蒙特卡罗马尔科夫链模拟方法MCMC
Monte Carlo Simulation Methods
(蒙特卡罗模拟方法)
主要内容:
1.各种随机数的生成方法.
2.MCMC方法.
1
2
从Buffon 投针问题谈起
Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为a ．向此平面投掷长 为l (l < a) 的针, 求此针与任一平行线相交的概率p 。 22[0,/2] [0,] sin ,{:sin }.
l l a X
A X 随机投针可以理解成针的中心
点与最近的平行线的距离X 是均匀
地分布在区间 上的r.v.，针
与平行线的夹角是均匀地分布
在区间 上的r.v.，且X 与相互独立，
于是针与平行线相交的充要条件为 即相交
3Buffon 投针问题
2sin 0022(sin )
2l l
l p P X dxd a a 于是有：
2l ap
若我们独立重复地作n 次投针试验，记
()n A 为A 发生的次数。()n f A 为A 在n 次中出现的频率。假如我们取
()n f A 作为()p P A 的估计，即?()n p f A 。 然后取2?()
n l af A 作为的估计。根据大数定律，当n 时，..?().a s n p f A p 从而有2?()P n l
af A 。这样可以用随机试验的方法求得的估计。历史上
有如下的试验结果。
4
3.14159292
180834080.831925Lazzarini 3.1595148910300.751884Fox
3.15665121832040.601855Smith
3.15956253250000.801850Wolf
π的估计值相交次数投针次数针长时间(年)试验者
5
数值积分问题
1()()
() ~[0,1] } (1)
() n
n i i n f x dx Ef X f x X U k n i i d f U n with probability as n
1
0k k 计算积分
我们可以将此积分看成 的数学期望。其中 (均匀分布)。于是可以将上式积分看
作是f (X )的数学期望.若{U,1为U~U
[0,1].则可以取作为的估计，
由大数定律，可以保证收敛性，即：
这表明可以用随机模拟的方法计算积分。
6Monte Carlo 数值积分的优点与一般的数值积分方法比较，Monte Carlo 方法具有以下优点：
1. Monte Carlo 一般的数值方法很难推广到高维积分的情形，而方法很容易推广到高维情形
2/1/22. ()() d O n O n 一般的数值积分方法的收敛阶为 ，而由中心极限定理可以保证 M on te C arl o 方法的收敛阶为 。此收敛阶与维数无关，且在
高维时明显优于一般的数值方法。
随机模拟计算的基本思路
1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。
2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计
3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精度(方差)的估计
4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率
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随机数的生成
1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。
2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成
随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机
的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过
统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudo-random numbers)。
3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布
U(0,1)的随机数。
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9U(0,1)随机数的生成
一个简单的随机数生成器：
1101 mod ,, /i
i
i i i x ax m u a x x m x m
其中 均为整数, 可以任意选取。111 () , ()
i i i i x f x u g x 随机数生成器的一般形式：
10一个简单的例子
1i+1
16 mod11, u /11 6,11i i i x x x a m （）0 1 ,x 1,6,3,7,9,10,5,8,4当时得到序列:
,1,6,3.,2 0
03, 1 ,,1,3,9........3,2,2,1,3,9,5,42,6,7,10,8, 6.......
a x a x 如果令 得到序列:如果令 得到序列：
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一个简单的例子(续)
上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有它的一半。我们自然希望生成器的周期越长越好，这样我们得到的分布就更接近于真实的均匀分布。
0 (m a x 在给定 的情况下，生成器的周期与和初值种子)选择有关。
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线性同余生成器(Linear Congruential Generator )11
1 () mod /i i
i i x ax c m u x m
一般形式：
0 c c 1.可以证明 的选择对生成的随机数的均匀性影响不大，所以为了提高计算速度，一般都令 。
02. 1 m m a x m 线性同余器可以达到的最长周期为 ，我们可以通过适当的选择 和，使无论选取怎样的初值 都可以达到最大周期(一般选取 为质数)
13常用的线性同余生成器
L’Ecuyer 400142147483563
L’Ecuyer 40692
2147483399Fishman and Moore 1226874159
Fishman and Moore 950706376
Fishman and Moore 742938285
L’Ecuyer 39373
Lewis, Goodman, and Miller 16807
2^31-1
=2147483647Reference Multiplier a Modulus m
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复杂一些的生成器（一）
https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html,bining Generators:
,1,,1,111,11111111111 mod , / 1,2....(1) mod(1)/ 0
(1)/ 0
( )j i j j i j j i j i j J j i
j i j i i i i j J x a x m u x m j J x x m u x m x m m x m m 考虑个简单线性同余生成器：
其中为所有中最大的一个
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复杂一些的生成器（二）
2.Multiple recursive generator
1122102(......) mo ,.......)
d /i
i i k i k i k k i x a x a x a x m u x x x x m
需(要选取种子12--1-1 (,......) 1i j i i i k k k x m x x x m m
每个有种选择，所以向量 可以取个不同的值，所以这样的随机数生成器的最大周期可以达到 ，大大提高了简单同余生成器的周期。
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如 c 中的 random() 函数，Matlab中的rand()函数等。但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用c ，最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随机数，可以直接利用。
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由rand()函数生成的U[0,1]
随机数
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由rand函数生成的2
维随机点
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从U(0,1)到其它概率分布的随机数
U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率分布随机数的基础，下面我们主要介绍两种将U(0,1)随机数转换为其他分布的随机数的方法。
1.逆变换方法
(Inverse Transform Method)
2.舍取方法
(Acceptance-Rejection Method)
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Inverse Transform Method 11 () ()inf{:()
}, 01()()X F x F y x F x y y F y F x 设随机变量 的分布函数为，定义：
即是的反函数。
11 (0,1) () () U X F U F x 定理 ：设随机变量服从 上的均匀分布，则的分布函数为 。
11() ()(())(())()
F U P X x P F U x P U F x F x 由 的定义和均匀分布的分布函明数可证：得：
蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟法
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。 蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。 最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串 的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特 性时才表露出来。贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。” 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样
蒙特卡罗方法的应用【文献综述】
文献综述 信息与计算科学 蒙特卡罗方法的应用 在解决实际问题的时候, 为了模拟某一过程, 产生各种概率分布的随机变量和对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题, 我们应该怎么办? 蒙特·卡罗是一种十分有效的求出数值解的方法. 蒙特卡罗法（ monte-carlo method ）简称M -C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法. 以计算函数的定积分()()1 0I f x d x =?, ()01f x ≤≤为例, 首先构造一个概率模型: 取一个边长分别为和-的矩形, 并在矩形内随机投点M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内, 当点的掷点数N 充分大时, 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数N 之比M N 就近似等于积分值I . 蒙特卡罗法历史悠久. 1773年法国G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率π的近似值, 这就是应用这个方法的最早例子. 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城, 1945年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法, 沿用至今. 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具, 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用. 在连续系统和离散事件系统的仿真中, 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型, 并对它进行随机试验, 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一. 蒙特卡罗法的步骤是: 构造实际问题的概率模型; ②根据概率模型的特点, 设计和使用降低方差的各类方法, 加速试验的收敛; ③给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法; ④统计试验结果, 给出问题的解和精度估计. 概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述. 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型. 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时间有出入, 但它是通过多次统计获得的结果, 所以从概率分布的规律来说还是相符的. 概率模型不仅可用来描述本身就具有随机特性的问题或系统, 也可用来描述一个确定型问题. 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型, 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索.
一、蒙特卡洛随机模拟
系列一 蒙特卡洛随机模拟 实验目的：学会用计算机随机模拟方法来解决随机性问题 蒙特卡洛模拟法简介 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法是一种应用随机数来进行计算机摸你的方法。此方法对研究对象进行随机抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。作为随机模拟方法，起源可追溯到18世纪下半叶蒲峰实验。 蒙特卡洛模拟法的应用领域 蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有： 1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。 2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 蒙特卡洛模拟法求解步骤 应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： 1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致 2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛模拟法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，可以通过随机模拟估算系统和零件的可靠度，也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。 一. 预备知识: 随机数的产生 提示：均匀分布(0, 1)U 的随机数可由C 语言或Matlab 自动产生，在此基础上可产生其他分布的随机数. 1．逆变换法： 设随机变量U 服从(0，1)上的均匀分布，则)(1U F X -=的分布函数为)(x F . 步骤：(1) 产生)1,0(U 的随机数U ；(2) 计算)(1 U F X -=， 则X 服从)(x F 分布. 问题：练习用此方法产生常见分布随机数.例如“指数分布，均匀分布),(b a U ”.还有其它哪种常见分布的随机数可用此方法方便产生？
蒙特卡洛模拟方法作业及答案(附程序)
蒙特卡洛习题 1.利用蒙特卡洛计算数值积分 () ()() 1280ln 1tan x x x xe dx +++? clear all ;clc;close all ; n=1000; count=0; x=0:0.01:1; y=log((1+x).^2+(tan(x).^8)+x.*exp(x)); plot(x,y,'linewidth',2) hold on for i=1:n x1=rand; y1=rand*y(end); plot(x1,y1,'g*') pause(0.01) if y1 2.分别用理论计算和计算机模拟计算，求连续掷两颗骰子，点数之和大于6且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率。 clear all;clc;close all; count=0; n=100000; for i=1:n x=floor(rand*6+1); y=ceil(rand*6); if x+y>6&&x>y count=count+1; end end P=count/n 3. clear all;clc;close all; count=0; n=2000; ezplot('x^2/9+y^2/36=1'); hold on ezplot('x^2/36+y^2=1'); hold on ezplot('(x-2)^2+(y+1)^2=9') for i=1:n x=rand*12-6; y=rand*12-6; plot(x,y,'gh','linewidth',2) pause(0.01) if x^2/9+y^2/36<1&&x^2/36+y^2<1&&(x-2)^2+(y+1)^2<9 蒙特卡洛方法 1、蒙特卡洛方法的由来 蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。 第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。如今MC方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。 2、蒙特卡洛方法的核心—随机数 蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。 在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。 实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。 无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。 人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。称这些序列为拟随机数序列。伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。 3、蒙特卡洛方法的原理 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等 2012年第12期 吉林省教育学院学报 No.12，2012 第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol .28（总300期） Total No .300 收稿日期：2012—11—14 作者简介：孟庆一（1989—），女，吉林长春人，新加坡籍华人，英国伦敦大学数学系，本科生，研究方向：MCMC 统计学。 浅议马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用 孟庆一 (英国伦敦大学，英国伦敦) 摘要：本文概括地介绍了马尔可夫链蒙特卡罗(Markov chain Monte Carlo ———MCMC )，一种随机模拟贝叶斯推断的方法。主要的抽样方法包括吉布斯采样(Gibbs Sampling )和Metropolis －Hastings 算法。本文也对MCMC 主题和应用的拓展进行了讨论。 关键词：马尔可夫链;蒙特卡罗;Gibbs 抽样;Metropolis －Hastings 中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1671—1580(2012)12—0120—02 统计学中的贝叶斯推理在过去的几十年里有前 所未有的突破，统计学家们发现了一种非常简单，但又非常强大的模拟技术，统称为MCMC 。这种技术可以运用到各种复杂的贝叶斯范例和实际情况。 贝叶斯推理： 贝叶斯方法把所给的模型里所有的未知量的不确定性联系在一起。利用所知的信息，贝叶斯方法用联合概率分布把所有未观察到的数量综合起来，从而得出的推论。在这里，给定已知的未知分布被称为后验分布。有关未知量的推理被称为预测，它们的边缘分布称作为预测分布。 贝叶斯推理根据贝叶斯规则计算后验概率： P （H |E ）= P （E |H ）·P （H ） P （E ）然而，在大多数情况下，所给的模型的复杂性不允许我们运用这个简单的操作。因此，我们需要使用随机模拟， 或蒙地卡罗技术来代替。概述MCMC ： MCMC 采用未知量的高维分布，为难度极高的模拟复杂模型的问题提供了一个答案。 一个马尔可夫链是一个序列的随机变量X 1，X 2，X 3，．．．这个序列有马尔可夫的属性———给予目前的状态，未来和过去的状态是独立的。从数学公 式上看， Pr （X n +1=x |X 1=x 1，X 2=x 2，…，X n =x n ）=Pr （X n +1=x |X n =x n ）X i 的可能的值可数的集合S 称 为链的状态空间。 幸运的是，在马尔可夫链里，我们也有与大数定律和中心极限定理类似的定理。 另外一个问题存在于如何建立一个马尔可夫链的极限分布与所需的分配一模一样。一种可行的解决方案是Gibbs 抽样。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是由模型中出现的条件分布所决定的。另一种可能性是Metropolis －Hastings 算法。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是分裂成两个部分：一个是建议，另一个是接受这一建议。 Metropolis －Hastings 算法： Metropolis －Hastings 算法，可以从任何概率分布中抽取样品，只要求是可计算函数的密度成正比。在贝叶斯的应用程序中，归一化因子计算往往是非常困难的，所以，和其他常用的抽样算法一样，能够在不知道这个比例常数的情况下产生样本是Metropolis －Hastings 算法的重要特征。 该算法的总体思路是产生一系列在一个马尔可 夫链里的样品。在足够长的时间后，所生成的样品的分布与分布相匹配。 该算法基本上按如下方式工作（这是一个特殊 的例子，其建议密度是对称的情况下）：首先，选择一个任意的概率密度Q （x'|x t ），这表明一个新的采样值x'给定样本值x t 。对于简单的Metropolis 算法，这个建议密度必须是对称的Q （x'| 21 浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求 基于汉密尔顿蒙特卡洛方法的随机波动模型经济金融系统中潜在风险的防范和控制十分必要,而我国股票市场的波动特征在一定程度上能体现和折射出我国经济及金融系统的稳定性。因此,用以描述股市波动的模型和方法一直是学者关注的焦点。 更为重要的是,运用新的模型和方法更为准确深入地研究我国股市波动,对于投资者入市选股和制定投资决策、相关人员制定应对措施有效控制股市风险有一定的指导作用。波动模型是分析刻画经济金融系统潜在风险的重要工具。 不少国内外实证研究表明,传统的波动模型不能客观描述具有时变性和异方差特点的金融时序特征。目前研究收益率波动的主流模型有随机波动模型(SV)和ARCH族模型两大类。 SV模型在其方差方程中引进潜在的随机变量,较ARCH族模型更适合描述股市收益率的波动情况。SV模型下参数的似然函数是难解的高维积分,常用求解模型的算法是马尔科夫链蒙特卡洛(MCMC)方法。 但传统的MCMC方法具有不可避免的随机游走行为,容易使马尔可夫链在更新迭代过程中陷入局部最优,收敛效果不太理想。汉密尔顿蒙特卡洛(HMC)方法是将汉密尔顿动力学系统和Metropolis准则相结合的算法。 它通过将虚拟的动量变量引入汉密尔顿系统,利用汉密尔顿系统的内在物理特性和蛙跳技术完成状态更新。动力系统的能量守恒特性使得状态转移的概率较高,可逆性和保体积性也有助于潜在状态更新,在某种程度上减少了传统MCMC方法的随机游走行为,改进了马尔科夫链的有效性,确保算法能迅速收敛。 HMC算法充分考虑了状态空间的各敏感因素,能够遍历探索目标分布轨迹,尤其适用于目标分布处于高维状态空间或变量之间存在强相关性的情形。因其是 基于蒙特卡罗方法的气象问题应用研究 冯圆1，龚晓燕2 （1. 空军雷达学院 ，武汉 430019； 2. 二炮指挥学院，武汉 430012） Email：fy_science@https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html, 摘要：基于蒙特卡罗方法在气象研究中的应用，本文分析了蒙特卡罗方法的主要计算步骤，列举了该方法在气象中应用的实例，讨论了蒙特卡罗方法在气象领域应用的局限性，展望了该方法在未来气象研究中的应用。 关键词：蒙特卡罗，气象，反演，概率 1.引言 由于气象问题研究的复杂性，人们很早就认识到在实验的计划和分析中引用统计的方法是必要的。的确，许多知名的统计专家、学者投身于将统计的方法应用于气象问题。在过去的几十年里统计科学取得了巨大进步，统计方法和计算技术的革命为气象的进一步发展开阔了前所未有的许多新境界。例如，对一切不可控制的误差源有效地进行随机化处理、考虑用复杂的统计模式解释显著的效应、用随机化方法减轻空间相关的效应等等。很多的统计学、概率的方法被广泛应用，如线性最小二乘回归的自适应方法、分对数（logit）回归模型的自适应算法、卡尔曼滤波方法等。[1] 近十年统计学在气象领域的应用得到了更“革命性”的发展，尤其是一些传统的统计方法得到了新的发展。比如，马尔科夫链蒙特卡罗法（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）用于Bayes统计模式、柯克帕特里克（Kirkpatrick）模拟退火方法、罗斯曼（Rothman）模拟退火方法、约翰·霍兰（John Holland）提出和发展的遗传算法等等。此类算法的基本特征是，对所求问题的同一实例，用同一概率算法求解多次，得到的结果可能完全不同，甚至效果差别相当大。但通过多次执行反复求解，会使正确性和精确性达到满意的程度，而失败或误差的概率接近任意小。 本文以蒙特卡罗方法在气象研究中的应用为研究对象，探索该方法在气象应用中的发展情况，探求蒙特卡罗方法在气象领域的进一步发展和应用。 2. 蒙特卡罗方法的基本原理 2.1蒙特卡罗方法的定义 蒙特卡罗方法（Monte Carlo）是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法，也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态。它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段，也就是说：当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。运用该近似方法所获得的问题的解更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果[2]。 2.2蒙特卡罗方法的主要计算步骤 蒙特卡罗方法的计算过程需要有可得的、服从特定概率分布的、随机选取的数值序列。该方法既能求解确定性的问题，也能求解随机性问题以及科学研究中的理论问题，比如计算 二、蒙特卡洛模拟原理及步骤 （一）蒙特卡洛模拟原理：经济生活中存在大量的不确定与风险问题，很多确定性问题实际上是不确定与风险型问题的特例与简化，财务管理、管理会计中同样也存在大量的不确定与风险型问题，由于该问题比较复杂，一般教材对此问题涉及较少，但利用蒙特卡洛模拟可以揭示不确定与风险型问题的统计规律，还原一个真实的经济与管理客观面貌。 与常用确定性的数值计算方法不同，蒙特卡洛模拟是用来解决工程和经济中的非确定性问题，通过成千上万次的模拟，涵盖相应的可能概率分布空间，从而获得一定概率下的不同数据和频度分布，通过对大量样本值的统计分析，得到满足一定精度的结果，因此蒙特卡洛模拟是进行不确定与风险型问题的有力武器。 1、由于蒙特卡洛模拟是以实验为基础的，因此可以成为财务人员进行风险分析的“实验库”，获得大量有关财务风险等方面的信息，弥补确定型分析手段的不足，避免对不确定与风险决策问题的误导； 2、财务管理、管理会计中存在大量的不确定与风险型问题，目前大多数教材很少涉及这类问题，通过蒙特卡洛模拟，可以对其进行有效分析，解决常用决策方法所无法解决的难题，更加全面深入地分析不确定与风险型问题。 （二）蒙特卡洛模拟步骤以概率型量本利分析为例，蒙特卡洛模拟的分析步骤如下： 1、分析评价参数的特征，如企业经营中的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等，并根据历史资料或专家意见，确定随机变量的某些统计参数； 2、按照一定的参数分布规律，在计算机上产生随机数，如利用EXCEL提供的RAND函数，模拟量本利分析的概率分布，并利用VLOOKUP寻找对应概率分布下的销售数量、销售价格、产品生产的变动成本以及固定成本等参数； 3、建立管理会计的数学模型，对于概率型量本利分析有如下关系式，产品利润=产品销售数量×（产品单位销售价格-单位变动成本）-固定成本，这里需要说明的是以上分析参数不是确定型的，是依据某些概率分布存在的； 4、通过足够数量的计算机仿真，如文章利用RAND、VLOOKUP等函数进行30000次的模拟，得到30000组不同概率分布的各参数的排列与组合，由于模拟的数量比较大，所取得的实验数据具有一定的规律性； 5、根据计算机仿真的参数样本值，利用函数MAX、MIN、A VERAGE等，求出概率型量本利分析评价需要的指标值，通过对大量的评价指标值的样本分析，得到量本利分析中的利润点可能的概率分布，从而掌握企业经营与财务中的风险，为财务决策提供重要的参考。三、概率型量本利分析与比较 （一）期望值分析方法假设某企业为生产与销售单一产品的企业，经过全面分析与研究，预计未来年度的单位销售价格、销售数量、单位变动成本和固定成本的估计值及相应的概率如表1，其中销售数量单位为件，其余反映价值的指标单位为元，试计算该企业的生产利润。表1概率型量本利分析参数 项目概率数值 单位销售价格0.3 40 0.4 43 0.3 45 单位变动成本0.4 16 0.2 18 0.4 20 固定成本0.6 28000 0.4 30000 蒙特卡罗也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。 蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。 工作过程 在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作： 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。 用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。 计算步骤 使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的： ① 使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。 ②对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。 ③计算新的分子构型的能量。 ④比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼常数，同时产生一个随机数。 https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html, 用Python入门不明觉厉的马尔可夫链蒙特卡罗_光环大数据python培训 在过去几个月里，我在数据科学的世界里反复遇到一个词：马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo , MCMC）。在我的研究室、podcast和文章里，每每遇到这个词我都会“不明觉厉”地点点头，觉得这个算法听起来很酷，但每次听人提起也只是有个模模糊糊的概念。 我屡次尝试学习MCMC和贝叶斯推论，而一拿起书，又很快就放弃了。无奈之下，我选择了学习任何新东西最佳的方法：应用到一个实际问题中。 通过使用一些我曾试图分析的睡眠数据和一本实操类的、基于应用教学的书（《写给开发者的贝叶斯方法》，我最终通过一个实际项目搞明白了MCMC。 《写给开发者的贝叶斯方法》 和学习其他东西一样，当我把这些技术性的概念应用于一个实际问题中而不是单纯地通过看书去了解这些抽象概念，我更容易理解这些知识，并且更享受学习的过程。 这篇文章介绍了马尔可夫链蒙特卡洛在Python中入门级的应用操作，这个实际应用最终也使我学会使用这个强大的建模分析工具。 此项目全部的代码和数据： https://https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html,/WillKoehrsen/ai-projects/blob/master/bayesian/ bayesian_inference.ipynb https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html, 这篇文章侧重于应用和结果，因此很多知识点只会粗浅的介绍，但对于那些想了解更多知识的读者，在文章也尝试提供了一些学习链接。 案例简介 我的智能手环在我入睡和起床时会根据心率和运动进行记录。它不是100%准确的，但现实世界中的数据永远不可能是完美的，不过我们依然可以运用正确的模型从这些噪声数据提取出有价值的信息。 典型睡眠数据 这个项目的目的在于运用睡眠数据建立一个能够确立睡眠相对于时间的后验分布模型。由于时间是个连续变量，我们无法知道后验分布的具体表达式，因此我们转向能够近似后验分布的算法，比如马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）。 选择一个概率分布 在我们开始MCMC之前，我们需要为睡眠的后验分布模型选择一个合适的函数。一种简单的做法是观察数据所呈现的图像。下图呈现了当我入睡时时间函数的数据分布。 睡眠数据 每个数据点用一个点来表示，点的密度展现了在固定时刻的观测个数。我的智能手表只记录我入睡的那个时刻，因此为了扩展数据，我在每分钟的两端添加了数据点。如果我的手表记录我在晚上10：05入睡，那么所有在此之前的时间 2009年4月 水 利 学 报 SHUILI XUEBAO 第40卷 第4期 收稿日期:2008-04-23 基金项目:国家自然科学基金重点项目(40730632);教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-05-0624);霍英东青年教师基金资助 项目(101077) 作者简介:卫晓婧(1984-),女,山西阳泉人,硕士生,主要从事水文水资源方面的研究。E -mail:hellomuki@to https://www.wendangku.net/doc/5f16720706.html, 文章编号:0559-9350(2009)04-0464-10融合马尔科夫链-蒙特卡洛算法的改进通用 似然不确定性估计方法在流域水文模型中的应用 卫晓婧,熊立华,万 民,刘 攀 (武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉 430072) 摘要:本文在Blasone 研究工作的基础上,进一步提出了基于马尔科夫链-蒙特卡洛算法的改进通用似然不确定性估计方法(Markov Chain -Monte Carlo based Modified Generalized Likelihood Uncertainty Esti mation,MMGLUE)。该方法结合近年来被广泛用于推求参数后验分布的MC MC 方法,对基于Mon te Carlo 随机取样方法的传统GLUE 方法进行改进,并以预测区间性质最优为标准,对可行参数组阈值进行判断与选择,提出了衡量预测区间对称性的标准,并就预测区间性质与可行参数组个数的相关关系进行了探索。在汉江玉带河流域的实例研究证明,MMGLUE 方法较传统的GLUE 方法能够推求出性质更为优良的预测区间,从而更真实合理地反映水文模型的不确定性。 关键词:MC MC;GLUE;MMGLUE;预测区间;覆盖率;区间宽度;区间对称性 中图分类号:P333文献标识码:A 1 研究背景 近10年来,流域水文模型的不确定性研究逐渐成为当今水文界广泛研究的热点之一,各国的水文学家就此做了大量的工作[1]。Beven [2-3]于1992年率先提出了流域水文模型/异参同效性0的观点,并针对流域水文模型的不确定性研究问题提出了通用似然不确定性估计(Generalized Likelihood Uncertainty Estimation,GLUE)方法。该方法结合Monte Carlo 随机取样技术与Bayesian 框架,对由模型结构、参数冗余及相关性、输入输出误差等因素造成的不确定性进行综合分析。GLUE 方法原理简单,易于操作,但由于其自身理论结构的缺陷,越来越多的研究者就GLUE 方法提出了质疑[4-5],即并非经典的Bayesian 方法、主观判断参数可行域阈值和推求的参数后验概率分布不具有显著的统计特征。因此,基于不同假设的其他不确定性研究方法,如:基于经典Bayesian 理论的Ba RE(Bayesian Recursive Estimation)方法 [6],基于全局卡尔曼滤波理论的EnKF(Ense mble Kalman Filter )方法[7] ,多目标方法如MOSCE M (Mult-i objective Shuffled Complex Evolution Metropolis)方法[8]等被用于估计模型的不确定性工作中。然而,上述方法尽管 理论结构相对复杂,应用效果与GLUE 方法相比却并没有明显的提高。 同时期另一种基于经典Bayesian 理论的马尔科夫链-蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo,MC MC)方法也被广泛应用于推求参数后验分布的研究中。特别是SCE M -UA (The Shuffled Complex E volution Metropolis Algorithm)方法[9]能够有效地探索参数空间,使Markov Chain 能够朝着高概率密度区进化,从而 推导出具有显著统计特征的水文模型参数的后验分布。 因此,Blasone [10]提出将两种方法结合起来,采用SCE M -UA 采样方法替代传统的GLUE 方法中的) 464) 蒙特卡罗方法及应用 实验讲义 东华理工大学核工系 2016.8 实验一 蒙特卡罗方法基本思想 一、实验目的 1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想； 2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法； 3、掌握由已知分布的随机抽样方法。 二、实验原理 Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。 如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。 由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。具体方法很多，详见教材第三章。 三、实验内容 1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）； 2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数 3、求解下列问题： 3.0、蒲丰氏投针求圆周率。 3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积； 3.2 、计算1z z ?≥??≤??所围体积 其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。 4、对以下已知分布进行随机抽样： 期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律： 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 [],1,2,k E k ξμ=<∞=L 则有1 1(lim )1n k n k p n ξμ→∞===∑ 显然，若12,,,n ξξξL 是由同一总体中得到的抽样，那么由 此大数定律可知样本均值1 1n k k n ξ=∑当 n 很大时以概率1收敛于 总体均值μ。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 2 [],[],1,2,k k E D k ξμξσ=<∞=<∞=L (0,1)n k d n N ξ μ -??→∑ 其等价形式为2 1 1lim ()exp(),2n x k k n t n P x dt x ξμσ =→∞ -∞ -≤= --∞<<∞∑?。 ◆Black-Scholes 期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dt dW S μσ=+ 其中，标的资产的价格S 是时间t 的函数，μ为标的资产 的瞬时期望收益率，σ为标的资产的波动率，dW 是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r 为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法) 主要内容: 1.各种随机数的生成方法. 2.MCMC方法. 1 2 从Buffon 投针问题谈起 Buffon 投针问题:平面上画很多平行线，间距为a ．向此平面投掷长 为l (l < a) 的针, 求此针与任一平行线相交的概率p 。 22[0,/2] [0,] sin ,{:sin }. l l a X A X 随机投针可以理解成针的中心 点与最近的平行线的距离X 是均匀 地分布在区间 上的r.v.，针 与平行线的夹角是均匀地分布 在区间 上的r.v.，且X 与相互独立， 于是针与平行线相交的充要条件为 即相交 3Buffon 投针问题 2sin 0022(sin ) 2l l l p P X dxd a a 于是有： 2l ap 若我们独立重复地作n 次投针试验，记 ()n A 为A 发生的次数。()n f A 为A 在n 次中出现的频率。假如我们取 ()n f A 作为()p P A 的估计，即?()n p f A 。 然后取2?() n l af A 作为的估计。根据大数定律，当n 时，..?().a s n p f A p 从而有2?()P n l af A 。这样可以用随机试验的方法求得的估计。历史上 有如下的试验结果。 4 3.14159292 180834080.831925Lazzarini 3.1595148910300.751884Fox 3.15665121832040.601855Smith 3.15956253250000.801850Wolf π的估计值相交次数投针次数针长时间(年)试验者 运用蒙特卡罗模拟进行风险分析 蒙特卡罗模拟由著名的摩纳哥赌城而得名，他是一种非常强有力的方法学。对专业人员来说，这种模拟为方便的解决困难而复杂的实际问题开启了一扇大门。估计蒙特卡罗模拟最著名的早期使用是诺贝尔奖物理学家Enrico Fermi（有时也说是原子弹之父）在1930年的应用，那时他用一种随机方法来计算刚发现的中子的性质。蒙特卡罗模拟是曼哈顿计划所用到的模拟的核心部分，在20世纪50年代蒙特卡罗模拟就用在Los Alamos国家实验室发展氢弹的早期工作中，并流行于物理学和运筹学研究领域。兰德公司和美国空军是这个时期主要的两个负责资助和传播蒙特卡罗方法的组织，今天蒙特卡罗模拟也被广泛应用于不同的领域，包括工程，物理学，研发，商业和金融。 简而言之，蒙特卡罗模拟创造了一种假设的未来，它是通过产生数以千计甚至成千上万的样本结果并分析他们的共性实现的。在实践中，蒙特卡罗模拟法用于风险分析，风险鉴定，敏感度分析和预测。模拟的一个替代方法是极其复杂的随机闭合数学模型。对一个公司的分析，使用研究生层次的高等数学和统计学显然不合逻辑和实际。一个出色的分析家会使用所有他或她可得的工具以最简单和最实际的方式去得到相同的结果。任何情况下，建模正确时，蒙特卡罗模拟可以提供与更完美的数学方法相似的答案。此外，有许多实际生活应用中不存在闭合模型并且唯一的途径就是应用模拟法。那么，到底什么是蒙特卡罗模拟以及它是怎么工作的？ 什么是蒙特卡罗模拟？ 今天，高速计算机使许多过去看来棘手的复杂计算成为可能。对科学家，工程师，统计学家，管理者，商业分析家和其他人来说，计算机使创建一个模拟现实的模型成为可能，这有助于做出预测，其中一种方法应用于模拟真实系统，它通过调查数以百计甚至数以千计的可能情况来解释随机性和未来不确定性。结果通过编译后用于决策。这就是蒙特卡罗模拟的全部内容。 形式最简单的蒙特卡罗模拟是一个随机数字生成器，它对预测，估计和风险分析都很有用。一个模拟计算模型的许多情况，这通过反复地从预先定义的特定变量概率分布中采集数据并将之应用于模型来实现。因为所有的情况都产生相应的结果，每种情况都可以蕴含一种预测。预测的是你定义为重要模型结果的事项（通常含有公式或函数）。 将蒙特卡罗模拟法想象为从一个大篮子里可放回的反复拿出高尔夫球。拦在的大小和形蒙特卡洛方法
马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用
浅析蒙特卡洛方法原理及应用
基于汉密尔顿蒙特卡洛方法的随机波动模型
基于蒙特卡罗方法的气象问题应用研究
蒙特卡洛模拟原理及步骤
蒙特卡罗也称统计模拟方法
用Python入门不明觉厉的马尔可夫链蒙特卡罗_光环大数据python培训
融合马尔科夫链_蒙特卡洛算法的改进通用似然不确定性估计方法在流域水文模型中的应用
蒙特卡罗方法及应用实验讲义2016资料
(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡罗马尔科夫链模拟方法MCMC
运用蒙特卡罗模拟进行风险分析