022y x x '=-=?=±，又点P 在第二象限内，故2x =-，点P 坐标为(215)-，．

【答案】(215)-，

【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3

y x

=和215

94

y ax x =+

-都相切，则a 等于（ ） A ．1-或2564- B ．1-或214 C ．74-或2564- D ．7

4

-或7

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】2009，江西，高考

【解析】 设过(10)，的直线与3y x =相切于点300()x x ，

，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，即230032y x x x =-，又(10)，在切线上，则00x =或03

2

x =，

当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得25

64

a =-，

当032

x =时，由272744y x =-与215

94y ax x =+-相切可得1a =-．

【答案】A

【例80】 已知函数2

1()()5

g x f x x =+

的图象在P 点处的切线方程为8y x =-+，

又P 点的横坐标为5，则(5)(5)

f f '+=________．

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 2

(5)(5)5(5)215

g f f '''=+?=+=-(5)3f '?=-；又P 点的坐标为(53)，

，故(5)3(5)5g f

f ==+?=-，从而(5)(5)235f f '+=--=-．

【答案】5-

【例81】 设曲线1cos sin x y x +=

在点π12??

???

，

处的切线与直线10x ay -+=平行，则实数a 等于（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．2

【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 22sin sin (1cos )cos 1cos sin sin x x x x x y x x -?-+--'=

=，于是π12y ??'=- ?

??

，故111a a =-?=-． 【答案】A

【例82】 已知函数()log a f x x =和()2log (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，

，的图象在2x =处的切线互相平行，则t =_______． 【考点】导数的几何意义 【难度】2星 【题型】填空

【关键词】

【解析】 1

()ln f x x a

'=

，4()(22)ln g x x t a '=+-，于是有142ln (42)ln a t a =

+-，∵1a ≠，解得6t =． 【答案】6

导数的概念和几何意义.doc

题号 ■ ? — 总分 得分 评卷人 得分 绝密★启用前 导数的概念和几何意义 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 1. 曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切线方程为（ ） A. y = -2x + 2〃 B. y = 0 C. y — -2x - 2/r D. y = 2x + 2/r 【答案】A 【解析】 试题分析：因为，y=2sinx,所以，y' = 2cosx,曲线y=2sinx 在点P （ n , 0）处的切 线斜率为-2,由直线方程的点斜式，整理得，曲线y 二2sinx 在点P （ n , 0）处的切线 方程为），二一2工+ 2几，选A 。 考点：导数的几何意义 点评：简单题，曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。 2. 若蓦函数），二 /（】）的图像经过点A （：S ）,则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4x + 4y+ 1 = 0 B. 4x-4y + l = 0 C. 2x-y = 0 D. 2x+ y = 0 【答案】B 【解析】 试题分析：设/（x ） = f ,把人（一,一）代入，得一=一，得。=一，所以j 、（x ） = E=￡, 4 4 广（：）=1 ,所以所求的切线方程为y — ! = * — !即4x — 4y +1 = 0 , 选B. 考点：羸函数、曲线的切线. 3. 函数f （x ） = e x cosx 的图像在点（0,/（0））处的切线的倾斜角为（） 考试范围：导数的概念和几何意义；考试时间： 100分钟；命题人：张磊

(C) (l,e) (D) (0,2) 7[ 3兀 A 、一 B N 0 C N — D 、1 4 4 【答案】A 【解析】 试题分析：由广⑴= / （cosx — sin X ）,则在点（0,/（0））处的切线的斜率k =广 （0） = 1, TT 故倾斜角为一.选A. 4 考点：1.利用导数求切线的斜率；2.直线斜率与倾斜角的关系 4. 曲线y = b 在点（2,疽）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） 2 A. * B. 2e 2 C. 4e 2 D.— 2 【答案】D 【解析】 试题分析：?.,点（2,疽）在曲线上，..?切线的斜率k = y x _2 = e x x _2 = e 2 , ..?切线的方程为y —疽=疽（工—2）,即e 2 x-y-e 2 =0, 两坐标轴的交点坐标为 (0,-乃，(1,0), 考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 5.曲线= e v 在点A 处的切线与直线x —y + 3 = 0平行，则点月的坐标为（ ） (A) (-l,e _,) (B) (0,1) 【答案】B 【解析】 试题分析：直线x —y + 3 =。的斜率为1,所以切线的斜率为1, B|J k = y , = e x ^=} 解得%0=0，此时y = e° = \ ,即点A 的坐标为（0,1）. 考点：导数的几何意义. 6.设|1】|线），=史在点（3,2）处的切线与直线” + y + l = 0垂直，则。等于（ ） %-1 A. 2 B. — C. — D. — 2 2 2 【答案】D 【解析】 试题分析：由y = - => y'= ~~ = ------ 曲线y =三口 在点（3,2）处 , A-1 . （X-1）- （X-1）- ? X-1

导数概念及其几何意义

导数概念及其几何意义 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量满足（） A .>0 B .<0 C D. =0 2、设函数，当自变量由改变到时，函数值的改变量是（） A B C D 3、已知函数的图像上一点（1，2）及邻近一点，则等于（） A 2 B 2x C D 2+ 5．函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．在曲线y=2x2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx,1+Δy）,则等于（） A．4Δx+2Δx2 B．4+2Δx C．4Δx+Δx2 D．4+Δx 7．若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y－1=0，则（） A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0 C．f′(x0)=0 D．f′(x0)不存在 8．已知命题p：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q：函数y=f(x)是一次函数，则命题p是命题q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则等于（） A．f′(x0) B．0 C．2f′(x0) D．－2f′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f′(0)等于（） A．0 B．1 C．－1 D．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是______ 函数．（填增、减、常函数） 13．设f(x)在点x处可导，a、b为常数，则=_____． 16．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率．(2)点A处的切线方程． 17．已知函数f(x)=，试确定a、b的值，使f(x)在x=0处可导．

导数的概念及其几何意义教案

§2 导数的概念及其几何意义 第四课时 导数的几何意义习题课 一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法 教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课 例1、在曲线34x y =上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1； （2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则 202002020202020) (48)()(484)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30 400088)(x x x x f -=-='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。 ∴1)(0='x f ，即1830 =-x ， ∴20-=x ，10=y 。 即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直， ∴1)16 2(·)(0-=--'x f ，即181·830-=-x ，

∴10=x ，40=y 。 即P （―1，4）。 （3）∵切线倾斜角为135°， ∴1135tan )(00-=='x f ，即1830 -=- x ， ∴20=x ，10=y 。 即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。 解：设过（1，1）点的切线与13+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则 2020320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2003)(x x f ='， 由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为203x k = ① 又过（1，1）点的切线的斜率1 11030--+=x x k ② ∴由①②得：130302 -=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427=k ， ∴曲线13+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或427。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线 比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

《导数的概念与几何意义》导学案

第1课时　导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是　. 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直

线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点　 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点　 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线　 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：

导数的概念及其几何意义

导数的概念及其几何意义 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 2.单元内容结构图 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法 .因而也是解决诸如增长率、

膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 在本单元——导数的概念及其意义中，学生将通过实际情境，经历用平均变化率和瞬时变化率刻画实例的过程，感受数学的极限思想，抽象生成导数的概念，并通过函数图像直观感受导数的几何意义，感受“以直代曲”的极限思想.能够用导数的概念解释生活中的现象，体会用导数的知识研究函数的思想方法.通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 本单元设计了三个分讲，共计4课时，分别是章引言与两个变化率问题（2课时），导数的概念及其几何意义（1课时），导数的应用及导函数（1课时）. 3. 课时内容解析 本课时内容选自人教社A 版《选修2-2》第一章导数及其应用中第一单元导数的概念及其意义中的单元分讲2——导数的概念及其几何意义，用时1课时. 本课时内容是在学生已经学习了分讲1——章引言和两个变化率问题，即：已经研究了物理学中的平均速度和瞬时速度，几何学中的割线斜率和切线斜率的基础上，通过数学抽象，生成导数的概念及其表达.从“数”的角度理解导数概念的本质就是瞬时变化率.从“形”的角度，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线的斜率就是函数2 ()f x x =在0x =处的导数的几何意义，抽象生成一般曲线()y f x =在0x x =处的导数的几何意义. 通过信息技术，直观感受“以直代曲”的极限思想，感受“数”与“形”的相辅相成.由质疑“切线的原始定义”为出发点，类比分讲1中曲线2 ()f x x =在点(0,0)处的切线定义，抽象生成一般曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线定义. 体会微积分的重要思想——用运动变化的观点解决问题.课时中的两个生活实例，意在引导学生用导数的概念解决 “原油的瞬时变化率”问题，用导数的几何意义解决运动员“高台跳水”不同时刻的变化情况，感受数学源于生活，用于生活的价值.培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，提升分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象和直观想象的数学核心素养. 基于以上分析，确定本课时的教学重点：抽象生成导数的概念，直观感受导数的几何意义，体会“以直代曲”的极限思想. 二.教学目标设置 （一）本章教学目标

高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计

《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观

导数的概念、几何意义及其运算

导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -

偏导数的几何意义教学内容

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做

, , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为 记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或

由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在 变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求 时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求的偏导数 解= , = 二偏导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义

§57 导数的概念及导数的几何意义⑴ 【考点及要求】了解导数的概念，理解导数的几何意义，通过函数图象能直观地理解导数的几何意义。 【基础知识】 1．一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为，平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度； 2．不妨设))(,()),(,(0011x f x Q x f x P ，则割线PQ 的斜率为， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴=PQ k ，当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=) ()(00无 限趋近点Q 处切线。 3．曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：x x f x x f k ?-?+= ) ()(00，当 △x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的，记为． 4．瞬时速度与瞬时加速度：位移的平均变化率： t t s t t s ?-?+) ()(00，称为；当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的；速度的平均变化率： t t v t t v ?-?+)()(00，当无限趋近于0 时，t t v t t v ?-?+) ()(00无限趋近于一个常数，这个常数 称为t=t 0时的． 【基础练习】 1．已知函数2()f x ax =在区间[1,2]上的平均变化率为,则()f x 在区间[-2,-1]上的平均变化率为 ． 2．A 、B 两船从同一码头同时出发,A 船向北,B 船向东,若A 船的速度为30km/h,B 船的速度为40km/h,设时间为t,则在区间[t 1,t 2]上,A,B 两船间距离变化的平均速度为____ __ _ 【典型例题讲练】 例1．已知函数f(x)=2x+1, ⑴分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f(x)的平均变化率； ⑵.探求一次函数y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率的特点； 练习：已知函数f(x)=x 2+2x ，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率; ⑴[1，2]； ⑵[3，4]； ⑶[－1，1]； ⑷[2，3] 【课堂检测】 1．求函数()y f x == 在区间[1,1+△x]内的平均变化率

导数的概念和几何意义同步练习题(教师版)

1 导数的概念和几何意义同步练习题 一、选择题 1．若幂函数()y f x =的图像经过点11(,)42 A ，则它在A 点处的切线方程是（ ） A. 4410x y ++= B. 4410x y -+= C ．20x y -= D. 20x y += 【答案】B 【解析】试题分析：设()a f x x =，把11(,)42A 代入，得1142a =， 得1 2 a =， 所以1 2()f x x = ()f x '= ，1 ()14f '=，所以所求的切线方程为11 24 y x - =-即4410x y -+=，选B.考点：幂函数、曲线的切线. 2．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( ) A 、 4π B 、0 C 、4 3π D 、1 【答案】A 【解析】试题分析：由)sin (cos )('x x e x f x -=，则在点()()0,0f 处的切线的斜率1)0('==f k ， 1.利用导数求切线的斜率； 2.直线斜率与倾斜角的关系 3．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B.2 2e C.2 4e D.22 e 【答案】D 【解析】试题分析：∵点2 (2)e ，在曲线上，∴切线的斜率'22 2 x x x k y e e --===， ∴切线的方程为22(2)y e e x -=-，即22 0e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为2 (0,)e -，(1,0)， ∴22 1122 e S e =??=.考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形面积公式. 4．函数2 ()f x x =在点(2,(2))f 处的切线方程为( ) A ．44y x =- B ．44y x =+ C ．42y x =+ D ．4y = 【答案】A 【解析】 试题分析：由x x f 2)(='得切线的斜率为4)2(='f ，又4)2(=f ，所以切线方程为)2(44-=-x y ，即44-=x y .也可以直接验证得到。考点：导数求法及几何意义 5．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）() 1 1,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2

(完整版)导数的概念及其几何意义同步练习题(学生版)

导数的概念及其几何意义同步练习题 一、选择题 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? C ．3t +? D ．9t +? 3. 函数y =f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0+⊿x 时，函数值的改变量⊿y 为（ ） A.f (x 0+⊿x ) B.f (x 0)+⊿x C. f (x 0)?⊿x D. f (x 0+⊿x )- f (x 0) 4.已知函数y =f (x )=2x 2-1的图像上一点（1,1）及邻近一点（1+⊿x ，1+⊿y ），则 等于（ ） A.4 B.4x C.4+2⊿x D.4+2(⊿x ) 2 5. 一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A. 3Δt ＋6 B. －3Δt ＋6 C. 3Δt －6 D. －3Δt －6 6.若函数y =f (x )在x 0处可导，则000()()lim h f x h f x h ?+-的值（ ） A.与x 0，h 有关 B.仅与x 0有关，而与h 无关 C. 仅与h 有关，而与x 0无关 D. 与x 0，h 都无关 7. 函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 8.设函数f (x )=，则()()lim x a f x f a x a ?--等于( ) A.1a - B.2a C.21a - D.21a 9. 下列各式中正确的是( ) A. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x －Δx )－f (x 0)Δx B. y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx C. f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx D. f ′(x )＝li m Δx →0 f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx 10. 设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx 等于( ) A. f ′(1) B. 不存在 C. 13 f ′(1) D. 以上都不对 11. 设函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( ) A. 2 B. －2 C. 3 D. 不确定 12. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A. 194 B. 174 C. 154 D. 134 13.曲线y=2x 2+1在点P （-1,3）处的切线方程是（ ） A.y =-4x -1 B.y =-4x -7 C.y =4x -1 D.y =4x -7 14.过点（-1,2）且与曲线y =3x 2-4x +2在点M （1,1）处的切线平行的直线方程是（ ） A.y =2x -1 B.y =2x +1 C.y =2x +4 D .y =2x -4 15. 下面四个命题： ①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在； ③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④曲线的切线和曲线有且只有一个公共点． 其中，真命题个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 函数y ＝f (x )的导函数f ′(x 0)图像如图所示，则在y ＝f (x )的图像上A 、B 的对应点附近，有( )

数学组导数的概念及其几何意义教案

导数的概念及其几何意义 教学目标： 1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义. 2.了解导函数的概念,会求导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 重点 本课重点是求曲线上某点处的切线方程. 难点： 本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程. 教学过程： 1导函数的概念 （1）定义式： . （2）f ′(0x )与f ′(x)的区别：f ′(0x )是一个确定的数，f ′(x)是随x 的变化而变化的一个函数. 2.函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义 （1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(0x ,f(0x ))处的切线的 斜率 （2）相应的切线方程：y-f(0x )=f ′(0x )(x-0x ) 特别明确： 1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？ 提示：不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点. 2.导数与切线有何联系？ 提示：函数y=f(x)在x=处的0x 导数f ′(0x )是曲线f(x)在x=0x 处的切线的斜率，即k=f ′(0x ). 例1一条水管流过的水量y(单位：m 3)是时间s)(单位：x 的函数x x f y 3)(==求函数)(x f y =在2=x 处的导数)2(f '并解释它的实际意义. 解当x 从2变到x x ?+时函数值32?从变到)2(3x ?+函数值y 关于x 的平均变化率为 ()()()x 0f x x f x y f x lim x ?→+?-'='=?

)/(3323)2(3)2()2(3s m x x x x x f x f =??=??-?+=?-?+ 当x 趋于2时平均变化率趋于3所以s m f /3)2(3=' 导数)2(f '表示当时2=x 水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是如果水管中的水以s x 2=是的瞬时速度流动的话，每经过1s 水管中流过的水量为33m 的食品 么他每时可以生产保持这一生产速度，那也就是说，如果的时候，其生产速度为表示该工人上班后工作食品 可以生产生产速度，那么他每时就是说，如果保持这一，也工作效率）为的时候其生产速度（即表示该工人上班后工作解试解释它们的实际意义 和处的导数分别为和在假设函数的函数工作时间是其单位：生产的食品量上班后开始连续工作，一名食品加工厂的工人例 3.5kg 3.5kg/h 3h 3.5(3)f 4kg kg/h 41h 4(1)f :, 3.5(3)f 4(1)f 3x 1x f(x)y f(x).y x kg)y(2='='='='====[][][][][][]l (-2,4)x y 4 -2x x y x 4)(4)2(x)2-x 2-2-)2(5.35 .0)2()5.1(5.0)2()5.1(31 )2()1(1)2()1(22 )2(02f(-2)-f(0).5.1-2-1-2-0,2-x 2,1,0.5x 12x y 2,x y 2,1,0,5x )1(2 ,x f(x)y 32022 2222 22 22 200,0200202处的切线为在点曲线处的导数为在趋于零，知函数令（上的平均变化率为 ，在区间化率分别为 在这些区间上的平均变，，，，相应为时区间）解（处的导数 在）求函数（上的平均变化率， 在区间求分别对已知函数例=-==??+-=??+?-=?--?+?+=-=---=----=---=----=--=?+=?-==?+==?-===x x x x x x y f f f f x x x x x x x （四）小结: 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳） ①求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f ' ②得切线方程))(()(00x x x f x f y -'=-

高中数学知识点总结-导数的定义及几何意义

导数的定义及几何意义 1．x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。 注：①函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，x ?趋近 于0可正、可负、但不为0，而y ?可能为0。③x y ??是函数)(x f y =对自变量x 在x ?范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）及点（0x +x ?， )(00x x f ?+）的割线斜率。④导数x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是 曲线)(x f y =上点（0x ，)(0x f ）处的切线的斜率。⑤若极限x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点 都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应 着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分： 求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。 [举例1]若2)(0/=x f ，则k x f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2 解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2?k x f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。 [举例2] 已知0,a n >为正整数设()n y x a =-，证明1'() n y n x a -=- 解析：本题可以对()n y x a =-展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明： x a x a x x y n n x ?---?+=→?)()(lim 0/= x a x x C x a x C x a x C a x n n n n n n n n n x ?--?++?-+?-+---→?)()()()()()(lim 222110 =

数学高二-选修2教案 第二节导数的概念及其几何意义2.2导数的概念

第二节 导数的概念及其几何意义 2.2.1 导数的概念 教学设计 教学目标 1．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数。 2．能解释具体函数在一点的导数的实际意义。 3．会求一些简单函数在某一点处的导数。 教学指导 导数概念的建立比较困难，所以学习中可先回顾上一节的概念，体会从平均变化率到瞬时变化率（即导数）的变化过程，从而产生从更一般的角度研究函数瞬时变化率即导数的心理需求。学习中可以相对淡化概念，注重用定义求导数的方法与过程。 知识点归纳 设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为0101)()(x x x f x f x y --=??x x f x x f ?-?+=)()(00当1x 趋于0x 时，即0→?x ，如果 平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数()x f y =在0x 点的瞬时变化率。在数学中，称 为函数()x f y =在0x 点的 ，通常用符号 表示。 重难点剖析 重点：了解导数的概念，会用定义法求导数； 难点：导数概念的理解； 剖析： 1．导数的概念 设函数()x f y =，当自变量x 从0x 变为1x 时，函数值从()0x f 变为()1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为： 0 101)()(x x x f x f x y --=??x x f x x f ?-?+=)()(00 当1x 趋于0x 时，即0→?x ，如果平均变化率趋于一个固定的值，我们就说()x f y =在0 x 处可导，并把这个值叫做()x f y =在0x 处的导数，记作()0x f '，即

偏导数的几何意义

偏导数得几何意义 ?实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件?背景知识: 一偏导数得定义 在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量 - ， 如果（1) 存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做 , ，,或 例如，极限(1)可以表为 = 类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为 记做，，或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做 , ，,或 类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做 ，，，或 由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、

至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、 偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为= 其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题 例求得偏导数 解= ， = 二偏导数得几何意义 二元函数= 在点得偏导数得几何意义 设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率 三偏导数得几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数 = =｛ 在点（０，0）对得偏导数为 同样有 但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续 四二阶混合偏导数 设函数= 在区域D内具有偏导数 =, =

导数的概念与几何意义

导数的概念与几何意义、导数的运算 小题基础练⑧ 一、选择题 1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0⑧(a ，b )，则lim h →0 f x 0＋h －f x 0－h h 的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 3．[2019·河南濮阳第一高级中学检测(二)]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′? ?? ??π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34 D ．1 4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29

C．212D．215 6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是() A．y＝3ln x－x B．y＝e x＋x C．y＝3x＋2D．y＝x3－x2＋2x 7. 已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列选项正确的是() A．0