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解线性方程组用克莱姆法则

矩阵在线性方程组A X b

求解的应用

一、利用克拉默法则

1.克拉默法则若含有n个变量和n个方程的线性方程组

解线性方程组用克莱姆法则

的系数行列式D不为零,则该方程组有且仅有惟一解x j=D j/D,j=1,2,...,n.

解线性方程组用克莱姆法则

局限性:

(1)Crammer法则只能用于求解方程个数与未知数个数相等的线性方程组;

(2)Crammer法则只能求得系数行列式不为零时的线性方程组的唯一解;

即如果方程个数与未知数个数不相等,或系数行列式等于零,则Crammer法则失效。

(3)计算量大,要计算n+1 个n 阶行列式的值。

2.改进:

当系数矩阵A行列式不为零时,逆矩阵存在,此时X=A-1.b

二、Gauss消元法

一般的n元线性方程组

解线性方程组用克莱姆法则

(或写成矩阵形式AX=B)解法是首先将其增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵,这样方程组就等价于一个阶梯形的方程组,然后再把不处于每行中第一个非零系数的变元x j挪到方程的右边,令它们为任意参数,则方程组就可以解出了.

定理.设A与分别是n元线性方程组系数矩阵与增广矩阵.若秩,则方程组无解;若秩,则方程组有解.当时,方程组有惟一解;当时,有无穷多个解,且通解一定含n―r个任意常数.

在Mathcad中求解,我们首先利用上述定理判断是否有解,有解时调用rref函数,

解线性方程组用克莱姆法则

计算出rref(),所得结果最右面的列就是该方程组的解

说明: rref(M) 返回对矩阵M的行施行初等变换后化简的矩阵

问题:

1.求解线性方程组

解线性方程组用克莱姆法则

2.求解下列线性方程组

题A

解线性方程组用克莱姆法则

题B

解线性方程组用克莱姆法则

.

题C

解线性方程组用克莱姆法则