数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲
一、课程说明
（一）课程名称：数学物理方法
所属专业：物理、应用物理专业
课程性质：数学、物理学
学分：5
（二）课程简介、目标与任务
这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。
这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。
（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接
本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。
（四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编
参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著
2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著
3. 《物理中的数学方法》李政道著
4. 《数学物理方法》梁昆淼编
5. 《数学物理方法》郭敦仁编
6. 《数学物理方法》吴崇试编
二、课程内容与安排
第一部分线性空间及线性算子
第一章R3空间的向量分析
第一节向量的概念
第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析
第四节R3空间的向量分析的一些重要公式
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析
第一节R3空间中的曲线坐标系
第二节曲线坐标系中的度量
第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式
第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式
第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式
第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间
第一节线性空间的定义
第二节线性空间的内积
第三节Hilbert（希尔伯特）空间
第四节线性算符
第五节线性算符的本征值和本征向量
第二部分复变函数
第四章复变函数的概念
第一节映射
第二节复数
第三节复变函数
第五章解析函数
第一节复变函数的导数
第二节复变函数的解析性
第三节复势
第四节解析函数变换
第六章复变函数积分
第一节复变函数的积分
第二节Cauchy（柯西）积分定理
第三节Cauchy（柯西）积分公式
第四节解析函数高阶导数的积分表达式
第七章复变函数的级数展开
第一节复变函数级数
第二节解析函数的Taylor（泰勒）展开
第三节Taylor展开的理论应用
第四节解析函数的Laurent（洛朗）展开
第八章留数定理
第一节留数定理
第二节留数的一般求法
第三节解析函数在无穷远点的留数
第四节留数定理在定积分中的应用
第五节Hilbert（希尔伯特）变换
第三部分积分变换与δ函数
第九章Fourier（傅里叶）变换
第一节Fourier级数
第二节Fourier变换
第三节Fourier变换的基本性质
第十章Laplace（拉普拉斯）变换
第一节Laplace变换
第二节Laplace变换基本性质
第三节Laplace变换的应用
第四节关于Laplace变换的反演
第十一章δ-函数
第一节δ-函数的定义
第二节δ-函数的性质
第三节δ-函数的导数
第四节三维δ-函数
第五节δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开
第四部分数学物理方程
第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题
第一节二阶线性偏微分方程的普遍形式
第二节波动方程及其定解条件
第三节输运方程及其定解条件
第四节Poisson方程及其定解条件
第五节Laplace方程和调和函数
第六节三类方程定解问题小结
第十四章分离变量法
第一节齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
第二节Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题第三节非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
第四节非齐次边界条件下的分离变量法
第五节分离变量法小结
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量
第一节球坐标系下方程的分离变量
第二节柱坐标系下方程的分离变量
第三节二阶线性常微分方程的级数解法
第十六章球函数
第一节Legendre（勒让德）多项式
第二节Legendre多项式的性质
第三节具有轴对称的Laplace方程的求解
第四节连带Legendre函数
第五节球函数
第十七章柱函数
第一节Bessel（贝塞尔）函数
第二节Bessel函数的递推关系
第三节柱函数的定义
第四节整数阶Bessel函数J n(x)的生成函数
第五节Bessel方程的本征值问题
第六节球Bessel函数
*第十八章Green（格林）函数法
第一节微分算子的基本解和Green函数的定义
第二节Laplace算子的基本解
第三节Laplace算子的Green函数
第四节Laplace算子的镜像Green函数法
第五节Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解
第六节输运算子的Green函数
第七节波动算子的基本解
（一）教学内容与学时分配
本课程讲授90学时（不包括习题课）。
学时分配及进度表
周次内容讲授学时
第一周- 第四周
第一章R3空间的向量分析
§1.1向量的概念
§1.2R3空间的向量代数
§1.3R3空间的向量分析
§1.4R3空间的向量分析的一些重要公式
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析
§2.1 R3空间中的曲线坐标系
§2.2 曲线坐标系中的度量
§2.3 曲线坐标系中标量场梯度的表达式
§2.4 曲线坐标系中向量场散度的表达式
§2.5 曲线坐标系中向量场旋度的表达式
§2.6 曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式
第三章线性空间
§3.1线性空间的定义
§3.2线性空间的内积
§3.3Hilbert（希尔伯特）空间
§3.4线性算符
§3.5线性算符的本征值和本征向量
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第五周- 第六周
第四章复变函数的概念
§4.1 映射§4.2 复数§4.3 复变函数
第五章解析函数
§5.1 复变函数的导数§5.2 复变函数的解析性
§5.3 复势§5.4 解析函数变换
第六章复变函数积分
§6.1 复变函数的积分
§6.2 Cauchy（柯西）积分定理
§6.3 Cauchy（柯西）积分公式
§6.4 解析函数高阶导数的积分表达式
10
第七周- 第九周
第七章复变函数的级数展开
§7.1 复变函数级数
§7.2 解析函数的Taylor（泰勒）展开
§7.3 Taylor展开的理论应用
15
§7.4 解析函数的Laurent（洛朗）展开
第八章留数定理
§8.1 留数定理§8.2 留数的一般求法
§8.3 解析函数在无穷远点的留数
§8.4 留数定理在定积分中的应用
§8.5 Hilbert（希尔伯特）变换
第十周- 第十二周
第九章Fourier（傅里叶）变换
§9.1 Fourier级数§9.2 Fourier变换
§9.3 Fourier变换的基本性质
第十章Laplace（拉普拉斯）变换
§10.1 Laplace变换§10.2 Laplace变换基本性质
§10.3 Laplace变换的应用
§10.4 关于Laplace变换的反演
第十一章δ-函数
§11.1 δ-函数的定义§11.2 δ-函数的性质
§11.3 δ-函数的导数§11.4 三维δ-函数
§11.5 δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开
15
第十三周- 第十五周第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）
方程及其定解问题
§12.1 二阶线性偏微分方程的普遍形式
§12.2 波动方程及其定解条件
§12.3 输运方程及其定解条件
§12.4 Poisson方程及其定解条件
§12.5 Laplace方程和调和函数
§12.6 三类方程定解问题小结
第十四章分离变量法
§13.1 齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
§13.2 Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题
§13.3 非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法
§13.4 非齐次边界条件下的分离变量法
§13.5 分离变量法小结
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量
§14.1 球坐标系下方程的分离变量
§14.2 柱坐标系下方程的分离变量
§14.3 二阶线性常微分方程的级数解法
15
第十六周- 第十八周
第十六章球函数
§15.1 Legendre（勒让德）多项式
§15.2 Legendre多项式的性质
§15.3 具有轴对称的Laplace方程的求解
§15.4 连带Legendre函数§15.5 球函数
第十七章柱函数
§16.1 Bessel（贝塞尔）函数
§16.2 Bessel函数的递推关系
§16.3 柱函数的定义
§16.4 整数阶Bessel函数J n( x )的生成函数
§16.5 Bessel方程的本征值问题
§16.6 球Bessel函数
*第十八章Green（格林）函数法
§18.1 微分算子的基本解和Green函数的定义
§18.2 Laplace算子的基本解
§18.5 Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解
§18.6 输运算子的Green函数
§18.7 波动算子的基本解
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（二）内容及基本要求
第一章R3空间的向量分析
主要内容：1. R3空间中的向量分析（§1.1）
2. R3空间中的向量代数与分析（§1.2、§1.3）
3. R3空间中的向量分析的一些重要公式（§1.4）
【掌握】 1.向量的概念及运算规则；
2.Einstein求和约定、Kronecker delta符号δij及Levi－civita符号∈ijk的
用法；
3.标量场、向量场的定义及“del”算符的定义；
4.R3空间中向量分析的一些基本运算公式及其推导方法；
【了解】标量场的梯度、向量场的散度和旋度的定义。
第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析
主要内容：1.R3空间中的曲线坐标系及其度量（§2.1）（§2.2）
2.曲线坐标系中标量场的梯度（§2.3）
3.曲线坐标系中向量场的散度、旋度（§2.4）（§2.5）
4.曲线坐标系中Laplace算符▽2（§2.6）
【掌握】 1.R3空间曲线坐标系度量的概念及含义；
2.曲线坐标系中标量场梯度的表达式；
3.曲线坐标系中向量场散度的表达式；
4.曲线坐标系中向量场旋度的表达式；
5.曲线坐标系中Laplace算符▽2的表达式。
【了解】梯度、散度、旋度及Laplace算符 2在正交曲线坐标系中表达式的推导过程，并能由此推出在直角坐标系、球坐标系及柱坐标系中的表达式。
第三章线性空间
主要内容：1.线性空间的定义及其内积（§3.1）（§3.2）
2.Hilbert空间的定义（§
3.3）
3.常见线性算符（§3.4）
4.线性算符的本征值与本征向量（§3.5）
【掌握】 1.线性空间?的定义以及内积和内积空间的定义；
2.Hilbert（希尔伯特）空间的定义；
3.向量空间中线性算符及线性变换的定义，几种简单的线性算符的形式；
4.线性算符的本征值及本征向量的定义及物理意义；
5.本征值与本征向量的求解。
【了解】 1.施密特正交归一化方法；
2.几种线性算符的证明过程。
第四章复变函数的概念
主要内容：1.映射的概念（§4.1）
2.复数与复变函数（§4.2）（§4.3）
【掌握】： 1.映射的定义，掌握复变数、复变函数及区域的概念；
2.无穷运点的定义；
3.几种常见的初等函数的定义及性质；
4.复数的几何表示及其他表达式。
【了解】： 1.复数的定义及其运算法则；
2.函数的多值性及处理办法；
3.复球面的概念。
第五章解析函数
主要内容：1.复变函数导数与解析性和复势的概念（§5.1、§5.2、§5.3）
2.解析函数变换（§5.4）
【掌握】 1.复变函数的极限及连续性的定义，导数的定义及求导的基本公式和规则；
2.解析函数的定义、条件及解析函数实虚部的关系；
【了解】 1.复势的概念；
2.保角（共型）变换的概念；
第六章 复变函数积分
主要内容：1.复变函数的积分（§6.1）（§6.2）
2.Cauchy （柯西）积分定理及其公式（§6.3）
3.解析函数高阶导数的积分表达式（§6.4）
【掌握】：1.复变函数积分的定义；
2. 利用Cauchy 积分定理求解某些回路积分。
【了解】： 1.复变函数积分的某些性质；
2.柯西积分公式的推导；
3.多连通区域柯西积分定理的推导。
第七章 复变函数的级数展开
主要内容：1. 复变函数的级数（§7.1）
2. 解析函数的Taylor （泰勒）展开（§7.2）
3. Taylor 展开的理论应用（§7.3）
4. 解析函数的Laurent （洛朗）展开（§7.4）
【掌握】 1.幂级数的定义及收敛的概念，
2.解析函数的Taylor 展开及Laurent 展开的概念和展开方法；
3.函数孤立奇点的定义、奇点的类型、阶数和特点；
4.复数级数的定义及收敛性的概念，收敛判据及收敛性质，掌握函数项
级数一致收敛的性质。 【了解】 1.最大模定理； 2.Liouville 定理。
第八章 留数定理
主要内容：1.留数定理及其一般求法（§8.1、§8.2）
2.留数定理在实积分中的应用（§8.4）
3.希尔伯特变换（§8.5） ，
【掌握】 1.留数定理的概念；
2.极点的留数计算方法；
3.?π20)sin ,(cos dx x x R 型积分、?∞∞-dx x f )(型积分、dx e x f imx ?∞∞-)(型积分、
实轴上有单极点的函数积分的特点及计算方法。 【了解】 1.利用留数定理计算某些其他类型积分的方法；
2.解析函数在无穷远点除的留数；
3.希尔伯特变换。
第九章 Fourier 变换
主要内容：1.Fourier 级数与变换（§9.1、§9.2）
2.Fourier 变换的基本性质（§9.3）
【掌握】 有理分式的反演方法、延迟定理、位移定理、卷积定理。
【了解】 延迟定理、位移定理及卷积定理。
第十章 Laplace 变换
主要内容：https://www.wendangku.net/doc/5e6497837.html,place 变换与其基本性质（§10.1、§10.2）
https://www.wendangku.net/doc/5e6497837.html,place 变换的反演（§10.3）
https://www.wendangku.net/doc/5e6497837.html,place 变换的应用（§10.4）
【掌握】 延迟定理、位移定理及卷积定理。
【了解】 普遍反演公式。
第十一章 -δ函数
主要内容：1.-δ函数的定义与性质（§11.1、§11.2）
2.-δ函数的导数和三维-δ函数（§11.3、§11.4）
3.-δ函数的Fourier 变换及Laplace 变换（§11.5）
【掌握】 1.δ-函数的定义及性质；
2.δ-函数的意义；
【了解】 1.δ-函数的导数；
2.普遍反演公式；
3.δ-函数的其他表达式。
第十三章 波动方程、输运方程、泊松方程及其定解问题
主要内容： 1.二阶线性偏微分方程的普遍形式（§12.1）
2.波动方程及其定解条件（§12.2）
3.输运方程及其定解条件（§12.3）
4.泊松方程及其定解条件（§12.4）
5.三类方程定解问题小结（§12.6）
【掌握】1.比较简单的几类定解条件的形式及意义，问题适定性的意义；
2.将某物理问题通过建立模型，利用物理规律转化为数学物理方程的基本
方法。
【了解】 数学物理方程(如弦的横振动方程、杆的纵振动方程、热传导方程、膜的
横振动方程、电磁场的波动方程等)的推导过程。
第十四章 分离变量法
主要内容：1.直角坐标系中利用分离变量法求解方程（§13.1）（1.5学时）
2.Sturm-Liouville 型方程的本征值问题（§1
3.2）（1.5学时）
3.不同边界条件下的分离变量法（§13.3、§13.4）
【掌握】1.通过求解有界空间的定解问题掌握分离变量（Fourier级数）法的基本要点；
2.非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法；
3.非齐次边界条件下的分离变量法；
4.利用Fourier积分法求解无界空间的定解问题。
【了解】Sturm-Liouville型方程的本征值问题
第十五章曲线坐标系下方程的分离变量法
主要内容：https://www.wendangku.net/doc/5e6497837.html,place方程在球坐标系下的分离变量（§14.1）
2.球坐标系下的分离变量（§14.1）
3.自Helmhotz方程导出Bessel方程（§1
4.2）
4.二阶线性常微分方程的级数解法（§14.3）
【掌握】 1.球坐标系下Laplace方程得出径向方程与球函数方程的过程；
2.柱坐标系下的分离变量过程；
3.方程正常点与奇点的概念和含义；
4.指数方程的概念和含义。
【了解】Helmhotz方程在球坐标下的分离变量。
第十六章球函数
主要内容：1.Legendre多项式的定义、来源与主要性质（§15.1、§15.2）
2.具有轴对称的Laplace方程的求解（§15.3）
3.连带Legendre函数的定义与性质（§15.4）
4.一般球函数的性质（§1
5.5）
【掌握】 1.Legendre多项式的来源；
2.Legendre多项式一般形式；
3.Legendre多项式的微分表达式和生成函数；
4.Legendre多项式的递推公式；
5.轴对称的Laplace方程求解过程与对应的物理模型；
6.连带Legendre函数的定义与性质；
7.一般球函数的性质与对应物理图像。
【了解】 1.Legendre多项式一般形式的推导过程；
2.Legendre多项式的正交性、模、完备性及广义Fourier展开；
3.球函数的正交关系；
4.球函数构成的希尔伯特空间的物理意义。
第十七章柱函数
主要内容：1.Bessel函数及其递推关系（§16.1、§16.2）
2.柱函数的定义（§16.3）
3.整数阶Bessel函数J n( x )的生成函数（§16.4）
4.Bessele函数的本征值问题（§16.5）
5.虚宗量的Bessel函数与球Bessele函数（§1
6.6）
【掌握】 1.Bessele函数的来源与一般性质；
2.Bessele函数的递推关系；
3.柱函数的概念与定义；
4.整数阶Bessel函数J n( x )的生成函数与积分形式；
5.Bessel函数的渐近形式、本征值的确定方法；
6.Bessel函数的正交性、模及Fourier-Bessel展开，Bessel函数的母函数。
【了解】 1.Bessele函数的递推关系过程；
2. 虚宗量的Bessel函数。
*第十八章格林函数法
主要内容：1. 格林函数的定义、来源与主要性质（§18.1）
2. Laplace算子的基本解（§18.2）
3.Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解（§18.5）
4.输运算子的Green函数（§18.6）
5. 波动算子的基本解（§18.7）
【了解】 1.格林函数的物理图像；
2. 常用算子的基本解。
说明：1.对于大纲所列内容与学时分配建议，教师可根据实际情况及专业特点，适当取舍调整，标有*的内容可以从简或者舍去。
2.习题课可根据实际需要另行安排。
制定人：黄亮、俞连春、黄子罡
审定人：
批准人：
日期：2016年6月
数学物理方法作业
数学物理方法简答题 1.复数有哪几种表达方式？在复数的开方运算和对数函数的计算中，应特别 注意复数的什么性质？（复习掌握复数运算和几种基本函数的定义和计算） 书上列出了三种：代数式，三角式，指数式。其实还可以用级数式表示复数。 注意角度是除以/乘以一个数。 2.复变函数可导的充分必要条件是什么？可导与解析这两个概念有什么联 系和区别？（复习掌握柯西-黎曼条件以及求解解析函数的实部或虚部的方法） 复变函数可导的充分必要条件：函数的偏导数存在且连续，并满足柯西-黎曼方程。 联系与区别：对于一个点，函数解析必定可导，反之不一定；对于一个区域，解析和可导等价。 3.解析函数的两条性质是什么？ 一：函数的实部和虚部分别等于一个常数，这个两个曲线族在其区域B上是相互正交的。 二：函数的实部和虚部均为其区域B上的调和函数。 4.已知某函数在某一回路上的积分为零，可否据此对此函数的解析性质作出 判断？为什么？（复习掌握柯西定理、柯西公式） 可以，根据柯西定理，在闭单连通区域上的解析函数回路积分为零，可以据此对函数解析性质做出判断。 5.什么情况下某一积分回路的内部一定是复连通的区域？ 在回路内有奇点，则该回路积分会等于对其内部奇点所有回路积分之和。 6.收敛的幂级数和双边幂级数的收敛区域分别是什么类型的区域？在收敛 区域的境界线和外部是否一定发散？（复习掌握计算泰勒展开和洛朗展开的基本方法，特别是有理分式的展开） 一个是圆一个是环。在幂级数的境界线上要具体分析，其余都发散。 7.奇点可分为哪几类？孤立奇点可分为哪几类？简要说明它们之间的区别。
奇点分为孤立奇点和非孤立奇点，。函数在点z不可导，若在z的任意小领域除点z外处处可导，则为孤立奇点，若在任意小领域内可以找到除z以外不可导的点，则z为非孤立奇点。 孤立奇点根据挖去该点而形成环域上的解析函数的洛朗展开级数中负幂项情况，可以分为可取奇点（没有负幂项）、极点（有限个负幂项）、本性奇点（无限个负幂项）。 8.如何判断极点的阶数？ 函数在该极点上的洛朗展开，最低次幂项的次数的绝对值是极点的阶数。 9.试用文字说明什么是留数？（复习掌握留数计算相关公式） 被积函数在回路上的积分，将被积函数展开后逐项积分，除去留下来的项其他都为零，则这个不为零的项除以一常数后称之为留数/残数。 10.留数定理将回路积分归结成什么？对于回路积分的计算有什么意义？（复 习掌握留数定理计算回路积分和实函数积分的相关公式） 将回路积分归结成根据极点求留数，简化了对回路积分的计算。
数学物理方法 (2)
数学物理方法 课程类别校级优秀□省级优质√省级精品□国家精品□项目主持人李高翔 课程建设主要成员陈义成、王恩科、吴少平、刘峰数学物理方法是理科院校物理类学生的一门重要基础课，该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。因此，本课程教学质量的优劣，将直接影响到学生对后续课程的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方法是物理专业师生公认的一门“难教、难学、难懂”的课程，为了将其变为一门“易教、易学、易懂”的课程，我们对该课程的课程体系、内容设置、教学方法等方面进行了改革和建设，具体做法如下： 一、师资队伍建设 优化组合的教师队伍，是提高教学质量的根本保证。本课程师资队伍为老、中、青三结合，其中45岁以下教师全部具有博士学位，均具有高级职称。课程原责任教师汪德新教授以身作则，有计划地对青年教师进行传、帮、带，经常组织青年教师观摩老教师的课堂教学、参与数学物理方法教材编写的讨论；青年教师主动向老教师学习、请教，努力提高自身素质和教学水平。现在该课程已拥有一支以中青年教师为主的教师队伍。同时，系领导对该课程教师队伍的建设一直比较重视，有意识地安排青年教师讲授相关的后续课程，例如，本课程现责任教师李高翔教授为物理系本科生和函授生多次主讲过《电动力学》、《量子力学》、《热力学与统计物理》等课程，使得他们熟知本门课程与后续专业课程的连带关系，因此在教学中能合理取舍、突出重点，并能将枯燥的数学结果转化为具体的物理结论，有利于提高学生的学习兴趣。培养学生独立分析问题和解决问题能力的一个重要前提是教师应该具有较强的科研能力，该课程的任课教师都是活跃在国际前沿的学术带头人或学术骨干，近5年来，他们承担国家自然科学基金项目共8项，在国内外重要学术刊物上发表科研论文60余篇，并将科研成果注入教学中。此外，本课程大多数教师有多次出国合作研究的经历，并且在学校教务处和外事处的支持下，吴少平副教授参加了由国家留学基金委员会组织的赴英“双语教学研修项目”，为本课程双语教学的开展打下了良好的基础。 二、教学内容 数学物理方法是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁，本课程的重要任务是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法。本门课程的基本教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。与国内流行的教材和教学内容相比，在讲解数理方程的定解问题时，本门课程教学内容的特色之一是按解法分类而不按方程的类型分类，这样，可以避免同一方法的多次重复介绍；特色之二是把线性常微分方程的级数解法和特殊函数置于复变函数论之后、数学物理方程之前，一方面可将这些内容作为复变函数理论的一个直接应用，使学生进一步巩固已学的相关知识，另一方面可使正交曲线坐标系中分离变量法的叙述更加流畅，并通过与直角坐标系中分
数学物理方法学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程
不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：
数学物理方法第二次作业答案
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __ 。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=???? ?∈-∈===0 ],2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图
数学物理方法作业
1、 下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？（画图说明） （1） （2） 2、计算下列数值 （1） （2） （3） 3、解方程 1、设函数2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++问常数a ,b ,c ,d 取何值时, f (z )在复平面内处处解析? 2、如果f '(z )在区域D 处处为零, 证明f (z )在D 内为一常数. 3、(,)23()()0v x y xy x f z f i =+=判断是否可作为解析函数的虚部？为什么？若能， 求出一个解析函数，且满足 2、 1、求1()(12) z f z e i =-+的全部孤立奇点。 1Re 2z >arg ,Re (,,z a z b a b αβαβ<<<<和为实数） i i (13) Ln i -sin 2z =1、 求下列积分的值 （1）iz d , :i 1;i C e z C z z +=+? （2）2||2d (5)(i)z z z z z =--? （3）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （4）5 cos :1(1)C z dz C z r z π=>-? 2223713,(),'(1). C C x y f z d z f i ????+++==-+? 设表圆周求
2、32382(4) z z z +=--是的 阶极点。 3、确定下列函数的奇点，并求出函数在各奇点处的留数。 （1）2 (1)(2)z z z -- （2）1 1z e - 4、用留数定理计算下列积分。 （1）431 (1)(3)z z dz z z =-+-? （2）22()(3)z C e dz z i z i π-+? ，其中C 是|-1|3z =正向圆周. 1、求()=,0t f t e ββ->的傅立叶变换。 2、已知)(t f 的傅氏变换为[]00()()().F i ωπδωωδωω=+--，求)(t f 3、用拉普拉斯变换求解 4、质量为m 的物体挂在弹簧系数为k 的弹簧一端, 外力为f (t ), 物体自平衡位置x =0处开始运动, 求运动规律x (t )（用拉式变换求解） 1、用分离变量法求解混合问题 2、半径为a 的半圆形均匀薄板，板面绝缘，在半圆周的边界上保持恒定的温度0u ，在直径上保持零度，求板内的稳定温度分布。 1、设有两端固定的弦，其初始位移和初始速度为零，求在重力作用下该弦的振动。 22()()()(0)0(()) T t a T t g t T g t ω'?+=?=?已知()()()()20000,0,02,0sin ,0sin 0tt xx u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ??-= << , >? ??= , = 0≤????= , = ≤≤??
数学物理方法
1.就下列初始条件及边界条件解弦振动方程 1,0211,1,2t x x u x x =? ≤≤??=??-<≤?? 0 (1),01,t u x x x t =?=-≤≤? 1 0,0.x x u u t ====> 解： 22 222010 ,01,0. 0, 01,02(1),0 1. 11,1,2 x x t t u a x t t t u u t x x u u x x x t x x ====??????=≤≤>????==>??? ?≤≤????==-≤≤? ???-<≤???? 利用分离变量的方法有：(,)()(),u x t X x T t = 代入齐次方程得 " 2 " ()() ()(). X x T t a X x T t = 则 2"()"() ()() X x T t X x a T t λ==- 得常微分方程 2"()() 0,"()() 0. T t a T t X x X x λλ+=+= 利用边界条件得 "() ()0(0)(1)0.X x X x X X λ+=??==? 我们知道 1’ 00λλ<=，时不符合要求 2’ 0λ>时， 令2λβ= 则 方程的通解 X ()c o s s i n x A x B x ββ=+ 由边界 (0)(1)0X X == 得22n n λπ= s i n n n X B n x π= 得 222 "()()0n n T t a n T t π+=
即解得 'c o s 's i n n n n T C n a t D n a t ππ=+. 得 (,)()() [c o s s i n ] s n n n u x t X x T t C n a t D n a t n x πππ= =+ 通解 1 1 (,)(,)[cos sin ]sin .n n n n n u x t u x t C n at D n at n x πππ∞ ∞ ====+∑∑ 由初始条件 (1)t u x x t =?=-?=1 sin n n D n a n x ππ∞ =∑ ? 1 44 2 4[(1)1] (1)sin n n D x x n x n a n a πππ--=-=? 再由0 1,0211,1,2 t x x u x x =?≤≤??=??-<≤?? ? 1/2 1 22 1/2 42sin 2(1)sin sin 2 n n C x n xdx x n xdx n π πππ =+-= ?? ∴224414 4[(1)1](,)(sin cos sin )sin 2n n n u x t n t an t n x n n a πππππ π∞ =--=+∑ 2 ．
数学物理方法大作业
基于分离变量法的波导中的电磁波研究 1 空间当中的电磁波 在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组，对于在0==J σ情况下的迅变场，麦克斯韦方程组为]4[ ?? ? ?? ???? =??=????=????- =??00B D t D H t B E (1) 为了便于求解，通常将（1）式化为 ??? ????=??-?=??-?0101 22 2 22 22 2 t B c B t E c E (2) 必须指出的是，（2）式中第一式E 的三个分量X E ，y E ，z E 虽然是三个独立方程，但是其解却是相互关联的，因为（1）式到（2）式麦克斯韦方程变为二阶的麦克斯韦方程，故解的范围变大了。为了使波动方程（2）的解是原方程（2）的解，必须是波动方程的解满足条件 0=??E 。 求解方程（1），即为求解 ???? ??? ????- =??=??=??-?t B E E t E c E 0012222 (3) (3)式在给定的边界条件下，可以求得定解. 对于定态电磁波，场量可以表示为 t i e z y x E E ω-=),,( (4) 考虑(4)式，(3)式可表示如下：
? ?? ? ? ?? ??-==??=+?E i B E E k E ω002 2 (5) 设电磁波为时谐波，并考虑到关系H B μ=，由（5）式可得到z y x ,,三个分量的6个标量方程： x y x H i E y E ωμγ-=+?? (6) y x z H i E x E ωμγ-=-??- (7) z x y H i y E x E ωμ-=??- ?? (8) x y z E i H y H ωεγ=+?? (9) y x z E i H x H ωεγ=-??- (10) z x y E i y H x H ωε=??- ?? (11) 以上6个方程经过简单运算，可以将横向场分量y x y x H H E E ,,,用两个纵向场分量 z z H E ,来表示，即： )(1 2 y E i x H k H z z c x ??-??- =ωεγ (12) )(12 x E i y H k H z z c y ??+??- =ωεγ (13) )(12 y H i x E k E z z c x ??+??- =ωμγ (14) )(12 x H i y E k E z z c y ??-??- =ωμγ (15) 式中222 k k c +=γ
数学物理方法典型习题
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知 x0端是自由的，则该端的边界条件为__。2．研究细杆的热传导，若细杆的x0 端保持绝热，则该端的边界条件为。3．弹性杆原长为 l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置 b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在 x 轴上，则其边界条件为u x 0 0 , u x l 0。 4．一根长为 l 的均匀弦，两端 x0 和 x l 固定，弦中张力为T0。在 x h 点，以横向力F0拉 弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f(0)=0,f(l)=0;_____。 5、下列方程是波动方程的是D。 A u tt a2u xx f ； B u t a2u xx f ； C u t a2u xx； D u tt a2u x。 6、泛定方程u tt a2u xx0要构成定解问题，则应有的初始条件个数为B。 A 1 个； B 2 个； C 3 个； D 4 个。 7．“一根长为 l 两端固定的弦，用手把它的中u h u 点朝横向拨开距离 h ，（如图〈 1〉所示）然后放0x l / 2 手任其振动。”该物理问题的初始条件为 ( D)。图〈 1〉 2h x, x[0, l ] u t h A ．u t l2 l B．0 o u t0 2h(l x), x, l ]t 0 l [ 2 2h l x, x [ 0,] u t l2 C．u t0h D．02h l (l x), x [,l ] l2 u t t00 8．“线密度为，长为 l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点x0(0 x0l ) 受谐变力 F0 sin t 的作用而振动。”则该定解问题为(B)。 u tt a2 u xx F0 sin t(x x ) ,(0x l ) A ． u
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法第二次作业答案
第七章数学物理定解问题 1.研究均匀杆得纵振动。已知端就是自由得,则该端得边界条件为__。 2.研究细杆得热传导,若细杆得端保持绝热,则该端得边界条件为。 3.弹性杆原长为,一端固定,另一端被拉离平衡位置而静止,放手任其振动,将其平衡位置选在轴上,则其边界条件为。 4.一根长为得均匀弦,两端与固定,弦中张力为。在点,以横向力拉弦,达到稳定后放手任其振动,该定解问题得边界条件为___f(0)=0,f(l)=0; _____。 5、下列方程就是波动方程得就是 D 。 A ; B ; C ; D 。 6、泛定方程要构成定解问题,则应有得初始条件个数为 B 。 A 1个; B 2个; C 3个; D 4个。 7.“一根长为两端固定得弦,用手把它得中 点朝横向拨开距离,(如图〈1〉所示)然后放 手任其振动。”该物理问题得初始条件为( D A. B. C. D. 8.“线密度为,长为l得均匀弦,两端固定,开始时静止,后由于在点受谐变力得作用而振动。”则该 定解问题为( B )。 A. B. C. D. 9.线密度为长为得均匀弦,两端固定,用细棒敲击弦得处,敲击力得冲量为I,然后弦作横振动。该 定解问题为:( B )。 A. B. C. D. 10.下面不就是定解问题适定性条件得( D )。 A.有解 B.解就是唯一得 C.解就是稳定得 D.解就是连续得
11、名词解释:定解问题;边界条件 答:定解问题由数学物理方程与定解条件组成,定解条件包括初值条件、边界条件与连接条件。 研究具体得物理系统,还必须考虑研究对象所处得特定“环境”,而周围花牛得影响常体现为边界上得物理状况,即边界条件,常见得线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究得物理量在边界上得数值;第二类边界条件,规定了所研究得物理量在边界外法线方向上方向导数得数值;第三类边界条件,规定了所研究得物理量以及其外法向导数得线性组合在边界上得数值。用表示边界即 (1)第一类边界条件:直接规定了所研究得物理量在边界上得数值, ,代表边界 (2)第二类边界条件:规定了所研究得物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩得数值, (3)第三类边界条件:规定了所研究得物理量及其外法向导数得线性组合在边界上得数值, 第八章分离变数(傅里叶级数)法 1.用分离变数法求定解问题得解,其中为得已知函数。 解:令 设 2.用分离变数法求定解问题得解,其中为常数。 解:以分离变数形式得试探解 代入泛定方程与边界条件,得 , ;; 本征值: ;本征函数: 将代入,得 其通解为 本征解为: 一般解为:
数学物理方法
数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年
数学物理方法教学大纲
《数学物理方法》课程简介 课程编号：L2112113 英文名称：Methods of Mathematical Physics 学分：4 学时：64 授课对象：光电子技术科学专业 课程目标： 《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。 课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时） 预修课程： 大学物理学、高等数学。 教材： 《数学物理方法》，科学出版社，邵惠民编著。 主要教学参考书： 《数学物理方法》，高教出版社，梁昆淼主编。 《数学物理方法》，高教出版社，郭敦仁主编。 《数学物理方法》，吴崇试主编 《数学物理方法》，中国科技大学出版社，严镇军编著。 《特殊函数概论》，北京大学出版社，王竹溪、郭敦仁编著。 《数学物理方法解题指导》，高等教育出版社，胡嗣柱、徐建军编。 "Mathematics of Classical and Quantum Physics" F.W. Byron & R.W. Fuller,
《数学物理方法》课程教学大纲 （Methods of Mathematical Physics） 一、基本信息 课程编号：L2112113 课程类别：学科基础课必修课 适用层次：本科 适用专业：光电子技术科学专业 开课学期：4 总学分：4 总学时：64学时 考核方式：考试 二、课程教育目标 《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学数学方法和工具。因此本课程应受到相关专业学生和教师的重视。 对实际的工程、技术、科学问题，通常需要转换为物理问题，然后利用物理原理进一步翻译为数学问题，进一步求解该数学问题，再将得到的数学结果翻译成物理问题，即讨论所得结果的物理意义。因此，数学是物理的语言之一，《数学物理方法》是联系数学和物理类及光电子类专业课程的纽带。本课程的主要任务就是告诉学生如何将各种物理问题翻译成数学的定解问题，并了解、掌握求定解问题的若干方法，如行波法、分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等。 三、教学内容与要求 教学内容： 1复变函数部分 复变函数基本知识、复变函数积分、复变幂级数、留数定理及应用、拉普拉斯变换简介。 2付氏变换部分
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F （z ）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数F （z ）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A ，先找出函数f(z)的奇点 ； B ，把函数在 的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则 为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则 为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则 为极点，如果负幂项的最高项为 ，则 为m 阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） 这两曲线族在区域上正交。()()???==2 1,,C y x v C y x u 3）和都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) ()y x u ,()y x v ,4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出挑选性的表达式（6分） )(x δ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ6、写出复数的三角形式和指数形式（8分）2 31i +三角形式： ()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+指数形式：由三角形式得：313 π ρπ?i e z ===7、求函数 在奇点的留数（8分）2) 2)(1(--z z z 解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z 1)1(1lim )2)(1()2(!11lim Re 22222)2(\-=?? ????--=?????---=→→z z z z z dz d sf z z
《高等数学》第四册(数学物理方法
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4 266z i z i π π ππ=+= + 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
数理方程在岩土工程中的应用
浅谈数理方程在岩土工程中的应用 一、由于广义函数的出现，它提供了处理偏微分方程的又一种新方法，其中许多经典的方法（突出的如Fourier分析）进一步发挥了重大的作用。在此基础上，以后还陆续出现了拟微分算子、Fourier积分算子、微局部分析、超函数等新的强有力的数学理论工具同计算机系统的完美结合，堪称为时代的发展的加速器，它不仅极大地改变了线性偏微分方程的发展，并应用于处理非线性偏微分方程的问题，数理方程在工程性学科中的应用，更深刻的给变了岩土工程的发展进程。 二、偏微分方程在科技发展与国民经济中的巨大作用在我国的经济建设中很多重要的科研问题都要求偏微分方程的解，为相应的工程设计提供必要的数据，保证安全可靠且高效地完成任务。例如：岩土工程却是以实践和试验为基础的工程性学科，但近年来正在发展中的计算土力学，为岩土工程的发展和应用工程实践提供了便捷通道。现实中的工程问题是不能或很难用工程试验的方法来究的，怎样在试验前作较准确的预测，由于理论的发展远滞后于工程实践的应用需要，人们必须寻求新的路径：既能满足实践的定量需要，又尽可能的符合理论的定性要求。因此，发展出多种偏微分问题的处理方法，《数学物理方程遇特殊函数》作为一门工具性的基础学科在计算土力学中显得尤为重要，在处理一些实际课题时，电子计算机已越来越成为一个
重要的工具，要能有效地将数学物理方程遇特殊函数同电子计算机来解决实际工程问题，其先决条件是：(1)建立合理的数学物理模型。对决定岩土性质的重要变量及参数，通过大量偏微分方程及数学模型来描述；比较及优化各种模型，选定能符合实际工程的模型。(2)确定合理的数学物理方程的边界条件与初始条件。实际中的边界条件往往是复杂多变的，初始条件更是无法精确地确定，所以就存在“抓主忽次”的问题（即能真实地反映问题，又能简化方程，更能方便计算）。 (3)对相应的偏微分方程进行定性的研究。许多偏微分方程的非级数解的存在与否仍然备受争议，我们只要确定存在性、稳定性、适应性才能进行下一步的研究分析。(4)寻求或选择有效的求解方法，特别是数值的求解方法（即设幂级数为微分方程的解，确定系数即可，取满足精度要求的有限项进行计算）。(5)编制高效率的程序或建立相应的应用软件。这些解决的好坏直接影响到使用计算机所得结果的精确度及耗资的大小。目前MATLAB在处理偏微分方程与特殊函数方面取得成功的例子已充分说明了这一点。 数值求解微分方程的数值解在岩土工程中的意义。基于数理方程遇特殊函数的理念，借助新兴学科的发展成果，成就了许多数值软件和数值模拟方法在岩土工程中的应用，例如：ABAQUS、FLAC 2/3D、FEM、CEM等计算软件的。 三、现代数值方法的作用与功能可归纳为: 1 强有力的分析计算器作用 输入某一工程的基本几何参数、力学参数与施工条件, 通过数值分析
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics 西北师范大学物理与电子工程学院 豆福全
第五章 Fourier 变换法 §5 . 0 引言 在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量 x 的积分 ()()(),b a F f t k t dt αα=? 实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞ --∞ = ? （ω为实变量）------------Fourier 变换 (),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则 ()()0t F f t dt e σ σ∞ -= ? （σ为实变量）-------------Laplace 变换 ()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变 换是可逆的。 积分变换可用来求解方程（如微分方程）。原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。 积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。 § 5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变 5 .1 .0 引言 研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。幂级数就是最简单的函数--------x 的各次幂函数： 1，
基于MATLAB在数理方程的应用
《MATLAB语言》课程论文 基于MATLAB在数理方程的应用 姓名：廖威 学号：12010245212 专业：通信工程 班级：通信班 指导老师：汤全武 学院：物理电气信息学院 完成日期：2011.12.12
基于MATLAB在数理方程的应用 （廖威 12010245212 2010级通信班） [摘要] MATLAB 是近几年传播最快、影响最大的数学类应用软件。应用MATLAB 求解《数学物理方法》中的一些题目，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可将数理方程的解及一些特殊函数以图形的形式显示出来，形象、直观，便于理解。数理方程当中有许多的复杂的数值及数学符号的计算《数学物理方法》是许多理工专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难度大的课程。因课程内容抽象，数学推导繁琐，学生学习起来感到非常枯燥。MATLAB 是高性能的数值计算型数学类科技应用软件，具有优秀的数值计算功能和强大的数据可视化能力。本文以一些典型习题为例，介绍了MATLAB 在复变函数、积分变换、数理方程和特殊函数等方面的应用。 [关键词] MATLAB 积分变换数学物理方程特殊函数图形绘制 一、问题的提出 MATLAB是近几年传播最快、影响最大的数学类应用软件。应用MATLAB求解《数学物理方法》中的一些题目，使原来繁琐的手工计算变得简便，而且可将数理方程的解及一些特殊函数以图形的形式显示出来，形象、直观，便于理解。而且MATLAB强大的科学运算、灵活的程序设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能，显示出其很强的优越性…… 二、MATLAB在解偏微分方程中的应用 应用MATLAB 求解数学物理方程，可通过编程或直接利用偏微分方程工具箱求解，直接利用偏微分方程工具箱更为简单、方便。在数理方程课上我们学习解矩形域方程的问题： 例1：在矩形域-0.5