2016年复旦附中自招数学试卷
1. 已知
a b c
x
b
c a c a b
===
+++
,则x=
2. 已知函数2
2(5)3
y x a x
=-+-+(23)
b x b
≤≤+图像关于y轴对称,则a b
+=
3. 已知函数2
(2)2(1)
y k x kx k
=--++的图像与x轴只有一个交点,则k=
4. 在同一个直角坐标系中,已知直线y kx
=与函数
28,3
2,33
24,3
x x
y x
x x
-≥
?
?
=--<<
?
?+≤-
?
图像恰好有三个
公共点,则k的取值范围是
5. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD AB
>,设E、F分别是AC、BD的中点,AC与BD交于点O,已知OEF是边长为1的正三角形,BOC的面积为
15
3
4
,则梯形ABCD 的面积为
6. 已知矩形ABCD中,1
AB=,BC a
=,若在边BC上存在点Q,满足AQ⊥QD,则a的取值范围是
7. 已知锐角三角形ABC的三边长恰为三个连续正整数,AB BC CA
>>,若BC边上的高为AD,则BD DC
-=
8. 已知实数m、n(其中1
mn≠)分别满足:2
199910
m m
++=,299190
n n
++=,则41
mn m
n
++
=
9. 若关于x的方程2
(2)(4)0
x x x m
--+=有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长,则m的取值范围是
10. 如图,矩形ABCD中,3
AB=,4
BC=,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,当CEB'为直角三角形时,BE的长为
11. 如图,OA、OD是圆O的半径,延长OA至B,使OA AB
=,C是OA的中点,∠AOD 为锐角α,连接CD、BD,且CD a
=,则BD=
12.
已知直角三角形的三边长都是整数,且其面积与周长在数值上相等,若将全等的三角形都作为同一个,那么这样的直角三角形的个数是
13. 设n (10n ≥)个机场,每一机场起飞一架飞机,飞到离起飞机场最近的机场降落,且任何两机场之间的距离都不相等,则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为
14. 关于x 的方程22(21)20x m x m m --++=的两个根分别为1x 、2x .
(1)若12||5x x -=,求m 的值;(2)若1x 、2x 均为整数,求m 的值.
15. 如图,ABC 中,5AB BC ==,6AC =,过点A 作AD ∥BC ,点P 、Q 分别是射线AD 、线段BA 上的动点,且AP BQ =,过点P 作PE ∥AC 交线段AQ 于点O ,联结PQ ,记AP x =,POQ 面积为y .
(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围;
(2)联结QE ,若PQE 与POQ 相似,求AP 的长.
16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼感到1分不满意,往上走一层楼感到3分不满意,现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层,问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少? (有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)
17. 设x 是实数,不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分,记作[]x ,如[1.2]1=,[3]3=,
[ 1.3]2-=-.
(1)222
111(10111)(11121)(201620171)[][][]1011111220162017
S =
++???+?-?-?-???,求[90]S ; (2)解关于x 的方程:212312[]2x x x ---=.
参考答案
1. 12
或1- 2. 4 3. 2± 4. 223k << 5. 6. 2a ≥ 7. 4 8. 5- 9. 34m <≤ 10.
32或3 11. 2a 12. 2 13. 5
14.(1)1-;(2)2-、32-、12-、0. 15.(1)22412255y x x =-+,502
x ≤<;(2)5 16. 第27层,最小值316
17.(1)9;(2)1或1.