2021年中考数学核心考点强化突破几何代数最值问题含解析

2021年中考数学核心考点强化突破：几何、代数最值问题

类型1 利用对称、线段公理求最小值

1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x

(x ＞0)的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是( C )

A ．6 2

B ．10

C ．226

D ．229

解：由已知得M(6，k 6)，N(k 6，6)，∴BN＝6－k 6，BM ＝6－k 6，∵△OMN 的面积为：6×6－12×6×k 6－12×6×k 6

－12×(6－k 6

)2＝10，∴k＝24，∴M(6，4)，N(4，6)，作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于P ，则NM′的长＝PM ＋PN 的最小值，∵AM＝AM′＝4，∴BM′＝10，BN ＝2，∴NM′＝BM′2＋BN 2＝102＋22

＝226.

2．如图，直线y ＝23

x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( C )

A ．(－3，0)

B ．(－6，0)

C ．(－32，0)

D ．(－52

，0)

解：(方法一)作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图1所示．可求点B(0，4)；A(－6，0)．

∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C(－3，2)，点D(0，2)．∵点D′和点D 关于x 轴对称，∴点D′的坐标为(0，－2)．设直线CD′的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线CD′过点C(－3，2)，D′(0，－

2)，可求CD′的解析式为y ＝－43x －2.令y ＝－43x －2中y ＝0，则0＝－43x －2，解得：x ＝－32，∴点P(－32

，0)．(方法二)连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC ＋PD 值最小，如图2所示．

3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC 的中点，P 是A′B′的中点，连接PM.若BC ＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是( B )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解：如图连接PC .在Rt△ABC 中，∵∠A ＝30°，BC ＝2，∴AB ＝4，根据旋转不变性可知，A ′B ′＝AB

＝4，∴A ′P ＝PB ′，∴PC ＝12

A ′

B ′＝2，∵CM ＝BM ＝1，又∵PM ≤P

C ＋CM ，即PM ≤3，∴PM 的最大值为3(此时P 、C 、M 共线)．

4．如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(－4，5)，D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( B )

A ．(0，43)

B ．(0，53)

C ．(0，2)

D ．(0，103

)

解：作A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′D 交y 轴于E ，则此时，△ADE 的周长最小，∵四边形ABOC

是矩形，∴AC ∥OB ，AC ＝OB ，∵A 的坐标为(－4，5)，∴A ′(4，5)，B (－4，0)，∵D 是OB 的中点，∴D (－

2，0)，设直线DA ′的解析式为y ＝kx ＋b ，可求直线DA ′的解析式为y ＝56x ＋53，当x ＝0时，y ＝53

，∴E (0，53

)．

5．如图所示，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点，且BE ＝1，P 是对角线AC 上的一动点，连接PB 、PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是__6__．

解：连接DE 于AC 交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E 的周长就是△PBE 周长的最小值，∵BE＝1，BC ＝CD ＝4，∴CE＝3，DE ＝5，∴BP′＋P′E＝DE ＝5，∴△PBE 周长的最小值是5＋1＝6.

6．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD ，BE(如图1)，点O 为其交点．

(1)探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；

(2)如图2，若P ，N 分别为BE ，BC 上的动点．

①当PN ＋PD 的长度取得最小值时，求BP 的长度；

②如图3，若点Q 在线段BO 上，BQ ＝1，则QN ＋NP ＋PD 的最小值＝__．

解：(1)AO ＝2OD ，理由：∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAO＝∠ABO＝∠OBD＝30°，∴AO＝OB ，∵BD＝CD ，∴AD⊥BC，∴∠BDO＝90°，∴OB＝2OD ，∴OA＝2OD ；

(2)如图2，作点D 关于BE 的对称点D′，过D′作D′N⊥BC 于N 交BE 于P ，则此时PN ＋PD 的长度取

得最小值，∵BE 垂直平分DD′，∴BD＝BD′，∵∠ABC＝60°，∴△BDD′是等边三角形，∴BN＝12BD ＝32

，

(3)如图3，作Q 关于BC 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，连接Q′D′，则D′Q′的长度即为QN ＋NP ＋PD 的最小值．

在Rt △D′BQ′中，D′Q′＝32＋12＝10.∴QN＋NP ＋PD 的最小值＝10.

类型2 利用函数性质求最值

7．已知函数y ＝mx 2－(2m －5)x ＋m －2的图象与x 轴有两个公共点．

(1)求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；

(2)题(1)中求得的函数记为C 1，

①当n≤x≤－1时，y 的取值范围是1≤y≤－3n ，求n 的值；

②函数C 2：y ＝m(x －h)2＋k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为5的圆内或圆上，设函数C 1的图象顶点为M ，求点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式．

解：(1)∵函数图象与x 轴有两个交点，∴m≠0且[－(2m －5)]2－4m(m －2)＞0，解得：m ＜2512

且m≠0.∵m 为符合条件的最大整数，∴m＝2.∴函数的解析式为y ＝2x 2＋x.

(2)抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－14.∵n≤x≤－1＜－14

，a ＝2＞0，∴当n≤x≤－1时，y 随x 的增大而减小．∴当x ＝n 时，y ＝－3n.∴2n 2＋n ＝－3n ，解得n ＝－2或n ＝0(舍去)．∴n 的值为－2.

(3)∵y＝2x 2＋x ＝2(x ＋14)2－18，∴M (－14，－18

)．如图所示：

当点P 在OM 与⊙O 的交点处时，PM 有最大值．设直线OM 的解析式为y ＝kx ，将点M 的坐标代入解得：k ＝12.∴OM 的解析式为y ＝12x.设点P 的坐标为(x ，12

x)．由两点间的距离公式可知：OP ＝x 2＋（12

x ）2＝5，解得：x ＝2或x ＝－2(舍去)．

∴点P 的坐标为(2，1)．∴当点P 与点M 距离最大时函数C 2的解析式为y ＝2(x －2)2＋1.

8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点P ，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)动点P 运动到什么位置时，△PBC 面积最大，求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积．

解：(1)抛物线解析式为y ＝x 2

－3x －4；

(2)作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1，∴PO＝PC ，此时P 点即为满足条件的点，∵C(0，－4)，∴D(0，－2)，∴P 点纵坐标为－2，代入抛物线解析式可得x 2－3x －4＝－2，

解得x ＝3－172(小于0，舍去)或x ＝3＋172，∴存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋172，－2)；

(3)∵点P 在抛物线上，∴可设P(t ，t 2

－3t －4)，过P 作PE⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2，可求直线BC 解析式为y ＝x －4，∴F(t，t －4)，∴PF＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝12

(－t 2＋4t)×4＝－2(t －2)2＋8，∴当t ＝2时，S △PBC 最大值为8，此时t 2－3t －4＝－6，∴当P 点坐标为(2，－6)时，△PBC 的最大面积为8.