(答案)等腰三角形,直角三角形

三角形的证明

知识点：等腰三角形的性质，等腰三角形的判定

定义：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的性质：1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方

9.等腰三角形中腰大于高

10.等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高(需用等面积法证明)

等腰三角形的判定：

1.定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

3.顶角的平分线，底边上的中分线，底边上的高的重合的三角形是等腰三角形。

知识点：等边三角形

?等边三角形定义：

三条边都相等的三角形叫做等边三角形，“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。

如果一个三角形满足下列任意一条，则它必满足另一条，三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形：

1.三边长度相等；

2.三个内角度数均为60度；

3.一个内角为60度的等腰三角形。

?性质：

①等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角

的平分线所在的直线。

④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）

⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

?判定方法：

①三边相等的三角形是等边三角形（定义）

②三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形

③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

④两个内角为60度的三角形是等边三角形

说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

等边三角形的性质与判定理解：

首先，明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。

其次，明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角

形不一定是等边三角形。

等比三角形的尺规做法：

可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

例题1：若等腰三角形两边长分别为6cm和12cm，则它的周长等于（ 30 ）cm 。

1、如果等腰三角形的周长为12cm，一边长为5cm，那么它的腰长为___5、3.5___cm．

2、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=48°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于[ A ]

A．24°B．48°C．46°D．66°

3、有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）

A．15cm B．17cm C．13cm D．17cm 或13cm

分析：分情况考虑：相等的两边是3cm时或相等的两边是7cm时．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断

能否组成三角形后，再进一步计算其周长．

解答：当相等的两边是3cm时，此时3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；

当相等的两边是7cm时，此时能够组成三角形，则其周长是7+7+3=17（cm）．

故选B．

例题2：下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是

[ B ]

A.内角和等于180°

B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边

C.有两个锐角的和等于90°

D.有两条边的平方和等于第三条边的平方

1、（2010·宁波）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，

∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）

2

A．5个B．6个C．7个D．8个

分析：由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．

解答：设CE与BD的交点为点O，

∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB，

再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2 =72°，

∵BD是∠ABC的角的平分线，

∴∠ABD=∠DBC=1/2 ∠ABC=36°=∠A，

∴AD=BD，

同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，

∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，

根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°-72°-36°=72°

∴BD=BC，

同理CE=BC，

∵∠BOC=180°-36°-36°=108°，

∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，

∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个．

故选D．

例题3：如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．

（1）若∠A=42 °，则∠EBC的度数为（27 ）度．

（2）若AB=10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为（17 ）cm．

1、如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是（C）

[ ] A．40°B．35°C．25°D．20°

2、在△ABC中，BC=BA，点D在AB上，且AC=CD=DB，则∠B= __36°_______ ．

3、如图所示，∠A=15 °，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF=_60°

___

4、如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（）

A．30°B．45°C．120°D．15°

分析：根据直角三角形的判定得△ABE是直角三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解．

解答：设∠B=x

∵BD=AD

则∠B=∠BAD=x，∠ADE=2x，

∵AD=AE

∴∠AED=∠ADE=2x，

∵AE=EC，∠AED=∠EAC+∠C

∴∠EAC=∠C=x

又BD=DE=AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE=90°，

则∠B+∠AED=x+2x=90°

得x=30°

∴∠BAC=180°-2x=120°

故选C

例题4：、如图所示，△ABC是等边三角形，BD 是AC 边上的中线，延长BC 至点E ，使CE=CD，请判断△BDE 是不是等腰三角形，并说明理由。

解：△BDE 是等腰三角形．

理由如下：因为△ABC 是等边三角形，

所以∠ACB= ∠ABC=60 °，

又因为BD 是AC 边上的中线，

所以∠ABD= ∠CBD=30 °，由于CD= CE ，

所以∠E= ∠CDE= 30 °，

所以∠DBC= ∠E=30 °，

所以△BDE 是等腰三角形。

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE=BC，判断△ACE的形状，并说明理由。

解：△ACE是等腰三角形

理由如下：∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

∵DE∥BC，DE=BC

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴EC=BD，

又∵AC=BD，

∴AC=CE，

∴△ACE是等腰三角形。

例题1：已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

（1）证明：∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠BDC+∠DBC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由：连接AO并延长交BC于F，∵AB=AC，OB=OC，

又∵OA=OA，

∴△AOB≌△AOC．

∴∠BAF=∠CAF，

∴点O在∠BAC的角平分线上．

1、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC的长为（3 ）．

2、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；

④BF=CF．其中正确的有（A）

A．①②③B．①②③④C．①②D．①

例1：如图，已知EA⊥AB，BC∥EA，EA=AB=2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能

成立的是（）

A．DE=AC B．DE⊥AC C．∠CAB=30°D．∠EAF=∠ADF

分析：已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、△BAC 全等，可根据这个条件进行判断．

解答：∵EA=AB=2BC，AB=2AD，∴AD=BC；

又∵EA⊥AB，BC∥EA，即∠EAD=∠B=90°，

∴Rt△EAD≌Rt△ABC，

∴DE=AC；

又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角，∴∠EAF=∠ADE；

故A、B、D的结论都正确；

Rt△CAB中，AB=2BC，显然sin∠CAB≠1/2 ，所以∠CAB≠30°，因此C 的结论是错误的；

故选C．

例题2：如下图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D．若△ABC的周长为12 cm，则CD =（ 2 ）cm。

例题3：在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于O ，，AB=4

（1）判断△AOB的形状；

（2）求对角线AC、BD的长。

（1）等边三角形

（2）8

1.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=（）

A 70

B 60

C 50 D不确定

因为AB=BC ∠ABC=∠BCA BM=CN

所以三角形ABM全等于三角形BCN

所以∠CNB=∠BMA 因为∠CBN+∠CNB=120度

所以∠BMA+∠CBN=120度所以∠BPM=60度所以∠APN=60度

2、如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使BD=CE,AE与CD交于点F,AG⊥CD 于点G,则以下结论:（1）△ACE≌△CBD；(2)∠AFG=60°；(3) AF=2FG；(4)AC=2CE ；其中正确的结论有（）个

[ B ]

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

解：

∵等边△ABC

∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60

∵AD＝BE

∴△ABE≌△CAD （SAS）

∴∠BAE＝∠ACD

∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60

∵AG⊥CD

∴FG/AF＝1/2

3.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是√6

￣÷3

知识点：直角三角形的性质及判定

直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形性质：直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有

一些特殊的性质：

性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，

∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的

中点，外接圆半径R=C/2）。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5:

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）（AD)2=BD·DC。

（2）（AB)2=BD·BC。

（3）（AC)2=CD·BC。

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC

直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么

判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。

判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）