中考数学难点之动点问题

动点问题 题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊

角

或

其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单

介

绍

，解题方

法、关键给以点拨。 一

、

三

角

形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线3

64

y x =-+与坐标轴

分别交于

A B 、两点，动点P Q 、同时从

出发，同时到达

A 点，运动停止．点Q

沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点

Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，

求出S 与t 之间

的函数关系式； （3）当48

5

S =

时，求出点P 的坐标，并直接写出

以

点

O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点

M 的坐标．

解：1、A （8，0） B （0，6）

2、当0＜t ＜3时，S =t

2

当3＜t ＜8时，S =3／8(8-t )t 提示：第（2）问按点

P

到拐点

B

所有时间分

段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，

探

究

第

四

点

构

成

平行四边形

时

图B

图

B 图

按已知线段身份不同分类-----①O P为

边、O Q为边，②O P为边、O Q为对角

线，③O P为对角线、O Q为边。然后画

出各类的图形，根据图形性质求顶点坐

标。

2、（2009年衡阳市）

如图，A B是⊙O的直径，弦B C=2c m，

∠A B C=60o．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是A B延长线上一点，连结C D，当B D长为多少时，C D与⊙O相切；

（3）若动点E以2c m/s的速度从A点出发沿着A B方向运动，同时动点F以1c m/s的速度从B点出发沿B C方向运动，设运动时间为

)2

)(

(<

s

t，连结E F，当t为何值时，△B E F为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，

已知抛物线

(1)20)

y a x a

=-+≠经过点(2)

A-，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OM AD

∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()

t s．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行

四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若

OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B

同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边

形

BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时

PQ 的

长．

注意：发现并充分运用特殊角∠D A B =60° 当△O P Q 面积最大时，四边形

B C P Q

的

面积最小。

二、 特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边

长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q

同

时

从

A 点出发，点P 以

1厘米/秒的速

度

沿

A C

B →→的方向运动，点Q 以

2

厘米/秒的速度沿

A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到

D 点时，P 、

Q 两点同时停止运动，设

P 、Q 运动的时

间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积

为

y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积

为O 的三角形），解答下列问题： （

1）

点

P 、Q 从

出发到相遇所用时间是

秒； （2）

点

P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当

APQ △是等边三角形时

x 的值是 秒；

（3）求

y 与x 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点

Q 到拐点时间

B 、

C 所有时

间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角

O M

B

H A C x y

图O M B H A C x y 图形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形A B C O 是菱形，点A 的坐标为（3-，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线A C 交y 轴于点M ，A B 边交y 轴于点H ．

（1）求直线A C 的解析式； （2）连接B M ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线A B C 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△P M B 的面积为S （0S ≠），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠M P B

与∠B C O 互为余角，并求此时直线O P 与直线A C 所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点

P

到拐点

B

所用时间分

段分类；

第（3）问发现∠M B C =90°，∠B C O 与∠A B M

互余，画出点

P 运动过程中，

∠M P B =∠A B M 的两种情况，求出t 值。

利用

O B ⊥A C ,再求

O P 与

A C 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点

A (

3，0)，B (33，2)，C （0，2)．动点

D

以每秒1个单位的速度从点0出发沿O C 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿A B 向终点B 运动．过点E 作E F 上A B ，交B C 于点F ，连结D A 、D F ．设运动时

间

为

t 秒．

(1)求∠A B C 的度数；

(2)当t 为何值时，A B ∥D F ；

(3)设四边形A E F D 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数

关系式；

②若一抛物线y =x

2

+m x 经过动点

E ，当

S <2

3时，

求

m 的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性，D E ∥O A 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形A B C O 是菱形，且 ∠A O C =60°，点B 的坐标

是

，点P 从点C 开始以每秒

1个单位长度的速度在线段C B

上向点B 移动，同时，点Q 从点O 开始以每秒a （1≤a ≤3）个单位长度的速度沿射线O A

方

向

移

动

，

设

(08)t t <≤秒后，直

线P Q 交O B 于点D . （1）求∠A O B 的度数及线段O A 的长；

（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；

（3）

当

3,a OD ==

时，求t 的值及此时直线P Q

的解析式； （4）当a 为何值时，以

O ，P ，Q ，D 为顶点

的三角形与OAB ?相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ?不相似？请给出你的结论，并加以证明.

8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三

点

的

坐

标

分

别

为

(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段

BC 的中点，动点

P 从点O 出发，以每秒1个单位

的

速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．

（1）求直线BC 的解析式；

（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，

四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的2

7

？

（3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移

动

过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； （4）当动点

P 在线段AB 上移动时，能否在线段

OA 上找到一点Q ，使四边形CQPD 为矩形？请求出

此时动点P 的坐标；若不能，请说明理由．

9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系

x o y

中,抛物线

214

10189

y x x =

--与x 轴的交

点为点A ,与y 轴的交点为点B .

过点B 作x 轴的平行线B C ,交抛物线于点C ,连结A C ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿O A 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单

位的速度沿C B 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运

动,线段O C ,P Q 相交于点D ,过点D 作D E ∥O A ,交C A 于点E ,射线Q E 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t 为何值时,四边形P Q C A 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当

0＜t ＜

9

2

时,△P Q F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△P Q F 为等腰三角形?请写出解答过程．

提示：第（3）问

用相似比的代换，

得

P F =O A （定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①P Q =P F ,②P Q =F Q ,③Q F =P F .

三、 直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c

=++（

0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交

A B D

C

O P

y A B

D C

O

y （

此

y O x

C N B

P

M A

于点

C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、

(03)C ，，且当

4x =-和

2x =时二次函数的函数值y 相

等

．

（1）求实数a b c ，，的值；

（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点

到达终点时，另一点也随之停止运动．当运

动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三

角形与ABC △相似？如果存在，请求出

点

Q 的坐标；如果不存在，请说明理

由．

提示：第（2）问发现

特殊角∠C A B =30°,∠C B A =60° 特殊图形四边形

B N P M 为菱形；

第(3)问注意到△A B C 为直角三角形后，按

直角位置对应分类；先画出与△A B C 相似的△B N Q ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线1

12

y x =

+与

y 轴交于点

A ，与x 轴交于点D ，抛物线2

12

y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，

与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P 在x 轴上移动，当△P A E

是直角三角

形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使

||AM MC 的

值最大，求出点M 的坐标。 提

示

：

第

（

2）

问

按

直

角

位

置

分

类讨论后画出图形----①P 为直角顶点A E 为斜边时，以

A E 为直径画圆与

x

轴交点即为所求点

P ，②A 为直角顶点时，过点

A 作

A E 垂线交

x 轴于点

P ，

③E 为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，

那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形 A B C D 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C 在第一象限．动点P 在正方形 A B C D 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1)当P 点在边A B 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C 的坐标； (3)在（1）中当t 为何值时，△O P Q 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，O P 与P Q 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．

注意：第（4）问按点

P

分别在A B 、B C 、C D

边上分类讨论；求t

值时，灵活运用等

腰三角形“三线合一”。

11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标

系

xOy 中，△A B C 三个顶点的坐标分别为

()6,0A -，()6,0B ，(0,43C ，延长

A C 到点D ,使C D =

1

2

AC ,过点D 作D E ∥A B 交B C 的延长线于点E . （1）求D 点的坐标；

（2）作C 点关于直线D E 的对称点F ,分别连结D F 、E F ，若过

B 点的直线

y kx b =+将四边形

C D F E

分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线

y kx b =+与

y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿G A 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线G A 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。（要求：简述确定G 点位置

的

方法，

但

不要求证明）

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问题”专题。

12、(2009年上海市)

A

D

P

C B Q

图D

A

P

C B （图图C

A

D P

B

Q

已知∠

A B C =90°，A B =2，B C =3，A D ∥B C ，P 为

线段B D 上的动点，点Q 在射线A B 上，且

满足

AB

AD

PC PQ =

（如图1所示）．

（1）当A D =2，且点

Q 与点B 重合时（如图

2所

示），求线段PC 的长；

（2）在图

8中，联结

AP ．当

3

2AD =，且点Q 在线段

AB 上时，设点B Q 、之间的距离为

x ，

APQ PBC

S y S =△△，其中

APQ

S △表示△A P Q 的面积，PBC S △表示PBC △的面积，求y 关

于

x 的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD AB <，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如

图3所示），求QPC ∠的大小．

注

意

：

第

（

2）

问

，

求

动

态

问

题

中

的

变

量

取

值

范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满

足

条

件

的

变

量

的

取

值

范

围

。

当

P C ⊥

B D 时，点Q 、B 重合，x 获得最小值； 当

P

与

D 重合时，x 获得最大值。

第（3）问，灵活运用

S S A 判定两三角形相

似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用

S S A

来判定两个三角形相似；或者用同

一法；或者证∠B Q P ＝∠B C P ，得

B 、Q 、

C 、

P四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在

R t △A B C 中，A B ＝A C ，

P 是边A B （含端点）上的动点．过P 作B C 的垂线P R ，R 为垂足，∠P R B 的平分线与A B 相交于点S ，在线段R S 上存在一点T ，若以线段P T 为一边作正方形P T E F ，其顶点E ，F 恰好分别在边B C ，A C 上．

（1）△A B C 与△S B R 是否相似，说明理由； （2）请你探索线段T S 与P A 的长度之间的关系； （3）设边A B ＝1，当P 在边A B （含端点）上运动时，请你探索正方形P T E F 的面积y 的最小值和

最大值．

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使T 与R 重合时，P A =T S 为最大；当P 与A 重合时，P A 最小。此问与上题中求取值范围类似。

(第

T

P

S

R E

A

B

C

F

(第T

P

S

R E

A B

C F

A

14、(2009年河北)如图，在R t△A B C中，∠C=90°，A C=3，A B=5．点P从点C出发沿C A以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿A C返回；点Q 从点A出发沿A B以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，D E保持垂直平分P Q，且交P Q于点D，交折线Q B-B C-C P 于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，A P=，点Q到A C的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△A P Q 的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形Q B E D能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当D E经过点C时，请直接

．．写出t的值．

提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，

ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，

ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

15、（2009年包头）已知二次函数2y ax bx c

=++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线

x m =（

2m >）

与x 轴交于点D ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（

3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存

在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存

在，请说明理由． 提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

第（3）问，四边形A B E F 为平行四边形时，E 、F 两点纵坐标相等，且A B =E F ，对第（2）问中

两种情形分别讨论。

四、 抛物线上动点

16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与

x 轴交于点

A (1，0)和点

B (－3，0)，与y 轴交于点

C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△C M P 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接B E 、C E ，求四边形B O C E 面积的最

大

值

，并求此时E

点的坐标．

注

意

：

第

（

2）

问

按

等

腰

三

角形

顶

点

位

置

分

类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C

为

顶点时，以

C

为圆心

C M

为半径画弧，与对称

轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以

M 为

圆心M C

为半径画弧，与对称轴交点即为所求

点

P ，③P 为顶点时，线段

M C 的垂直平分线与

对称轴交点即为所求点P 。 第

（

3）

问

方

法

一

，

先

写

出

面

积

函

数

关

系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与

B C

平行且与抛物线相切点的坐

标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。