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6、动力学普遍定理

6.1内容提要

质点和质点系的动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。它们建立了描述质点或质点系的运动特征量（动量、动量矩和动能）与力的作用量（冲量、力矩和功）之间的内在联系，是求解质点和质点系动力学问题的一种基本理论。

6.1.1动量定理

动量定理建立了质点系动量（或动量变化量）与其上外力（或外力冲量）之间的关系。此外，还研究了动量定理的另一种形式—质心运动定理。祥见表6-1 表6-1 动量定理公式

6.1.2动量矩定理 1、转动惯量

（1）转动惯量

∑∑+==）

（2

22i i i i i z y x m r m J

或 2ρM J z =

（2）回转半径

J z

z =

ρ （3）平行轴定理 2Md J J ZC Z +=

其中，J ZC 为刚体对质心轴z C 的惯性矩，z 轴是与z C 轴平行的任一轴，d 是二平行轴间的距离。

2、动量矩定理

质点系动量矩定理的表达式祥见表6-2。质点动量矩定理是质点系动量矩定理的一种特例，故表中不在列出。

6.1.3动能定理

动能定理主要研究力的功与质点（系）具有的动能之间的关系，并用以解决动力学两类问题。

1.力的功和功率

力的功是在一路程中力对物体作用的累积效果的量度。功是一个代数量，单位是N ·m

或J 。

功和功率的具体表达形式如表6-3所示。

2、动能

动能是物体由于速度而具有的能量，它是物体机械运动的另一种度量，动能恒为正值，单位与功相同。动能的表达式如表6-4所示。质点动能是质点系的一种特例，故表中不在列出。

3、势能

在势力场中，质点从M点运动到零势能点，有势力所作的功称为质点在M点的势能，在不同的势力场中势能的表达式如表6-5所示。

4、动能定理

动能定理及机械能首恒定理见表6-6

表6-6 动能定理表达式

6.1.4动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理的应用，是已知主动力求质点系的运动，或已知质点系的运动求其反力，还有既求力又求运动的问题。有些问题，可以分别用不同的定理求解，即所谓一题多解，还有些问题，如既要求力又求运动的问题，往往需要联合应用几个定理方能求解，即所谓普遍定理的综合应用。

6.2解题要点

在具体问题中，能否顺利地确定选用哪一个定理求解，取决于对基本概念理解的程度和经验的多寡。并没有现成的模式可以不加分析地保解百题。现将应用普遍定理求解动力学问题的一般方法、步骤及注意事项综述如下：

1、首先要弄清题意。这包括分析系统是由哪几个物体组成，各物体间的连接方式，约束类型；每一物体作何种形式的运动；弄清已知量和待求量等等。

2、根据题设条件选用适当定理求解。判断应该选用哪一个定理求解的总原则是：所选定理应描述题设的已知量和待求量之间的关系。例如，

（1）题设中包含力、时间及速度等量时，一般可考虑动量定理或动量矩定理；

（2）题设中包含力（常力或是距离的函数）、距离及速度等量时，一般可考虑动能定理，

（3）动能定理也可以求系统的运动微分方程或加速度；

（4）当质点系的质心加速度已知时，可用质心运动定理求外力。

（5）研究连续介质（液体或气体）的运动时，一般可考虑动量定理和动量矩定理。

（6）研究定轴转动刚体的运动规律时，可用定轴转动微分方程或动能定理。

（7）如求约束反力，可用质心运动定理。

（8）如果系统由定轴转动物体与平动物体组成时，一般可考虑动量矩定理或动能定理。

（9）对平面运动刚体，一般可用平面运动微分方程。

（10）对即求运动又要求力的问题，往往需要普遍定理的综合应用。

3、动量定理（包括质心运动定理）和动量矩定理，均为矢量形式，实际中常用其投影形式，列其方程时要注意正、负号的确定。应用这两个定理时，只需考虑质点系的外力；动能定理是标量形式，应用时一般取整体为研究对象，只能列一个方程，但一般需要考虑运动学的关系，在计算力的功时要注意内力的功不一定等于零。

4、除相对质心的动量矩定理外，各普遍定理只适用于惯性坐标系，因而在计算位移或速度时，必须是绝对位移或绝对速度。

5、要注意判断动量、质心及动量矩守恒的情况。这类问题往往用其他定理不易求解。

6.3范例分析

例6-1 图6-1所示滑轮系统，物体A 、B 的质量分别为m 1、m 2，滑轮D 、E 的质量分别为m 3、m 4，物体B 以加速度a 下降，不计绳的质量及轴承摩擦。求滑轮E 的轴承反力。

图6-1

解

解题思路：将整个系统作为质点系，用质心运动定理就可求出轮E 的轴承的反力。以整体为研究对象，作受力图，并建立坐标系如图示，假设A 、B 、D 的坐标分别为y A 、y B 和y D ，则系统的质心坐标为

??+++?+++==432143210m m m m m y m y m y m y x C B A C

C 常数

根据质心运动定理，有

O C

X dt

x d m m m m =+++224321）（得 0=O X

O C

Y g m m m m dt

y d m m m m -+++=+++）（）（4321224321 ）（）（D B A O y

m y m y m g m m m m Y 3214321++-+++= 根据系统的运动学关系，有

a y B =

，2

y y D A -== 代入前式，可得

23214321a

m m m g m m m m Y O ）（）（+-++++=

讨论：所求反力Y O 中包含两项，第一项g m m m m ）（4321+++由重力引起，称为静

反力；第二项

2321a m m m ）（+-由系统的运动引起，称为附加动反力。例6-2均质轮A 与B 的质量均为m ，半径为R ，其圆心A 、B 在同一水平线上，A 轮沿

水平面纯滚动。水平弹簧的刚度系数为k ，绳上挂有质量为m 的物块C 与D ，如图6-2（a ）所示。已知：m=3kg ，R=0.1m ，k=1KN/m ，不计绳与弹簧的质量，绳不可伸长，绳与轮之间无相对滑动，当系统静止时剪断CD 间的细绳，试求物块C 运动的最大速度。

图6-2

解

解题思路：本系统为具有一个自由度的刚体系统，其约束均为理想约束，所求未知量为C 块的速度，因而，应用动能定理求解。 1、研究对象及其受力分析

取轮A 、轮B 及C 块所组成的系统为研究对象。系统的约束为理想约束，在运动过程中，只有C 块的重力及轮A 上的弹性力作功，在图（b ）中仅画出作功的力。 2、运动分析

当C 块与D 块的系绳剪断时，由于弹簧的弹性恢复力的作用，轮A 将沿水平面向右作纯滚动，从而带动轮B 作定轴转动和C 块沿铅垂方向作直线运动。设C 块由原静止位置沿铅垂方向运动到x 时的速度ν，根据轮A 和轮B 的运动形式，可求得其角速度分别为

B ν

ω=

，R

A 2ν

ω=

（1）

轮心A 右移的距离为

x 。 3、计算动能

由题意知，开始瞬时系统处于静止，故

01=T （2）

当C 块运动到x 处时，系统的动能为 A B c T T T T ++=2

2222222121212121??

? ????? ??++??? ????? ??+=R v mR mR R v mR mv

216

mv =

（3） 4、计算功

在系统的运动过程中，C 块重力的功为

mgx -

欲求A 轮上弹性力的功，须求出弹簧在初、末瞬时的变形量。初瞬时，系统处于静止，可按静力平衡条件先求出弹簧的受力。为此，取轮A 为研究对象，其受力如图（c ）所示。由

0)(=∑F m p ，得弹簧受拉力为

F A = 2F T

其中，绳受拉力F T = 2mg 。再根据弹簧受力与其变形成正比的关系1δK F A =，可得弹簧的初变形

k mg k F A /4/1==δ

弹簧的末变形

12x

-=δδ

于是，可得弹性力的功为

212

1212

22182

22)(2x k x k x k k -=??????????? ??--=-δδδδδ 整个系统在运动过程中，所有力的功为

2218

2x k m gx x k x k m gx W -

=-+

-=∑δ （4）

5、应用动能定理求v

根据功能定理的积分形式W T T ∑=-12，得

228

01615x k mgx mv -=- 即 )8

(151622x k

mgx m v -= （5）

这里所得速度v 是C 块在任意位置x 处的速度。显然，速度值的大小与x 的位置有关，令

0=dx

，得 08

=-x k

mg 即求得了max v 时的x 值为

k mg x /4max =

将式（6）代入式（5），可得

m/s

784.01000

153

.94152448415162

max

=???==????????

??? ??-?=k m

k mg k k mg mg m v

讨论：

1、由于本例中作功的力为重力和弹性力，均为有势力，因而也可用机械能守恒定理求解。以系统的平衡位置为热能零点，当C 块上升到x 时系统的势能为

mgx kx mgx x k mgx k V -=+???

?????-??? ??-=--=

2212

1212

281

22)(2

δδδδ 根据机械能守恒定理T + V = 0，有

116152

2=-+mgx kx mv 此式即为由动能定理所求得的式（5）

2、弹性力功的计算在本题中是个关键，必须正确分析弹簧的初、末变形量，按公式计算。应注意弹性力功的正负与弹簧的真实受拉或受压无关。在计算弹性力的势能时，由于选定的势能零点是在弹簧的初变形1δ处，故其势能为

???

?????-???

??-=-=212

1212222)(2δδδδx k k V

例6-3 图6-3（a ）所示系统中，定滑轮半径为R=0.2m ，重为Q 1=10kN ，受常力偶作用，其力偶矩为M 0=10kN ·m ；动滑轮半径为2

r =

，其质量忽略不计，物块A 重为P=50kN ，其与斜面间的摩擦系数f = 0.2；物块B 重为Q=100kN 。绳的质量不计，绳与轮间无相对滑动，滑轮视为均质圆盘。试求B 块上升的加速度及绳所受的拉力。解

解题思路：本题为一多刚体系统，待求量中有B 块的加速度及绳的受力。若以每个刚体为研究对象，列动力学方程，然后补充运动学条件，再联立求解。显然，其求解相当麻烦。首先应以整个系统为研究对象，选用动能定理求B 块的加速度，之后再根据欲求绳的拉力，选取研究对象和选用适当的动力学定理求解。 1、求B 块加速度B a

取整个系统为研究对象，受力如图（a ）。在图示瞬时，设B 块上升的速度v B 。动滑轮C 作平面运动，其速度瞬心为轮与绳OD 的切点D ，因而轮上E 点的速度

B C E v v v 22==

定滑轮O 的角速度及滑块A 的速度分别为

图6-3

v B

ω，B A νν2= 系统的动能为

20222

12121ωννJ m m T B B A A ++=

22122

2)212121)2(21???

??????? ??++=R g Q g Q g P B B B νννν 2

1)24(21B

Q Q P g

ν++=

系统内作功的力有物块A 、B 的重力，物块A 上的动滑动摩擦力及作用在轮O 上的力偶矩。系统的元功为

B A QdS d M dS fP P W -+-=∑?δ0)60cos 60sin (

B B

B QdS R

dS M dS fP P -+-=22)60cos 60sin (0

B dS Q R M fP P ??

???-+-=02)60cos 60sin (2

根据动能定理的微分形式

W dT δ∑=

其中 B B d Q Q P g

dT νν)24(1

1++=

B B B dS Q R M fP P d Q Q P g ??

???-+-=++012)60cos 60sin (2)24(1 νν 上式同除以dt ，并注意B 块作直线运动，dt dS B

B =

ν，dt

d a B B ν=，则可得B 块的加速度 g Q Q P Q

R M fP P a B 1

242cos)60sin (2++-+-=

8.920

1005041002.020

21502.023502?++?-+???? ????-?=

35.2s m

2、求绳的受力

（1）B 块的受力如图（c ）所示。由动力学基本方程，有

Q T a g

B -=4 得 12410035.28

.91004=+?=+=

Q a g Q T B kN （2）动滑轮C 的受力如图（b ）所示。由于不计动滑轮的质量，因而，根据静力平衡条

件可得

622

421===T T T kN

（3）定滑轮的受力如图（d ），由定轴转动微分方程，有

R T T M J )(2300-+=ε

4.142

.0/1035.228

.910

2162//0023=-??+=-+=R M R J T T α 讨论：

1、在动力学系统中，应注意一般情况下各段绳的受力是不相等的。对图（b ）的动滑轮C 的受力图，应用相对质心的动量矩定理，有

R T T M J c C )(230-+=ε

当不计动滑轮的质量或尺寸时，则J C = 0；若质心C 为匀速运动，即a c = 0，则0=c α。此时T 1=T 2。本题若考虑动滑轮C 的质量，则21T T ≠，须按刚体的平面运动微分方程求解。

2、求绳的拉力T 3时，若取A 块为研究对象，列动力学基本方程求解比较简单，留给读者去解。此解也可作为对已求出的解作校核。

3、本题中物块B 的加速度还可用动量矩定理求解。将A 块的重力P 沿平行于斜面的方向及其垂直方向分解，垂直斜面的分力（大小为P cos α）与A 块的法向反力N 为一平衡力系。对整体受力图（a ），可知

)60cos 60sin ()(00R

Q R fP P M F m e ?

-?-+=∑ 系统对O 轴的动量矩为

r m R m J L B B A A O O ?+?+=ννω

222121R

g Q R g P R R g Q B B B ?+??+?=

ννν B Rv Q P Q g

)42(21

1++= 根据动量矩定理

)(e O O

F m dt

dL ∑= 得

)60cos 60sin ()42(2101R Q R fP P M Ra Q P Q g B --+=++ 故 g Q

P Q Q

fP P R M a B ++--+=42)60cos 60sin (2/210

所得结果与动能定理的结果完全相同。

例6-4 三角形柱体质量为M ，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m 半径为r 的均质圆柱体沿斜面向下作只滚不滑的运动，如图6-4（a ）所示。若斜面倾角为α，试求三角形柱体的加速度。

图6-4 解

解题思路：本题中圆柱体作平面运动，三角柱体作平动，可应用动能定理求三角柱体的

加速度。但由于圆柱体与三角柱体之间有相对运动，必须求出圆柱质心C 点沿斜面运动的相对速度，才能应用点的速度合成定理求其绝对速度。分析系统的受力特点，显见0=∑e

，

故系统的动量在x 方向守恒。可见，本题可应用动量守恒定理和动能定理联合求解。

1、以整个系统为研究对象，所受外力有三角柱及圆柱的重力Mg 和mg ，以及约束反力F N ，受力如图（b ）所示。设圆柱质心沿斜面下滑距离S 时，三角柱具有速度v ，圆柱质心C 具有相对速度v r 及牵连速度v e =v ，则其绝对速度为

r r e a v v v v v +=+=

对图（b ）所示坐标系，质心C 的绝对速度在x 、y 轴上的投影为

αcos r x v v v +-=

αsin r y v v -=

圆柱在斜面上只滚不滑，接触点P 为相对瞬心，故得圆柱的角速度r

v r

=ω。 2、由受力图（b ）可知，0=∑e

X ，系统在水平方向动量守恒。设系统由静止开始运

动，则根据动量守恒定理，有

0)cos (=-+-=v v m Mv p r x α

可得

v m m

M v r α

cos +=

（1）

3、应用动能定理求v 系统的初动能 T 1 = 0

在图（b ）所示瞬时，系统的动能

22222

12121ωC C J mv Mv T ++=

[]

2222

222121)sin ()cos (2121r

v mr v v v m Mv r r r ??? ??+-+-+=αα

αcos 4

)(2122r r mvv mv v m M +++=

在运动过程中，两柱体的接触点无相对运动，故其相互作用的摩擦力作功之和为零，而

圆柱体的重力mg 作正功，即

αsin mgS W =∑

由积分形式的动能定理得

ααsin cos 4

3)(2122mgS mvv mv v m M r r =+++ （2）将式（1）代入式（2），经整理后为

[]

ααα

sin cos 2)(3cos 42

mgS v m m M m m M =-++ （3）

将上式两边对时间t 求导，并注意到

a dt dv =，v m m M v dt ds r α

cos +== 可得三角柱的加速度为

2sin 232sin m m M mg a ++=

加速度的方向与v 的方向相同，即水平向左。

讨论：当圆柱沿斜面由静止开始向下滚动距离为S 时，试求三角柱移动的距离。对图（b ）所示的受力图，由0=∑e X ，且初瞬时系统处于静止，根据质心运动定理可知：0==cx cx v a ，即在系统运动过程中，其质心C 的横坐标x C 保持不变，即x C 1=x C 2。设以i C 表示质量为m i 的刚体的质心，x i1及x i2分别表示质心C i 初、未瞬时的横坐标，则由质心的坐标公式，可得

21i i i i x m x m ∑=∑

即 0)(12=-∑i i i x x m 或 0=?∑i i x m

式中，i x ?表示刚体质心C i 在运动过程中的水平位移。式（4）有时也称为质心坐标守恒的位移形式。现由式（4）求解本题。

设三角柱向右移动的距离为1x ?，则圆柱质心C 向右的水平位移为

αcos 12S x x +?=?

代入式（4），得

0)cos (11=+?+?αS x m x M

于是解出

S m

M m x +-

=?α

cos 1

其中负号说明三角柱是向左移动的。

例6-5 均质细直杆OA 重mg = 100N ，长为l = 4m ，O 处为光滑铰链，受M = 20N ·m 的力偶作用，A 端用弹簧常数k = 20N/m 的弹簧连于B 点如图6-5（a ）所示，此时弹簧无伸长。当杆OA 在沿垂位置由静止开始转至水平位置时，试求该瞬时O 处的反力。

解

解题思路：欲求杆OA 在水平位置时的约束反力，可应用质心运动定理求解，但需先求出杆在该位置时质心C 的加速度。由于OA 杆作定轴转动，质心C 的加速度可通过杆的角速度ω和角加速度α计算。角速度可用动能定理求解，而角加速度α可由刚体定轴转动微分方程求解。

图6-5 1、求OA 杆的角速度ω

分别取杆的铅垂及水平位置为杆运动的初瞬时和末瞬时，应用积分形式的动能定理。由

题设知，01=T ，杆的末瞬时的动能

222222022.2761312121ωωωω==??

??==

ml ml J T 杆在运动的过程中，作功的力有重力、弹性力和力偶。则

[]

4.1912

)57(0222=?+--+?

=∑π

M k l mg W 由动能定理，可得

4.1912.272=ω

解得 65.22

.274

.191==

ω rad/s （顺时针方向） 2、求OA 杆的角加速度α

杆在水平位置时受到的弹性力F = 20×2＝40N 。对图（b ）的受力图，由刚体定轴转动微分方程

)(00e F m J ∑=α

得 l F M l

mg ml ?-+?=?2

312α 解出 1.1=ε rad/s 2 （顺时针方向）

3．求反力X 0、Y 0

杆在水平位置时，其质心加速度

2.21.122=?==ατl

a C m/s 2

0.1465.222

22=?==ωl

a Cn m/s 2

对图（b ）的受力图，由质心运动定理，得

0X ma ma Cn CX =-=

F mg Y ma ma C cy +-=-=0τ

分别解出

9.14214100

0-=?-

=-=g

ma X cr N 6.372.2100

401000=?-

-=--=g

ma F mg Y C τ N 其中，负号说明该力的实际指向与假设的相反。讨论：杆在水平位置时的角加速度α，不能通过对上边动能定理所得式子的两边求导而计算。因为此时的ω是确定的数值，对t 求导必为零。若杆在一般位置时，应用动能定理求出ω，ω是转角φ的函数，此时可通过对t 求导而得到α，再代入2/π?=，即可求得杆在水平位置时的ω和α。显然，此题中用此种方法比较麻烦。

例6-6 均质圆柱体半径为r ，质量为m ，放在粗糙的水平面上，如图6-6（a ）所示。设质心C 的初速度为v 0 ，方向水平向右。初角度为0ω，转向为顺时针，且0ωr <0v 。圆柱体与水平面间的摩擦系数为f ，试求：（1）经过多少时间，圆柱体才能只滚不滑地向前运动，并求该瞬时圆柱体质心C 的速度；（2）圆柱体移动了多少距离开始只滚不滑。

图6-6

解

解题思路：本题中的圆柱体作平面运动，由于题设条件给出的0v >0ωr ，说明圆柱体一开始就是又滚又滑的运动，但由于动摩擦力的存在，一方面使质心C 减速，同时又使柱体

的角速度逐渐增大，直至ωr x

v c c == ，圆柱体则作纯滚动，因而本题应用刚体的平面运动微分方程，并考虑动滑动摩擦定律和纯滚动的运动学条件，列出补出方程，联立求解。 1、求柱体纯滚动时的c v 及时间

由00ωr v >的条件，可确定动滑动摩擦力的方向沿水平向左，如图（b ）所示。柱体的

平面运动微分方程为

F x

m c -= （1） mg N y

m c -= （2） r F mr =α22

（3）其中，动摩擦力F = fN ，且0=c y

。由式（1）及式（3）可得 fg m

fmg m F

C -=-=-= r fg

m fmg r m r F 222

可见，C x

与0v 的方向相反，α与0ω的转向相同，说明质心C 作匀减速度运动，而ω由0ω逐渐增大，柱体作加速转动。由上二式可得

ωα r r x

C 2

121-=-= 积分上式，有

ωωω0

r x

C v v C -

即 )(2

)(210000ωωωω-+=--

=r v r v v C （4）式（4）是柱体在又滚又滑的过程中，其质心C 的速度与柱体角速度ω的一般关系。当柱体

作纯滚动时，运动学条件为

ωr v c = （5）

将式（5）代入式（4），可得圆柱体作纯滚动时质心C 的速度

c c v r v v 21

2100-+

=ω 故 3

0ωr v v c += （6）

由于质心C 作直线匀减速运动，对任意瞬时，有运动学关系

fgt v at v v c -=+=00

当柱体纯滚动时，将式（6）的c v 代入上式，就可求得柱体由又滚又滑到只滚不滑所经历的时间

r v fg r v v fg v v t C 33/)2(0

00000ωω-=

+-=-=

（7）

2、求距离S

由于质心C 作匀减直线运动，则运动学公式2

1at t v S -=便可适用。故当圆柱体作纯滚动时，其质心C 移动的距离为

0000020321321

???

??---=-=fg r v fg fg r v v fgt t v S ωω fg

r r v v 184520

20020ωω--= （8）

讨论：又滚又滑及纯滚动中圆柱体的摩擦力。圆柱体在又滚又滑的过程中，动滑动摩擦力为

fmg F =

而当柱体只滚不滑时，动摩擦力就突变为静摩擦力，其值须由动力学方程确定。在柱体沿固

定面纯滚动时，其质心加速度C x 和角加速度α应满足αr x

C = 。将此关系代入式（1）及（3），可解出

F = 0

及 0=c x

，0=α 由此可见，当圆柱体由又滚又滑到只滚不滑后，摩擦力即消失，质心C 将以式（6）的速度

作直线匀速运动，而圆柱体以相应的角速度作惯性滚动。

例6-7 均质细杆OA 可绕水平轴O 转动，另一端有均质圆盘可绕轴A 转动，如图6-7（a ）所示。已知杆OA 长为l ，重为P ，圆盘半径为r ，重为Q ，不计各处摩擦，初始时OA 杆水平，系统处于静止。当杆转至与水平线成?角的瞬时，试求杆的角速度和角加速度。

图6-7

解：

解题思路：由于OA 杆作定轴转动，盘可绕轴A 转动，系统具有两个自由度，应由动能定理及相对质心的动理矩定理求解。

1、取圆盘为研究对对象，受力有约束反力X A 、Y A 及重力Q ，如图（b ）所示。圆盘作平面运动，由相对质心的动量矩定理，有

0)(=∑=e A A A F m J α

得A ω=常数。即系统在运动过程中，盘对轴A 的动量矩守恒，注意到系统由静止开始运动，

故0=A ω。这说明圆盘各点速度始终相等，圆盘作曲线平动。 2、应用动能定理求杆的角速度ω及角加速度α

初瞬时，系统静止，T 1 = 0，当杆转到?角的瞬时，系统的动能为

22022121A v g

Q J T +=

ω 其中，A 点的速度ωl v A =、OA 杆对轴O 的转动惯量为2

031l g

P J =

。于是有 222

222)3(61)(213121ωωωl Q P g

l g Q l g P T +=+???? ??= 在此运动过程中，作功的力为重力P 和Q ，则

???sin 2

)2(sin sin 2l

Q P l Q l P W +=?+?=∑

由积分形式的动能定理W T T ∑=-12，可得

?ωsin 2

)2()3(6122l

Q P l Q P g +=+ （a ）

于是可求得杆的角速度

g l

Q P Q P )3(sin )2(3++=

若将?角视为OA 的角坐标，则ω及?均为t 的函数，而式（a ）对任意瞬时t 都成立。于是对式（a ）的两边对时间求导，并注意

ω?

=dt d 及

αω=dt

d ，于是有 ω?αω?+=??+cos 2

)2(2)3(612l

Q P l Q P g 故

Q P Q P )3(2cos )2(3++=

α的转向与ω相同，均为顺时针转向。

讨论：本题求解的关键在于正确判定圆盘作平动，若将圆盘于A 处相固连，则在?角时系统的动能为

222222222024)3(61

21312121ωωωωr g

Q l Q P g l g Q r g Q l g P J T ++=???? ??++==

例6-8从高为h 的绝对粗糙的桌子上无初速地滚下半径为R 、重为P 的匀质圆球，如图6-7（a ）所示，初瞬时，AC 位于铅垂位置。求落地时球心的速度和球的角速度的大小。又问：如果桌沿是理想光滑的，则结果如何？

图6-8

解：

解题思路：本例的特点是约束反力不作功，似乎用动能定理就能解决问题。但运动过程无法预计，因为当球由桌沿翻滚下来时，要在某个位置脱离桌沿，这个位置以法向反力等于零为其特征，故还需要用到其他定理。

1、假定摩擦足够大，能阻止任何滑动，在脱离以前，球绕桌沿作定轴转动，接触点A 上出现的是静摩擦力，不作功。球对桌沿的转动惯量2257R g

P R g P J J C A =+

=，动能2

22210721?

ω R g

P J T A ==

。重力P 的功)cos 1(1?-=PR W 。故由动能定理 W T T =-12，

由于T 1=0，有

)cos 1(1072

2??

-=PR R g

P （1）从而求得角速度为

)cos 1(710??

ω-==R

（2）将式（1）对时间求导数，得

???? sin 57=g

由此得到角加速度为

αsin 75R

== （3）显然，利用定轴转动微分方程也可以求得结果式（3）。再通过积分可求出结果式（2）。为了检验A 处的反力，可应用质心运动定理。脱离前，质心C 作圆周运动，加速度具有法向分量2ωR a cn =。故由质心运动定理，有

N cn F P a g

-=?cos （4）从而求得法向反力为

)cos 1(710cos ??-?-

g R g P P F N ??? ??-=710cos 7

?P （5）

球脱离桌沿时，应有F N = 0，故由上式，得

10cos 1=

? 因而脱离时的偏角为

5417

arccos

1≈=? 与球的半径无关。此时，球的角速度为

R g 17101710171011=?

?? ??-==?

ω （6）而质心C 速度的大小为

Rg R v C 17

11==?

球脱离桌沿后作平面运动，其角速度保持不变。而质心C 按抛射体的规律运动，初速度是1C v ，抛射角是1?。

为求落地时的球心速度2C v ，可对整个运动过程应用动能定理。在此过程中，重力的总功Ph W =2，而球的末动能2

2222

2ωC C J v g P T +=，其中，落地时球的角速度12ωω=。由212W T T =-，有：

Ph R

g PR v g P C =?+171052212222 （7）

圆中的基本概念及定理(一) (含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：圆中相关的定理以及推论：垂径定理：____________________________________________________；推论：________________________________________________________；总结：知二推三①___________________________________， ②_______________________，③______________________， ④_______________________，⑤______________________．问题2：四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．问题3：圆周角定理：_______________________________________；推论1：______________________________________；推论2：____________________________；________________________________．推论3：______________________________________．问题4：三点定圆定理：_____________________________________．问题5：圆中处理问题的思路： ①_______________________________________； ②_______________________________________； ③_______________________________________； ④_______________________________________．圆中的基本概念及定理(一) 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，连接BC，BD，则下列结论不一定正确的是( ) A. B.AF=BF C.OF=CF D.∠DBC=90°

圆中的基本概念及定理(讲义及答案)

圆中的基本概念及定理（讲义） ?课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．

?知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念：弧：，弧包括和；弦：；圆周角：；圆心角：；弦心距：；等圆：；等弧：． 3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是；圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理：．推论：．（2）四组量关系定理：在中，如果、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：．推论1：．推论2：，．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧．

? 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（）︵︵ A ．CM =DM B ． CB = B D C ．∠AC D =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为．，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ．第 3 题图第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3

7-2 动力学之“三大基本模型”

专题7.2、动力学之三大基本模型题型一、过程分析之板块模型由滑块和木板组成的相互作用的系统一般称之为“木板—滑块模型”,简称'板块模型'。此类问题涉及的相关知识点包括：静摩擦力、滑动摩擦力、运动学规律、牛顿运动定律、动能定理、能量转化与守恒等多方面的知识。此类问题涉及的处理手段包括：受力分析、运动分析、临界条件判断、图像法处理、多过程研究等多种方法。因此对大家的综合分析能力要求极高,也是高考的热点之一。 “滑块——木板”模型【解题方略】两种类型如下：木板条件是物块恰好滑到木板左端时二者速度相等，则位移关系为物块条件是物块恰好滑到木板右端时二者速度相等，则位移关系为例1、如图所示，质量为M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车左端加一水平推力F=8N，当小车向右运动的速度达到v0=1.5m/s时，在小车前端轻轻放上一个大小不计、质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2。已知运动过程中，小物块没有从小车上掉下来，取g=10m/s2。求：（1）经过多长时间两者达到相同的速度；（2）小车至少多长，才能保证小物块不从小车上掉下来；（3）当小车与物块达到共速后在小车合物块之间是否存在摩擦力？（4）从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块通过的位移大小为多少；（5）二者共速后如果将推力F 增大到28N ，则二者的加速度大小分别为；【答案】（1）1s.(2)0.75m. (3)有，1.6N .(4)2.1m （5）2m/s2. 8m/s2 【解析】

对木块受力分析得：)1...(1ma mg =μ 对小车受力分析得：)2...(2Ma mg F =-μ 解得： ... /5.0.../22 221s m a s m a == 分别对两车进行运动分析：假设经过时间t 两车达到共速，且达到共速时物块恰好到达木板的左端；对物块： ) 4...(2 1) 3...(2 1111t a x t a v == 对小车： ) 4...(2 1 ) 5...(2202202t a t v x t a v v +=+= 根据题意： ) 6...()5...(2121l x x v v v =-==共联立1、2、3、4、5、6式得：t=1s ， l=0.75，v 共=2m/s （3）当物块与小车共速后对整体受力分析： 2 /8.0)7...()(s m a a m M F =+= 此时小车与物块之间的摩擦力转化为静摩擦力，隔离物块对物块受力分析得：N ma f 6.18.02=?==。所以当二者共速后在小车物块之间存在静摩擦力大小为：1.6N . （4）二者共速后将以0.8m/s 2的加速度继续前进，所以在1.5s 内物块经历了两段运动（0-1s 与1-1.5s ），对物块进行运动分析得： )8...(/11x x x += 代入参数得：m x 1122 1 21=??= ， m x 1.15.08.02 1 5.022/1=??+?= m x 1.2= （5）当外力F 增加到28N 时，需要先判断，物块与小车之间是否发生相对运动是处理该问的关键；设：当外力F 增大到F0时。小车与物块之间刚好发生相对运动，此时AB 之间的静摩擦力达到最大值；结合叠加体临界问题的求解方法（见专题06）可得：

圆中三大切线定理

14 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版围田地漫画释义满分晋级阶梯圆7级期末复习之圆中的重要结论及应用圆6级期末复习之圆的综合圆5级圆中三大切线定理 2 圆中三大切线定理

中考内容与要求中考考点分析圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考 15

16 初三秋季·第2讲·尖子班·学生版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。年份 2011年 2012年 2013年题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系知识互联网题型一：切线的性质定理

17 题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。【例1】如图，在△ABC 中，BC AB =，以AC 为直径的⊙0与BC 边交于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AB 于点E ，若 DE ⊥AB ．求证：BE AE 3=．判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用频率最高，必须熟练掌握。【例2】如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过O 作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，典题精练思路导航典题精练思路导航题型二：切线的判定定理 E O D C B A

动力学基本定律

第2章动力学基本定律一、选择题 1．牛顿第一定律告诉我们, [ ] (A) 物体受力后才能运动 (B) 物体不受力也能保持本身的运动状态 (C) 物体的运动状态不变, 则一定不受力 (D) 物体的运动方向必定和受力方向一致 2. 下列说法中正确的是 [ ] (A) 运动的物体有惯性, 静止的物体没有惯性 (B) 物体不受外力作用时, 必定静止 (C) 物体作圆周运动时, 合外力不可能是恒量 (D) 牛顿运动定律只适用于低速、微观物体 3. 下列诸说法中, 正确的是 [ ] (A) 物体的运动速度等于零时, 合外力一定等于零 (B) 物体的速度愈大, 则所受合外力也愈大 (C) 物体所受合外力的方向必定与物体运动速度方向一致 (D) 以上三种说法都不对 4. 一个物体受到几个力的作用, 则 [ ] (A) 运动状态一定改变 (B) 运动速率一定改变 (C) 必定产生加速度 (D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A、B两质点m A＞m B, 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A比B的动量增量少(B) A与B的动能增量相等 (C) A比B的动量增量大(D) A与B的动量增量相等 6. 物体在力F作用下作直线运动, 如果力F的量值逐渐减小, 则该物体的[ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动(B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大(D) 质点的速度将不会发生变化 8. 一物体作匀速率曲线运动, 则 [ ] (A) 其所受合外力一定总为零(B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零(D) 其切向加速度一定总为零

圆概念公式定理

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl 〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944 5923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

第2章_动力学基本定律

第2章动力学基本定律题目无答案一、选择题 1．牛顿第一定律告诉我们, [ ] (A) 物体受力后才能运动 (B) 物体不受力也能保持本身的运动状态 (C) 物体的运动状态不变, 则一定不受力 (D) 物体的运动方向必定和受力方向一致 2. 下列说法中正确的是 [ ] (A) 运动的物体有惯性, 静止的物体没有惯性 (B) 物体不受外力作用时, 必定静止 (C) 物体作圆周运动时, 合外力不可能是恒量 (D) 牛顿运动定律只适用于低速、微观物体 3. 下列诸说法中, 正确的是 [ ] (A) 物体的运动速度等于零时, 合外力一定等于零 (B) 物体的速度愈大, 则所受合外力也愈大 (C) 物体所受合外力的方向必定与物体运动速度方向一致 (D) 以上三种说法都不对 4. 一个物体受到几个力的作用, 则 [ ] (A) 运动状态一定改变 (B) 运动速率一定改变 (C) 必定产生加速度 (D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A 、B 两质点m A ＞m B , 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等 6. 物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 [ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 T2-1-6图

各种圆定理总结.

费尔巴赫定理费尔巴赫定理三角形的九点圆与内切圆内切，而与旁切圆外切。此定理由德国数学家费尔巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。费尔巴赫定理的证明在不等边△ABC中,设O,H,I,Q,Ia分别表示△ABC的外心，垂心，内心，九点圆心和∠A所对的旁切圆圆心.s,R,r,ra分别表示△ABC的半周长，外接圆半径，内切圆半径和∠A 所对的旁切圆半径,BC=a,CA=b,AB=c. 易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2; AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2; 在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2; 在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r). ∵九点圆心在线段HO的中点, ∴在△HIO中，由中线公式可求得. 4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2) =(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2. 又△ABC的九点圆半径为R/2, 所以九点圆与内切圆的圆心距为 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ. 因此三角形的九点圆与内切圆内切。在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2; 在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra). 在△HIaO中，由中线公式可求得. 4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra) ^2 故IaQ=(R+2ra)/2.

4动力学复习(普遍定理)

第三篇动力学复习在静力学中，我们分析了物体受力的描述方法。并研究了物体在力系作用下平衡的关系问题。但没有研究在不平衡力系作用下物体是如何运动的。在运动学中，我们仅以几何方面分析了物体的运动。而没用涉及所作用的力，也就是说，没有说明物体为什么会运动。动力学则要对物体的机械运动进行全面的分析。即要研究作用物体的力与物体运动之间的关系。由此来建立物体机械运动的普遍规律。因此：动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的科学。 §1 质点动力学的两类基本问题质点动力学基本问题有两类：第一类问题：已知质点的运动，求质点所受的力。所谓已知运动，就是说质点在坐标系中的运动方程已知。以直角坐标系为例：即 )(t x x = ； )(t y y = ； )(t z z = (1) 由此可将运动方程对时间求两次导数，就可以得到质点加速度在直角坐标轴上的三个投影表达式。这就不难求出有关力的三个未知量。故第一类问题是较简单的，可以归结为微分问题第二类问题：已知质点所受的力，求质点的运动. 所谓求质点或质点系的运动，就是解质点运动微分方程。以直角坐标轴上的三个投影表达式为例：

∑∑∑===),,,,,,(),,,,,,(),,,,,,(222 222z y x z y x t X m z y x z y x t X m z y x z y x t X m i dt z d i dt y d i dt x d （2）要求解(2)，本质上说就是要进行积分运算。(如方程可积) 积分后就可得包含六个积分常数的微分方程通解。六个积分常数可由质点的运动初始条件来确定。所谓初始条件——就是初始位置(坐标)和初始速度。因此第二类问题求解，除了要给定力函数外，还要知道运动的初始条件。总之是求解第二类问题，可归结为积分问题。对于有n 质点的质点系。它包含着n 3个二阶微分方程。求解这样的微分方程组在大多数情况下是非常困难的，有时甚至是不可能的。动力学解决这类问题的方法是：由n 3个(2)式质点系运动微分方程推出?→??动量定理动量矩定理动能定理动力学普遍定理来解决这类问题，这三个定理通称为???? ??→???????????? ? 动力学第二类问题归结为求解一组运动微分方程；在实际问题中，即使在最简单的情况下，其数学运算(即积分运算)是很繁复的有时还可能得不到解。现我们从运动微分方程出发推出了几个定理。在解决问题时运用这些定理来求解，则比直接求解微分方程要简单的多。此外，这对于我们更深的理解物体运动的本质，也很有帮助。这些定理把与运动的物理量如动量、动量矩、动能。与力的物理量如冲量、力矩、功联系起来。并建立了它们之间的关系。使得力学科学理论的广泛应用有了有效的手段。这三个定理统称为动力学普遍定理。

初三数学.圆中三大基本定理.教师版

中考内容中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题中考内容与要求圆中三大基本定理

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解年份2011年2012年2013年题号20，25 8，20，25 8，20，25 分值13分17分17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质 (垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系中考考点分析知识互联网题型一：垂径定理

第2章动力学基本定律

(D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A 、B 两质点m A ＞m B , 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等 6. 物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 [ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 8. 一物体作匀速率曲线运动, 则 [ ] (A) 其所受合外力一定总为零 (B) 其加速度一定总为零 (C) 其法向加速度一定总为零 (D) 其切向加速度一定总为零 9. 牛顿第二定律的动量表示式为t m F d )d(v =, 即有t m t m F d d d d v v +=．物体作怎样的运动才能使上式中右边的两项都不等于零, 而且方向不在一直线上? [ ] (A) 定质量的加速直线运动 (B) 定质量的加速曲线运动 (C) 变质量的直线运动 (D) 变质量的曲线运动 10. 质量相同的物块A 、B 用轻质弹簧连结后, 再用细绳悬吊着, 当系统平衡后, 突然将细绳剪断, 则剪断后瞬间 [ ] (A) A 、B 的加速度大小均为g (B) A 、B 的加速度均为零 (C) A 的加速度为零, B 的加速度大小为2g (D) A 的加速度大小为2g , B 的加速度为零 11. 用细绳系一小球使之在竖直平面内作圆周运动, 小球在任意位置 [ ] (A) 都有切向加速度 F T2-1-6图 T2-1-10图

圆中的基本概念及定理(二)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，_________，垂径定理配合__________建等式； ③遇直径，__________，由直角，__________； ④由弧找______，由_____看______．圆中的基本概念及定理（二）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法正确的是( ) A.长度相等的弧叫等弧 B.平分弦的直径一定垂直于该弦 C.三角形的外心是三条角平分线的交点 D.不在同一直线上的三个点确定一个圆答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形的外接圆与外心 2.如图，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=( ) A.30° B.45° C.60° D.70°

答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系 3.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：圆周角定理 4.CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是( ) A.8 B.7 C.2或8 D.3或7 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂径定理 5.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：垂径定理、圆周角定理、解直角三角形 6.如图所示，一圆弧过方格的格点A，B，C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(-2，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( ) A.(-1，2) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(2，1) 答案：C 解题思路：

圆的性质及定理

圆的性质及定理圆的初步认识一、圆及圆的相关量的定义(2８个）?１.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。? 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。?5．直线与圆有３种位置关系：无公共点为相离；有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。?６.两圆之间有５种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有２个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。?7.在圆上,由２条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。?二、有关圆的字母表示方法(７个）圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d?扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—Ｓ三、有关圆的基本性质与定理（27个) 1.点P与圆Ｏ的位置关系（设P是一点,则PＯ是点到圆心的距离): P在⊙O外,PO>ｒ;Ｐ在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内,PＯ<ｒ。?2．圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。?３.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。? 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角，2个圆周角,２条弧，２条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。9０度的圆周角所对的弦是直径。?７.不在同一直线上的３个点确定一个圆。?8．一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形３边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系（设ＯP⊥AＢ于P，则PO是AB到圆心的距离): ＡB与⊙Ｏ相离,ＰO>ｒ;AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，ＰO＜r。１0.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。 11．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R和r，且R≥ｒ,圆心距为P）：?外离P>R＋r;外切P=R+ｒ;相交R－r＜Ｐ＜Ｒ+ｒ；内切P=R-r;内含P

第1讲.圆中三大基本定理.尖子班.教师版

1 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版 π是什么？满分晋级阶梯漫画释义圆5级圆中三大切线定理圆4级圆中三大基本定理圆3级正多边形和圆与圆中的计算 1 圆中三大基本定理

2 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析中考内容与要求

3 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解年份 2011年 2012年 2013年题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值 13分 17分 17分考点圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 暑期知识点回顾：知识互联网思路导航题型一：垂径定理

4 初三秋季·第1讲·尖子班·教师版【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形 △ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8，则BD 的长为（） A ．20 B ．19 C ．18 D ．16 （2012通州一模） ⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为．（2013黄石）【解析】 ⑴A; ⑵ 5 18 . 【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=?， 2AB =．设A E x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（） A B C D （2012海淀期中） ⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0， A ，过点()7 0-，P 的直线l 与 ⊙ B 相交于 C 、 D 两点．则弦CD 长的所有可能的整数值有（）典题精练 B A C D B A

动力学基本定律和守恒定律

第2章动力学基本定律一、选择题 1．牛顿第一定律告诉我们, [ ] (A) 物体受力后才能运动 (B) 物体不受力也能保持本身的运动状态 (C) 物体的运动状态不变, 则一定不受力 (D) 物体的运动方向必定和受力方向一致 2. 下列说法中正确的是 [ ] (A) 运动的物体有惯性, 静止的物体没有惯性 (B) 物体不受外力作用时, 必定静止 (C) 物体作圆周运动时, 合外力不可能是恒量 (D) 牛顿运动定律只适用于低速、微观物体 3. 下列诸说法中, 正确的是 [ ] (A) 物体的运动速度等于零时, 合外力一定等于零 (B) 物体的速度愈大, 则所受合外力也愈大 (C) 物体所受合外力的方向必定与物体运动速度方向一致 (D) 以上三种说法都不对 4. 一个物体受到几个力的作用, 则 [ ] (A) 运动状态一定改变 (B) 运动速率一定改变 (C) 必定产生加速度 (D) 必定对另一些物体产生力的作用 5. A 、B 两质点m A ＞m B , 受到相等的冲量作用, 则 [ ] (A) A 比B 的动量增量少 (B) A 与B 的动能增量相等 (C) A 比B 的动量增量大 (D) A 与B 的动量增量相等 6. 物体在力F 作用下作直线运动, 如果力F 的量值逐渐减小, 则该物体的 [ ] (A) 速度逐渐减小, 加速度逐渐减小 (B) 速度逐渐减小, 加速度逐渐增大 (C) 速度继续增大, 加速度逐渐减小 (D) 速度继续增大, 加速度逐渐增大 7. 对一运动质点施加以恒力, 质点的运动会发生什么变化? [ ] (A) 质点沿着力的方向运动 (B) 质点仍表现出惯性 (C) 质点的速率变得越来越大 (D) 质点的速度将不会发生变化 T2-1-6图

第13讲动力矩定理与动力学普遍定理综合应用

第13讲动力矩定理与动力学普遍定理综合应用《理论力学》考点强化教程主讲人：刘冬网学天地（ https://www.wendangku.net/doc/5e17284878.html, ）咨询QQ ：2696670126

网学天地（https://www.wendangku.net/doc/5e17284878.html, ）版权所有！考题分析在各高校的研究生入学考试试题中，很难见到完全以动量矩定理为考点。在大多数情况下，考察的形式都已动力学综合应用出现。所以本章的重点也放在对于动量定理、动量矩定理和动能定理的综合应用上。在复习应考时，要掌握动力学普遍定理求解时的解题思路：（1）如果求物体的速度、角速度、加速度和角加速度等运动量时，首先宜选用动能定理或动量矩定理。（2）如果求约束反力。首先宜用质心运动定理或动量矩定理。（3）如果应用上述定理都不能独立求解时，应综合应用其他动力学普遍定理求解。如果动力学方程中的未知数的数目大于动力学独立方程的数目时，还应利用题中的附加条件，应用运动学和静力学知识，增列补充方程后联立求解。

网学天地（https://www.wendangku.net/doc/5e17284878.html, ）版权所有！主要考点考点1：质点系的动量矩。考点2：应用动量矩定理求解动力学的两类问题，即已知运动求力和已知力求运动。特别是求加速度和约束力。考点3：应用刚体平面运动微分方程，求解平面运动刚体的动力学两类问题，以及已知某些运动量和力求另一些运动量和力。考点4：综合应用动力学普遍定理，求解较复杂的动力学问题。

动力学三大定理

动量定理习题 1、在图示等截面水管中，已知：截面积为A ，稳定流的速度为v ，水的单位体积重γ，60°=θ。试求支座B 水平链杆的附加动约束力x B F 。 2、在图示系统中，均质滑轮重W ，绳的质量不计且不可伸长，重物A 重1P ，B 重2P 。设A 下降的加速度为A a ，试求轴承O 处的支座反力。 3、匀质曲柄OA 质量为1m ，长为r ，以匀角速度ω转动，带动质量为3m 的滑槽作铅垂运动，滑块A 的质量为2m ，E 为滑槽质心，b DE =；0=t 时，0=θ。试求30°=θ时：（1）系统质心坐标；（2）系统的动量；（3）O 处铅直方向的约束力。

动量矩定量 1、固结在一起的两均质轮，半径分别为21,r r ，且21r r <，重分别为1P 、2P 。重物M 重G ，斜面倾角为θ，不计绳重和各处的摩擦。试求在铅垂力F 作用下滑轮的角加速度。 2、均质圆轮重G ，半径为R ，物块A 重P 悬挂在绕过圆轮的绳上。若圆轮轴O 处摩擦不计，试求下述两种情况下轴O 处的约束反力：（1）A 下落过程；（2）在下落中将绳突然剪断。 3、图示重力为P 的均质薄板与刚杆1BB 、1CC 相连，杆长均为l ，杆重不计，且与水平夹角为?，板长宽为l l =1和l l =2。当1AA 杆突然切断瞬时，试求：（1）此时平板重心的加速度；（2）刚杆1BB 、1CC 的内力。

4、均质水平细杆AB 长为l ，一端铰接于A ，一端系于细绳BC ，而处于水平位置。设细绳突然被割断。试求（1）此瞬时细杆的角加速度1a ；（2）细杆运动到铅直位置时的角加速度2a 及角速度2ω。动能定理 1、机构如图，曲柄OC 重为P ，连杆AB 重为2P ，二构件均视为均质细杆，且AC=BC=OC=l ，滑块A 与B 均重W 。若OC 以匀角速度ω转动，试求系统在图示瞬时的动能。 2、在制动闸装置中，已知半径r =10cm 的均质圆轮D 的质量m =20kg ，转速n =1000rpm 。细杆长l =50cm ，质量不计，距离b =10cm 。设在手柄B 端作用一铅直力大小P =3N ，使开始制动后圆轮转过100转而停止。轴承摩擦不计，求闸瓦与轮之间的滑动摩擦系数f 。闸瓦质量和大小忽略不计。

第二章动力学基本定律

第二章动力学基本定律 §2.1 动量牛顿运动定律一、牛顿运动定律概述 1、牛顿第一定律（1）定律内容任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。（2）定律意义 a ）引入了惯性的概论惯性——是物体保持其原有运动状态的一种属性。 b ）定性确定了力的概念力——是使物体的运动状态发生改变的原因。 2、动量、牛顿第二定律（1）定律内容运动的变化与所加的动力成正比，且发生在该力所沿的直线上。（2）定律意义 a ）定量确定了力的概念。 b ）引入了质量的概念。质量——是物体惯性大小的量度。（3）定律的数学形式动量：v m P = dt v m d dt P d F ) ( == 若物体的质量与运动速度无关，则： a m dt v d m F == a ）在直角坐标系下： y y y x x x m a dt dv m F m a dt dv m F ==== b ）在自然坐标系下：

n n m a v m F m a dt dv m F ====ρ ττ2 3、牛顿第三定律当物体A 以力1F 作用在物体B 上时，物体B 必以力2F 作用在物体A 上，且1F 与2F 大小相等、方向相反，在同一直线上。二、力学中常见的力 1、万有引力 22112 2 1/1067.6kg m N G r m m G F ??==- 若忽略地球的自转，则地球表面附近的物体所受的万有引力叫重力。 2 R m M G m g g m P == 2、弹力（1）正压力（支持力）（2）拉力（3）弹簧的弹力胡克定律 kx f -=，k 叫弹簧的倔强系数。 3、摩擦力（1）滑动摩擦力 k k k N f μμ,=——滑动摩擦系数。（2）静摩擦力 s s s N f μμ,max =——静摩擦系数。静摩擦力只能根据物体的平衡条件求出。三、自然界中的四种相互作用 1、引力相互作用（万有引力）——是物体具有质量而产生的。 2、电磁相互作（电磁力）——静止或运动电荷间的相互作用。 3、强相互作用（强力）——亚原子间的相互作用。 4、弱相互作用（弱力）——基本粒子间的相互作用。四、SI 单位和量纲 1、国际单位制（SI 单位制）

九年级数学圆中的基本概念及定理(综合)(含答案)

圆中的基本概念及定理（综合）一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是( ) A.AC=AB B.∠C=∠BOD C.∠C=∠B D.∠C=∠BOD 答案：B 解题思路：如图，连接OA ∵直径CD⊥AB ∴弧AD=弧BD ∴∠AOD=∠BOD ∵∠C=∠AOD ∴∠C=∠BOD 故B选项正确试题难度：三颗星知识点：略

2.如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=，CD=1，则BE的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案：B 解题思路： ∵OC⊥AB，AB= ∴AD=BD=AB= 设OD=x ∵CD=1 ∴OA=OC=x+1 在Rt△AOD中， ∴x=3 ∵O是AE的中点 ∴OD是△ABE的中位线 ∴BE=2OD=6 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为( )

A.65° B.55° C.60° D.75° 答案：A 解题思路：如图，连接OC ∵OA=OC ∴∠CAO=∠OCA ∵∠CAB=25° ∴∠OCA=25° ∴∠AOC=130° ∴∠ADC=∠AOC=65° 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，点A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=( ) A.10° B.20° C.40° D.80° 答案：B 解题思路： ∵∠BAC=40° ∴∠BOC=2∠BAC=80° ∵∠BOC=2∠AOB ∴∠AOB=40° ∴∠ACB=∠AOB=20°