2015年全国高中数学联赛模拟卷二试
A
B
C P Q I
D O 1
I 1
I 2
C
P
Q I
2014年全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(考试时间：150分钟 满分：180分)
姓名：_____________考试号：______________得分：____________
一、（本题满分40分） 在Rt ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，记12,,I I I 分
别是△ADC , △BCD ,△ABC 的内心，I 在AB 边上的射
影为1O ，,CAB ABC ∠∠的角平分线分别交,BC AC 于,P Q ，且PQ 的连线与CD 相交于2O ，求证：四边形1122I O I O 为正方形．
二、（本题满分40分）给定正数a , b , c , d, 证明：
b a d b a d a d
c a
d c d c b d c b c b a c b a +++++++++++++++++++3
33333333333.2222d c b a +++≥
三、（本题满分50分）设+∈N k ，定义11=A ，2
)1(221+++=+n n nA A k
n n ， ,2,1=n
证明：当1≥n 时，n A 为整数，且n A 为奇数的充要条件是)4(m od 21或≡n 四、（本题满分50分）试求最小的正整数,n 使得对于任何n 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之
和是7的倍数.
一．证明：不妨设BC ≥AC ，由~ADC CDB ??且12,I I 分别是其内心，得12I D
AC BC I D
= 且0121
902
I DI ADB ACB ∠=
∠==∠，所以 12~DI I CAB ?? 则21I I D CAB ∠=∠ ① 设,ADC BCD ??的内切圆半径分别为12,r r ，Rt ABC ?的三边长为,,a b c ，12,I I 在AB 边上的射影为,E F ，
并且,,AD x BD y CD z === ，则121,,222
x z b y z a b c a
r r AO +-+-+-===
， 所以 1121222
b c a y z a x z b
DO AO AD x r r +-+-+-=-=-=-=-，
1122111()I E r r r r DF DO O F ==--=-=， 112122()EO r r r r I F =+-==，
因此1112I EO FO I ?=?．1112O I O I ?=且112112112212
I O I I O E I O F O I F I O F π
ππ∠=-∠-∠=-∠-∠=，②
则121,,,D O I I 四点共圆 2121I O F I I D CAB ?∠=∠=∠（由①知）所以12//O I AC ， 同理 11//O I BC ，
∴1111
1
()21()2
b c a AI AO b c a
I P BO c a b c a b +-+-===
+-+-，又由角平分线性质得CQ BC CQ BC ab CQ QA BA QA CQ BA BC a c =?=?=+++ 同理ab CQ b c =+，另一方面222222
1
sin 21sin 2
CQO CPO CQ CO ACD
S QO b c b
O P S a c a
CP CO BCD ???∠+===
+?∠， 又122112()
//()AI QO b c a b b c O I CA I P O P c a b a a c +-+?=?=+-+， 而()()()()a a c b c a b b c c a b ++--++- 2222
()()a ab ac a cb c ac b bc ba b c ac bc =+-++--+-++-
所以21//O I CA ， 同理22//O I BC ，
所以四边形1122I O I O 为平行四边形，由②知四边形1122I O I O 为正方形．
二．解：由于问题的对称性, 只要证明对于任何正数下式成立
因为如果上式成立, 则原式的左边不小于
不失一般性, 可以在的假设下证明上述不等式. 如果, 只要将不等式两边同除, 令
于是问题转化成下列被修改的问题：给定满足条件
的正数
证明
此不等式证明如下：
三．证明：注意到k n n n nA A n 21)1(2)2(+=-++ k
n n n A n A n 212)1()1(=--+-
得121
2112)
1(2)1()1)(2(++-+++=--++k k n n n n nA n A n n 反复运用上式，得)
1()(2+=n n n S A n ，其中t
t t n n S +++= 21)(，12+=k t
得∑∑==+-+++-=
n i t t n
i t
t
i i n i i n n S 1
])1[(])
[()(2，从而可知)(2|)1(n S n n +，因此)1(≥n A n 是整数.
（1）当)4(m od 21或≡n 时，由)(n S 有奇数个奇数项知)(n S 为奇数，所以n A 为奇数. （2）当)4(mod 0≡n 时，)4(mod 0)2
(≡t
n ，
故)4(mod 0)2(])[()(2
≡-+-=∑=t n i t
t n i i n n S ，所以n A 为偶数 （3）当)4(mod 3≡n 时，)4(mod 0)2
1(≡+t
n ，
故)4(mod 0)2
1(
])1[()(2
11
≡+-+-+=
∑+=t
n i t t n i i n n S ，所以n A 为偶数 综上所述，命题成立，证毕.
四．解：首先，我们可以指出12个连续正整数，例如994，995，…，999，1000，1001，…，1005，其中任
一数的各位数字之和都不是7的倍数，因此，13n ≥.
再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.对每个非负整数a ，称如下10个数所构成的集合:{10,101,109}a A a a a =++为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个基
本段，要么属于三个基本段。当13个数属于两个基本段时，据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个基本段；当13个连续数属于三个基本段11,,a a a A A A -+时，其中必有连续10个数同属于a A .现在设
110k k a a a a - 1
10
1
1
(1),(6)k k k k a a a a a a a a --++是属于同一个基本段的7个数，它们的各位数字之和分别是
,1,,6,k
k k
i
i
i i i i a a a ===++∑∑∑显然，这7个和数被7除的余数互不相同，其中必有一个是7
的倍数.因此，所求的最小值为13.n =
2014全国高中数学联赛模拟题(2)加试（二试）
9：40~12：10共150分钟 满分180分
平面几何、代数、数论、组合
1、（本题40分）在△ABC 中，AB ＞BC ，K 、M 分别是边AB 和AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设P 点是直线KM 和CO 的交点，而Q 点使得QP⊥KM 且QM∥BO，证明：QO⊥AC。
2、（本题40分）已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==() ,2,11
1
11=++=
--+n a a a a a n n n n n .
（1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？ （2）求数列{}n a 的通项公式.
3、（本题50分）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.（1953年美国普特南数学竞赛题）由此，证明有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目. (第6届国际数学奥林匹克试题)
4、（本题50分）设*2
11,1,3N n a a a a n n n ∈-+==+，证明：
（1）对所有)4(m od 3,≡n a n ；（2）当m m ≠时，1),(=n m a a （即n m a a ,互质）
1、证：作OR ⊥AC 于R ，过P 作MK 的垂线，交直线OR 于
Q 点（如图）。这样只需证Q’M ∥O ，因为这时Q 和Q’重合。 因为K ，M 分别为AB 和AC 的中点，所以KM ∥BC ，于是∠MPC ＝∠BCP ＝
2
1
∠ACB ＝∠MCP 。因此MP ＝MC ＝MA ，这样一来，P 点在以AC 为直径的圆周上，且∠APC ＝90°。 在四边形APOR 中，∠APO ＝∠ARO ＝90°，所以APOR 内接于圆，∠RPO ＝∠RAO ＝
2
1
×∠BAC 。 在四形边MPQ’R 中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以MPQ’R 内接于圆，于是∠Q’MR ＝∠Q’PR ＝∠Q’PO
＋∠OPR ＝（90°－∠OPM ）＋
21∠BAC ＝（90°－21∠ACB ）＋2
1
∠BAC 。 设BO 交AC 于D ，在△BDC 中，∠BDC ＝180°－∠ACB －21∠ABC ＝90°＋21∠BAC －2
1
∠ACB ＝∠
2、解：由递归方程()x x
x x f =+=21
2，得不动点1±=x .由不动点方法 111
1
111
11111+++-++=+-----++n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 111111----+++--+=n n n n n n n n a a a a a a a a ()()()()111111++--=--n n n n a a a a 11
1111+-?+-=--n n n n a a a a . 令11+-=
n n n a a b ，则()+-+∈=N n b b b n n n 11.易知1
1
0+-=x x b ，111+-=y y b . 注意到()23221-----==n n n n n n b b b b b b 21012
433322--====----n n F
F
n n n n b b b b b b ，
其中，11-++=n n n F F F ，110==F F ，{}n F 为斐波那契数列.
于是，11
+-=n n
n a a b 2101--=n n F F b b 2
1
1111--??
?
??+-???? ??+-=n n F F x x y y .
故11+-n n
a a ()211112
1
≥??
? ??+-???
?
??+-=--n x x y y n n F F .
（1）要使总存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数，还需分情况讨论. （i ）若10=n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数.
由y a =1，101021a a a a a ++=y y x xy =++=1，y y
y a =+=2123，……
有1=y ，且x y -≠. 此时，n a 恒为常数1或1-. （ii ）若20≥n ，当0n n ≥时，n a 恒为常数.
首先，当()01n n a n ≥-=时，如果30≥n ，由10-=n a ，110-=+n a 及=
+10n a 1
100001--++n n n n a a a a ，有
110≠-n a .注意到110-≠-n a .又由=
0n a 2
12100001----++n n n n a a a a ，有120-=-n a .
于是，由=
-10n a 3
23200001----++n n n n a a a a ，有110-=-n a ，矛盾.
此时，只能是20=n ，即()21≥-=n a n ，所以，101021
a a a a a ++=
11-=++=y
x xy ，
12122121311a a a a a a a a a ++=++=
1111-=+-+?-=y y ，……于是，11
-=++y
x xy ，且1≠y 01=+++?y x xy ，
因此，当1-=x 或1-=y ，且x y -≠时，取20=n .当2≥n 时，n a 恒为常数1-.
其次，当n a 在()200≥≥n n n 时不恒为1-，但当0n n ≥时，使n a 恒为常数，故
1-≠n a ()2,00≥≥n n n .则11+-n n a a 2
1
1111--??
?
??+-???
?
??+-=n n F F x x y y 在0n n ≥时恒为常数.
显然，
11
1
≠+-x x ，
111≠+-y y . 若
11
1
-=+-x x 且
111-=+-y y ，则0==y x ，有101021a a a a a ++=的分母为0，矛盾.所以，只能01
1
=+-x x 或
011=+-y y ，即1=x 或1=y ，且x y -≠时，当()200≥≥n n n 时，n a 恒为常数1. 综上，当1=x 且x y -≠或1=y 且y x -≠时，总存在正整数0n ，使当0n n ≥时n a 恒为常数1或1-.
（2）注意到11+-n n
a a ()211112
1
≥??
?
??+-???
?
??+-=--n x x y y n n F F .
则1111112
2
1
-??
?
??+-???
?
??+--=
--n n F F n x x y y a ()()()()()()
111111122
1212
1----++++=------n n n n n n F F F F F
F
x y x y x y . 故()()()()()()()()
()2111111112
12
12
121
≥---++--+++=
--------n x y x y x y x y a n n n n n n n n F F F
F F
F
F
F n ，x a =0，y a =1. 3、证明 设A 、B 、C 、D 、E 、F 是所给六点.考虑以A 为端点的线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF ，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB 、AC 、AD ，且它们都染成红色.再来看△BCD 的三边，如其中有一条边例如BC 是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC ）；如△BCD 三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.
证明 用平面上无三点共线的17个点A 1,A 2,…，A 17分别表示17位科学家.设他们讨论的题目为x,y,z,两位科学家讨论x 连红线,讨论y 连蓝线,讨论z 连黄线.于是只须证明以这17个点为顶点的三角形中有一同色三角形.
考虑以A 1为端点的线段A 1A 2,A 1A 3,…，A 1A 17，由抽屉原则这16条线段中至少有6条同色，不妨设A 1A 2，A 1A 3，…，A 1A 7为红色.现考查连结六点A 2，A 3，…，A 7的15条线段，如其中至少有一条红色线段，则同色（红色）三角形已出现；如没有红色线段，则这15条线段只有蓝色和黄色，由例5知一定存在以这15条线段中某三条为边的同色三角形（蓝色或黄色）.问题得证. （属图论中的接姆赛问题.）
43n a k =+，那么1(1)14(43)(1)13(mod 4)n n n a a a k k +=+-=+--≡∴对所有n ，3(mod 4)n a ≡
（2）由递推关系得112
114n n n n a a a a a +--+=不妨设m n <，得|1m n a a -，令1,n m a qa q N +=∈
则,()(,1)(,1)1m n m m m m a a a qa a a =-=-=
2014年全国高中数学联赛
加 试
1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．
2. （40分）设k 是给定的正整数，12
r k =+．记(1)()()f r f r r r ==????，()
()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()
()m f
r 为一个整数．这里，x ????表示不小于实数x 的最小整数，例如：112??
=????
，11=???
?．
3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,
,n a a a 满足1,1,2,
,k a k n ≤=，记
12,1,2,,k
k a a a A k n k
++
+=
=．
求证：
1
1
1
2
n n
k k k k n a A ==--<
∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12
n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，
同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
解 答
1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．
因为2
PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） (
)()22
2
2PO r
KO
r =-+-，
同理()()
22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222
PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是
AQ AP
QN PM
=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得
1NB DE AQ BD EA QN ??=，②1MC DE AP
CD EA PM
??=． ③ 由①，②，③可得
NB MC BD CD =， 所以ND MD BD DC
=
，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.
注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ?=?， ④
则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ?=?，⑤
⑤-④，得 2
P K P E P C A K K E =?-?=P 的幂（关于⊙O ）
+K 的幂（关于⊙O ）．
注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．
2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()
()m f
r 为整数．
下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时
()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++ ? ????
?????为整数．
假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式
1212222v v v v v k αα++++=+?+?+
，
这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．
于是 ()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++ ? ?????????2
122
k k k =+++ 1
1211212(1)2()222
v v v v v v v ααα-++++=+++?++?+++
1
2
k '=+
， ① 这里1
121122
(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++?++?+
++
.
显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，1
2
r k ''=+
经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，F
E Q
P
O
N
M
K D
C
B
A
3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有1
1
0,0k
n
i
i
i i k a
k a
n k ==+<
≤<
≤-∑∑．
注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有
11111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑11
111n k
i i i k i a a n k n =+=??=-- ???∑∑
11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ?????∑∑111m a x (),n k k n
k n ??
??≤--?? ?????1k n =-， 故
1
1
1n n
n
k k
n k k k k a A
nA A ===-=-∑∑∑ ()1
1
1
1
n n n
k n k k k A
A A A --===
-≤-∑∑
1
11n k k n -=??<
- ??
?∑1
2n -=
． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,
,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有
a 和
b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，
c ，使得标有a
和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a 的边有2i 条，02
n i ??≤≤????，标有b 的边有2j 条，
202n i j -??≤≤????
．选取2i 条边标记a 的有2i
n
C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j
n i
C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为2222220
04
n n i i j n n i i j C C -??
??
????
??
??
-==?? ? ? ???
∑
∑． ①
这里我们约定0
01C =．
当n 为奇数时，20n i ->，此时
2222120
2n i j
n i n i
j C
-??????---==∑． ②
代入①式中，得()()22222222212220
0004
4222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -????????
????????
????????
----====?? ?== ?
???∑
∑∑∑ 0
2
2(1)(21)(21)n
n
k
n k
k n k
k n n n
n k k C C --===+-=++-∑∑31n =+． 当n 为偶数时，若2n i <
，则②式仍然成立；若2
n
i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种
2222220
04n n i i j n n i i j C C -??????????
??-==?? ?= ?
?
??
∑
∑()122210412n i n i n i C ??-????--=?? ??+ ? ???∑()2221024233n i n i n n i C ??
??
??
--==+=+∑． 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n
+种；当n 为偶数时有
33n +种．
2015全国高中数学联赛模拟试题06
加试
一（本题满分40分）
如图，在△ABC 中，AB AC <，O 是△ABC 的外接圆，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点D ，过点,B C 作BC 的两条垂线分别与,AB AC 的中垂线交于点,E F . 求证：,,D E F 三点共线
二、（本题满分40分）
已知无穷正数数列{}n a 满足：（1）存在m R ∈，使得()1,2,
i a m i ≤=；
（2）对任意正整数(),i j i j ≠均有1
i j a a i j
-≥
+， 求证：1m ≥
三、（本题满分50分）
设,,,a b c d N ∈满足：1bc ad -=，集合{}{}1,2,3,
,1,A a c B ia i N =+-=∈，
如果k A B ∈-，求证：b d k k a c ????
=????????
（其中[]
x 表示不超过x 的最大整数）
四、（本题满分50分）
求所有的自然数n ，使得存在()1,2,
,n 的一个置换()12,,,n p p p 满足：集合{}1i p i i n +≤≤和
{}1i
p i i n -≤≤均为mod n 的完全剩余系
2015年全国高中数学联赛模拟试题10加试参考解答
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）
如图，四边形ABCD 内接于圆，,AB DC 延长线交于E ，,AD BC 延长线交于F ，P 为圆上任一点，
,PE PF 分别交圆于,R S ，若对角线,AC BD 交于T ，求证：,,R S T 三点共线
二、（本小题满分40分）
给定实数()0,1r ∈，n 个复数12,,,
n z z z 满足()11,2,,k z r k n -≤=
证明：()221212
11
1
1n
n
z z z n r z z z ++
++++
≥-
三、（本题满分50分）
求具有下述性质的所有整数k ：存在无穷多个正整数n 使得n k +不整除2n
n C
法二：所求整数为除1以外的所有整数.
四、（本题满分50分）给定整数5n ≥，求最小的整数m ，使得存在两个由整数构成的集合,A B ，同时满足以下条件：（1）,A n B m ==，且A B ?；（2）对B 中任意两个不同元素,x y 有：x y B +∈当且仅当,x y A ∈
解：最小的整数m 为33n -，我们首先给出一个例子
2015年全国高中数学联赛模拟试题11加试参考解答
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）
设n 是给定的正整数，且3n ≥.对于n 个实数12,,
,n x x x ，记()1i j x x i j n -≤<≤的最小值为m .
若222121n x x x ++
+=，试求m 的最大值
二、（本小题满分40分）
试确定所有同时满足()()
22223mod ,3mod n n n n n n p q q p ++++≡≡的三元数组(),,p q n ，其中,p q 为奇素数，n 为大于1的整数
四、（本题满分50分）
2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角ABC ?中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ?和
AMN ?的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A 三点共线。
二、（本题满分40分） 试证明：集合{
}2
2,2,
,2,
n A =满足
（1）对每个a A ∈，及b N *
∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不是2a 的倍数；
（2）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *
∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．
三、（本题满分50分）
设012,,,,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d >
求证：01020()3
n d
P P P P P P ??
> 四、（本题满分50分）
设11
12n S n
=+++，n 是正整数．证明：对满足01a b ≤<≤的任意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ．这里，[]x 表示不超过实数x 的最大整数．
2012年全国高中数学联赛加试试题（
A 卷）
一、（本题满分４０分）
如图，在锐角ABC ?中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ?和
AMN ?的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A 三点共线。 证明：如图.连接12,AO AO ,过A 点作1AO 的垂线AP 交BC 的延长线于点P ,
则AP 是1O 的切线.因此B PAC ∠=∠………10分 因为,BAM CAN ∠=∠
所以AMP B BAM PAC CAN PAN ∠=∠+∠=∠+∠=∠…………20分 因而AP 是AMN 的外接圆2O 的切线…………………30分 故2.AP AO ⊥
所以12,,O O A 三点共线。………………………………40分
二、（本题满分４０分） 试证明：集合{
}22,2,,2,
n A =满足
（１）对每个a A ∈，及b N *
∈，若21b a <-，则(1)b b +一定不
是2a 的倍数；
（２）对每个a A ∈（其中A 表示A 在Ｎ 中的补集），且1a ≠，必存在b N *
∈，21b a <-，使(1)b b +是2a 的倍数．
证明:对任意的a A ∈,设2,,k
a k N *
=∈则1
22,k a +=如果b 是任意一个小于21a -的正整数,则121b a +≤-………………………………………10分
由于b 与1b +中,一个为奇数,它不含素因子2,另一个是偶数,它含素因子2的幂的次数最多为k ,因此(1)b b +一定不是2a 的倍数；…………………20分
若a A ∈,且1,a ≠设2,k
a m =?其中k 为非负整数,m 为大于1的奇数, 则1
22k a m +=?……………………………………………………………30分 下面给出(2)的三种证明方法: 证法一:令1,12
,k b mx b y +=+=消去b 得12 1.k y mx +-=
由于1
(2,)1,k m +=这方程必有整数解;1
002k x x t
y y mt
+?=+??=+??其中00,(,)t z x y ∈为方程的特解.
把最小的正整数解记为(,),x y **则1
2k x *+<,故21,b mx a *=<-使(1)b b +是2a 的倍数．……40分
证法二:由于1
(2
,)1,k m +=由中国剩余定理知,同余方程组
10(mod 2)1(mod )
k x x m m +?=?
=-?在区间1
(0,2)k m +上有解,x b =即存在21,b a <-使(1)b b +是2a 的倍数．…………40分
证法三:由于(2,)
1m =总存在(,1),r r N r m *
∈≤-使21(mod )r
m =取,t N *
∈使1,tr k >+则
21(mod )tr m =
存在1
(21)(2)0,,tr
k b q m q N +=--?>∈使021,b a <<-
此时1,2
1,k m b m ++因而(1)b b +是2a 的倍数．……………40分
三、（本题满分５０分）
设012,,,,n P P P P 是平面上1n +个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d > 求证：01020()3
n d
P P P P P P ??
>证法一:不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤先证明:对任意正整数k ,都有0k P
P > A B N C
所以,只要证明当9k ≥时,
有0k P P >即可. 以(0,1,2,
,)i P i k =为圆心,
2d 为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;以0P 圆心，02
k d P P +为半径画圆，这个圆覆盖上述1k +个圆………………20分
所以2200()(1)()1)222k k d d d
P P k P P ππ+>+?>……………………30分 由9k ≥
>40分
所以0k
P P >对9k ≥时也成立. 综上,对任意正整数k
都有0k
P P >.
因而01020()3
n
d P P P P P P ??>50分 证法二: 不妨设01020.n P P P P P P ≤≤≤
以(0,1,2,
,)i P i k =为圆心,
2
d
为半径画1k +个圆,它们两两相离或外切;…10分 设Q 是是圆i P 上任意一点,由于
00000013
222
i i
i k k k d P Q P P PQ P P P P P P P P ≤+=+≤+=……………………………20分 因而,以0P 为圆心,
03
2
k P P 为半径的圆覆盖上述个圆…………………
30分 故2
2003()(1)()1,2,,)22k k
d P P k P P k n ππ>+?>= (40)
分 所以01020()3
n
d P P P P P P ??>50分 四、（本题满分５０分）
设11
12n S n
=+
++，ｎ是正整数．证明：对满足01a b ≤<≤的任意实数,a b ，数列{[]}n n S S -中有无穷多项属于(,)a b ．这里，[]x 表示不超过实数ｘ的最大整数．
证法一:(1)对任意n N *
∈,有
21111232n n S =++++12111111
1()()2212212n n -=++++++++
22111111()()22222n n >+++++++1111
12222
n =++++>…………………………10分
令001
[]1,[]1,n N m S b a
=+=+-则
00011,,n N b a S m m n b a N <<-<≤+-………20分 又令(1)
12t m N +=,则(1)121,t m N S S m m b +=>+≥+
因此存在01,,n N N n N *
∈<<使得,n m a S m b +<<+所以[](,)n n S S a b -∈……………..30分
不然一定存在0,N k <使得1,,k k S m a S m b -≤+≥+因此1,k k S S b a --≥- 这与10
11k k S S b a k N --=
<<-矛盾.所以一定存在,n N *∈使得[](,)n n S S a b -∈………40分 (2)假设只有有限个正整数12,,
,,k n n n 使得[](,),(1)j j n n S S a b j k -∈≤≤令{}
1[],min j j n n j k
c S S ≤≤=-则
,a c b <<则不存在,n N *∈,n N *∈使得[](,),S S a c -∈这与（1）的结论矛盾.
2015年高考理科数学试题及答案-全国卷2
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015年高考理科数学全国1卷-含答案
2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =-
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．
（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷） 参考答案及评分标准 一试 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2．若实数α满足ααtan cos =，则αα 4cos sin 1 +的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2 2=+αα， 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示 n z 的共轭复数，则=2015z ． 答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+． 4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足条件BQ DP =，则PQ PA ?的最小值为 ． 答案 34 ． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则 由||||DP BQ = 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=--- ,因此， 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥ ． 当12t =时，min 3 ()4 PA PQ ?= ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案： 2 55 ．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法
2015年全国高中数学联赛试题
2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为 4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值. 10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得 {}311424,2,,,1,328i j a a i j ??≤<≤=----???? ，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.
2015全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案(A卷)
2015年湖南省高中数学竞赛（A 卷） （2015-06-27） 一、选择题（每个5分，共6题） 1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为 A. 116 9 B. 367 C. 36 2.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. B. C . 3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则 A. A B > B. A B ≥ C. A B ≠ D. A 和B 的大小关系不确定 4.对所有满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程1 1cos n m C ρθ =-表示的不同双曲线条数为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5.使关于x k 有解的实数k 的最大值是 A. C. 6.设22{|,,}M x y x y Z αα==-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3 二、填空题（每个8分，共6题） 7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A ααα=，定义△A 为序列213243(,,,...)αααααα---，它的第n 项是1n n αα+-，假定序列△（△A ）的所有项都是1，且19920αα==，则1α的值为： 9.满足使1[] 2n I =为纯虚数的最小正整数n= 10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：
2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案
二Ｏ一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案 一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分） 1．已知ABC ?的外接圆半径为R ，且B b a C A R s i n )2()s i n (s i n 22 2 -=-（其中a 、 b 分别是A ∠、B ∠的对边）. 那么C ∠的大小为___________. 答案：45° 2．集合{2135}A x a x a =+≤≤+,{333}B x x =≤≤,()A A B ?, 则a 的取值范围是___________ 答案：()28,41,3a ??∈-∞-???? . 3．11 1102910 1111116 66...61C C C ++++-被8除所得的余数是_____________. 答案：5 4．在数列{}n a 中，122,10,a a ==对所有的正整数n 都有21n n n a a a ++=-，则2015a = . 答案：-10 5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°， PA ⊥平面ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.则二面角P —BD —A 的大小为__________． 答案：60°. 6．设双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线 渐近线上的一点，212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为 11 3 OF ,则双曲线的离心率为 . 答案： 2 7．已知,a b 两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==,则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++的最小值是____________. 8．若关于x 的方程24x kx x =+有四个不同的实数解，则k 的取值范围为____________. 答案：14k k ? ?>??? ? 9．设x ，y 是正实数，且1x y +=，则22 21 x y x y +++的最小值是 . 答案： 14 10．设()f x 是定义在整数集上的函数，满足条件：⑴(1)1,(2)0f f ==；⑵对任意的,x y 都有()()(1)(1)(f x y f x f y f x f y +=-+-，则(2015)f =___________. 答案：-1
2015年全国高中数学联赛一试
2015年全国高中数学联赛一试 一、 填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分 1.设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =,则(2)f 的值是 2.若实数θ满足cos tan θθ=,则41cos sin θθ +的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,)n n z z z ni n +==++=,其中i 为虚数单位, n z 表示n z 的共轭复数,则2015z 的值是 4.在矩形ABCD 中,2,1AB AD ==,边DC 上(包括点,)D C 的动点P 与CB 延长线上(包括点)B 的动点Q 满足||||DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ?的最小值为 5.在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为 6.在平面直角坐标系xOy 中,点集{(,)|(|||3|6)(|3|||6)0}K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 7.设ω为正实数,若存在,(2)a b a b ππ≤<≤,使得sin sin 2a b ωω+=,则实数ω的取值范围是 8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤,若,,a b b c c d ><>,则称abcd 为P 类数,若 ,,a b b c c d <><,则称abcd 为Q 类数,用()N P 与()N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数,则()()N P N Q -的值为
二、 本大题共3小题,共56分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分) 若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=,求c 的最小值. 10.(本小题满分20分) 设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得31{|14}{24,2,,,1,3}28 i j a a i j ≤<≤=----,求1234a a a a +++的值. 11.(本小题满分20分) 在平面直角坐标系xOy 中,12,F F 分别是椭圆2 212 x y +=的左,右焦点,设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B ,焦点2F 到直线l 的距离为d .如果直线11,,AF l BF 的斜率成等差数列,求d 的取值范围.
2015全国卷数学理科word版
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A） 3 2 -（B） 3 2 （C） 1 2 -（D） 1 2 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 （5）已知M（x0 ，y0）是双曲线C： 2 21 2 x y -=上的一点，F1、F2是C上的 两个焦点，若1 MF?2 MF＜0，则y0的取值范围是
（A）（- 3 3 ， 3 3 ）（B）（- 3 6 ， 3 6 ） （C）（ 22 3 -， 22 3 ）（D）（ 23 3 -， 23 3 ） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D为ABC所在平面内一点=3，则 （A）=+(B)= （C）=+(D)= (8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为 (A)（）,k (b)（）,k (C)（）,k(D)（）,k
高中数学2015年全国课标卷理科第17题解析
高中数学2015年全国课标卷理科第17题解析 数列既是高中数学的重要内容，又是高等数学的基础，不仅涉及的基础知识、数学思想与方法量多、面广，而且和函数、方程、不等式、几何等知识联系紧密，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特点成为高考的中高档题。纵观近几年高考数学试题, 每年都有涉及数列求和综合题,我们应立足教材和大纲要求,深刻理解数列定义、通项公式、前n 项和公式,熟悉数列求和的基本方法,借助化归转化、分类讨论等数学思想和方法,适应高考数列综合应用的要求。下面就以2015年全国课标卷理科第17题进行讲评。 高考题： （2015年全国课标卷理科第17题)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2 n n a a += 错误！未找到引用源。. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}{n b 的前n 项和. 1.审题分析 本题考查的知识：等差数列通项公式的求法和裂项相消法求和。能力：第（1）问中求等差数列的通项公式主要考查推理论证能力，第（2）问中求和考查了求解能力和转化与化归思想方法的应用。首先利用n a 与n S 的关系 n a =n S 1--n S )2(≥n 推导出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列， 利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；然后根据（Ⅰ）得到数列{n b }的通项公式，利用裂项相消法求数列}{n b 的前n 项和即可。 2.解题过程 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3， 当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，
2015年全国高中数学联赛试卷解析
2015 年全国高中数学联合竞赛 参考答案及评分标准 一试 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2 )(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2．若实数α满足ααtan cos =，则αα 4cos sin 1 +的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 2 2=+αα， 得 )cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224 αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα． 3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111???=++==+n ni z z z n n ，其中i 为虚数单位，n z 表示 n z 的共轭复数，则=2015z ． 答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有 211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+?+=+． 4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，边DC 上（包含点D 、C ）的动点P 与CB 延长线 上（包含点B ）的动点Q =，则PQ PA ?的最小值为 ． 答案 34 ． 解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则 由||||DP BQ =u u u r u u u r 得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---u u u r u u u r ,因此， 22133()(2)(1)(1)1()244 PA PQ t t t t t t ?=-?-+-?--=-+=-+≥u u u r u u u r ． 当12t =时，min 3 ()4 PA PQ ?=u u u r u u u r ． 5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案： 2 55 ．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有3 12C =220种． 下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)
2015年全国 数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是 ． 解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4， 当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是 ． 解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是 ． 解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ． 解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的 概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同 的离心率e ，则e 的值是 ． 解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是 ． （第6题图） A 1
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
2 2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答 （6月14日上午8:3011:30--） 一、 填空题 1 、若三位数n abc =是一个平方数，并且其数字 和a b c ++也是一个平方数，则称n 为超级平方数，这种超级平方数的个数是 ． 答案：13个． 解 ：可顺次列举出： 100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961 ． 2 、函数 2281448 y x x x x =---的最大值 是 ． 答案：3 解：(8)(6)(8)86y x x x x x x x = ---=--686 x x x -= +- 其定义域为68x ≤≤，当6x =时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为3 3 、直线l 过点(1,2)M ，若它被两平行线4310x y ++=与4360 x y ++=所截得的线段长为 2 ，则直线l 的方程 为 ． 答案：715x y +=或者75x y -=．
3 解：设l 的方程为2(1)y k x -=-，将此方程分别与 4310 x y ++=及4360x y ++=联立，解得交点坐标3758,3434 k k A k k --+?? ?++? ? 与312108,3434 k k B k k --+?? ?++? ? ，据2AB = 得 22 5523434k k k ???? += ? ?++???? () 22 25(1) 2 34k k +=+，所以17 k =，2 17 k =- ， 分别代入所设方程，得到715x y +=或者75x y -=． 4 、0 13 sin10 - = ． 答案：4． 解 ：00 000000000 13cos1013sin 30cos10cos30sin102244sin102sin10cos102sin10cos10-=?= sin 2044sin 20 =?=． 5 、满足21x x -≥的实数 x 的取值范围 是 ． 答案： 21,?-??? ． 解：用图像法：令2 1y x = -圆，它与直线y x =交点22，半圆位于交点左侧的
2015年全国高中数学联赛(B卷word版)
2015年全国高中数学联赛（B 卷） （一试） 一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数???+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取 值范围是 2：已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为： ),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值是 4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3 π，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得 121100a a a a k >+???++的最小正整数k 的值是 6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{} )(2),(22y x y x y x A +=+=和 {}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为 7：设P 为椭圆13 42 2=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ???内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 则1≥+j i OA OA 的概率为 二、解答题 9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得 c a k i i <∑=11对所有正整数k 都成立，求c 的取值范围
2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置．） 1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是 A ． 5 6 B ． 23 C ． 12 D ． 13 2．若α是第四象限角，且2cos 2 sin 212 cos 2 sin α α α α -=-，则 2 α 是 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 3. 已知点O A B 、、不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且22+OP OA BA =，则 A ．点P 不在直线A B 上 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 在线段AB 的反向延长线上 4．设+∈R n m ,，若直线04)1()1(=-+++y n x m 与圆4)2()2(2 2 =-+-y x 相切，则m n +的取值范围是 A .]31,0(+ B .),31[+∞+ C . ),222[+∞+ D .]222,0(+ 5. 已知正方体C 1 的棱长为C 1的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 2，以C 2的各个面的中心为顶点的凸多面体记为C 3，则凸多面体C 3的棱长为 A ．18 B ．29 C ．9 D ．26 6. 已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(3)()f x f x +=-,且在区间]2 3 , 0[上是增函数,若方程m x f =)()0(
2015年全国高中数学联赛
2015年全国高中数学联赛(山东赛区)三等奖名单 (2015-09-30 19:03:33) 转载▼ 标 签： 教育 分类：方舟记事 https://www.wendangku.net/doc/5617428587.html,/s/blog_48f445fb0102vunp.html 姓名性别地市学校 武翔宇男泰安市新泰一中 徐文远男泰安市新泰一中 徐锐男泰安市泰安二中 张文琛男东营市山东省垦利第一中学焦竞杰男东营市广饶一中 黄昆男德州市齐河一中 张昊杰男德州市德州一中东校区 刘宸男日照市日照一中 韩子文女日照市日照一中 贾乘兴男淄博市淄博实验中学 王赞程男淄博市山东淄博第一中学安鑫宇男淄博市淄博实验中学 杨奕男淄博市淄博实验中学 王雨伦男日照市莒县二中 孔繁鼎男聊城聊城一中 孙浩鑫男烟台市烟台一中 刘申宁男聊城莘县一中 赵宽宇男聊城莘县实验高中 程雪颖女临沂沂南一中 王宇晖男菏泽巨野一中 孟浩然男临沂山东省平邑第一中学张学顶男临沂临沂一中 徐真男临沂临沂一中 谭哲贤济南章丘四中 张阳熠女济南市山东省实验中学 苗壮男青岛胶州市实验中学 臧海彬男青岛山东省莱西市实验学校李昂斐女济宁育才中学 邓玉林女青岛青岛市经济开发区第一中学 封赫男滨州市阳信县第一中学张宗鲲女德州市平原一中
赵振宇日照市日照一中 杨晨男淄博市淄博七中 李帅男淄博市淄博实验中学孙恺女淄博市淄博四中 任甲源男聊城莘县一中 孟祥东男聊城阳谷一中 裴森男潍坊市寿光现代中学王敬业男青岛胶州市实验中学薛松男青岛胶州市第一中学刘岩男泰安市泰安一中 高晓磊男青岛平度市第九中学李晓男泰安市东平高级中学李欣珂女济宁育才中学 刘浩男青岛青岛市经济开发区第一中学 刘军希男枣庄市枣庄实验高中 王昊东日照市五莲一中 董洁女滨州市阳信县第一中学 伊骊帆男淄博市山东省桓台第一中学孟德成男日照市莒县一中 翟雨彤女聊城聊城一中 孔令超女聊城聊城一中 肖云鹏男烟台市莱州一中 刘祥涛男烟台市烟台四中 刘业萌男聊城莘县实验高中 王玥女威海市威海二中 刘杨男威海市威海二中 苑航男菏泽郓城一中 周子涵男临沂临沂商城实验学校 刘宇航男临沂临沂一中 燕新宇男临沂临沂一中 吕东宸男临沂临沂一中 张晓涵女潍坊市青州一中 张宗璞济南市山师附中 张强男济南历城二中 王敬文男潍坊市高密市第一中学 吴浩南男潍坊市山东省安丘市第一中学张恒男潍坊市潍坊市临朐县第一中学姜斌男青岛山东省平度第一中学张寒萌女济宁邹城市第一中学 侯芊如女枣庄市枣庄八中东校 张小鹏男滨州市阳信县第一中学 郭磊男德州市临邑一中 李亦轩男淄博市淄博实验中学
2015全国高中数学联赛四川预赛试题
2015全国高中数学联赛四川预赛试题 (满分140分,2015.5.17于郫县) 一.单项选择题（共6小题，每题5分） 1.已知n 为正整数，二项式n x x )1(32+ 的展开式中含有7x 项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a,b,c,若 C c B b A a cos 3cos 2cos ==，则A ∠的大小为（ ） A.6π B.4π C.3π D.12 5π 3.已知二面角βα--l 的大小为300，则由平面α上的圆在平面β上的正射影得到的椭圆的离心率为（ ） A.31 B.21 C.33 D.2 3 4.记函数1232)(++-=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为（ ） A.26 B.2 C.3 D.2 5.已知正三棱锥P-ABC 的底面ABC 是正三角形，该三棱锥的外接球的球心O 满足 0=++OC OB OA ，则二面角C PB A --的余弦值为（ ） A.61 B.82 C.51 D.3 3 6.设质数p ，满足存在正整数x,y 使得22221,21y p x p =-=-，则符合条件的质数p 的个数为 ） A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题（共6小题，每题5分） 7.i 为虚数单位，复数i i z -+= 124，则z =_______________ 8.若c b a 964==，则=+-c b a 121_______________ 9.已知点P ),(y x 满足2≤+y x ，则到x 轴的距离1≤d 的点P 的概率是_______________ 10.设042cos 2,01cos sin =++-=-?+πy y x x ，则)2s i n (y x -的值是 _______________ 11.在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 为矩形ABCD 所在平面上一点，满足PA=2，PC=21，则=?PD PB _______________ 12.对任意正整数n ，定义函数)(n μ如下：1)1(=μ，且当22121≥????=k k p p p n ααα时，? ??==???==-=，否则01,)1()(21t t n αααμ，其中k p p t ,,,11???≥是不同的质数. 若记},,,{21k x x x A ???=为12的全部不同正因数的集合，则=∑=k i i x 1)(μ_______________ 三．解答题（共4小题，每题20分） 13.已知数列}{n a 满足：321,1,a a a +成等差数列，且对任意的正整数n ，均有2 32211+-=+n n n a S 成立. （1）求321,,a a a ； （2）求数列}{n a 的通项公式.
2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
2015年全国高中数学联赛（B 卷）（一试） 一、填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数???+∞∈∈-=) ,3(log ]3,0[)(2 x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取 值围是 2：已知3 )(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 3：某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为： ),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度， 则b a +的最大值是 4：设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为 3 π ，则=1AA 5：已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得 121100a a a a k >+???++的最小正整数k 的值是 6：设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{} )(2),(22y x y x y x A +=+=和 {}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为 7：设P 为椭圆13 42 2=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为 8：正2015边形201521A A A ???接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,， 1≥+的概率为 二、解答题 9：（本题满分16分）数列{}n a 满足,31=a 对任意正整数n m ,，均有mn a a a n m n m 2++=+ （1）求{}n a 的通项公式； （2）如果存在实数c 使得c a k i i <∑=11 对所有正整数k 都成立，求c 的取值围
2015年下半年全国教师资格考试高中数学
2015年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力（高级中学） 一、 选择题 1.若多项式()432341f x x x x x =+---和()321g x x x x =+-- ，则f (x )和g (x )的公因式为 A.x+l B.x+3 C.x-1 D.X-2 【解析】A ：由辗转相除法可得 2.已知变换矩A =[1 000 200 03],阵则A 将空间曲面(x ?1)2+(y ?2)2+(Z ?1)2=1 变成 A. 球面 B. 椭球线 C. 抛物线 D. 双曲线 【解析】B ：由已知的条件设曲面经矩阵A 变化后为 [1 000 20003][x y z ]=[x 2y 3z ]=[ x ＇y ＇z ＇] , 则x= x ＇, y=12y ＇, z=13y ＇故其方程为 (x ?1)2+(12y ?2)2+(13Z ?1)2=1； 3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β (单位:cm 阴阳、严的大小关系为 A. α＞β B. α＜β C. α=β D.不能确定 【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定； 4.已知数列{a n }与数列{b n }，n=1,2,3…则下列结论不正确的是
A ． 若对任意的整数n,有a n ≤b n ，lim n→∞ b n =b,且b <0,则a <0; B ． 若lim n→∞ a n =a,lim n→∞ b n =b,且a N 时，a n ≥b n 则 a >b D ． 若对任意的正整数n,有a n ≥b n ，lim n→∞a n =a,lim n→∞ b n =b,且b>0,则a>0 【解析】B:取a n =1n ,b n =1?1 n ,lim n→∞a n =0,lim n→∞b n =b,0<1,而a 1=1> b 1=0, a 1=b 1=1 2 ，因此结论不正确； 5. 下列关系不正确的是 C.(a ??b ??)2+(a ?×b ??)2 =a ?2b ??2 D. (a ?×b ??)×c ?=(a ??c ?)b ??+(b ???c ?)a ? 【解析】B: 由向量积的性质可得(a ?+c ?)×b ??=a ?×b ??+c ?×b ?? A.(-3，3) B.(?13,13］ C.［?13,1 3） D. [-3,3] 7. 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是 A ．贝利-克莱因运动 B.大众教学 C ．新数学运动 D.PISA 项目 【解析】A: 第一次数学课程改革发生在20世纪初，史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向大众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须
- 2015年高考新课标全国卷1理科数学
- 2015年全国高中数学联赛试题
- 2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
- 2015年全国高中数学联赛一试
- 2015年全国高中数学联赛(B卷word版)
- 2015年高考理科数学试题及答案-全国卷2
- 2000-2015年全国高中数学联赛试题
- 2015年全国高中数学联赛试题及解答(一试、加试)
- 2015年高考理科数学全国1卷-含答案
- 2015年全国高中数学联赛试卷解析
- 2015年全国高中数学联赛_B卷word版_
- 2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷)
- 2015年全国高中数学联赛试卷解析
- 2015年全国高中数学联赛试题
- 2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
- 2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答
- 2015年高中数学竞赛决赛试题及答案
- 2015年全国高中数学联赛试卷解析汇报
- 2015全国高中数学联赛获奖情况
- 2015年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)