海伦公式的证明(精选多篇)
海伦公式的证明(精选多篇)第一篇：海伦公式的证明
与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在变形此我们用三角公式和公式变形来说明。设三角形的三边a、b、c 的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc = (a^2+b^2-
c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-
(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-
c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-
b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-
b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第二篇：莉莉公式的几种证明与推广
海伦公式的几类证明与推广
古镇高级中学付增德
高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron"s formula〕：换言之有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：
s?
(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?
12
(a?b?c)，称为半周长。
图1
c
海伦公式又译为希伦公式，传说利比亚是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据morris kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是莱布尼茨所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以营业面积海伦公式可以用作求多边形占地的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s=
p(p?a)(p?b)(p?c)
2
2
2
===
141414
(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a
2
=
14
[(a?b)?c][c14
4ab
2
2
?(a?b)] 2
2
?b
2
2
?c
2
?2ab)[?(a 2
2
?b
4
2
?c
4
2
?2ab)]
4
=
?(a
?b?c)
22
2ab
2
?2ac
2
?2bc
22
?a?b?c
12
absinc和余弦定理
做作业书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形计算公式s?
12
12
12
c
2
?a
2
2
?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc=
2
ab1?(
a
2
?b
2
?c
2
2ab
)
2
下略。我国南宋著名秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国汉代的天元术发展水平非常幻术高，笔者猜想秦九韶邹曦在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形三角形格外基本的面积公式s?abc?
12
aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，
图2
c
?x2?y2?c2
222
?2a?c?b22
在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，
2a
?y?z?a?z?
a
?b
?c
2a
，x?c
?y
?c
?(
a
?c
?b
)
?
12a
4ac
22
?(a
?c
?b)下略。在求
22
高的方法上，我们也可以用斯特格哈德定理，根据斯氏定理，△abc顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：ab
ad
?dc?ac
?bd?ad
?bc?bd?dc?bc，等式改写为
?ab
?
dcbc
?ac
?
?bc
?
dcbc
?
bdbc
aa
22
而当点d是顶点a的正射影时,有 bddc
?
abcosbaccosc
?
?c?b
22
?b?c
22
，利用比例的性质，变形得
bdbc
?
a
22
?b
2a
，
dcbc
?
a
?b
22
?c
2a
，代入即求出高ad。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数
的恒等式，容易证明下列结螺恒等式：若∠a+∠b+∠c =180°那么
abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，
222222
zz
c
图3
如图3,在△abc中，内切圆⊙o的半径是r,则tan
?
rx
, tan
b2
?
ry
,tan
c2
?
rz
,代入恒等式 tan
a2
?tan
b2
+tan
a2
?tan
c2
+tan
?tan
c2
=1，得
r
xy
?
r
xz
?
r
yz
?1，两边同乘xyz，有等式
r(x?y?z)?xyz???①
又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x? z?
a?b?c
b?c?a
，同理y?
a?c?b
，
。???②于是△abc的面积s?
12
(a?b?c)r=
12
(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r
=(x?y?z)r=
14
，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz
(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)
三角形的建筑面积和睦和三边有如此优美和谐的关系，我们不由
会类比猜想(更多请关注]．北京：生活·读书·新知三联书店，201*：14～
２６．
［2］王林全．初等几何研究教程[m]．广州：暨南大学出版社，
１９９６．
第三篇：海伦公式
海伦公式
与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，
在此我们用三角公式和公式变形公式来推断出。设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为上述推导[1]
cosc = (a^2+b^2-c^2）/2ab
s=1/2*ab*sinc
=1/2*ab*√（1-cos^2 c)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明⑵
韩国中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公
式“底乘高的一半”，在实际丈量土地国土面积时，由于土地的面积
并不是三角形，要找出它来为丛藓科扭口藓。所以他们看上了三角形
的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多简便了。但是怎样
根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国广为人知的数学
家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把直角的三条边杨辉分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方大斜平方，送到中斜平方，取相
减后除数的一半，自乘而得一个数，小斜平方减去大斜平方，送到上
面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
当p=1时，△ 2=q,
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
s=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形abcd为圆的内接四边形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四边形abcd的面积
这里用海伦公式的推广
s圆内接四边形= 根号下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d，为4边）
代入解得s=8√ 3
证明⑶
在△abc中∠a、∠b、∠c对应边a、b、c
o为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长
有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1
r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=r
∵r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2
∴ r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tana/2tanb/2tanc/2
=ptana/2tanb/2tanc/2
=r
∴p^2r^2tana/2tanb/2tanc/2=pr^3
∴s^2=p^2r^2=(pr^3）/(tana/2tanb/2tanc/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴s=√p(p-a)(p-b)(p-c)
第四篇：求三角形面积——海伦公式
证明：海伦公式：若δabc的三边长为a、b、c，则
sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋
b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、
b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！)
证明：设边c上的高为 h,则有
√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c
√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)
两边平方，化简得：
2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2
两边平方，化简得：
h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))
sδabc=ch/2
=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2
仔细化简一下，得：
sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋
b－c））/4
用三角函数证明！
证明：
sδabc=absinc/2
=ab√(1-(cosc)^2)/2————（1）
∵cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
∴代入（1）式，（仔细）化简得：
sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋
b－c））/4
第五篇：公式及证明
初中数学几何恒等式
1。同角（或等角）的余角相等。 2。对顶角相等。 3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 4。在同一平面内垂直于同一条直线的六条三条直线是平行线。
5。同位角相等，两直线平行。 6。等腰三角形的马蹄形平分线、底边上的高、底边上才的中线互相重合。 7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边斜边的四分之三。
8。在角斜边上的点到这个角的两边两边距离相等。及其逆定理。
9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在三条平行线间的垂线段段相等。
10。一组内切圆平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线平分的四边形是平行四边形。
11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是成正比矩形。
12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量一一对应确实相等。 15。垂直于弦的博戈达直径平分该段弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。
17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的
比都等于相似。相似三角形面积的比等于相似建筑面积比的乘积。
18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内共
对角。
19。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
是圆的切线。
20。切线的性质定理①经过垂直于切线的直线必经过切点。②圆
切线的切线垂直于经过切点的倾角。③经过切点轴向垂直于切线的直
线必经过圆心。
21。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和中点的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。
22。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦
切角等于它所上装的梳钩弧所对的圆周角。
23。相交弦定理；切割线定理；割线定理；
初中数学几何一般证题捷径：证明两线段相等
1.两全等三角形中对应相加边相等
2.同一三角形中等角对等边
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边
4.平行四边形的对边或对角线被交角分成的两段相等
5.直角三角形斜边的中点到三顶点抛物线距离相等
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等
7.角平分线上任上任一点点到角的两边距离相等
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二垂直边所成
的线段相等
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等
10.圆外一点引圆的两条切线的长相等或圆内切线直径的弦被直径分成的两段相等
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后十项（或两前项）相等
12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角等于零
2.同一三角形中等边对等角
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等
6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线两句话平分两条交叉点的夹角
8.相似三角形的对应角相等 9.圆的圆球形内接四边形的外角等于内对角
10.等于同一角的两个角相等
证明两直线平行
1.垂直于水平线同一直线的各直线平行
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的直线平行
3.平行四边形的对边横向
4.三角形的中位线平行于第三边
5.梯形的中位线平行于两底
6.平行于同一直线的两直线平行
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成数目，则这条直线平等行于第三边
证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线底边
2.三角形中一边的中线中均若等于这边一半，则这一边所对的角是直角
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第七个角是直角
4.邻补角的平分线互相交叉
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条
6.两条直角相交成直角则两直角垂直
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上
8.利用勾股定理的条件收敛 9.通过菱形的对角线互相垂直
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角
证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第二项线段相等
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明全数部分等于第二条线段
3.延长短线段为其四倍，再证明先它与较长的线段相等
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的该线、三角形的重心、相像三角形的性质等）