初高中衔接教材

【初高中衔接教材】-----------代数部分

第一节 绝对值与零点分段法

一、知识点

)0(

≥a a

a a (-＜0） 2. =x 1的几何意义？

3. 11=-x 的几何意义？（两个点）

4.2+x ＞1的几何意义？（两射线）

5.12≤+x 的几何意义？（一条线段）

一般地，21x x -表示数轴上两点的距离，即21x x -=AB 二、例题

例1：在下列条件下去掉绝对值

（1）()221>---x x x ；(2)()3131≤≤---x x x ；(3)31-+-x x 例2：解绝对值不等式

（1）11<-x ；（2）212<-x ；（3）

312

1

>+x ；

（4）075≥+x ； （5）012<+x ；（6）012≤+x ；

练习：①5x ； ③82≤x ； ④75≥x ； ⑤123

⑥025≥-x ； ⑦01532

3≥++x x ； ⑧0153<+-x ； ⑨053≤-x

例3：解下列关于x 的不等式

（1）)0(><-b b a x ； （2）)0(>>-b b a x 例4：解方程

（1）12=-x ； (2)231=-+-x x ；

（3）131=-+-x x ； (4)331=-+-x x 。 练习：解2312=---x x 例5：解不等式

（1）5421≤-+-x x ； （2）231≥-+-x x ； （3）131≥-+-x x

a =

（4）53312≤-+-x x ； （5）29342≥-+-x x 例5：作出下列函数图像

（1）x y =； （2）1-=x y ； （3）21-+-=x x y ；

（4）)2(1+-=x x y ； （5）322

--=x x y ； （6）322--=x x y

例6：（1）求函数441222+-++-=x x x x y 的最小值 （2）求函数441222+--+-=

x x x x y 的最大值

例7：（1）方程m x x =--322有4个解，求m 的取值范围；

（2）不等式131+≥-+-m x x 的解为一切实数，求m 的范围

练习：不等式组 113x x a

-≤-≤无解，求a 的范围

第二节 多项式乘法原理及因式分解

一、知识点

1．多项式乘法原理：

2．乘法公式：（1）=-+))((b a b a ____________；(2)2

)(b a ±=_______________； (3)=±3

)(b a _________________； （4）=++2

)(c b a ____________；

（5）=-+))((n x m x ______________；(6)=--))((n x m x ______________；

（7）=+±))((2

2b ab a b a _______________________；

3．因式分解：（1）=-2

2

b a _____________；（2）=+±2

2

2b ab a _________________； 二、例题

例1：（1）多项式)765)(32(232+-+-+x x x x x 展开后，3

x 项的系数为_______________；

（2）)765)(32(2

3

2

+-+-+x x x x x =012

2334455a x a x a x a x a x a +++++，则

543210a a a a a a +++++=___________________；

例2：计算：（1）=+-+)964)(32(2x x x ____________________________； （2）=++-

)4

1

21)(21(2242

b b a a b a _______________________； 练习：（1）=-++--+)42)(42)(2)(2(22a a a a a a _______________________； （2）=++---)1)(1()1(22x x x x x ___________________________； （3）))(()(2z y x z y x z y x -++-+-+=_________________________； 例3：分解因式：（1）=-66y x _______________________________；

（2）=++3

3

6

6

2n m n m ___________________________；

（3）=+-+-+1)1(6)1()1(9222x x x ___________________________；

例4：（1）已知2,3==+xy y x ，求33y x +与22y x +的值； （2）已知8)(,2222=+=+b a b a ，求2)(b a -的值；

（3）已知：6,11

,6==++=++xyz yz xz xy z y x ， 求222z y x ++与)1)(1)(1(---z y x 的值；

（4）已知：23,23+=-=b a ，求3

3

b a +与3

3

b a -的值；

（5）已知：0132

=++x x ，求值：①22

1x x +；②44

1x x +；③3

61x

x +； （6）设8422

2++-+=a a b a y ，a 和b 可取一切实数，求y 的最大值； 三、习题

1．已知：2=+b a ，求3

36b ab a ++的值；

2．已知：31=-

x x ，求331

x

x -的值； 3．若z x y 23+=，求xz z y x 4492

22++-的值；

4．设2)()1(2

-=---b a a a ，求

ab b a -+2

2

2的值； 5．若2=--b a ab ，且a 、b 为正整数，求a 与b 的值； 6．计算：（1）)()(2

2

2

y xy x y x +-+=________________；

（2）[]

=++-2)2(2)2(z y x y z y ____________________________； (3)=+-+-

-)4

1

21)(4121)(4

1(22

2

x x x x x ________________________； (4)[][]{}

xy y x y x xy y x y x +-+-+-22)()()()(=__________________________； (5) =++-

)4

1

3)(161439(2

x x x _________________________________； (6)[]

=++-2

242)

42)(2(a a a ________________________________；

7．已知：x 、y 、z 是正实数，且0,2233=----=-z yz z y y x ，求z x -的值； 8．若56,733=-=-y x y x ，求22y xy x ++的值； 9．已知：xy y x y x 44,622≤+=+，求33y x +的值。

第三节 十字相乘法和分组分解法

例1：分解因式：

(1)81032

++x x =______________________； (2)622

2++-xy y x =_________________________； (3)2

2592y xy x --=__________________________；

(4)16)43)(23(2

2-+++-+x x x x =___________________________； （5）1413122-+x x =___________________________； (6)

222

1

10951y xy x --=_____________________________； 例2：分解因式：

（1）=-+-3

2

2

3

33y xy y x x ________________________；

(2)=+-++-2

22222z yz xz y xy x ____________________________； (3)=-++--6722

2y x y xy x ________________________________； 例3：分解因式：

(1)=--+14322

3

x x x _______________________________；

(2)=+-+-243322

34x x x x _________________________________； (3)=+-233

x x ___________________________；

练习：

把下列多项式分解因式：

（1）=---ab b a 4)1)(1(22_______________________________； (2)=+++++2)6)(3)(2)(1(x x x x x _______________________________； (3)=-+-2

2

21b ab a ________________________________； (4)=+-4

2

2

4

9374b b a a _______________________________；

(5)=--++3)22)(2(22x x x x _____________________________________； (6)=-----3)4)(3)(2)(1(x x x x __________________________________； (7)=-+-+-244244224224y x y y x x _____________________________；

第四节 方程及方程组

一、三元一次方程组 例1：解方程组：

（1）c x z b z y a y x =+=+=+； (2) 8

7959327

43=+-=++=+z y x z y x z x ；

例2：解方程组：

(1) 2

92

===ca bc ab ； （2）

6

1

3

1

21

=+=+=+y x z z y x z x y ； 二、分式方程

例3：解方程：（1）x x x x x 241422--=+-； （2）5134

622

32622=+++++++x x x x x x ；

练习：解方程：（1）111122

=++-x x ； (2)71

6

61)1(222=+++++x x x x ； 三、无理方程

例4：解下列方程：（1）x x x 4232=++； （2）13166)3(22=+-+

-x x x ；

（3）03)1(=--x x ； (4)1120922=+++x x ； （5）013536=--+++x x x ；（6）2

3

2112-=+---+x x x x ； 练习：

1．0452

3

=-x x 的根是_________________； 2．3222=---x x 的解是____________________； 3．0)4)(23(2=-+-x x x x 的根为____________________；

4．解下列方程：（1）09352

3

=-++x x x ； （2）01374212322=++---x x x x ；

（3）

051812)32(2=+-+-x x x x ； (4)06732

4=+--x x ； （5）01218

2218321222

=++-+++-+x x x x x x ； 作业：

1．解下列方程：

（1）

13296332=++-+-x x x x ； （2）3114338222=-----x x x x

x x ； （3）1233-=--+x x ； （4）2

3

221121=+---+

x x ；

2．使分式方程3

232

-=--x m x x 产生增根m 的值为_____________； 四、二元二次方程组 1．（Ⅰ）型（特殊类型） 例1：解方程组 （1）

32

7

22=+++=+y x y x y x ； （2）

101

2-==+xy y x ； (3) 3

212--==+x x y y x ；

2．（Ⅱ）型

例2：解方程组：

（1）

23102

2

22=+-=+y xy x y x ； （2）

2)(3)(922

22=+---=++y x y x y xy x ；

练习：

1．解下列方程组：

（1） 72522=+=+y x y x ； (3) 0

3)(2022=+++=-y x xy y x ；

2．讨论方程组

4

22

2

2=-=y x px )0(>p 解的情形；

3．方程组

9

)3(42

2

2=+-=y x x y 的解的组数是__________________；

例3：解下列方程组：

（1） 0

1101

22=+--=-x y x y x ； (2) 1252=-=-y

x x y y x ； (3) 0

60

6522=--=+-y x y xy x ； (4) 0352122222=--=--y xy x y xy ；

（5）

24

42182

2

22=--+=+++y x y x y x y x ； (6)

6

182

2

22=-+-=+++y x y x y x y x ；

例4：解下列方程：

（1）

332254422

222=+-+-=--++y x y xy x x x xy y x ； （2）

4

22222=+=--y y xy ；

（3） 42

342

2

=--+=++y x y x y x xy ；

例5：当k 为何值时，方程组 2

1242+==+--kx y y x y

（1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）无实数根。 练习：1．方程组

205=--=--k y kx y x 的两组解相同，试求k 的值并解方程组；

2．若方程组 0

2)1(=++++=-xy y x xy m y 有实数解，求m 的值。

3．解下列方程组：

（1）

1

341

22

2

=++-=-y x y x y x ； （2）

0322064522

2

22=-+-+=-+-+y x y x y x y x ；

（3）

23122

2

22=++=+-y xy x y xy x ； (4) 30

6549322

2

22=+-=+-y xy x y xy x ；

(5) 10101

22-==+y ； （6） 0433********

222=+++--=+++--y x y xy x y x y xy x ；

4．方程组 k

x y x y +==32

有两个相同的解，则=k ______________；

例6：解下列方程组： （1）0

363022422

2=+-+=+--+y x xy x y x xy x ； （2）

1

3432

2

22-=+-=-y xy x y x ；

第五节 一元二次不等式

1．一元二次不等式的解法

例1：解下列不等式：（1）02322

>--x x ； （2）2632

>+-x x ；

（3）01442

>+-x x ； （4）0322

>-+-x x ；

练习：（1）012732

<+-x x ； （2）0262

≤+--x x ； (3)01442

<++x x ； （4）0532

>+-x x ； 例2：解不等式：

07

3

<+-x x 练习：(1)0)3)(2(>-+x x ； (2)0)5)(2(>+-x x ； (3)0)2(<-x x ；

(4)

085<-+x x ； (5)04

1

2≥+-x x 2．三种二次式①c bx ax ++2

；

②c bx ax y ++=2

；

③02

>++c bx ax (02

<++c bx ax )

3．一元二次不等式解的各种情形

02>++c bx ax 或02

<++c bx ax （0>a ）图象解法：

注：的情形由学生行讨论 练习：解下列不等式：

(1)x x <+23； (2)

023>--x x ； (3)121≤+-x x ； (4)12

1

≤+x ； (5)

0)

2()

4(3(2

≤-+-x x x ； (6)062<--x x ； (7)32>+x x ； (8) 05322

4

>--x x ； (9) 05722

4

<+-x x 例3：（1）不等式022

>++bx ax 的解为3

1

21<<-

x ，求22b a +的值； (2)函数3)1(4)54(22+-+-+=x k x k k y 的图像在x 轴上方，求k 的值； (3)函数3)1()1(22+++-=

x m x m y 的自变量x 取值范围是全体实数R ，求m 的

范围；

(4)不等式03)1(2≥++-mx x m 恒成立，求m 的范围；

(5)不等式03)(2

≤+-+x m n mx 的解为①1=x ；②25-≤≤-x ；③3>x 时，分

别求m 与n 的值；

(6)若不等式032

<++n x mx 的解为3≠x ，求m 与n 的值；

(7)x 取何值时，抛物线52

--=x y 上的点位于直线x y 51-=上方？

注：逆向思维：

2≥++c b x a x 恒成立? 0

≤>或 0

00

≥==c b a ；

4．解高次不等式：

例1：解下列不等式：(1)0)12)(2(2>--+x x x ； (2)0)6)(5)(1(>-+-x x x ； (3)0)6()5)(1(32≥-+-x x x ；

例2：解下列不等式：(1)

0110322≤---x x x ； (2)14

1335

3222≥+---x x x x ； (3)0)2)(32)(1(22≥+---+x x x x x

例3：已知不等式0))((2>+++d x c bx ax 的解是3-

0)()(23≤?+++-cd x bd c x ad b ax 的解；

例4：解含参数的不等式：

(1)0562

2<--a ax x ； (2)0)(322>++a x a a x ；

(3)01)1(2

<++-x a ax ； (4)01)1

(2

<++

-x a

a x ；

第六节 二次函数在闭区间上的最值

一、复习二次函数在实数集R 上的最值 1．介绍区间； 2．值域； 3．法则“f ”；

例1：在以下条件下，求函数32)(2

--=x x x f 的值域：

(1)R x ∈； (2)[]2,3--∈x ； (3)[]3,2∈x ； (4)[]4,0∈x ； (5)[)+∞∈,0x ； 例2：求函数ax x x f 2)(2

+=在[]1,1-∈x 时的最大值和最小值；

例3：求函数542

--=x x y 在[]a ,0上的最大值和最小值；

练习：

1． 求函数5322

+-=x x y 在[]2,2-上的最大值；

2． 求函数1042--=x y 在??

?

???-

23,21上的最小值； 3． 函数25322-+--=x x y 的最大值是____________，最小值是________________； 4． 求二次函数142+-=x ax y 在[]1,0上的最值；

5． 求函数322+-=bx x y 在区间[]1,1-上的最大值和最小值； 6． 求函数322+-=x x y 在区间[]t ,0上的最值；

7． 求函数1)2(3)2(222--+-=x x x x y 的最大值或最小值； 8． 求函数7562234-+++=x x x x y 的最小值； 9． 求函数12--=x x y 的值域；

第七节 一元二次方程的判别式及韦达定理

一、02

=++c bx ax )0(≠a 配方可得：2

2244)2(a ac b a b x -=+ 1．当?>-=?042

ac b 方程有两个不相等的实数根； 2．当?=-=?042

ac b 方程有两个相等的实数根； 3．当?<-=?042ac b 方程没有实数根； 注：(1)使用判别式?时要保证二次项系数0≠a ；

(2)一元二次方程有实数根0≥??；

(3)二次三项式c bx ax ++2

为完全平方式0=??；

(4)二次三项式 c bx ax ++2

恒正?

00a 或 0

>==c b a ； 例1：当k 为何值时，直线k kx y +=与抛物线562

+-=x x y ，

①有两个交点； ②有一个交点； ③无交点；

例2：二次函数a x a x y 2)2(2

--+=与x 轴交于A 、B 两点，求AB 的最小值；

变式：求二次函数a x a x y 2)2(2

--+=与直线1+=x y 截得弦长的最小值；

二、求根公式：a

ac

b b x 2422

,1-±-=

； 三、韦达定理：a

c x x a b x x =-

=+2121, 例1：k 取何值时，关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x

(1) 有两个不相等实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根；

例2：证明m 取任何实数时，关于x 的方程0)1()12(2=-+-+m x m mx 一定有实数根； 练习：(1)若关于x 的一元二次方程0122

=+-x kx 有两个不相等实数根，求的范围； (2)m 取何值时，多项式5)22(22+++-m x m x 是一个完全平方式； 例3：已知关于x 的方程09182

=+-a x x 一根是6

11

-

，求另一根及a 的值； 例4：若方程01422

=++x x 两根分别为1x 与2x ，求下列各式的值：

(1)2

2

21x x +； (2)2

111x x +； (3)21x x -； (4)3

2

31x x +； 例5：已知：实数a 、b 、c 满足4

27

,0=

=++abc c b a ，求c 的范围； 例6：设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(22

2

=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实根1x 、2x ，

(1)若622

21=+x x ，求m 的值； (2)求2

2

2

12111x mx x mx -+

-的最大值； 例7：关于的一元二次方程04

5

2

=+

+-a ax x ， (1)两根同号，求a 的范围； (2)两根异号，求a 的范围；

例8：已知：1x 、2x 是关于x 的方程0)5(52

=-+-k kx x 的两个正实根且满足

7221=+x x ，求实数k 的值；

例9：是否存在常数k ，使关于x 的方程06)74(92

2

=---k x k x 的两个实根1x 、2x 满足

2

3

21=x x ，如果存在，试求出所有满足条件的k 值，如果不存在，请说明理由； 思考题：

1．关于x 的方程022

=+-k x x 有两实根且3

231x x y +=，

2．关于x 的方程053)2(22=+++--k k x k x 有两实根α与β，求22βα+的最值；

第八节 一元二次方程实根分布

1． 讲清二次函数与一元二次方程的关系； 2． 讨论二次函数)0(2>++=a c bx ax y

(1)当方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根属于),(n m 时0)()(

n a

b m n af m af <-

<>>≥?20)(0)(0

(3)当方程)0(02

≠=++a c bx ax 两根分别在),(n m 两侧时：

ⅰ.21,0x n m x a <<<<； ⅱ.21,0x n m x a <<<>；

)(0

)(<

(4)当方程)0(02

≠=++a c bx ax 两根都在),(n m 的一侧时，有以下几种情况：

ⅰ.在),(n m 右侧时，

0)(0

2>≥?-

b n ； ⅱ.在),(n m 左侧时， 0

)(0

2>≥?-

>m af a

b m

例1：已知二次方程04)32(2=+-+x m x 有且只有一根在(0,1)内，求实数m 的取值范围；

例2：已知方程0)2()12(222=++--m x m x 两根在)1,1(-之间，求m 的取值范围； 例3：已知二次方程0)25()1(22=+--+m x m x 的一根小于，另一根大于1，求m 的取值范围；

0)1(0)1(<<-f f 7

1

>?m ；

例4：已知：方程0)1(2)23(2=+++-m x m x 的两实根都大于1，求m 的取值范围；

1200)1(>-≥?>a

b f ； 练习：

1． 已知方程0)1(22

=-+-m mx x 有且仅有一个根属于(1,2)，且2,1==x x 都不是

方程的解，求m 的范围；

2． 已知：方程022)23(2+-+-+m x m x 有一个大于2-的负根，一个小于2的正

根，求m 的范围；

3． 已知方程0)1(3)43(2=++++m x m x 两个根都属于)2,2(-，求m 的范围； 4． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 两根都大于1-，求m 的范围； 5． 已知方程0)4()13(22=++++m x m x 一根小于1，一根大于1，求m 的范围；

变式：若抛物线m x x y -+-=32

与直线x y -=3在)3,0(∈x 内只有一个交点，求

m 的范围；

补充：

1．b x a x x f +++=)1()(2

，且3)3(=f ，又x x f ≥)(恒成立，求b a -的值；

2．对任意的2≤m ，函数m x mx y -+-=122

恒为负，则x 的取值范围为________；