312等式的性质(2)

3.1.2 等式的性质（2）

不等式选讲资料

选修4-5 不等式选讲资料 不等式选讲知识点 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么acb >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么n n b a > (n ∈N ，且n>1)。 3，平均值不等式 定理1：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号） 定理2（基本不等式）：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝” 号）说明：（1）我们称 a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而， 此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（2）a 2 ＋b 2 ≥2ab 和 a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正 数.（3）“当且仅当”的含义是充要条件. 定理3：如果+ ∈R c b a ,,，那么abc c b a 33 33≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 定理4：如果+ ∈R c b a ,,，那么 3 3 abc c b a ≥++。 （当且仅当c b a ==时取“=”） 定理:5：如果+∈R c b a ,,，那么3 3 abc c b a ≥++。当且仅当c b a ==时，等号成立。 推广： n a a a n +++ 21≥n n a a a 21 。当且仅当n a a a === 21时，等号成立。 语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 4，平均值不等式应用（处理最值问题）积定和最小，和定积最大. （1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；

七年级初一数学下册第9章不等式与不等式组91不等式912不等式的性质导学案3新人教

9、1 不等式的性质 德育目标：观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，在独立思考和小组交流中学习。 学习目标：1、理解不等式的性质。 2、能运用不等式的性质进行正确的不等式的变形。 学习重点：理解并掌握不等式的性质。 学习难点: 如何正确运用不等式的性质。 学习过程：一、课堂引入：（知识复习） 等式有哪些性质？ 性质1： 性质2： 不等式也有类似的性质吗？这节课我们一起来学习不等式的性质。 二、自学教材学生自学课本P116—117 思考 ①比一比，谁能最准最快的填写。 7﹥4 7+3 _______4+3， 7+0_______4+0， 7+（－2）_ _ 4+（－2）， 7+（－3）_ _4+（－3）， 7+c _______4+c 若a < b，则a+c _ _b+c 你能发现什么？ 不等式性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同、一个数或式子，不等号的方向______。 ②比一比，哪一组能最齐最准最快填写。 7 > 4 7×3_______4×3， 7×2_______4×2， 7×1_______4×1， 你能发现什么？ 不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向_____。 ③比一比，谁最细心最快的填写。 7 > 4 7×（－1）____4×（－1）， 7×（－2）____4×（－2）， 7×（－3）____4×（－3）， 你能发现什么？ 不等式性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向_____ 2、小组合作完成表格： 不等式的基本性质 文字表示符号表示 (1)不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向 若a0, 则ac bc(或 ) 3) 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 若a4 7-3 _______ 4-3， 7-2 _______4-2， 7-0 _______4-0， 7-（－2）____4-（－2）， 7-（－3）____4-（－3）， 7>4 7÷3_______4÷3 7÷2_______4÷2 7÷1_______4÷1 7>4 7÷（－1）____4÷（－1）， 7÷（－2）____4÷（－2）， 7÷（－3）____4÷（－3），

不等式复习专题

方程、不等式复习专题 一、考法、考点分析 1、考法分析： 方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究，方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。 2、考点课标要求： （1）根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 （2）经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。 （3）会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个） （4）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 （5）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。 (6) 一元一次不等式（组）的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主，难度不大，另外关于列一元一次不等式（组）解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大 重点、难点、疑点 1.方程的概念；方程的解法；列方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出相等关系；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：检验，既要验证根是否是原分式方程的根，又要验是否符合题意；⑦答：写出答案 2．不等式（组）的有关概念;不等式（组）的解法;解(解集)的表示;列不等式(不等式组)解应用题:①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出不等关系；④列：列出不等式（组）；⑤解：解不等式（组）； ⑥答：写出答案 二、知识点归纳 （1）方程：含有未知数的等式叫方程。 （2）一元一次方程:含有一个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫一元一次方程。 （3）二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如513,11=+=+y x y x 等， 都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”

9.1.2 不等式的性质 说课稿

《9.1.2 不等式的性质》说课稿尊敬的各位老师：下午好！ 我叫孙有玺，来自音河中学。很高兴能把《不等式的性质（1）》一课的教学和大家一起探讨。下面我将从学生状况、教学任务、教学过程、设计说明等四个方面加以分析。 一、学生状况分析： 七年级下期的学生活泼好动，有一定合作探究意识，在知识方面已经学习了有理数大小比较，等式及基本性质。这些都为自主探究不等式的性质打下了良好的基础。 二、教学任务分析： （一）教材地位与作用： 不等式是初中代数的重要内容之一，是已知量与未知量的矛盾统一体。数学关系中的相等与不等是事物运动和平衡的反映，学习研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动变化的规律。“不等式的性质”是学生学习整个不等式知识的理论基础，为以后学习解不等式（组）起到奠基的作用。 （二）教学目标： 知识目标： 探索不等式的基本性质，并能准确运用不等式的三条性质将不等式变形。 能力目标： 让学生学会类比的思想对等式性质及不等式性质进行了比较，培养学生的观察、分析、归纳的能力。 情感目标： 通过“等”与“不等”的比较使学生进一步领会对立统一的思想，培养学生辨证唯物主义的观点。 （三）、教学重点、难点： 不等式的性质是本节不等式变形的基础，也是今后解不等式（组）的依据，所以掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形是本节课的重点。

不等式的两边同乘以（或除以）负数，不等号方向改变和等式的性质不同，学生学习起来比较困难，因此，不等式性质3的理解与正确使用是本节课的难点。让学生自己动口、动手、动脑，进行比较、讨论，并加以强化练习达到突破的目的。 （四）、教学方法与学法的指导： 本节课属于性质类知识，重在探索，意在应用。因此，我采用启发诱导、实例探究的方法进行教学，这种教学方法以“主动探索”为基础，先“引导发现”后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中发展自己的观察力、想象力、思维力。引导学生学会类比、归纳的学习方法，帮助他们在自主探究过程中理解和掌握不等式的性质。 三、教学过程 (一)复习提问、引入新课 为了使学生自己能在教师的指导下，自主探究问题，发现问题，获得结论。而不是把现成的结论告诉学生。对于不等式性质的发现，我采用了下面的作法，我首先带领学生复习等式的性质等式性质1 等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等。 等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 (二)合作交流、探究新知 在复习等式性质后，教师提出不等式是否也有类似的性质呢？先引导学生对不等式的两边都加、减同一个数，会发现什么呢？学生通过思考和计算后会说出不等式两边都加、减同一个数，“仍是不等式”。此时，教师抓住学生叙述中的问题予以纠正，不能笼统的说“仍是不等式”，因为“=”没有方向性，而不等号有方向性，所以要改为“不等号的方向不变”。接着，让学生不等式作两边都乘以或除以同一个数的变形，会发现什么呢？学生通过计算和讨论，甚至会发生争执，教师要深入学生，通过共同探讨，学生会发现不等式两边都乘以或除以正数，不等号方向不变，两边都乘以或除以负数，不等号方向改变。最后由学生归纳出不等式的性质2和性质3。 我这样安排的目的是为了让学生通过动手、动口、动脑发挥合作精神，学会运用类比、归纳的数学思想去探究问题，同时学生也会品尝到成功的喜悦，从而提高他们学习数学的兴趣。 (三)灵活运用、巩固练习 为使学生能够准确运用性质将不等式变形，也为例题的教学做一些铺垫，我先设置了两组抢

(完整版)等式的基本性质练习题三

《等式的性质》拓展练习1 1．（1）如果105-3=x ，那么=x 3 ，其依据是 ； （2）如果)0(53 2≠=m mx ，那么=x ，这是根据等式的性质 ，将等式两边 ； （3）由763=+x ，得到31= x 是依据 ； （4）由42 1-3=x ，得到3=x 是依据 ； 2．若3 14-=x ，则=x ． 3．方程325-32+=x x 变形为532 32+=+x x 的错误是 ． 4．下列运用等式性质对等式进行变形，正确的是（ ） A ．若7-3y x =+，则11-7y x =+ B ．若,6 1-31- x 则2-=x C ．若4-0.25=x ，则1-=x D ．若77-=x ，则1-=x 5．由y x =2-变为636)2-3+=+y x （，运算过程中所用的等式性质及其顺序是（ )． A ．先用性质2，再用性质1 B ．只用性质1 C ．先用性质1，再用性质2 D ．只用性质2 6．从等式10a =5b 能不能得到等式a =2b ？为什么？能不能从a =2b 得到10a =5b ?为什么？ 7．星期天，七年级一班全体同学到水上公园划船游玩，如果减少一条船，那么每条船正好坐9名同学；如果增加一条船，那么每条船正好坐6名同学．如果设划船的同学为x 人，你能列出方程吗？ 8．某城市按以下规定收取水费：每户用水如果不超过60吨，按每吨0.8元收费；如果超过60吨，超过部分按每吨1.2元收费，已知某用户4月份的水费平均每吨0.88元，那么4月份这一用户应交水费多少元？（只要求列出方程） 参考答案

1．（1）15，等式的性质1；（2）152m ，2，同乘32m ；（3）先运用等式的性质1，再运用等式的性质2；（4）先运用等式的性质2，再运用等式的性质1． 2．112 - 【解析】两边除以－4，计算11(4)312÷-=-． 3．两边所加的式子不同【解析】左边加5加2x ，右边加5减2x ． 4．D 【解析】A ．x ＋3＝y －7，x ＋3＋4＝y －7＋4，即x ＋7＝y －3． B ．1111,(3)(3)3636x x ??-=-?-=-? ???，即12x =-． C ．0.25x ＝－4，4×0.25x ＝（－4）×4，即x ＝－16． 5．A 6．解：能得到a ＝2b ，根据等式的性质2；不能从a ＝2b 得到 105a b =，因为当a ＝0，或b ＝0时，等式不成立． 【点拨】等式105a b =两边同乘以ab ，可得a ＝2b ;从a ＝2b 得到105a b =，等式两边必须同除以ab ，这时必须考虑a ＝0，或b ＝0的情况． 7．解：1196 x x +=-． 8．解：设4月份这一用户用了x 吨水，则这一用户每吨收1.2元水费的吨数是（x －60）， 根据题意，得方程60×0.8＋1.2×（x －60）＝0.88x ． 【点拨】由题意，可知该用户4月份的用水超过60吨，所以该用户的水费分为两个部分：一部分是按0.8元收取的，另一部分是按1.2收取的，其平均水费为0.88元由此可得等量关系．

初中不等式

不等式 用不等号“>”（或“<”，“≥”，“≤”）连接的式子叫作不等式. 常见的不等号有：“＞”读作“大于”；“＜”读作“小于”；“≥”读作“大于或等于”；“≤”读作“小于或等于”． 不等式的性质 （1）不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变. 即如果a>b，那么a＋c>b＋c，且a－c>b－c. （2）不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 即如果a>b，c>0，那么ac>bc，且. （3）不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 即如果a>b，c<0，那么acb(或ax

解一元一次不等式的一般步骤 （1）去分母（根据不等式的基本性质2、3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式的基本性质1）； （4）合并同类项（根据合并同类项的法则）；（5）将x项的系数化为1（根据不等式的基本性质2、3）． 注意： 解不等式时，上述五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的性质灵活安排求解步骤，熟练后，步骤可以合并简化． 二、重难点知识归纳 1、不等式的解不同于不等式的解集，它们是不同的两个概念，用数轴表示不等式的解集时要注意方向及空心点和实心点的区别. 2、运用不等式的基本性质二和三进行不等式变形时，一定要弄清同乘（或除）的这个数是正数还是负数.不等式的两边不能同乘以0. 3、不等式成立与不等式不成立的意义 对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等式所表示的大小关系，我们就说不等式成立．当未知数取某些值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式不成立． 例如：对于不等式3x＞6，当x=3时，不等式成立；当x=－2时，不等式不成立． 说明：使不等式成立与不成立的未知数的值是不惟一的，例如：，当x=1,0,－1,－5,…时，不等式不成立；当 x=3,4,5,6,…时，不等式成立． 4、一元一次不等式的解法 （1）解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质；（2）解一元一次不等式时，可以类比解一元一次方程的方法． 列不等式解应用题的特征 列不等式解应用题常常以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”、“不大于”、“不小于”等词来体现问题中的不等关系.建立不等式，要正确理解这些关键词的含义，善于从“关键词”中挖掘其内涵. 列不等式解应用题的一般步骤 列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似．其步骤包括：（1）设未知数；（2）找不等关系；（3）列不等式；（4）解不等式；（5）检验作答．其中检验是求解应用题的必要环节．

等式的基本性质

方程的基本性质 一、教材分析 等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的。它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。培养学生数学思维能力。 二、教学目标： 知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。 过程与方法：在用算式表示实验结果、讨论、归纳等中，经历探索等式基本性质的过程。 情感态度价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。 三、教学重点是：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。 教学难点是抽象归纳出等式的基本性质。 四、教学程序（分三部分教学） （一）联系实际，激趣引入 首先激发探究兴趣：提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？”这节课我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。” （二）自主探索，合作交流 学习等式的基本性质1 1、具体情境，感受天平平衡 利用多媒体依次天平图的各个操作。让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。 图1、图2的教学模式：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。接下去，继续提问：如果两边各

放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。 图3、图4的教学模式和前面一样。 板书如下： 2、总结抽象，认识规律 通过上面的观察，先用一句话归纳图1和图2的内容。（1、等式的两边都加上或减去相同的数，等式不变。）再以第一句话为基础归纳出图3和图4的内容。（2、等式的两边都乘或除以相同的数（0除外）等式不变。） 教师指出这是等式的一个非常重要的性质。板书：等式的基本性质 （三）巩固练习，深化认识 练习题的设计，低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养了学生的灵活性，使学生获得成功的满足感。 1、根据图（1）在下面每幅图的括号里填上适当的符号或数字，使天平平衡。 2、课堂作业。(当堂完成) 填一填。（a、b均不为0） （1）如果x+a=b,那么x+a－a=b○ （2）如果x－a=b,那么x－a+a=b○ （3）如果ax=b,那么a x÷a=b○ （4）如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○ 3、拓展训练。 五、最后，关注学生的学习体会和感受，提出：通过本节课的学习你有什么体会？

上海沪教版六年级数学下不等式(组)教案及练习

六年级数学讲义（七） 一元一次不等式（组） 【知识要点】 （一）不等式及其性质 1.不等式的概念： 用不等号“<”、“>”、“≦”、“≧”、“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式。 如：x+3>5。 2.常见的不等号及其含义： “≠”读作“不等于”，它表明两个量是不相等的，但不能确定哪个量大，哪个量小； “>”读作“大于”，它表明左边的量比右边的量大； “≧”读作“大于或等于”，它表明左边的量不小于右边的量；“<”读作“小于”，它表明左边的量比右边的量小； “≦”读作“小于或等于”，它表明左边的量不小于右边的量。

3.不等式的基本性质： （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不 变，即： a>b →a ±m>b ±m 。 （2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不 变，即： a>b 且m>0→am>bm ；a m >b m 。 （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改 变，即： a>b 且m<0→am0；如果abm （或a m >b m ），那么m<0。 小练习：用不等号填空 1.若－3x ≧－3y ，则－12x_______－12y ；

2.若x-2y>x ，则y______0； 3.若（3.14-π）x<2，则x______ 23.14-π ； 4.若－a 3 >－b 3 ，则2a+105______2b+105； 5.若a>0，b<0，c<0，则（a －b ）c______0； （二）一元一次不等式的解法 1.不等式的解的定义： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式解集的定义： 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。如： x-1>2的解集是x>3。 3.解不等式： 求解不等式解集的过程叫做解不等式。 步骤： ①去分母；

等式的基本性质说课稿

《等式的性质》说课稿 马宏霞 泾源县兴盛小学 2016年11月20日

各位评委老师： 大家好！我今天说课的内容是人教版五年级上册第五单元第64-65页“简易方程”的《等式的性质》。我将从教材分析、学情分析、教学方法、教具准备、教学过程、板书设计几个方面来进行说课。 一、教材分析： 在新课程改革中，教材是重要的教育教学因素。等式的基本性质是学生解方程的依据，它是系统学习方程的开始。这节课的内容在简易方程中就起到了承上启下的作用。原来的教材中对于等式的基本性质只是初步的认识，并没有总结成概念性的东西，但学生实际运用时却需要概念来作支撑，所以在教材中作了调整，让学生通过观察天平演示实验，由具体实物之间的平衡关系抽象概括出等式的两个基本性质就成了本节课的教学重点。 本课“等式的基本性质”是在上一节刚刚认识了等式和方程的基础上进行教学的。，其核心思想是构建等量关系的数学模型。课程标准要求学生能“理解等式的性质，会利用等式的性质解简单的方程”。根据新课程标准的要求和教材的地位以及学生的实际情况，我把本课目标定为： 知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能利用等式的基本性质解决简单的问题。 过程与方法：在观察实验操作、讨论、归纳等活动中，经历探索等式基本性质的过程。 情感态度与价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。

教学重难点：根据等式的性质在教材中的作用，我把抽象归纳出等式的基本性质作为本节课的重点，也是难点。 二、学情分析 新课标强调学生是数学学习的主人。而简易方程是新课标“数与代数”中一个重要部分。学生已经了解了方程的意义并且初步学会了列简单方程，而且小学五年级的学生，已具备一定的独立思考能力，乐于动手操作、合作探究。因此教学中我引导学生认真观察—独立思考—自主探究—合作交流，遵循由浅入深，由具体到抽象的规律，为学生创设一个和谐的学习环境，让孩子们在探索交流中，感受、理解和概括出等式的基本性质。 三、教学方法 《数学新课程标准》指出：数学教学必须注意从学生的生活情境以及学生感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。因此，在这节课中，教法我采用了观察法、讨论法、探究法和问答法，让学生通过实验观察和分组讨论探究学习。并且通过大量的练习问答来巩固知识点的掌握运用。 四、教学准备 天平、多媒体课件。由于天平操作起来有些困难，可能会出现不平衡的结果，所以采用了认识天平和采用多媒体课件展示结果。 五、教学过程 我把教学过程分为以下四个环节：故事引入，激发兴趣——引导探究、合作交流——巩固练习、运用新知——课堂小结

2021年广东省新高考数学一轮复习：第十二讲《不等式选讲》

2021年广东省新高考数学一轮复习 第十二讲《不等式选讲》 第一节绝对值不等式 知识点不等式的性质和绝对值不等式 (1)解绝对值不等式的基本思想 解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，常采用的方法是讨论符号或平方，例如： ①若a＞0，则|x|＜a?－a＜x＜a?x2＜a2； ②|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)； ③|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)． (2)注意利用绝对值三角不等式证明含有绝对值的问题 ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件． [拓展] 推论1：若|a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； 推论2：若|a＋b|＝||a|－|b||?ab≤0； 推论3：若|a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； 推论4：若|a－b|＝||a|－|b||?ab≥0. 1．(知识点)不等式|x－1|＜3的解集为________． 答案：(－2,4) 2．(知识点)|x＋3|－|x－1|≥0的解集为________． 答案：[－1，＋∞) 3．(知识点)|x＋a|≤2的解集为[－3,1]，则a＝________. 答案：1 4．(知识点)函数y＝|x＋3|－|x－1|的最大值为________． 答案：4 考点一绝对值不等式的解法 [例1](2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集； (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

等式的基本性质1

《7.1等式的基本性质》教学设计 学习目标： 1、 经历探索等式性质的过程，理解等式的基本性质； 2、 会用文字语言和符号语言叙述等式的两条基本性质； 3、 会用等式的两条性质将等式变形；能对变形说明理由。 温故知新 什么叫代数式？每人举出一个代数式的例子。 （设计意图：先复习这一概念，目的是引出等式的定义，让学生明确，以便探索其性质） 一、趣味游戏，新知初探（放松心情，一起步入数学世界） 1、 师生共同完成一个演示实验，用等式描述这一实验。 2、 天平平衡的实验演示，用含字母的等式描述这一实验。 3、 “交流与发现”问题（1）（2）（3） 思考：能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律． （设计意图：由演示实验开始，让学生初步感受等式的性质1，并激起探索发现的兴趣，然后再到问题（1）、（2）、（3），进一步加强直观感受，最后将性质1形成文字语文和符号语言，从而体验由特殊到一般的过程。） 二、学案引导，自主学习（让自己做学习的主人） 自学课本152页等式基本性质1下面的内容，完成： （1）一袋巧克力糖的售价是 a 元，买c 袋巧克力糖花 元，一盒果冻的售价是b 元，买c 盒果冻要花 元钱。 （2）如果一袋巧克力糖与一盒果冻的售价相同（即a=b ），那么买c 袋巧克力糖和买c 盒果冻所需要的钱相等吗？用式子表示为 。若两者分别都买 c 1 袋所需要的钱还相等吗？用式子表示为 。 （3）等式基本性质2： 符号语言叙述：

文字语言叙述： （4）应用等式基本性质2应注意什么问题？ （设计意图：类比性质1，对于性质2的发现比较容易，但关键是点拔出易问题：（1）除数不能为0；（2）等式两边也可以除以一个整式，但此整式的值一定不能为0；） 小试牛刀：回答下列问题： （1）从等式 a=b 能不能得到等式a+3=b+3?为什么？ （2）从等式 a=b 能不能得到等式2 2b a ?为什么？ （3）从等式x+5=y+5 能不能得到等式x=y?为什么？ （4）从等式－2x=2y 能不能得到等式x=－y?为什么？ （5）从 3ac=4a 能不能得到等式 3c=4 ？为什么? （设计意图：本组练习让学生对等式的基本性质从感性认识上升到初步运用的层面上。易错的是第（5）题，学生对“除数不能为零”这一条件的不会运用，只是知道。） 三、精讲点拔，质疑解惑 例1、在下列各题的横线上填上适当的整式，使等式成立，并说明根据的等式的哪一条基本性质以及是怎样变形的？ （1）如果2x-5=3，那么2x=3+ ； (2) 如果－x=1,那么x= 。 思考：怎样确定用等式的哪一个性质？ （设计意图：此例题不只是让学生会用等式的基本性质，而且会将这两个性质区分开，因此设计了这样一个问题，让学生去思考。） 四、应用迁移，巩固提高（学得不错，相信你一定能做对） 1、 已知等式a=b ,判断各下列等式是否成立？

人教版初一数学下册《不等式的性质》教学设计

不等式的性质》教学设计 周至县马召初级中学赵蕾 一、教材分析： 本节课是人教版七年级下册第九章第一节9.1.2 不等式的性质的第一课时内容，它是学生在学习了等式的性质的基础之上，让学生第一次经历不等式的等价变形，也经历了从“数” 的大小关系到“式” 的大小关系的转折，不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式不等式解法的核心内容之一，是本章的基础，地位相当重要。 生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，让学生对数量关系的变形有一个完整的认识，形成一个知识体系。 二、教学目标： （一）知识与技能1．掌握不等式的三条基本性质。2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。会解简单的不等式。 （二）过程与方法1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。 （三）情感态度与价值观通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。 三、教学重难点 教学重点：探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 教学难点：不等式基本性质3 的探索与运用。 四、教学方法：自主探究——合作交流 五、教学过程： 一、情境引入: 童言无忌：（出示课件）三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊？”爸爸放下手中的报纸笑咪咪的答道：“我比可爱的小凯大25岁啊，怎么了？” 小凯高兴地跑开道：“再过25 年我就和爸爸一样大唠” 留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中 （趣味引入，探寻学生解释小孩疑问的方法，期待新课后的数学解释，展示学生学以 致用能力） 二、自主学习

度人教版数学七年级上册同步练习312等式的性质

第 1 页2019-2019学年度人教版数学七年级上册同步练习3.1.2 等式的性质 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共12小题） 1．下列等式变形正确的是（） A．若﹣3x=5，则x= ﹣B ．若，则2x+3（x﹣1）=1 C．若5x﹣6=2x+8，则5x+2x=8+6 D．若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1 2．如果x=5是关于x 的方程x+m=﹣3的解，那么m的值是（） A．﹣40 B．4 C．﹣4 D．﹣2 3．设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（） A．6个B．5个C．4个D．3个

4．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（）A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a ﹣=b ﹣ C．如果ac=bc，那么a=b D ．如果 =，那么a=b 5．下列运用等式性质正确的是（） A．如果a=b，那么a+c=b﹣c B．如果a=b ，那么 = C ．如果

=，那么a=b D．如果a=3，那么a2=3a2 6．已知等式a=b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是（）A．a﹣c=b﹣c B．a+c=b+c C．﹣ac=﹣bc D 7．若x=1是方程2x+m﹣6=0的解，则m的值是（） A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8 8．若方程2x+a﹣14=0的解是x=﹣2，则a的值为（） A．10 B．7 C．18 D．﹣18 9．下列变形正确的是（） 第 2 页A．4x﹣3=3x+2变形得：4x﹣3x=﹣2+3 B．3x=2变形得： x= C．2（3x﹣2）=3（x+1）变形得：6x﹣2=3x+3 D x﹣

《不等式与不等式组》复习资料

《不等式和不等式组》复习资料 一、知识点： 1．不等式的定义 2．不等式的性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式（组）的解法并能在数轴上表示出解集 5．一元一次不等式与一次函数的关系 二、课标要求： 1．能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。 2．会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。 3．能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。 三、课标解读： 在中考试题中，考查一元一次不等式（组）的试题占有一定的比例.主要涉及到对不等式（组）的基本概念、不等式（组）有关的计算题、不等式（组）的综合应用等方面的考查。 近几年中考注重对“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴涵着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等量关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决实际问题.. 四、典型练习题： 1．已知x y >，则下列不等式不成立的是（）． A．66 -<-D．3636 x y -+>-+ x y >C．22 ->-B．33 x y x y

13{x x ≥≤2．将不等式组 的解集在数轴上表示出来，应是（ ） ． A 3．已知点P （m －3，m ＋1）在第一象限，则m 的取值范围是 ． 4．函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如 图所示，则关于x 的不等式kx+b>0的解集为（ ）． A ．x>0 B ．x<0 C ．x<2 D ．x>2 5．如图所示，一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数， 且k ≠0）与正比例函数y ＝ax （a 为常数，且a ≠0） 相交于点P ，则不等式kx+b>ax 的解集是（ ） A ．x>1 B ．x<1 C ．x>2 D ．x<2 6．解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来： （1） 112 x x -+≥ （2）2(3)3(2)x x -+>+ （3） （4） 7．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）． (1)请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用； (2)顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 8．已知A 、B 两个海港相距180海里．如 图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线 从A 港出发到B 港航行过程中路程随时 3(2)4121 3{x x x x --≤+>-102(5)4{x x ->+>A C B D

等式的基本性质

尊敬的各位评委老师，大家好，我是21号考生，我今天的说课内容是等式的基本性质。等式的基本性质是人教版小学数学五年级上册第五单元中解简易方程的第二小节内容，是在学生刚刚理解了等式与方程，用字母表示数的基础上实行的，它是系统学习方程的开始，为后面学习解方程打下基础。基于对教材的理解，我确定本节课的教学目标如下：学生理解并能够用语言表达出等式的基本性质，会用基本性质解决简单的问题，通过观察实验操作讨论归纳等活动，经历探索等式基本性质的过程，培养学生观察与概括，比较与分析的水平，积极参与教学活动，学生能够感受数学源于生活，生活离不开数学，培养学生积极的学习态度。根据五年级学生的年龄特点和认知水平，我确定本节课的教学重点为引导学生探索发现等式的基本性质，利用基本性质解决简单的问题，教学难点是学生能够抽象归纳出等式的基本性质。 五年级的学生已经属于高年级，他们的思维已经由具体形象思维过渡到抽象思维，对周围事物的理解较以前也上升了一个层次。基于本节课特点，为了更好的突出重点突破难点，按照学生认知规律，遵循教师为主导学生为主体训练为主线的指导思想，我将在教学中采用情境教学法，教师引导法，小组讨论法和讲练结合法等教学方法，在学法上采用教师引导组织学生自主探究合作交流，培养学生的探究水平和合作意识。 在教学设计时，我制定了以下教学环节：1，创设情景，引入新课。 课前让同学们先说一说生活中哪些地方用到平衡的知识，比如我们常见的扁担，跷跷板，天平，引入教材例题。 这个环节设计的目的将教材内容转化为现实情境，这样更贴近学生的现实生活，更容易让学生接受，调动学生学习积极性，激发学生学习兴趣，而且也能促使学生把知识的学习当成自我的需求。 2，尝试探究，探索新知 这个环节，我将利用天平直观演示两个实验：1.天平处于平衡状态，在天平两端的托盘上同时增加或减去相同数量的砝码，让学生观察此时天平的状态。2.天平处于平衡状态，在天平两端的托盘上同时扩大或者缩小相同的倍数，让学生观察此时天平的状态。通过道具直观演示，化静为动，激发学生学习兴趣，放手让学生自己思考并在此基础上，让学生前后四人为一个小组讨论探究，然后每个组派一个代表说出讨论的结果，出现以下情况：天平处于平衡时，两端同时加上或者减去同一个数量，天平任然平衡。天平处于平衡时，两端同时扩大或者缩小相同的倍数，天平仍然平衡。学生边汇报，我将利用多媒体演示学生的回报结果，其他同学能清楚的与自己的思路实行比较，即时发现错误并纠正过来。对于学生的回答我将给予表扬鼓励学生积极发言，我将再引导学生归纳出等式的性质：等式两边加上或者减去同一个数，左右两边任然相等。等式两边同乘一个数或同除以一个不为0的数，左右两边任然相等，初步完成教学目标。 3，随堂练习，巩固新知 要求同学们完成课本上的练习题，我下去巡看，了解学生掌握新知识的情况，并请同学上台板演，即时发现问题并讲解纠正，协助学生理解和应用新学的知识。 4,课堂小结，布置作业 课堂结束前，让学生先谈谈自己的收获，强化巩固知识，我再实行总结并布置作业。 教学评价，在教学过程中，要适时提醒学生注意等式的两边要同时加上或者减去或者乘或者除以一个不为0的数，等式左右才相等，这样有利于突破本节课的教学重点和难点，通过交流多种计算方法，学生感受数学在实际生活中的使用，产生积极的数学学习情感。 我的说课到此结束，谢谢。

9.1.2不等式的性质(教案)

9.1.2不等式的性质 黄冈市蕲春县第三实验中学叶学林 一．课标分析： 从《课标》看，方程与不等式是同“数与代数”领域内同一标题下的两部分内容，它们之间有密切的联系，存在许多可以进行类比的内容。学生对于等式的认识已经具备一定的积累，充分发挥心理学中正向迁移的积极作用，可以为学习不等式的性质提供一条合理的学习之路。 《课标》提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。 二．教学内容和内容解析： 1.内容： 不等式的性质。 2.内容解析： （1）本节内容是第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第二课时，此节课是在学生学习了等式的性质，加深对不等式的认识的基础上，探究不等式的性质。 （2）不等式的性质是深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。这三条性质不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 因此，“不等式的性质”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它在利用不等式的观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 三．学生分析： 从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算 规律等，通过类比、猜测、验证的方法来探索掌握不等式的性质，并初步体会不

五年级《等式的基本性质》教学设计

五年级《等式的基本性质》教学设计 五年级《等式的基本性质》教学设计 一、教材分析 等式的基本性质是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上进行教学的。它是系统学习方程的开始，其核心思想是构建等量关系的数学模型。本节课的学习是学生在实验的基础上，掌握等式的两个基本性质，引导学生通过比较，发现规律，并为今后运用等式的基本性质解方程打基础。同时培养学生数学思维能力。 二、教学目标： 知识与技能：理解并能用语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。 过程与方法：在用算式表示实验结果、讨论、归纳等活动中，经历探索等式基本性质的过程。

情感态度价值观：积极参与数学活动，体验探索等式基本性质过程的挑战性和数学结论的确定性。 三、教学重点是：引导学生探索发现等式的基本性质，利用等式的基本性质解决简单问题。 教学难点是抽象归纳出等式的基本性质。 四、教学程序（分三部分教学） （一）联系实际，激趣引入 首先激发探究兴趣：提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？”这节课我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。” （二）自主探索，合作交流

学习等式的基本性质1 1、具体情境，感受天平平衡 利用多媒体依次展示天平图的各个操作。让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。 图1、图2的教学模式：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。接下去，继续提问：如果两边各放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。 图3、图4的教学模式和前面一样。 2、总结抽象，认识规律

中考数学总复习 方程和不等式

方程（组）和不等式（组）专题 第一节 方程（组） 一、相关概念 1、解（或根）的概念：使得方程等号左右两边式子的值相等的未知数的值，譬如：2x+1=0这个方程的解或者根就是-0.5。 2、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+b=0（a ≠0），譬如：5x+4=0。 3、二元一次方程的概念：含有两个未知数（二元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+by=0（a ≠0且b ≠0），譬如：3x+4y=0。 4、一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为2（二次）的整式方程，一般形式为：ax 2+bx+c=0（a ≠0），譬如：2x 2+4x+4=0。 5、分式方程的概念：指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。譬如：2 x 41x 2+=-。 二、方程（组）解法 1、等式的基本性质： （1）等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等； （2）等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等； （3）等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。

（1）有括号的先去括号； （2）移项：含未知数的式子全移到同一边，常数式子移到另一边； （3）合并同类项； （4）将未知数的系数化为1； 看例子：( 5x 3-5)-(4 x 3+4)=0 去括号：5x 3-5-4 x 3-4=0 （去括号变符号有疑问请告诉我） 移项：5x 3-4 x 3-=9 合并同类项：(53-43)x=9，得到-20 3x=9 （通分有疑问请告诉我） 系数化为1：x=9÷(-203)=-60 3、二元一次方程组的解法：消元法打通关，将方程组化成一元一次方程来解。 解题步骤：把①②两个方程中的同一个未知数（如x ）的系数化成一样→将①②两个方程直接相减，化简成一个方程 例题：???=+-=-②① 5y 2x 55y 3x 2 把x 系数化成一样：???=+-=-②① 10y 4x 1025y 15x 10 ①②两个方程直接相减：①-②得，(10x-15y)-(10x+4y)=-35 消去x 之后，得到：-19y=-35，y= 19 35