一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,已知△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G,交BC的延长线于F.
(1)求证:AE=BE;
(2)求证:FE是⊙O的切线;
(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).
【解析】(1)证明:连接CE,如图1所示:
∵BC是直径,∴∠BEC=90°,∴CE⊥AB;
又∵AC=BC,∴AE=BE.
(2)证明:连接OE,如图2所示:
∵BE=AE,OB=OC,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC,AC=2OE=6.
又∵EG⊥AC,∴FE⊥OE,∴FE是⊙O的切线.
(3)解:∵EF是⊙O的切线,∴FE2=FC?FB.
设FC=x,则有2FB=16,∴FB=8,∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6,∴OB=OC=3,即⊙O的半径为3;∴OE=3.
∵OE∥AC,∴△FCG∽△FOE,∴,即,解得:CG =.
点睛:本题利用了等腰三角形三线合一定理,三角形中位线的判定,切割线定理,以及勾股定理,还有平行线分线段成比例定理,切线的判定等知识.
2.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是AC上一动点,点E是CD中点,连接BD 分别交OC,OE于点F,G.
(1)求∠DGE的度数;
(2)若CF
OF
=
1
2
,求
BF
GF
的值;
(3)记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若CF
OF
=k,求1
2
S
S的值.(用含k的式子表
示)
【答案】(1)∠DGE =60°;(2)7
2;(3)12
S S =211k k k +++. 【解析】 【分析】
(1)根据等边三角形的性质,同弧所对的圆心角和圆周角的关系,可以求得∠DGE 的度数;
(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF =1,则OF =2,OC =OB =3,根据勾股定理求出BF 的长度,再证得△FGO ∽△FCB ,进而求得
BF
GF
的值; (3)根据题意,作出合适的辅助线,然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表
示出1
2
S S 的值.
【详解】
解:(1)∵BC =OB =OC , ∴∠COB =60°, ∴∠CDB =
1
2
∠COB =30°, ∵OC =OD ,点E 为CD 中点, ∴OE ⊥CD , ∴∠GED =90°, ∴∠DGE =60°;
(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H 设CF =1,则OF =2,OC =OB =3 ∵∠COB =60° ∴OH =
1
2
OF =1, ∴HF 33HB =OB ﹣OH =2, 在Rt △BHF 中,BF 22HB HF 7=+= 由OC =OB ,∠COB =60°得:∠OCB =60°, 又∵∠OGB =∠DGE =60°, ∴∠OGB =∠OCB , ∵∠OFG =∠CFB , ∴△FGO ∽△FCB ,
∴
OF GF
BF CF
=, ∴
, ∴
BF GF =7
2
. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H , 设OF =1,则CF =k ,OB =OC =k+1, ∵∠COB =60°, ∴OH =
12OF=12
, ∴HF
=,HB =OB ﹣OH =k+12,
在Rt △BHF 中,
BF
=
由(2)得:△FGO ∽△FCB , ∴
GO OF CB BF
=
,即
1GO k =+,
∴
GO =
过点C 作CP ⊥BD 于点P ∵∠CDB =30° ∴PC =
1
2
CD , ∵点E 是CD 中点,
∴DE =
1
2CD , ∴PC =DE , ∵DE ⊥OE ,
∴12S S =BF GO
=21
1
k k k +++
【点睛】
圆的综合题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答.
3.如图,AC 是⊙O 的直径,OB 是⊙O 的半径,PA 切⊙O 于点A ,PB 与AC 的延长线交于点M ,∠COB =∠APB . (1)求证:PB 是⊙O 的切线;
(2)当MB =4,MC =2时,求⊙O 的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)3. 【解析】 【分析】
(1)根据题意∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB ,所以有∠M +∠COB =90°,即可证明PB 是⊙O 的切线.
(2)设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r . 【详解】
证明:(1)∵AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点A , ∴PA ⊥OA
∴在Rt △MAP 中,∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB , ∴∠M +∠COB =90°, ∴∠OBM =90°,即OB ⊥BP , ∴PB 是⊙O 的切线; (2)设⊙O 的半径为r ,
2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM = OBM ?为直角三角形
∴222OM OB BM =+ ,即222(2)+4r r += 解得:r =3,
∴⊙O 的半径为3. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半径垂直.
4.如图①,抛物线y =ax 2+bx+c 经过点A (﹣2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3
∴a =﹣
38
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90° ∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB =4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ =
∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣945
5=
-,QG =2
222912FQ 355FG ??-=-= ???
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,) 设直线l 解析式为:y =kx+b
∴404125
5k b k b -+=???-+=?? 解得:343k b ?
=??
?=? ∴直线l :3
34
y x =
+ ②若点Q 在x 轴下方,则Q (41255
--,
) ∴直线l :3
34
y x =-
- 综上所述,直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q 点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
5.如图,点B在数轴上对应的数是﹣2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB,使点A在原点的左上方,且tan∠AOB=3,点C为OB的中点,点D在数轴上对应的数为4.
(1)S扇形AOB=(大于半圆的扇形);
(2)点P是优弧AB上任意一点,则∠PDB的最大值为°
(3)在(2)的条件下,当∠PDB最大,且∠AOP<180°时,固定△OPD的形状和大小,以原点O为旋转中心,将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤360°)
①连接CP,AD.在旋转过程中,CP与AD有何数量关系,并说明理由;
②当PD∥AO时,求AD2的值;
③直接写出在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围.
【答案】(1)10
3
π
(2)30(3)①AD=2PC②20+83或20+83③1≤d≤3
【解析】
【分析】
(1)利用扇形的面积公式计算即可.
(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3)①结论:AD=2PC.如图2中,连接AB,AC.证明△COP∽△AOD,即可解决问题.②分两种情形:如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.求出PC即可.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得.
③判断出PC的取值范围即可解决问题.
【详解】
(1)∵tan∠AOB=3,
∴∠AOB=60°,
∴S扇形AOB=
2
300210
3603
ππ
??
=(大于半圆的扇形),
(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.
∵PD是⊙O的切线,
∴OP ⊥PD , ∴∠OPD =90°,
∵21
sin 42
OP PDO OD ∠=
== ∴∠PDB =30°,
同法当DP ′与⊙O 相切时,∠BDP ′=30°, ∴∠PDB 的最大值为30°. 故答案为30.
(3)①结论:AD =2PC . 理由:如图2中,连接AB ,AC .
∵OA =OB ,∠AOB =60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∵BC =OC , ∴AC ⊥OB ,
∵∠AOC =∠DOP =60°, ∴∠COP =∠AOD ,
∵
2AO OD
OC OP
==, ∴△COP ∽△AOD ,
∴
2AD AO
PC OC ==, ∴AD =2PC .
②如图3中,当PD ∥OA 时,设OD 交⊙O 于K ,连接PK 交OC 于H .
∵OP =OK ,∠POK =60°,
∴△OPK是等边三角形,
∵PD∥OA,
∴∠AOP=∠OPD=90°,
∴∠POH+∠AOC=90°,
∵∠AOC=60°,
∴∠POH=30°,
∴PH=1
OP=1,OH=3PH=3,
2
∴PC=2222
+=++=+,
PH CH1(13)523
∵AD=2PC,
∴AD2=4(5+23)=20+83.
如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得:PC2=12+(3﹣1)2=5﹣
23,AD2=4PC2=20﹣83.
③由题意1≤PC≤3,
∴在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3.
【点睛】
本题属于圆综合题,考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,旋转变换,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
6.如图,已知AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC、AC,且∠BOC<90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE
(1)求证:直线CG为⊙O的切线;
(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH,
①△CBH∽△OBC
②求OH+HC的最大值
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②5.
【解析】
分析:(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF,由圆的性质可知:∠CAB=∠OCA,所以∠OCA=∠GCE,从而可证明直线CG是⊙O的切线;
(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=∠CHB,易证∠CBH=∠OCB,从而可证明
△CBH∽△OBC;
②由△CBH∽△OBC可知:BC HB
OC BC
=,所以HB=
2
4
BC
,由于BC=HC,所以
OH+HC=4?
2
4
BC
+BC,利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.
详解:(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠OCA+∠OCB=90°,
∵∠GAF=∠GCE,
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,
∵OC是⊙O的半径,
∴直线CG是⊙O的切线;
(2)①∵CB=CH,
∴∠CBH=∠CHB,
∵OB=OC,
∴∠CBH=∠OCB,
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知:BC HB OC BC
=
∵AB=8,
∴BC2=HB?OC=4HB,
∴HB=
2
4 BC
,
∴OH=OB-HB=4-2
4
BC ∵CB=CH ,
∴OH+HC=4?2
4
BC +BC ,
当∠BOC=90°,
此时BC=42 ∵∠BOC <90°, ∴0<BC <42,
令BC=x 则CH=x ,BH=2
4
x
()2
21142544
OH HC x x x ∴+=-++=--+
当x=2时,
∴OH+HC 可取得最大值,最大值为5
点睛:本题考查圆的综合问题,涉及二次函数的性质,相似三角形的性质与判定,切线的判定等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所知识.
7.如图,PA 切⊙O 于点A ,射线PC 交⊙O 于C 、B 两点,半径OD ⊥BC 于E ,连接BD 、DC 和OA ,DA 交BP 于点F ; (1)求证:∠ADC+∠CBD =
1
2
∠AOD ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析; 【解析】 【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =,根据等腰三角形的性质得到
()
11
1809022
ODA AOD AOD ∠=
-∠=-∠,即可得到结论; ()2根据垂径定理得到BE CE =,BD CD =,根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠,根据切线的性质得到90PAO ∠=,求得90OAD DAP ∠+∠=,推
出PAF PFA ∠=∠,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
()1证明:
OD BC ⊥,
BD CD ∴=,
CBD DCB ∴∠=∠,
90DFE EDF ∠+∠=, 90EDF DFE ∴∠=-∠,
OD OA =,
()11
1809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠,
1
90902
DFE AOD ∴-∠=-∠,
1
2
DEF AOD ∴∠=∠,
DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠,
1
2
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠;
()2解:
OD BC ⊥,
BE CE ∴=,BD CD =, BD CD ∴=, OA OD =,
ADO OAD ∴∠=∠, PA 切O 于点A ,
90PAO ∴∠=, 90OAD DAP ∴∠+∠=,
PFA DFE ∠=∠,
90PFA ADO ∴∠+∠=,
PAF PFA ∴∠=∠, PA PF ∴=. 【点睛】
本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.
8.如图①,已知Rt ABC ?中,90ACB ∠=,8AC =,10AB =,点D 是AC 边上一点(不与C 重合),以AD 为直径作
O ,过C 作CE 切O 于E ,交AB 于F .
(1)若
O 的半径为2,求线段CE 的长;
(2)若AF BF =,求O 的半径;
(3)如图②,若CE CB =,点B 关于AC 的对称点为点G ,试求G 、E 两点之间的距离.
【答案】(1)42CE =;(2)O 的半径为3;(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.
【解析】 【分析】
(1)根据切线的性质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得; (2)由勾股定理求得BC ,然后通过证得△OEC ∽△BCA ,得到OE BC =OC BA ,即r 8-r
=610
,解得即可;
(3)证得D 和M 重合,E 和F 重合后,通过证得△GBE ∽△ABC ,
GB GE
AB AC
=,即12108GE =,解得即可. 【详解】
(1)如图,连结OE . ∵CE 切
O 于E ,
∴90OEC ∠=?. ∵8AC =,
O 半径为2,
∴6OC =,2OE =.
∴2242CE OC OE =-=; (2)设
O 半径为r .
在Rt ABC ?中,90ACB ∠=?,10AB =,8AC =, ∴226BC AB AC =-=.
∵AF BF =, ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵
CE 切O 于E ,
∴90OEC ∠=?. ∴OEC ACB ∠=∠, ∴OEC BCA ?~?. ∴OE OC
BC BA =, ∴
8610
r r -=, 解得3r =. ∴
O 的半径为3;
(3)连结EG 、OE ,设EG 交AC 于点M ,
由对称性可知,CB CG =. 又CE CB =, ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠. ∵CE 切
O 于E ,
∴90GEC OEG ∠+∠=?. 又90EGC GMC ∠+∠=?,
∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠, ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.
∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE , ∵AD 是直径,
∴90AED ∠=?,即90AEG ∠=?. 又CE CB CG ==,
∴90BEG ∠=?.
∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=?, ∴
A 、E 、
B 三点在同一条直线上.
∴E 、F 两点重合.
∵90GEB ACB ∠=∠=?,B B ∠=∠, ∴GBE ABC ?~?. ∴
GB GE AB AC =,即12108
GE
=. ∴9.6GE =.
故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】
本题考查了切线的判定,轴的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.
9.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ,过点D 作FE ⊥AB 于点E ,交AC 的延长线于点F . (1)求证:EF 与⊙O 相切; (2)若AE =6,sin ∠CFD =
3
5
,求EB 的长.
【答案】(1)见解析(2)32
【解析】 【分析】
()1如图,欲证明EF 与O 相切,只需证得OD EF ⊥.
()2通过解直角AEF 可以求得AF 10.=设O 的半径为r ,由已知可得△FOD ∽△FAE ,
继而得到
OF OD AF AE =,即10r r 106-=,则易求15
AB AC 2r 2
===,所以153
EB AB AE 622
=-=
-=. 【详解】
(1)如图,连接OD ,
OC OD =,
OCD ODC ∠∠∴=. AB AC =, ACB B ∠∠∴=, ODC B ∠∠∴=, OD //AB ∴,
ODF AEF ∠∠∴=, EF AB ⊥,
ODF AEF 90∠∠∴==,
OD EF ∴⊥,
OD 是O 的半径,
EF ∴与O 相切;
()2由()1知,OD//AB ,OD EF ⊥.
在Rt AEF 中,AE 3
sin CFD AF 5
∠==,AE 6=, 则AF 10=,
OD //AB ,
∴△FOD ∽△FAE ,
OF OD
AF AE
∴
=, 设O 的半径为r , 10r r
106
-∴
=, 解得,15
r 4
=
, 15AB AC 2r 2
∴===
, 153EB AB AE 622
∴=-=
-=. 【点睛】
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
10.阅读下列材料:
如图1,⊙O 1和⊙O 2外切于点C ,AB 是⊙O 1和⊙O 2外公切线,A 、B 为切点, 求证:AC ⊥BC
证明:过点C 作⊙O 1和⊙O 2的内公切线交AB 于D , ∵DA 、DC 是⊙O 1的切线 ∴DA=DC . ∴∠DAC=∠DCA . 同理∠DCB=∠DBC .
又∵∠DAC+∠DCA+∠DCB+∠DBC=180°, ∴∠DCA+∠DCB=90°. 即AC ⊥BC .
根据上述材料,解答下列问题:
(1)在以上的证明过程中使用了哪些定理?请写出两个定理的名称或内容; (2)以AB 所在直线为x 轴,过点C 且垂直于AB 的直线为y 轴建立直角坐标系(如图2),已知A 、B 两点的坐标为(﹣4,0),(1,0),求经过A 、B 、C 三点的抛物线y=ax 2+bx+c 的函数解析式;
(3)根据(2)中所确定的抛物线,试判断这条抛物线的顶点是否落在两圆的连心O 1O 2上,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)213
222
y x x =+- ;(3)见解析 【解析】
试题分析:(1)由切线长相等可知用了切线长定理;由三角形的内角和是180°,可知用了三角形内角和定理;
(2)先根据勾股定理求出C 点坐标,再用待定系数法即可求出经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式;
(3)过C 作两圆的公切线,交AB 于点D ,由切线长定理可求出D 点坐标,根据,C D 两点的坐标可求出过,C D 两点直线的解析式,根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式,再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可.
试题解析:(1)DA 、DC 是
1O 的切线,
∴DA =DC .应用的是切线长定理;
180DAC DCA DCB DBC ∠+∠+∠+∠=,应用的是三角形内角和定理.
(2)设C 点坐标为(0,y ),则222AB AC BC =+, 即()()
22
22241
41y y --
=-+++,
即225172y =+,解得y =2(舍去)或y =?2. 故C 点坐标为(0,?2),
设经过、、A B C 三点的抛物线的函数解析式为2
y ax bx c ,
=++ 则164002,a b c a b c c -+=??++=??=-? 解得12322a b c ?
=??
?
=?
?
=-???
,
故所求二次函数的解析式为213
2.22
y x x =+-
(3)过C 作两圆的公切线CD 交AB 于D ,则AD =BD =CD ,由A (?4,0),B (1,0)可知3
(,0)2
D -, 设过CD 两点的直线为y =kx +b ,则
3
02
2k b b ?-+=???=-?, 解得432k b ?=-
???=-?,
故此一次函数的解析式为4
23
y x =-
-, ∵过12,O O 的直线必过C 点且与直线4
23
y x =--垂直, 故过12,O O 的直线的解析式为3
24
y x =
-, 由(2)中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为325(,)28
--, 代入直线解析式得
3325
2,428
???--=- ??? 故这条抛物线的顶点落在两圆的连心12O O 上.
四年级数学上册易错题汇总答案 填空题。(分)011、与最小的八位数相邻的两个数是(9999999)和(10000001)。【最小的八位数是:10000000,相邻的两个数分别是10000000-1=9999999,10000000+1=10000001。】 2、10个鸟蛋重50克,100万个鸟蛋约重(5)吨。 【100万=1000000,1000000÷10×50=5000000克=5000千克=5吨】 3、用两根一样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,(正方形)的面积大。 4、100张纸厚1厘米,1亿张纸厚约(10)千米。 【1亿=100000000,100000000÷100×1=1000000厘米=10000米=10千米】 5、用万作单位写出下面各数的近似数: 945000≈(95)万305100≈(31)万996043≈(100)万【小数向左移动四位,再四舍五入保留整数。】 6、用亿作单位写出下面各数的近似数。 420000000≈(4)亿650000000≈(7)亿6990000000≈(70)亿 【小数向左移动八位,再四舍五入保留整数。】 7、写出□里的数。 □□□÷26=7......6 298÷□□=9 (1) 1 ……=933÷298 6 ……26=7÷188.
9、□里最大能填几(填整数)? □÷35<8 □÷27<5 279÷35<8 134÷27<5 【35×8-1=279,27×5-1=134】 10、填上合适的运算符号。 4○5○6 =26 4○5○6=14 4○5○6=34 4×5+6 =26 4×5-6=14 4+5×6=34 11、从1写到50,数字0一共写了(5)个,数字2一共写了(14)个。 12、一个数省略亿位后面的尾数的近似数是8亿,这个数最大是(849999999),最小是(750000000),它们相差(99999999)。 13、找规律填数 (1)30600、32600、34600、(36600)、(38600)。 (2)100000、99900、99800、(99700)、(99600)。 14、把两个边长都是5厘米的正方形,拼成一个长方形,拼成的长方形的周长是(30)厘米,面积是(50)平方厘米。 【拼成长方形后,长方形的长为10厘米,宽为5厘米,则周长=(10+5)×2=30厘米,面积=10×5=50平方厘米。】 15、有一个数,它的百万位的左边、右边的数以及百位左边的数都是?,其余各个数位上都是ぜ,那么这个数(八)位数,写作(80808000),读作(八千零八十万八千),这个数四舍五入到万位,得(8081万)。 ←左边右边→
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 四年级数学易错题一、填空 1、读数时,要先读(),再读(),最后读()。 2、一个多位数,用“四舍五入法”取近似值约是10亿,这个数最大是(),最小是()。 3、1周角=()平角=()直角=()° 4、量角时,()的中心点与()重合,零刻度线与()重合,角的另一边所对的量角器上的刻度,就是这个角的()。 5、一副球拍14元,买5副送2副,一次买5副,每副便宜()元。 6、两个不为零的数相乘,一个因数扩大4倍,另一个因数扩大3倍,这两个数的积()。 7、正方形有()组边是互相垂直的,有()组边是互相平行的。 8、84×390的积是()位数,250×80的末尾有()个0。 9、小强步行的速度可达每分钟125米,可写作()。 10、我们常用的一副三角板上的角有四种度数,分别是()、( )、()、()。 11、9:30时,钟面上时针和分针形成一个()角。 12、角的两边成一条直线,这时所成的角叫做(),它的度数是()。 13、100099999省略万位后面的尾数是()。 14、用一个3、一个9、一个5和四个0组成一个只读出一个零的尽可能大的数是()。 二、选择 1、在下列数中,如果把4改写成7,()比原来的数增加了300。 A、84358 B、83458 C、83548 2、把7600000米改写成以“万”作单位的数是()。 A、76万 B、760万 C、760万米 3、40994000省略万后面的尾数是()。 A、4099 B、4099万 C、4100万 4、()省略万位后面的尾数是100万。 A、994999 B、1009999 C、995000 5、下面各数中,只读一个零的是()。 A、46607080000 B、2068000000 C、45005005000 6、用一副三角板能拼成()的角。 A、160° B、150° C、175° 7、每件上衣24元,买3件送一件,一次买3件,每件便宜()元。 A、6 B、18 C、8 8、过直线外一点,可以画()条已知直线的平行线。 A、一 B、两 C、三 9、过直线外的一点画已知直线的垂线,这样的垂线可以画()条。 一、填空 1、连接梯形各边的中点围成新的图形是() 2、一个三角形两条边是5厘米和三厘米,第三条边的长度可能是() 3、电动伸缩门是利用平行四边形的()性设计的。 4、等边三角形是特殊的()。 5、44×25=(11×4)×25=11×(4×25),这是根据()。 6、1100÷125÷8=11000÷(125×8)运用了() 7、一个立体图形,从正面看是)个小正方体。 8、用一根铁丝围成一个边长18厘米的正方形,那么用这个铁丝围成一个正三角形,边长是()厘米。 9、王大伯家的三角形菜地的两条边分别是5米和8米这个三角形菜地的第三条边可能是()米 10、有三种长度的小棒(长度分别是3cm、5cm、8cm)若干根,可以摆成()种不同的三角形 11、十分位上的“3”与十位上的“3”相差() 12、在0.08、0.080、0.008这三个小数中,计数单位相同,但大小不相等的两个数是()、() 13、把6改成以百分之一为计数单位的数是() 14、将一根15厘米的木棒截成三根整厘米的小棒来围成三角形,最长的一根小棒不能超过() 厘米 15、5吨50千克=()吨 1.2平方厘米=()平方分米 4.1公顷=()平方米 16、直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米,这个直角三角形相互垂直的两条边分别是()() 17、观察1、2、3、6、12、23、44、X、164的规律,可知X= () 18、如果12=1×1,22=2×2,32=3×3.....252=25×25,且12+22+....252=5525,那么32+62+...+752=9×5525= 19、近似数是1.0,这个两位小数最小是(),最大是()。 20、甲、乙两数的和是264,把甲数的小数点向左移动一位,则两数相等。甲数()乙数()。 21、两个一样的三角形可以拼成()。两个一样的直角三角形可以拼成()()()。两个一样的等腰直角三角形可以拼成()()()。 22、等腰三角形的底角是顶角的2倍,顶角是()。 23、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒,从中选3根搭成一个三角形,有()种不同的选法。 24、在一条长90米的小路两旁种树,如果两端都种,每相邻两棵树之间的距离是10米,可以种()棵。 25、要在五边形的水池边上摆上花盆,使每一边都有4盆,最少需要()盆。 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 精品文档 1、与最小的八位数相邻的两个数是( )和( )。 2、10个鸟蛋重50克,100万个鸟蛋约重( )吨。 3、用两根一样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形,( )的面积大。 4、100张纸厚1厘米,1亿张纸厚约( )千米。 5、用"万"作单位写出下面各数的近似数。 945000 305100 996043 6、用"亿"作单位写出下面各数的近似数。 3420000000 650000000 6990000000 7、一本书共156页,每天看25页,看了3天,第4天从哪一页看起? 8、在捐资助残活动中,三年级三个班,平均每个班捐款75元,四年级捐款总数是三年级捐款总数的2倍少48元。四年级一共捐款多少元? 9、教室的面积48平方米,如果用边长是4分米的方砖铺,共需要多少块? 10、小红有135根小棒,小芳有31根小棒。小红想让小芳的小棒和自己的一样多,她每次从自己的学具盒里拿出13根给小芳,需要拿多少次? 1、写出□里的数。 □□□÷26=7……6 298÷□□=9……1 □□□÷35=8……3 197÷□□=5……2 2、把下面的每一组算式,合并成综合算式 73+27=100 52-36=16 42×13=546 100÷25=4 45×16=720 102+546=646 3、用5个3和3个0按要求写出下面各数 (1)一个"零"都不读出来;_________ (2)只读出一个"零"; _________ (3)读出两个"零"; _________ (4)读出三个"零"。 _________ 4、每列上下为一组,第32组是( )。 从 小 爱 数 学 从 小 爱 数 学 ┅ A B C D E A B C D E ┅ 5、购物中心玩具柜购进了75个足球,每个售价20元。全部卖出后赚了600元,每个足球的进货价格是多少元? 6、皮鞋厂四月份生产皮鞋420双,平均每天生产多少双? 7、苏果电器第一季度彩电的销售情况是:一月份销售258台,二月份销售339台,三月份销售222台。第一季度平均每天销售彩电多少台? 1、□里最大能填几? □÷35<8 □÷27<5 2、填上合适的运算符号。 4 5 6 = 26 4 5 6 = 14 4 5 6 = 34 3、从1写到50,数字0一共写了( )个,数字2一共写了( )个。 4、一个数省略"亿"位后面的尾数的近似数是8亿,这个数最大是( ),最小是( ),它们相差( )。 5、找规律填数 (1)30600、32600、34600、( )、( )。 (2)100000、99900、99800、( )、( )。 6、你能用3根小棒摆出3个角吗?请把你的想法画下来。 7、马小虎在计算除法时,把除数63错写成了36,结果得到的商是18还余8,这道题正确的商应该是多少?还余多少? 8、工程队第一天修路450米,第二天修530米,还剩98米未修。已修的长度是未修的多少倍? 9、一条公路长1000米,每隔20米,安装一盏路灯,一共要安装多少盏路灯? 1、把两个边长都是5厘米的正方形,拼成一个长方形,拼成的长方形的周长是( )厘米,面积是( )平方厘米。 2、有一个数,它的百万位的左边、右边的数以及百位左边的数都是"8",其余各个数位上都是"0",那么这个数是( )位数,写作( ),读作( ),这个数四舍五入到万位,得( )。 3、数一数有( )个角。 4、用一副三角板画出90°、75°、15°、150°小学四年级数学易错题(含答案)汇编
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